藝考生專題講義36 排列組合

考點(diǎn)36排列組合知識梳理一．計(jì)數(shù)原理(一)分類加法計(jì)數(shù)原理1.概念：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．2.特征(1)每類方法都能獨(dú)立完成這件事，它是獨(dú)立的、一次的，且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事(2)各類方法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的(二)分步乘法計(jì)數(shù)原理1.概念：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．2.特征(1)每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，只有各個步驟都完成了才能完成這件事(2)各步之間是相互依存的，并且既不能重復(fù)也不能遺漏二．排列、組合(一)排列組合定義排列的定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列組合的定義合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合(二)排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)定義從n個不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個元素的所有不同排列的個數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個元素的所有不同組合的個數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝性質(zhì)Aeq\o\al(n,n)＝n！，0?。?Ceq\o\al(0,n)＝1，Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)精講精練題型一排列組合數(shù)的計(jì)數(shù)【例1】(1)(2024·全國高三專題練習(xí))若，則的值為()A．60 B．70 C．120 D．140(2)(2024·全國高三專題練習(xí))已知，則()A．11 B．12 C．13 D．14【答案】(1)D(2)B【解析】(1)，解得或(舍去)，.故選：D.(2)∵，∴，整理，得，；解得，或(不合題意，舍去)；∴的值為12.故選：B.【舉一反三】1．(2024·全國高三專題練習(xí))已知，則()A．5 B．7 C．10 D．14【答案】B【解析】，可得，即，解得.故選：.2．(2024·吉林油田第十一中學(xué)高三月考)若，則()A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【解析】因?yàn)?，所以所以即，即解得故選：D3．(2024·全國高三專題練習(xí))已知,則()A． B． C．或3 D．【答案】C【解析】當(dāng)時成立；當(dāng)時也成立；故選C.題型二排隊(duì)問題【例2】(2024·全國高三專題練習(xí))3名女生和5名男生排成一排．(1)若女生全排在一起，有多少種排法？(2)若女生都不相鄰，有多少種排法？(3)其中甲必須排在乙左邊(可不鄰)，有多少種排法？(4)其中甲不站最左邊，乙不站最右邊，有多少種排法？【答案】(1)4320；(2)14400；(3)20160；(4)30960.【解析】(1)(捆綁法)由于女生排在一起，可把她們看成一個整體，這樣同5名男生合在一起有6個元素，排成一排有種排法，而其中每一種排法中，3名女生之間又有種排法，因此，共有種不同排法；(2)(插空法)先排5名男生，有種排法，這5名男生之間和兩端有6個位置，從中選取3個位置排女生，有種排法，因此共有種不同排法；(3)8名學(xué)生的所有排列共種，其中甲在乙左邊與乙在甲左邊的各占，因此符合要求的排法種數(shù)為；(4)甲、乙為特殊元素，左、右兩邊為特殊位置，法一(特殊元素法)：甲在最右邊時，其他的可全排，有種不同排法，甲不在最右邊時，可從余下6個位置中任選一個，有種，而乙可排在除去最右邊位置后剩余的6個中的任一個上，有種，其余人全排列，共有種不同排法，由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有種不同排法；法二(特殊位置法)：先排最左邊，除去甲外，有種排法，余下7個位置全排，有種排法，但應(yīng)剔除乙在最右邊時的排法種，因此共有種排法；法三(間接法)：8名學(xué)生全排列，共種，其中，不符合條件的有甲在最左邊時，有種排法，乙在最右邊時，有種排法，其中都包含了甲在最左邊，同時乙在最右邊的情形，有種排法，因此共有種排法．【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】排列問題常用方法直接法：把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法：優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置3.捆綁法：相鄰問題采取“捆綁法”即把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列4.插空法：不相鄰問題采取“插空法”即對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中5.定序除法：對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列6.