課時(shí)作業(yè)46 定點(diǎn)、定值、定直線（教師版）

課時(shí)作業(yè)46三定問題(定點(diǎn)、定值、定直線)1．(2024·江蘇常州市·高三一模)已知O為坐標(biāo)系原點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為點(diǎn)F，右準(zhǔn)線為直線n.(1)過點(diǎn)的直線交橢圓C于兩個(gè)不同點(diǎn)，且以線段為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O，求該直線的方程；(2)已知直線l上有且只有一個(gè)點(diǎn)到F的距離與到直線n的距離之比為.直線l與直線n交于點(diǎn)N，過F作x軸的垂線，交直線l于點(diǎn)M.求證：為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】(1)設(shè)過點(diǎn)的直線為交于橢圓聯(lián)立消去y得又因?yàn)橐跃€段為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，則則所求直線方程(2)已知橢圓的離心率為，右準(zhǔn)線直線n的方程為，因?yàn)橹本€上只有一點(diǎn)到F的距離與到直線n的距離之比為，所以直線與橢圓相切，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去y得到：①聯(lián)立點(diǎn)N坐標(biāo)為得到,由①2(2024·山西臨汾市·高三一模())已知橢圓與雙曲線有兩個(gè)相同的頂點(diǎn)，且的焦點(diǎn)到其漸近線的距離恰好為的短半軸的長度．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作不垂直于坐標(biāo)軸的直線與交于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得平分？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明由．【答案】(1)；(2)存在點(diǎn)，使得平分．【解析】(1)由題意可得，雙曲線的焦點(diǎn)為，漸近線方程為：，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為，所以，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)存在點(diǎn)使得平分，由題知，直線的斜率存在且不為0，又直線過點(diǎn)，則設(shè)直線的方程為，，，，聯(lián)立方程，消去整可得：，所以，，因?yàn)?，，，所以，即，因?yàn)?，所以，即，則，化簡可得，因?yàn)?，所以，綜上，存在點(diǎn)，使得平分．3．(2024·漠河市高級中學(xué)高三月考())已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，其離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過橢圓的右焦點(diǎn)作與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，當(dāng)直線繞著點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試探究：是否存在定點(diǎn)，使得三點(diǎn)共線？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明由.【答案】(1)；(2)存在，定點(diǎn)為.【解析】(1)由題意，拋物線，可得焦點(diǎn)為，所以，又由雙曲線的離心率為，可得橢圓的離心率，可得，解得，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由直線不與坐標(biāo)軸垂直，可設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點(diǎn)?，則點(diǎn)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，整得，由恒成立，且，，由橢圓的對稱性知，若存在定點(diǎn)，則點(diǎn)必在軸上，故假設(shè)存在定點(diǎn)，使得??三點(diǎn)共線，則，即，可得.故存在定點(diǎn)，使得??三點(diǎn)共線.4．(2024·山東煙臺(tái)市·高三一模)已知分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，是面積為的直角三角形.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn)，問：是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明由.【答案】(1)；(2)是定值，定值為.【解析】(1)由為直角三角形，故，又，可得解得所以，所以橢圓的方程為；(2)當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，其方程為將代入，得，不妨設(shè)，，又所以同當(dāng)時(shí)，也有.當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，因?yàn)榕c圓相切，所以即，將代入，得，所以又，又，將代入上式，得，綜上，.6．(2024·四川遂寧市·高三二模())如圖，已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且時(shí)，.(1)求的值；(2)設(shè)線段，的延長線分別交橢圓于，兩點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明由.【答案】(1)；(2)過定點(diǎn)，定點(diǎn)為.【解析】(1)設(shè)，則，由題意得焦點(diǎn)為所以，.當(dāng)時(shí)，有.聯(lián)立得，，從而.將代入，得，即，所以或(舍)，故.(2)由(1)知，，橢圓：.設(shè)：，代入橢圓：，消去并整得，所以，而，所以，由韋達(dá)定得，所以.同：，即，，所以，所以，于是.所以直線：.令，得，將代入得，所以經(jīng)過定點(diǎn).7．(2024·廣東汕頭市·高三一模)在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，已知平行四邊形兩條對角線的長度之和等于．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2過作互相垂直的兩條直線、，與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于、，與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)、，、的中點(diǎn)分別為、；①證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．②求四邊形面積的最小值．【答案】(1)；(2)①證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為；②.【解析】(1)設(shè)點(diǎn)，依題意，，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓(左、右頂點(diǎn)除外)，則，，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是；(2)①若與軸重合，則直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡沒有交點(diǎn)，不合乎題意；若與軸重合，則直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡沒有交點(diǎn)，不合乎題意；設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，直線、均過橢圓的焦點(diǎn)(橢圓內(nèi)一點(diǎn))，、與橢圓必有交點(diǎn)．設(shè)、，由，由韋達(dá)定可得，則，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，同可得點(diǎn)，直線的斜率為，直線的方程是，即，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過定點(diǎn)．綜上，直線過定點(diǎn)；②由①可得，，，同可得，所以，四邊形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)取等號．因此，四邊形的面積的最小值為.8．(2024·河南平頂山市·高三二模())已知橢圓的離心率，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，在第一象限，且．(1)求橢圓的方程；(2)在軸上是否存在點(diǎn)，滿足對于過點(diǎn)的任一直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，，都有為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明由．【答案】(1)；(2)存在點(diǎn)，滿足為定值．.【解析】(1)由，及，得，設(shè)橢圓方程為，聯(lián)立方程組得．則，所以．所以．所以橢圓的方程為．(2)當(dāng)直線不與軸重合時(shí)，設(shè)，聯(lián)立方程組得．設(shè)，，，則有，．于是，若為定值，則有，得，．此時(shí)：當(dāng)直線與軸重合時(shí)，，，也有．綜上，存在點(diǎn)，滿足為定值．9．(2024·北京平谷區(qū)·高三一模)已知橢圓的離心率為，并且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線交軸于點(diǎn)，求證：為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析．【解析】(1)由已知解得所以橢圓：．(2)證明：由已知斜率存在以下給出證明：由題意，設(shè)直線的方程為，，，則，由得，所以，，，，所以，即，直線的方程為，令得所以，令由得所以，所以=.10．(2024·河南新鄉(xiāng)市·高三二模())已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，為上不同于，的動(dòng)點(diǎn)，直線，的斜率，滿足，的最小值為-4.(1)求的方程；(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的兩條直線，滿足，，且，分別交于，和，.試判斷四邊形的面積是否為定值?若是，求出該定值；若不是，說明由.【答案】(1)；(2)是定值，.【解析】(1)設(shè)，則，故，∴，又，由題意知：，解得，∴橢圓的方程為.(2)根據(jù)橢圓的