藝考生專題講義15 三角函數(shù)定義及同角三角函數(shù)

考點(diǎn)15三角函數(shù)定義及同角三角函數(shù)知識(shí)梳理一．任意角(1)角的概念的推廣①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角．②按終邊位置不同分為象限角和軸線角．(2)終邊相同的角：終邊與角α相同的角可寫成α＋k·360°(k∈Z)．(3)弧度制①1弧度的角：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，|α|＝eq\f(l,r)，l是以角α作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長(zhǎng)，r為半徑．③弧度與角度的換算：360°＝2πrad；180°＝πrad；1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\f(180,π)度．二．任意角的三角函數(shù)1.定義：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)α的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，y)，它與原點(diǎn)的距離是r(r＝eq\r(x2＋y2)>0)．則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．2.三角函數(shù)在每個(gè)象限的正負(fù)如下表：三角函數(shù)第一象限符號(hào)第二象限符號(hào)第三象限符號(hào)第四象限符號(hào)sinα＋＋－－cosα＋－－＋tanα＋－＋－三．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).四．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形(1)sin2α＋cos2α＝1的變形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；(2)tanα＝eq\f(sinα,cosα)的變形公式：sinα＝cos_αtan_α；cosα＝eq\f(sinα,tanα).精講精練題型一角度制與弧度制的轉(zhuǎn)換【例1】填表(弧度數(shù)用含的代數(shù)式表示)，并在平面直角坐標(biāo)系中作出角的終邊.度弧度【答案】填表見(jiàn)解析，作圖見(jiàn)解析【解析】如表，度弧度0如圖：對(duì)應(yīng)的角的終邊分別為圖中的射線OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，OI.【例2】把下列各弧度化為角度.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】(1)；(2)；(3)；；(5)；(6).1．把下列角度化成弧度：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)；(2)；(3)；(4)．2．(2020·全國(guó)課時(shí)練習(xí))將下列角度與弧度進(jìn)行互化.(1)20°；(2)－15°；(3)(4)－.【答案】(1)20°＝；(2)－15°＝－；(3)＝105°；(4)－＝－396°.【解析】(1)20°＝＝.(2)－15°＝－＝－.(3)＝×180°＝105°.(4)－＝－×180°＝－396°.題型二三角函數(shù)定義【例3】(1)已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則等于()A． B． C． D．(2)已知角的終邊上一點(diǎn)，則()A． B． C． D．【答案】(1)A(2)D【解析】(1)因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，故選：A(2)由三角函數(shù)的定義可得故選：D【舉一反三】1．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，那么的值是()A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知，所以．故選：C．2．角的終邊過(guò)點(diǎn)，若，則的值為()A．1 B． C． D．【答案】B【解析】由條件可知，由三角函數(shù)的定義可知，，解得：.故選：B3．若點(diǎn)在角的終邊上，則的值是()A．-1 B．1 C． D．【答案】B【解析】據(jù)題意，得.故選：B.題型三三角函數(shù)正負(fù)判斷【例4】(1)已知，那么是()A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第三、四象限角 D．第一、四象限角(2)若是第二象限角，則點(diǎn)在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】(1)A(2)D【解析】(1)由可知同號(hào)，即，從而為第一、二象限角，故選：A(2)因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，所以點(diǎn)在第四象限，故選D【舉一反三】1．已知且，則角的終邊所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】依據(jù)題設(shè)及三角函數(shù)的定義可知角終邊上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于零，縱坐標(biāo)大于零，所以終邊在第二象限，故選B.2．若，且，則角是()A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【解析】，，又，則.因此，角為第三象限角.故選：C.3．已知，且，則角是()A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【解析】由，可知，結(jié)合，得，所以角是第四象限角，故選:D4．(多選)對(duì)于①，②，③，④，⑤，⑥，則為第二象限角的充要條件為()A．①③ B．①④ C．④⑥ D．②⑤【答案】BC【解析】若為第二象限角，則，，.所以，為第二象限角或或.故選：BC.題型四同角三角公式【例5】(1)已知α是第四象限角，cosα＝，則sinα等于()A． B．－C． D．－(2)已知，且，則()A． B． C． D．【答案】(1)B(2)A【解析】由條件知α是第四象限角，所以，即sinα＝＝＝.故選：B．(2)且，，，由得：.故選：.【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】知弦求弦、知弦求切---平方關(guān)系，注意角象限對(duì)應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)知切求弦---聯(lián)立方程組即聯(lián)立平方關(guān)系與商數(shù)關(guān)系【舉一反三】1．已知α為第四象限的角，且，則的值為()A． B． C． D．【答案】D【解析】為第四象限的角，且，..故選：.2．已知，且，那么()A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，，又，解得：故選：B3.已知tanα＝eq\f(4,3)，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．【答案】見(jiàn)解析【解析】由tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3)，得sinα＝eq\f(4,3)cosα①又sin2α＋cos2α＝1②由①②得eq\f(16,9)cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝eq\f(9,25).又α是第三象限角，∴cosα＝－eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,3)cosα＝－eq\f(4,5).題型五弦的齊次【例6】(1)已知tanα＝2，則eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)的值為．(2)(2020·固原市五原中學(xué)高三)已知，則【答案】(1)3(2)(1)原式＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(2＋1,2－1)＝3.(2)因?yàn)椋怨蔬x：D.【方法總結(jié)】【舉一反三】1．已知，則的值為()A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得.故選：A.2．已知，則等于()A． B． C． D．【答案】D【解析】.故選：D3．，則()A． B． C． D．【答案】C【解析】，．故選：4．(2020·江蘇南京田家炳高級(jí)中學(xué))已知，求：(1)；(2).【答案】(1)4(2)【解析】(1)(2)題型六【例7】(1)已知，則()．A． B． C． D．(2)已知，其中，則()A． B．或 C． D．【答案】(1)A(2)D【解析】.所