廣東省珠海市大灣區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題

第一學(xué)期末普通高中二年級聯(lián)合考試高二數(shù)學(xué)本卷共6頁，22小題，滿分150分．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、考場號、座位號和準考證號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．4．考生必須保證答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.數(shù)據(jù)6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位數(shù)為（）A.8.4 B.8.5 C.8.6 D.8.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用第50百分位數(shù)的定義計算即得.【解析】依題意，一組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)即為該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，所以數(shù)據(jù)6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1第50百分位數(shù)為.故選：B2.拋物線的焦點是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判斷焦點的位置，再從標準型中找出即得焦點坐標.【解析】焦點在軸上，又，故焦點坐標為，故選D.【小結(jié)】求圓錐曲線的焦點坐標，首先要把圓錐曲線的方程整理為標準方程，從而得到焦點的位置和焦點的坐標.3.在空間直角坐標系中，直線的方向量分別為，則（）A. B. C.與異面 D.與相交【答案】A【解析】【分析】應(yīng)用空間向量數(shù)量積的坐標運算，結(jié)合向量垂直表示即可確定直線的位置關(guān)系.【解析】由，故，所以.故選：A4.直線與間的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由兩平行線間的距離公式計算即可得.【解析】由、，故，則.故選：C.5.若方程表示橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的標準方程得到方程組，解得答案.【解析】方程表示橢圓，則，解得.故選：B6.任意拋擲一次骰子，朝上面的點數(shù)記為X，則，定義事件：，，，則（）A. B.C. D.B，C相互獨立【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用古典概率計算判斷ABC；利用相互獨立事件的定義判斷D.解析】對于A，，，A錯誤；對于B，，，，B錯誤；對于C，，則，C正確；對于D，由選項AB知，，即B，C相互不獨立，D錯誤.故選：C7.已知為空間的組基底，則下列向量也能作為空間的一組基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量基底的概念，結(jié)合選項，判斷每組向量是否共面，即可求解.【解析】對于A，因為，所以，，共面，不能作為空間的基底；對于選項B，假設(shè)，，共面，則存在實數(shù)，，使得，即，所以，無解，所以，，不共面，可以作為空間的基底，故B正確；對于C，因為，所以，，共面，不能作為空間基底；對于D，因為，所以，，共面，不能作為空間的基底.故選：B.8.下圖中的多邊形均為正多邊形，M，N是所在邊的中點，雙曲線均以，為焦點，且經(jīng)過M，N兩點．設(shè)圖1，圖2，圖3中雙曲線的離心率分別為，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由雙曲線定義有、，結(jié)合正多邊形的性質(zhì)求得關(guān)于c的表達式，即可求各圖對應(yīng)雙曲線的離心率.【解析】在圖1中，，又，則．在圖2中，，，，，則．在圖3中，，，由余弦定理得：，，則．因為，所以．故選：A二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.下列直線中，與圓：相切的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先找出圓的圓心和半徑，然后利用幾何法逐項判斷即可.【解析】圓的圓心為，半徑為，選項A：點到直線的距離，故直線與圓相切，故A正確；選項B：點到直線的距離，故直線與圓相切，故B正確；選項C：點到直線的距離，故直線與圓不相切，故C不正確；選項D：點到直線的距離.故直線與圓相切，故D正確；故選：ABD.10.在下列四個選項，其中正確的有（）A.與向量同方向的單位向量B.若對空間中任意一點O，有，則P，A，B，C四點共面C.兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間一個基底，則這兩個向量共線D.已知向量，，則在上的投影向量為【答案】ACD【解析】【分析】由與同方向的單位向量為計算即可得A；根據(jù)空間向量的有關(guān)定義及其結(jié)論，可判斷B、C項；根據(jù)投影向量的概念，計算可得D項.【解析】對A：由向量，則與其同方向的單位向量為，故A正確；對B：由，故不能得到P，A，B，C四點共面，故B錯誤；對C：因為三個不共面的向量可以成為空間的一個基底，所以當兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底時，則這兩個向量共線，故C正確；對D：在上的投影向量為，故D正確.故選：ACD.11.袋子中有1個紅球，1個黃球，1個藍球，1個黑球，從中取三次球，每次取一個球，取球后不放回，設(shè)事件，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.A與B相互獨立 D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用列舉法，結(jié)合古典概率逐項計算判斷即得.【解析】紅球，黃球，藍球，黑球分別記為，不放回取球三次的試驗的樣本空間：，共24個，它們等可能，，共6個，，共6個，，共6個，，共2個，，共10個，，AB正確；，A與B相互不獨立，C錯誤；，D正確，故選：ABD12.