藝考生專題講義48 數(shù)學(xué)文化

考點48數(shù)學(xué)文化一．三角形中的幾何計算（共2小題）1．（2021?乙卷）魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測量海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”，則海島的高A．表高 B．表高 C．表距 D．表距【解答】解：，，故，即，解得，，故表高．另解：如圖所示，連接并延長交于點，，，表高．故選：．2．（2021?浙江）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明．弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）．若直角三角形直角邊的長分別為3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則25．【分析】利用勾股定理求出直角三角形斜邊長，即大正方形的邊長，由，求出，再求出．【解答】解：直角三角形直角邊的長分別為3，4，直角三角形斜邊的長為，即大正方形的邊長為5，，則小正方形的面積，．故答案為：25．二．棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積（共1小題）3．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為A． B． C． D．【分析】先根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)列出等量關(guān)系，進而求解結(jié)論．【解答】解：設(shè)正四棱錐的高為，底面邊長為，側(cè)面三角形底邊上的高為，則依題意有：，因此有（負(fù)值舍去）；故選：．三．直線與平面所成的角（共1小題）4．（2020?山東）日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間．把地球看成一個球（球心記為，地球上一點的緯度是指與地球赤道所在平面所成角，點處的水平面是指過點且與垂直的平面．在點處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點處的緯度為北緯，則晷針與點處的水平面所成角為A． B． C． D．【分析】由緯度的定義和線面角的定義，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，可得晷針與點處的水平面所成角．【解答】解：可設(shè)所在的緯線圈的圓心為，垂直于緯線所在的圓面，由圖可得為晷針與點處的水平面所成角，又為且，在中，，，另解：畫出截面圖，如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線．是點處的水平面的截線，由題意可得，是晷針?biāo)谥本€．是晷面的截線，由題意晷面和赤道面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得，根據(jù)線面垂直的定義可得，由于，，所以，由于，所以，也即晷針與處的水平面所成角為，故選：．四．古典概型及其概率計算公式（共1小題）5．（2019?新課標(biāo)Ⅰ）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是A． B． C． D．【分析】基本事件總數(shù)，該重卦恰有3個陽爻包含的基本個數(shù)，由此能求出該重卦恰有3個陽爻的概率．【解答】解：在所有重卦中隨機取一重卦，基本事件總數(shù)，該重卦恰有3個陽爻包含的基本個數(shù)，則該重卦恰有3個陽爻的概率．故選：．【點評】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．五．進行簡單的合情推理（共1小題）6．（2019?新課標(biāo)Ⅰ）古希臘時期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為，頭頂至脖子下端的長度為，則其身高可能是A． B． C． D．【分析】充分運用黃金分割比例，結(jié)合圖形，計算可估計身高．【解答】解：頭頂至脖子下端的長度為，說明頭頂?shù)窖屎淼拈L度小于，由頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比是，可得咽喉至肚臍的長度小于，由