方法技巧專題01 數(shù)列求和問題 (解析版)

；方法技巧專題1數(shù)列求和問題解析版一、數(shù)列求和的常用方法知識框架二、數(shù)列求和方法【一】公式求和法1.等差數(shù)列前1.等差數(shù)列前n項(xiàng)和2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公比含字母時一定要討論3.其他常用求和公式①；②③；④1.例題【例1】求1＋2＋22＋…＋2n的和.【解析】這是一個首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列前n＋1項(xiàng)的和，所以1＋2＋22＋…＋2n＝eq\f(1－2n＋1,1－2)＝2n＋1－1.（這里容易弄錯項(xiàng)數(shù)）【例2】已知等比數(shù)列{an}中，a3＝4，S3＝12，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】當(dāng)q＝1時，a3＝4，a1＝a2＝a3＝4，S3＝a1＋a2＋a3＝12，所以q＝1符合題意，an＝4.當(dāng)q≠1時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝a1q2＝4，,S3＝\f(a11－q3,1－q)＝12，))解得q＝－eq\f(1,2)，an＝a3qn－3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－5.故數(shù)列通項(xiàng)公式為an＝4或an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－5.【注意：上述解法中忽視了等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中q＝1這一特殊情況.】【例3】在公差為的等差數(shù)列{}中，已知＝10，且，2＋2，5成等比數(shù)列．(1)求，；(2)若<0，求||＋||＋||＋…＋||.【解析】(1)由題意得·5＝(2＋2)，即所以或.所以或.(2)設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為.因?yàn)?lt;0，由(1)得＝－1，，則當(dāng)≤11時，||＋||＋||＋…＋||＝.當(dāng)≥12時，||＋||＋||＋…＋||＝＝.綜上所述，||＋||＋||＋…＋||2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】在中插入個數(shù)，使它們和組成等差數(shù)列，則（）A．B．C．D．【解析】，所以，故選B.【練習(xí)2】記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．【解析】(1)設(shè)的公差為d，由題意得由得，所以的通項(xiàng)公式為；(2)由(1)得，所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為－16.【練習(xí)3】在平面直角坐標(biāo)系中，已知，.（1）若，求的值；（2）若，求的坐標(biāo)；【分析】（1）利用向量共線的坐標(biāo)形式可求的值.（2）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可求的坐標(biāo).【解析】（1），因?yàn)?，故，?（2），所以.【練習(xí)4】公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前10項(xiàng)和【解析】因?yàn)?，又成等比?shù)列，所以，且，解得：，所以；因?yàn)椋赃f減，且，所以時，；所以.【二】分組求和法分組分解求和的基本思路：通過分解每一項(xiàng)重新組合，化歸為分組分解求和的基本思路：通過分解每一項(xiàng)重新組合，化歸為等差數(shù)列和等比數(shù)列求和.1.例題【例1】求和：1eq\f(1,2)＋2eq\f(1,22)＋3eq\f(1,23)＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,2n))).【解析】1eq\f(1,2)＋2eq\f(1,22)＋3eq\f(1,23)＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,2n)))＝(1＋2＋3＋…＋n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,22)＋\f(1,23)＋…＋\f(1,2n)))＝eq\f(nn＋1,2)＋eq\f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))＝eq\f(nn＋1,2)＋1－eq\f(1,2n).【例2】求數(shù)列1,1＋a,1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋an－1，…的前n項(xiàng)和Sn.(其中a≠0，n∈N*)【解析】當(dāng)a＝1時，an＝n，于是Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).當(dāng)a≠1時，an＝eq\f(1－an,1－a)＝eq\f(1,1－a)(1－an).∴Sn＝eq\f(1,1－a)[n－(a＋a2＋…＋an)]＝eq\f(1,1－a)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(n－\f(a1－an,1－a)))＝eq\f(n,1－a)－eq\f(a1－an,1－a2).∴Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)，a＝1，,\f(n,1－a)－\f(a1－an,1－a2)，a≠1.))【例3】求和【解析】，所以=略2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1＋a2＝2，a3＋a4＝32.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝aeq\o\al(2,n)＋log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，則an＝a1qn－1，且an>0，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q＝2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)＋\f(1,a1q)))，,a1q2＋a1q3＝32\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1q2)＋\f(1,a1q3)))，))化簡得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a\o\al(2,1)qq＋1＝2q＋1，,a\o\al(2,1)q5q＋1＝32q＋1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a\o\al(2,1)q＝2，,a\o\al(2,1)q5＝32，))又∵a1>0，q>0，∴a1＝1，q＝2，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1.(2)由(1)知bn＝aeq\o\al(2,n)＋log2an＝4n－1＋n－1，∴Tn＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(0＋1＋2＋3＋…＋n－1)＝eq\f(4n－1,4－1)＋eq\f(nn－1,2)＝eq\f(4n－1,3)＋eq\f(nn－1,2).