在平面上，設(shè)拋物線的焦點為，準線為l，過點F作直線與C交于，兩點，且滿足.設(shè)線段PQ的中點為M，N為l上一點，且.則（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線方程，由根與系數(shù)關(guān)系判斷A，再由解出點的坐標，結(jié)合拋物線定義判斷B，由中位線可判斷C，再由拋物線定義求判斷D.【解析】因為，所以，拋物線方程為，準線方程為：，設(shè)直線方程為（由題意直線斜率存在），聯(lián)立可得，，故A錯誤；又，所以，即，不妨設(shè)，則解得，，則，，所以，故B正確；由中點為M知，，故C錯誤；由拋物線定義，，所以，故D正確.故選：BD三、填空題：本題共4小題．13.若雙曲線經(jīng)過點，且其漸近線方程為，則此雙曲線的標準方程______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)雙曲線的方程為()，將點代入曲線方程求出即可.【解析】由題意得，雙曲線的漸近線方程為，設(shè)所求雙曲線的方程為().點為該雙曲線上的點，.該雙曲線的方程為：，即.故答案為：.14.已知點，，若點P滿足，則P的軌跡方程為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)出點坐標，由題意計算即可得.【解析】設(shè)，由，故，化簡得：，故P的軌跡方程為.故答案為：.15.如圖，的二面角的棱上有，兩點，直線，分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于已知，，，則的長為__________【答案】【解析】【分析】由向量的線性表示，根據(jù)向量模長根式即可代入求解.【解析】解：由條件，知，,所以，所以,故答案為：16.某學(xué)校有男生3000人，女生2000人，為調(diào)查該校全體學(xué)生每天睡眠時間，采用分層抽樣的方法抽取樣本，計算得男生每天睡眠時間均值為8小時，方差為1，女生每天睡眠時間為7.5小時，方差為0.5．若男、女樣本量按比例分配，則可估計總體均值為______小時，總體方差為______．【答案】①.7.8②.0.86【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分層抽樣的平均數(shù)和方差公式計算即得.【解析】依題意，估計總體均值為（小時），總體的方差為.故答案為：7.8；0.86四、解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.圓內(nèi)有一點，過P的直線交圓于A，B兩點．（1）當P為弦AB中點時，求直線AB的方程；（2）若圓O與圓相交于E，F(xiàn)兩點，求EF的長度．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知結(jié)合圓的性質(zhì)，求出直線的斜率，再利用直線的點斜式方程求解即得.（2）求出兩圓的公共弦所在直線方程，再利用圓的弦長公式計算即得.【小問1解析】圓的圓心，半徑，由P為圓的弦AB中點，得，而直線的斜率為2，因此直線的斜率為，方程為，即，所以直線的方程為.【小問2解析】圓的圓心，半徑，而，即圓與圓相交，兩圓方程相減得直線的方程：，點到直線的距離，所以弦的長.18.某快餐配送平臺針對外賣員送餐準點情況制定了積分制的考核方案：每一單自接單后在規(guī)定時間內(nèi)送達、延遲5分鐘內(nèi)送達、延遲5至10分鐘送達、其他延遲情況，分別評定為A，B，C，D四個等級，各等級依次獎30分、獎0分、扣30分、扣60分、根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計，評定為等級A，B，C的概率分別是，，．（1）若某外賣員接了一個訂單，求其延遲送達且被罰款的概率；（2）若某外賣員接了兩個訂單，且兩個訂單互不影響，求這兩單獲得的獎勵之和為0分的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用互斥事件的概率加法公式計算即可得；（2）借助相互獨立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率加法公式計算即可得.【小問1解析】設(shè)事件A，B，C，D分別表示“被評為等級A，B，C，D”，則，故其延遲送達且被罰款的概率為；【小問2解析】設(shè)事件，，，表示“第單被評為等級A，B，C，D”，，，則“兩單獲得的獎勵之和為0分”為事件，，，則，即這兩單獲得的獎勵之和為0分的概率為.19.某玻璃工藝品加工廠有2條生產(chǎn)線用于生產(chǎn)其款產(chǎn)品，每條生產(chǎn)線一天能生產(chǎn)200件該產(chǎn)品，該產(chǎn)品市場評級規(guī)定：評分在10分及以上的為等品，低于10分的為等品.廠家將等品售價定為2000元/件，等品售價定為1200元/件.下面是檢驗員在現(xiàn)有生產(chǎn)線上隨機抽取的16件產(chǎn)品的評分：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得，，其中為抽取的第件產(chǎn)品的評分，.該廠計劃通過增加生產(chǎn)工序來改進生產(chǎn)工藝，已知對一條生產(chǎn)線增加生產(chǎn)工序每年需花費1500萬元，改進后該條生產(chǎn)線產(chǎn)能不變，但生產(chǎn)出的每件產(chǎn)品評分均提高0.05.已知該廠現(xiàn)有一筆1500萬元的資金.（1）若廠家用這1500萬元改進一條生產(chǎn)線，根據(jù)隨機抽取的16件產(chǎn)品的評分.（i）估計改進后該生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中等品所占的比例；（ii）估計改進后該廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品評分的平均數(shù)和方差.（2）某金融機構(gòu)向該廠推銷一款年收益率為的理財產(chǎn)品，請你利用所學(xué)知識分析，將這1500萬元用于購買該款理財產(chǎn)品所獲得的收益，與通過改進一條生產(chǎn)線使產(chǎn)品評分提高所增加的收益相對比，一年后哪種方案的收益更大？（一年按365天計算）【答案】（1）（i）；（ii）9.995，；（2）將這1500萬元用于改進一條生產(chǎn)線一年后收益更大.