間接法：正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法【舉一反三】1．(2024·河北張家口市·高三期末)某班優(yōu)秀學(xué)習(xí)小組有甲?乙?丙?丁?戊共5人，他們排成一排照相，則甲?乙二人相鄰的排法種數(shù)為()A．24 B．36 C．48 D．60【答案】C【解析】先安排甲?乙相鄰，有種排法，再把甲、乙看作一個元素，與其余三個人全排列，故有排法種數(shù)為.故選：C2．(2024·上海高三專題練習(xí))6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A．144 B．120 C．72 D．24【答案】D【解析】先排三個空位，形成4個間隔，然后插入3個同學(xué)，故有種3．(2024·全國高三專題練習(xí))甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的順序依次抽獎，要求甲排在乙前面，丙與丁不相鄰且均不排在最后，則抽獎的順序有()A．72種 B．144種 C．360種 D．720種【答案】B【解析】第一步先排甲、乙、戊、己，甲排在乙前面，則有種，第二步再將丙與丁插空到第一步排好的序列中，但注意到丙與丁均不排在最后，故有4個空可選，所以有中插空方法，所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有種.故選：B.4．(2024·江蘇南通市·高三月考)為弘揚(yáng)我國古代的“六藝文化”，某學(xué)校欲利用每周的社團(tuán)活動課可設(shè)“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”6門課程，每周開設(shè)一門，連續(xù)開設(shè)六周．若課程“樂”不排在第一周，課程“書”排在第三周或第四周，則所有可能的排法種數(shù)為__________．【答案】192【解析】(1)當(dāng)“樂”課程排在第2，5，6周時，；(2)當(dāng)“樂”課程排在第3或4周時，，所有可能的排法種數(shù)為192.5.有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．(1)選5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；(4)全體排成一排，女生必須站在一起；(5)全體排成一排，男生互不相鄰．【答案】(1)2520種(2)5040種(3)3600種(4)576種(5)1440種【解析】(1)從7人中選5人排列，有Aeq\o\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2520(種)．(2)分兩步完成，先選3人站前排，有Aeq\o\al(3,7)種方法，余下4人站后排，有Aeq\o\al(4,4)種方法，共有Aeq\o\al(3,7)Aeq\o\al(4,4)＝5040(種)．(3)法一：(特殊元素優(yōu)先法)先排甲，有5種方法，其余6人有Aeq\o\al(6,6)種排列方法，共有5×Aeq\o\al(6,6)＝3600(種)．法二：(特殊位置優(yōu)先法)首尾位置可安排另6人中的兩人，有Aeq\o\al(2,6)種排法，其他有Aeq\o\al(5,5)種排法，共有Aeq\o\al(2,6)Aeq\o\al(5,5)＝3600(種)．(4)(捆綁法)將女生看作一個整體與3名男生一起全排列，有Aeq\o\al(4,4)種方法，再將女生全排列，有Aeq\o\al(4,4)種方法，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(4,4)＝576(種)．(5)(插空法)先排女生，有Aeq\o\al(4,4)種方法，再在女生之間及首尾5個空位中任選3個空位安排男生，有Aeq\o\al(3,5)種方法，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440(種)．題型三排數(shù)問題【例3】(2024·全國高三專題練習(xí))現(xiàn)有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十個數(shù)字.(1)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(2)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，315是從小到大排列的第幾個數(shù)？(3)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？(4)選出一個偶數(shù)和三個奇數(shù)，組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)共有多少個？(5)如果一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字從左到右按由大到小的順序排列，則稱此正整數(shù)為“漸減數(shù)”，那么由這十個數(shù)字組成的所有“漸減數(shù)”共有多少個？