【練習(xí)2】已知數(shù)列是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列是公比為等比數(shù)列，且．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）∵數(shù)列是等差數(shù)列,滿足，，∴公差.∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.因?yàn)?，，∴，又因?yàn)閿?shù)列是公比為等比數(shù)列，∴.∴.（2）.【三】奇偶并項(xiàng)求和法奇偶并項(xiàng)求和的基本思路：有些數(shù)列單獨(dú)看求和困難，但相鄰項(xiàng)結(jié)合后會變成熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列求和.但當(dāng)求前奇偶并項(xiàng)求和的基本思路：有些數(shù)列單獨(dú)看求和困難，但相鄰項(xiàng)結(jié)合后會變成熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列求和.但當(dāng)求前n項(xiàng)和而n是奇數(shù)還是偶數(shù)不確定時，往往需要討論.1.例題【例1】求和12－22＋32－42＋…＋992－1002.【解析】12－22＋32－42＋…＋992－1002＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)＝－5050.【例2】已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S2＝6，S4＝30，n∈N*，數(shù)列{bn}滿足bn·bn＋1＝an，b1＝1.(1)求an，bn；(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【解析】(1)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，由題意可得a1＋a1q＝6，a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝30，解得a1＝q＝2(負(fù)值舍去)，可得an＝a1qn－1＝2n，由bn·bn＋1＝an＝2n，b1＝1，可得b2＝2，即有bn＋1·bn＋2＝an＋1＝2n＋1，可得eq\f(bn＋2,bn)＝2，可得數(shù)列{bn}中奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別為公比為2的等比數(shù)列，即有(2)當(dāng)n為偶數(shù)時，前n項(xiàng)和為Tn＝(1＋2＋…＋)＋(2＋4＋…＋)＝3.綜上可得，Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)n＋3－3，n為奇數(shù)，,3·\r(2)n－3，n為偶數(shù).))2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，，則_____．【解析】由知，當(dāng)時，．所以，所以數(shù)列所有的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以3為公比的等比數(shù)列，所有的偶數(shù)項(xiàng)也構(gòu)成以3為公比的等比數(shù)列．又因?yàn)?，所以，，．所以．【練?xí)2】已知函數(shù)，且，則__________．【答案】【解析】當(dāng)為奇數(shù)時，.當(dāng)為偶數(shù)時，.所以【四】倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個.1.例題【例1】求和【解析】設(shè)①②①+②得，所以【例2】設(shè)，.【解析】由于，故原式.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，若，則（）A．2018B．4036C．2019D．4038【解析】∵正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且∴，即.∵函數(shù)，∴令，則∴∴，故選C.【練習(xí)2】已知函數(shù)，若，則的最小值為（）A．B．C．D．【解析】由題知令又于是有因此所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。本題正確選項(xiàng)：【五】錯位相減求和數(shù)列{數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}、{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.求和時一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比；然后再將得到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和，這種方法就是錯位相減法。1.例題【例1】求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，n∈N*.【解析】設(shè)Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，則2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，∴－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝eq\f(21－2n,1－2)－n×2n＋1＝2n＋1－2－n×2n＋1＝(1－n)×2n＋1－2，∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.【例2】在數(shù)列，中，，，.等差數(shù)列的前兩項(xiàng)依次為，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）∵，∴，，則的公差為故的通項(xiàng)公式為.（2），①，②①②得.又，從而是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故.，，，即，即.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】求和：【解析】當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)且時，①②①－②得所以【練習(xí)2】已知數(shù)列{an}滿足an≠0，a1＝eq\f(1,3)，an－an＋1＝2anan＋1，n∈N+.(1)求證：是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝eq\f(2n,an)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【解】(1)由已知可得，eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝2，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，∴eq\f(1,an)＝3＋2(n－1)＝2n＋1，∴an＝eq\f(1,2n＋1).(2)由(1)知bn＝(2n＋1)2n，∴Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)2n－1＋(2n＋1)2n……①2Tn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n－1)2n＋(2n＋1)·2n＋1……②①－②得，－Tn＝6＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)2n＋1＝6＋eq\f(8－2×2n×2,1－2)－(2n＋1)2n＋1＝－2－(2n－1)2n＋1，∴Tn＝2＋(2n－1)2n＋1.