藝考生專(zhuān)題講義43 橢圓

考點(diǎn)43橢圓知識(shí)梳理一．橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)2a(2a＞|F1F2|)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn).二．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．(2)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．焦點(diǎn)在x軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)的分母較大；焦點(diǎn)在y軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項(xiàng)的分母較大.橢圓的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a；短軸B1B2的長(zhǎng)為2b焦距F1F2＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a，b，c的關(guān)系a2＝b2＋c2直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系判斷直線(xiàn)l與圓錐曲線(xiàn)C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線(xiàn)l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)代入圓錐曲線(xiàn)C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或y)的一元方程．例：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ，則：Δ>0?直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)C相交；Δ＝0?直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)C相切；Δ<0?直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)C相離．五．弦長(zhǎng)的求解方法(1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解．(2)當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線(xiàn)l與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長(zhǎng)公式的常見(jiàn)形式有如下幾種：①|(zhì)AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|=eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])；②|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2]).精講精練題型一橢圓的定義及應(yīng)用【例1-1】(2024·全國(guó)課時(shí)練習(xí))下列命題是真命題的是________.(將所有真命題的序號(hào)都填上)①已知定點(diǎn)，則滿(mǎn)足|PF1|＋|PF2|＝的點(diǎn)P的軌跡為橢圓；②已知定點(diǎn)F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，則滿(mǎn)足|PF1|＋|PF2|＝4的點(diǎn)P的軌跡為線(xiàn)段；③到定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡為橢圓.【答案】②【解析】①中，因?yàn)?，可得，因?yàn)椋渣c(diǎn)的軌跡不存在；②中，因?yàn)?，所以點(diǎn)P的軌跡是線(xiàn)段；③中，由定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，即.故答案為：②【例1-2】．(2024·上海市奉賢中學(xué))若過(guò)橢圓上焦點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)A，B，為橢圓下焦點(diǎn)，則三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)__________.【答案】16【解析】在橢圓中，由橢圓的定義得所以即故答案為：16【例1-3】(2024·安徽六安市·六安一中高三月考(理))已如是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，，則的面積等于()A．24 B．26 C． D．【答案】A【解析】由橢圓方程可得焦點(diǎn)在軸上，，，，由橢圓定義可得，又，則可解得，，滿(mǎn)足，則，.故選：A.【舉一反三】1．(2024·廣西桂林市)設(shè)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則到該橢圓的兩焦點(diǎn)距離之和為_(kāi)____.【答案】8【解析】由，得，由橢圓的定義可得到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為.故答案為：2．(2024·浙江高三其他模擬)已知橢圓上一點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的距離為1，則的中點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為()A．3 B． C．1 D．【答案】B【解析】易知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，則，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，則由橢圓的定義得．在中，易知為的中位線(xiàn)，所以，故選：B．3．(2024·黑龍江哈爾濱市·哈九中)已知是橢圓上的任意一點(diǎn)，若，則___________.【答案】4【解析】由橢圓的方程知：，由橢圓的定義知：，所以故答案為：4．(2024·陜西安康市)已知點(diǎn)，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，B是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)__________.【答案】2【解析】由橢圓，可得，設(shè)右焦點(diǎn)為，因?yàn)镻為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，B是圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，，故答案為：2.5．(2024·全國(guó)課時(shí)練習(xí))已知是橢圓上的一點(diǎn)，、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則的面積是______.【答案】【解析】在橢圓中，，，，由橢圓的定義可得，，在中，，由余弦定理可得，解得，因此，.故答案為：.題型二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2-1】(2024·全國(guó)單元測(cè)試)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0，－3)和(0，3)，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，4)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A． B．C． D．