【解析】【分析】（1）（i）首先求得改進后隨機抽取的件產(chǎn)品的評分，由此計算出等品所占的比例.（ii）首先求得改進后的生產(chǎn)線的產(chǎn)品評分的平均數(shù)，由此求得改進一條生產(chǎn)線后該廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品評分的平均數(shù).根據(jù)方差的計算公式，計算出改進一條生產(chǎn)線后該廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品評分的方差.（2）分別計算出改進生產(chǎn)線和投資理財產(chǎn)品的一年收益，由此確定收益更大的方案.【解析】（1）（i）改進后，隨機抽取的16件產(chǎn)品的評分依次變?yōu)椋?0.0010.1710.0110.0110.069.9710.0310.0910.319.9610.1810.079.2710.0910.1010.00其中，等品共有13個，所以，估計改進后該生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中等品所占的比例為；（ii）設(shè)一條生產(chǎn)線改進前一天生產(chǎn)出的產(chǎn)品評分為，改進后生產(chǎn)出的產(chǎn)品評分為，其中.由已知得，用樣本估計總體可知，所以，所以估計改進一條生產(chǎn)線后該廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品評分的平均數(shù)為：，由已知得，用樣本估計總體可知，所以.估計改進后該廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品評分的方差為：因為，所以，同理，所以式.（2）將這1500萬元用于改進一條生產(chǎn)線，一年后因產(chǎn)品評分提高而增加的收益為：（元）；將這1500萬元購買該款理財產(chǎn)品，一年后的收益為：（元），因為，所以將這1500萬元用于改進一條生產(chǎn)線一年后收益更大.【小結(jié)】本小題主要考查平均數(shù)、方差的計算，考查運算求解能力，屬于中檔題.20.已知平面上的線段及點，任取上一點，線段長度的最小值稱為點到線段的距離，記作.（1）求點到線段的距離；（2）設(shè)是長為的線段，求點的集合所表示的圖形的面積為多少？（3）求到兩條線段、距離相等的點的集合，并在直角坐標系中作出相應(yīng)的軌跡.其中，，，，，.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）設(shè)是線段上一點，表示出，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，即可求出結(jié)果；（2）因為表示在線段上時，線段長度的最大值不超過1，由此得到點集所表示的圖形是一個正方形和兩個半圓組成，進而可求出其面積；（3）根據(jù)題意，得到兩直線方程，確定直線之間關(guān)系，進而可得出結(jié)果.【解析】（1）設(shè)是線段上一點，則，，因此，當時，；（2）由題意，設(shè)的端點為，以所在直線為軸，以垂直平分線所在直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標系，則，，則點的集合由如下曲線圍成：；；；，其面積為：；（3）因為，，，，，，所以；；因為到兩條線段、距離相等的點的集合，根據(jù)兩條直的方程可知，兩條直線間的關(guān)系是平行，所以得到兩條線段距離相等的點是軸非負半軸，拋物線，直線，如圖所示：【小結(jié)】本題主要考查直線方程的應(yīng)用，直線與直線位置關(guān)系，熟記直線的方程，直線與直線位置關(guān)系，以及二次函數(shù)性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.21.已知四棱錐，底面為正方形，且底面，過的平面與側(cè)面的交線為，且滿足（表示的面積）.（1）證明：平面；（2）當時，二面角的余弦值為，求的值.【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）.【解析】【解析】試題分析：（1）由正方形性質(zhì)可得，從而得平面，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，由三角形中位線定理可得，進而根據(jù)線面平行的判定定理可得平面；（2）∵底面為正方形，且底面，兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標系，設(shè)，，分別求出平面的一個法向量及平面的一個法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得，從而可得結(jié)果.試題解析：（1）由題知四邊形ABCD為正方形∴AB//CD，又平面PCD，AB平面PCD∴AB//平面PCD又AB平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD=EF∴EF//AB，又AB//CD∴EF//CD，由S△PEF：S四邊形CDEF=1:3知E、F分別為PC、PD的中點連接BD交AC與G，則G為BD中點，在△PBD中EG為中位線，∴EG//PB∵EG//PB，EG平面ACE，PB平面ACE∴PB//平面ACE.（2）∵底面ABCD為正方形，且PA⊥底面ABCD，∴PA、AB、AD兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，設(shè)AB=AD=2a，AP=2b，則A（0，0，0），D（0，2a，0），C（2a，2a，0）G（a，a，0），P（0，0，2b），F(xiàn)（a，a，b），∵PA⊥底面ABCD，DG底面ABCD，∴DG⊥PA，∵四邊形ABCD為正方形∴AC⊥BD,即DG⊥AC，AC∩PA=A∴DG⊥平面CAF，∴平面CAF的一個法向量為設(shè)平面AFD的一個法向量為而由得取可得為平面AFD的一個法向量，設(shè)二面角C—AF—D的大小為則得又∴∴當二面角C—AF—D的余弦值為時.【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.22.已知，為橢圓：的左、右焦點，與拋物線：有