【練習(xí)3】已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A．B．C．D．【解析】當(dāng)時，不成立，當(dāng)時，，兩式相除得，解得：，即，，，，兩式相減得到：，所以，故選D.【練習(xí)4】已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若,求的前項(xiàng)和.【解析】（1）數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列，，解得，或（舍，．（2），，①，②①②，得，．【六】裂項(xiàng)求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1）[一般]（2）（3）（4）（5）（6）（6）（7）（8）1.例題【例1】已知等差數(shù)列為遞增數(shù)列，且滿足,．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．【解析】（1）由題意知，或?yàn)檫f增數(shù)列，，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）.【例2】求和：eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,32－1)＋eq\f(1,42－1)＋…＋eq\f(1,n2－1)，n≥2，n∈N*.【解析】∵eq\f(1,n2－1)＝eq\f(1,n－1n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)))，∴原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝eq\f(3,4)－eq\f(2n＋1,2nn＋1)(n≥2，n∈N*).【例3】已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且.（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使成立的最小正整數(shù)的值.【解析】（1）當(dāng)時，，又，所以，當(dāng)時，，所以，可得，所以為等差數(shù)列.又，得，又，所以.（2），所以.要使，即，解得，所以.【例4】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求它的前n項(xiàng)和。解：設(shè)則所以，，解得，所以2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，.若，，成等比數(shù)列.（I）求及；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（Ⅰ）由題意，得，即，，解得，所以，；（Ⅱ）因?yàn)?，所?【練習(xí)2】在數(shù)列{an}中，已知a1＝1＋，且，n∈N*.(1)記bn＝(an－1)2，n∈N*，證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Sn，證明.【解析】證明：(1)，因?yàn)閎n＋1－bn＝＝2，所以數(shù)列{bn}是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．(2)由(1)得Sn＝＝n(n＋2)，所以所以.【練習(xí)3】已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且（Ⅰ）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)，求的前項(xiàng)和的取值范圍.【解析】（Ⅰ）由知：當(dāng)時兩式相減得：又，故是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列（Ⅱ）由（Ⅰ）知：由得：是單調(diào)遞增的，故的取值范圍是【練習(xí)4】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，等比數(shù)列的公比，且，是，的等差中項(xiàng).（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）解：∵，∴時，.又時，滿足上式，∴，∵，，∴，，又∵，，解得，，∴，.（2）∵，∴【七】其他方法1.例題【例1】已知數(shù)列滿足對時，，其對，有，則數(shù)列的前50項(xiàng)的和為__________．【答案】【解析】數(shù)列{an}滿足對1≤n≤3時，an=n，且對?n∈N*，有an+3+an+1=an+2+an，可得a1=1，a2=2，a3=3，a4=1+3﹣2=2，a5=2+2﹣3=1，a6=2，a7=3，a8=2，a9=1，a10=2，…，則數(shù)列{an}為周期為4的數(shù)列，且以1，2，3，2反復(fù)出現(xiàn)，可得數(shù)列{n?an}的前50項(xiàng)的和為（1+5+…+49）+2（2+6+…+50）+3（3+7+…+47）+2（4+8+…+48）=×（1+49）×13+2××（2+50）×13+3×（3+47）×12+2×（4+48）×12=2525．故答案為：2525．【例2】數(shù)列的首項(xiàng)為1，其余各項(xiàng)為1或2，且在第個1和第個1之間有個2，即數(shù)列為：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________．（用數(shù)字作答）【答案】3993【解析】第個1為數(shù)列第項(xiàng)，當(dāng)時；當(dāng)時；所以前2019項(xiàng)有45個1和個2，因此【例3】若數(shù)列滿足，，數(shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列的前10項(xiàng)和___________【答案】【解析】由，當(dāng)n=1，代入得-4,依次得發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用，得b=-，，求出.故答案為：【例4】等差數(shù)列中，，.若記表示不超過的最大整數(shù)，（如）.令，則數(shù)列的前2000項(xiàng)和為__________．【答案】5445.【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3+a4=12，S7=49．∴2a1+5d=12，d=49，解得a1=1，d=2．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．bn=[lgan]=[lg（2n﹣1）]，n=1，2，3，4，5時，bn=0．6≤n≤50時，bn=1；51≤n≤500時，bn=2；501≤n≤2000時，bn=3．∴數(shù)列{bn}的前2000項(xiàng)和=45+450×2+1500×3=5445．故答案為：5445.【例5】“斐波那契”數(shù)列由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn)．?dāng)?shù)列中的一系列數(shù)字常被人們稱之為神奇數(shù)．具體數(shù)列為1，1，2，3，5，8，即從該數(shù)列的第三項(xiàng)數(shù)字開始，每個數(shù)字等于前兩個相鄰數(shù)字之和．已知數(shù)列為“斐波那契”數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若則__________．(用M表示)【答案】【解析】由“斐波那契”數(shù)列可知。所以，所以三、課后自我檢測1．