河南省、江西省2025屆高三上學(xué)期11月全國(guó)百萬(wàn)大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

高三數(shù)學(xué)考試注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：集合?常用邏輯用語(yǔ)?不等式?函數(shù)與導(dǎo)數(shù)?三角函數(shù)?平面向量?復(fù)數(shù)?數(shù)列?立體幾何.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.已知命題，命題，則（）A.和都是真命題B.和都是真命題C.和都是真命題D.和都是真命題3.若，則=（）A.B.5C.D.4.已知是上的減函數(shù)，，是其圖象上的兩點(diǎn)，則不等式的解集為（）A.B.C.D.5.若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，則的極大值為（）A.B.C.D.6.設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則=（）A.6B.7C.8D.97.已知，，，則的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.8.在平行四邊形中，，是平行四邊形內(nèi)（包括邊界）一點(diǎn)，，若，則的取值范圍為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知集合，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.D.10.函數(shù)，，的最小正周期為，且方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則C.D.11.已知函數(shù)，的定義域均為，且，，若為偶函數(shù)，且，則（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.C.D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知，使得不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是，則的取值范圍是__________.13.如圖，在中，，，，是邊上的兩點(diǎn)，且，則=__________.14.在正方體中，，為棱的中點(diǎn)，一束光線從點(diǎn)射出，經(jīng)側(cè)面反射，反射光線又經(jīng)側(cè)面反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則這束光線在正方體內(nèi)的總長(zhǎng)度為_(kāi)_________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，求的面積.16.（15分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性.17.（15分）在四棱錐中，已知PC⊥平面ABCD，，，，是線段上的點(diǎn)，.（1）證明：平面.（2）求平面與平面的夾角的余弦值.18.（17分）已知數(shù)列滿足，公差不為0的等差數(shù)列滿足，，成等比數(shù)列，（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列.（2）求和的通項(xiàng)公式.（3）在與之間從的第一項(xiàng)起依次插入中的k項(xiàng)，構(gòu)成新數(shù)列，，，，，，，，，，….求中前60項(xiàng)的和.19.（17分）若存在正實(shí)數(shù)，對(duì)任意，使得，則稱函數(shù)在D上是一個(gè)“函數(shù)”.（1）已知函數(shù)在上是一個(gè)“函數(shù)”，求a的取值范圍.（2）（i）已知當(dāng)時(shí)，，證明：函數(shù)在上是一個(gè)“函數(shù)”.（ii）設(shè)，證明：.高三數(shù)學(xué)考試參考答案1.C【解析】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).因?yàn)?，所以?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.2.B【解析】本題考查全稱量詞命題和存在量詞命題，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).對(duì)于而言，取，則有，故是假命題，是真命題；對(duì)于而言，因?yàn)?，所以是真命題，是假命題.綜上，和都是真命題.3.B【解析】本題考查三角恒等變換，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).4.C【解析】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).由題可知，由，可得，因?yàn)槭巧系臏p函數(shù)，所以，解得，即解集為.5.D【解析】本題考查函數(shù)的極值，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).由題可得，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即.故的極大值為.6.A【解析】本題考查等差數(shù)列，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).由題可知成等差數(shù)列，所以，則.7.A【解析】本題考查對(duì)數(shù)，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).，因?yàn)?，所以，?8.B【解析】本題考查平面向量的數(shù)量積以及基本定理，考查直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).設(shè)為的中點(diǎn)，連接（圖略）.由可知在和上的投影向量的模相等，又因?yàn)椋渣c(diǎn)在線段上.當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，取得最小值1，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，取得最大值，，此時(shí)，所以的取值范圍為.9.BCD【解析】本題考查集合的運(yùn)算，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).由題可知，，集合表示曲線上的所有點(diǎn)組合的集合，故.故選BCD.10.BCD【解析】本題考查三角函數(shù)的圖象，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).，因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，即，所?把圖彖上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，可得曲線，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象.因?yàn)?，所以，則是的兩個(gè)解，且，則，所以.故選BCD.11.BD【解析】本題考查抽象函數(shù)以及函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng).由，可得，又，所以，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，A錯(cuò)誤.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以是周期為6的函數(shù).因?yàn)?，所以，B正確.，C錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以，?2.因?yàn)椋?，所以，D正確.12.【解析】本題考查充分必要條件，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).由題意可知集合是的真子集，由，可得，所以，即的取值范圍是.13.【解析】本題考查解三角形，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).由題可知，因?yàn)?，所?14.【解析】本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，考查邏輯推理和直觀想象的核心素養(yǎng).如圖，分別在正方體的左?右兩側(cè)作正方體與正方體.設(shè)一束光線從點(diǎn)射出后與側(cè)面交于點(diǎn)，其反射光線與側(cè)面交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接.根據(jù)光線反射的對(duì)稱性易得，且四點(diǎn)共線，則.15.【解析】本題考查解三角形，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).解：（1）因?yàn)椋栽O(shè).由余弦定理得，所以.（2）由正弦定理得，則，由，得，即，即，所以.故的面積為.評(píng)分細(xì)則：第（2）問(wèn)另解：因?yàn)?，由余弦定理可得化?jiǎn)可得，解得，所以.故的面積為.16.【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的單調(diào)性，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).解：（1）當(dāng)時(shí)，，可得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，即.（2）因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令，即，且，解得；令，即，且，解得.綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.17.【解析】本題考查立體幾何以及空間向量，考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接.因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?（2）解：過(guò)點(diǎn)作一直線垂直于平面，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則.設(shè)平面的法向量為，則令，則，所以平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，則令，則，所以平面的一個(gè)法向量為.，所以平面與平面的夾角的余弦值為.18.【解析】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).（1）證明：由題可知，所以數(shù)列是等比數(shù)列.（2）解：由（1）可知等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比為4，所以.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，解得，所以.（3）解：新數(shù)列中，（含）前面共有!由，得，所以新數(shù)列中含有數(shù)列的前10項(xiàng)，含有數(shù)列的前50項(xiàng)，.故.19.【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)在上是一個(gè)“函數(shù)”，所以對(duì)任意均成立，