【答案】B【解析】∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，∴可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．∵∴a＝4，又c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，故所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：B．【例2-2】(2024·黑龍江大慶市)已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓列不等式，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D【舉一反三】1．(2024·全國(guó)課時(shí)練習(xí))經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，0)，Q(0，2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意可知且橢圓焦點(diǎn)在軸上，故橢圓方程為.故選：A2．(2024·黑龍江哈爾濱市·哈九中)若方程x2＋ky2＝2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．(0，＋∞) B．(0，2) C．(1，＋∞) D．(0，1)【答案】D【解析】因?yàn)榉匠?，即表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：D．3．(2024·湖南岳陽(yáng)市·岳陽(yáng)一中)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，那么()A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)闄E圓上的一個(gè)焦點(diǎn)為，在軸上，所以，所以則.故選：B4．(2024·浙江麗水市)“”是“曲線(xiàn)表示橢圓”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)榍€(xiàn)為橢圓，所以，解得且，所以“”是“且”的必要而不充分條件.故選：B題型三直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系【例3】(2024·全國(guó)課時(shí)練習(xí))已知橢圓與直線(xiàn)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【解析】由，得．因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓有公共點(diǎn)，所以，即，解得．故答案為：．【舉一反三】1.若直線(xiàn)y＝kx＋1與橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是________．【答案】[1,5)∪(5，＋∞)【解析】方法一由于直線(xiàn)y＝kx＋1恒過(guò)點(diǎn)(0,1)，所以點(diǎn)(0,1)必在橢圓內(nèi)或橢圓上，則0<eq\f(1,m)≤1且m≠5，故m≥1且m≠5.方法二由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,mx2＋5y2－5m＝0，))消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.由題意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0對(duì)一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0對(duì)一切k∈R恒成立，由于m>0且m≠5，∴m≥1且m≠5.2．直線(xiàn)y＝kx＋k＋1與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置關(guān)系是________．【答案】相交【解析】由于直線(xiàn)y＝kx＋k＋1＝k(x＋1)＋1過(guò)定點(diǎn)(－1，1)，而(－1,1)在橢圓內(nèi)，故直線(xiàn)與橢圓必相交．3．(2024·安徽省泗縣第一中學(xué))已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，.(1)求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如果直線(xiàn)與這個(gè)橢圓交于兩不同的點(diǎn)，求m的取值范圍.【解析】(1)由已知得，，解得，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)由，解方程組并整理得，有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．解不等式得．題型四弦長(zhǎng)【例4】(2024·上海市進(jìn)才中學(xué)高二月考)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，斜率為的直線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】【解析】設(shè)直線(xiàn)與橢圓相交的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為橢圓的左焦點(diǎn)為所以直線(xiàn)的方程為則所以所以該直線(xiàn)別橢圓所截的弦長(zhǎng)為故答案為：【舉一反三】1．(2024·全國(guó)課時(shí)練習(xí))求過(guò)點(diǎn)(3，0)且斜率為的直線(xiàn)被橢圓所截得的線(xiàn)段的長(zhǎng)度．【答案】【解析】過(guò)點(diǎn)(3，0)且斜率為的直線(xiàn)方程為，設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線(xiàn)方程代入橢圓方程得，即x2－3x－8＝0.∴x1＋x2＝3，x1x2＝－8.∴.2．(2024·安徽省泗縣第一中學(xué))已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，.(1)求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如果直線(xiàn)與這個(gè)橢圓交于?兩不同的點(diǎn)，若，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由已知得，則又因?yàn)?，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)由消除得因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的交點(diǎn)，所以得的取值范圍為由韋達(dá)定理得：，所以解得題型五離心率【例5】(2024·全國(guó)課時(shí)練習(xí))若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，則該橢圓的離心率為()A． B． C． D．【答案】A【解析】不妨設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，B為橢圓的上頂點(diǎn)．依題意可知，△BF1F2是正三角形．∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴，即橢圓的離心率.故選：A【舉一反三】1．(2024·全國(guó)高三月考(文))已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若△為等腰三角形，則該橢圓的離心率為()A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】由△為等腰三角形知：當(dāng)，而，則，整理得，解得或(舍)，而，故，此時(shí)；當(dāng)，而，則，整理得，解得或(舍)，而，故，此時(shí)；故選：D.2．(202