已知是上的奇函數(shù)，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為()A．B．C．D．【解析】[由在上為奇函數(shù)，知，令，則，得到．由此能夠求出數(shù)列{的通項(xiàng)公式]由題已知是上的奇函數(shù)故，代入得：∴函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，，令，則，得到．∵，倒序相加可得，即，故選：B．2．設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f(x)＝2x＋ln，記an＝f(n－5)，則數(shù)列{an}的前8項(xiàng)和為________．【答案】－16【解析】數(shù)列{an}的前8項(xiàng)和為f(－4)＋f(－3)＋…＋f(3)＝f(－4)＋(f(－3)＋f(3))＋(f(－2)＋f(2))＋(f(－1)＋f(1))＋f(0)＝f(－4)＝－f(4)＝－＝－16.3．.求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1).【解析】當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)＝2·eq\f(n－1,2)＋(－2n＋1)＝－n.當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝2·eq\f(n,2)＝n.∴Sn＝(－1)nn(n∈N*).4．已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求和：．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)閍2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n?1.（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為q.因?yàn)閎2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以.從而.5．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，公差為大于0的整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)=4時，取得最小值.（1）求公差及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前20項(xiàng)和.（1）設(shè)的公差為，則由題可知：.，即.解得.因?yàn)闉檎麛?shù)，=2所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，=2726．已知數(shù)列滿足：，，.（1）求、、；（2）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（3）求和.【解析】（1），，可得；，；（2）證明：，可得數(shù)列為公比為，首項(xiàng)為等比數(shù)列，即；（3）由（2）可得，．7．已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.（1）若，，，數(shù)列的前項(xiàng)積記為，且，求的值；（2）若，且恒成立，求的通項(xiàng)公式.【解析】（1）設(shè)的前項(xiàng)和為，則，∴，令；（2）當(dāng)時，，∴或（舍）.當(dāng)時，，解得或.若，當(dāng)時，，解得或（舍去）.此時不成等差數(shù)列，故舍去.當(dāng)時，依題意可知：數(shù)列是等差數(shù)列，故，∴；8．已知數(shù)列有，是它的前項(xiàng)和，且．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列.（2）求的前項(xiàng)和.【解析】（1）當(dāng)時，所以，，兩式對應(yīng)相減得，所以又n=2時，所以，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列.（2）當(dāng)為偶數(shù)時，當(dāng)為奇數(shù)時，綜上：9．已知數(shù)列滿足,.（1）證明:數(shù)列為等比數(shù)列;（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1），，則，又，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知，，故其前項(xiàng)和為:.數(shù)列的前項(xiàng)和為:.10．在正項(xiàng)等比數(shù)列{}中，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{}滿足，求數(shù)列{}的前項(xiàng)和．【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為(,（1）∵∴,所以∴q＝2，(舍去)，所以；（2）∵，∴，①，②①﹣②得＝，∴.11．已知正項(xiàng)數(shù)列其前n項(xiàng)和滿足，且是和的等比中項(xiàng).（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并計(jì)算數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）符號[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，記，求.【分析】（1）由得，從而得到，由此利用是和的等比中項(xiàng)，能求出數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）由，令，得到，由此利用錯位相減法能求出.【解析】（1）∵正項(xiàng)數(shù)列，前n項(xiàng)和Sn滿足，①，②由①-②，得，整理，得，∵是正數(shù)數(shù)列，，∴是公差為4的等差數(shù)列，由得或，當(dāng)時，，不滿足是和的等比中項(xiàng)，當(dāng)時，，滿足是和的等比中項(xiàng)，.（2），由符號[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，知當(dāng)時，，令，，，③，④③-④，得，，.12．已知公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．【解析】（1）公差d不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，可得，且，，成等比數(shù)列，可得，即，解得，，則；，，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為．13．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，且(t＋1)Sn＝aeq\o\al(2,n)＋3an＋2(t∈R)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足b1＝1，bn＋1－bn＝an＋1，求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2bn＋7n)))的前n項(xiàng)和Tn.【解析】(1)因?yàn)閍1＝1，且(t＋1)Sn＝aeq\o\al(2,n)＋3an＋2，所以(t＋1)S1＝aeq\o\al(2,1)＋3a1＋2，所以t＝5.所以6Sn＝aeq\o\al(2,n)＋3an＋2.(ⅰ)當(dāng)n≥2時，有6Sn－1＝aeq\o\al(2,n－1)＋3an－1＋2，(ⅱ)①－②得6an＝aeq\o\al(2,n)＋3an－aeq\o\al(2,n－1)－3an－1，所