【答案】(1)648；(2)156；(3)2296；(4)1140；(5)1013【解析】(1)由題意，無重復(fù)的三位數(shù)共有個；(2)當(dāng)百位為1時，共有個數(shù)；當(dāng)百位為2時，共有個數(shù)；當(dāng)百位為3時，共有個數(shù)，所以315是第個數(shù)；(3)無重復(fù)的四位偶數(shù)，所以個位必須為0,2,4,6,8，千位上不能為0，當(dāng)個位上為0時，共有個數(shù)；當(dāng)個位上是2,4,6,8中的一個時，共有個數(shù)，所以無重復(fù)的四位偶數(shù)共有個數(shù)；(4)當(dāng)選出的偶數(shù)為0時，共有個數(shù)，當(dāng)選出的偶數(shù)不為0時，共有個數(shù)，所以這樣的四位數(shù)共有個數(shù)；(5)當(dāng)挑出兩個數(shù)時，漸減數(shù)共有個，當(dāng)挑出三個數(shù)時，漸減數(shù)共有個，，當(dāng)挑出十個數(shù)時，漸減數(shù)共有個，所以這樣的數(shù)共有個.【舉一反三】1．(2024·湖南株洲市·高三一模)由0，1，2，5四個數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，能被5整除的個數(shù)是()A．24 B．12 C．10 D．6【答案】C【解析】當(dāng)個位數(shù)是0時，有個，當(dāng)個位數(shù)是5時，有個，所以能被5整除的個數(shù)是10，故選：C2．(2024·全國高三專題練習(xí))用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有()A．144個 B．120個 C．96個 D．72個【答案】B【解析】根據(jù)題意，符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是4、5其中1個，末位數(shù)字為0、2、4中其中1個；分兩種情況討論：①首位數(shù)字為5時，末位數(shù)字有3種情況，在剩余的4個數(shù)中任取3個，放在剩余的3個位置上，有種情況，此時有3×24=72個；②首位數(shù)字為4時，末位數(shù)字有2種情況，在剩余的4個數(shù)中任取3個，放在剩余的3個位置上，有種情況，此時有2×24=48個.共有72+48=120個．故選：B3．(2024·龍港市第二高級中學(xué)高三開學(xué)考試)用1，2，3，4，5組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，三個奇數(shù)中僅有兩個相鄰的五位數(shù)有________.【答案】72【解析】用1，2，3，4，5組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，共有個；三個奇數(shù)中僅有兩個相鄰；其對立面是三個奇數(shù)都相鄰或者都不相鄰；當(dāng)三個奇數(shù)都相鄰時，把這三個奇數(shù)看成一個整體與2和4全排列共有個；三個奇數(shù)都不相鄰時，把這三個奇數(shù)分別插入2和4形成的三個空內(nèi)共有個；故符合條件的有；故答案為：．4．(2024·浙江金華市·高三其他模擬)用1，2，3，4，5，0組成數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)，滿足1和2不相鄰，5和0不相鄰，則這樣的六位數(shù)的個數(shù)為_________.【答案】【解析】1，2，3，4，5，0組成數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)的個數(shù)共有個其中1，2相鄰的六位數(shù)的個數(shù)共有個5，0相鄰的六位數(shù)的個數(shù)共有個1和2相鄰且5和0相鄰的六位數(shù)的個數(shù)共有個即滿足1和2不相鄰，5和0不相鄰，則這樣的六位數(shù)的個數(shù)為故答案為：題型四染色問題【例4】(2024·安徽省六安中學(xué))如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽(約3世紀(jì)初)在為《周髀算經(jīng)》作注時驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色、相鄰區(qū)域顏色不同，則區(qū)域不同涂色的方法種數(shù)為()A．360 B．400 C．420 D．480【答案】C【解析】根據(jù)題意，5個區(qū)域依次為A、B、C、D、E,如圖，分4步進(jìn)行分析：①對于區(qū)域A，有5種顏色可選，②對于區(qū)域B，與A區(qū)域相鄰，有4種顏色可選;③對于區(qū)域C，與A、B區(qū)域相鄰,有3種顏色可選;④,對于區(qū)域D、E,若D與B顏色相同，E區(qū)域有3種顏色可選，若D與B顏色不相同，D區(qū)域有2種顏色可選，E區(qū)域有2種顏色可選，則區(qū)域D、E有種選擇,則不同的涂色方案有種;故選：C【舉一反三】1．(2024·江蘇高三專題練習(xí))有六種不同顏色,給如圖的六個區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不同色,不同的涂色方法共有________.【答案】4320【解析】第一個區(qū)域有6種不同的涂色方法，第二個區(qū)域有5種不同的涂色方法，第三個區(qū)域有4種不同的涂色方法，第四個區(qū)域有3種不同的涂色方法，第五個區(qū)域有4種不同的涂色方法，第六個區(qū)域有3種不同的涂色方法，根據(jù)乘法原理.2．(2024·江蘇)用紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色給圖中五個區(qū)域進(jìn)行涂色，要求相鄰區(qū)域所涂顏色不同，共有______種不同的涂色方法.(用數(shù)字回答)【答案】240【解析】從開始涂色，有4種方法，有3種方法，①若與涂色相同，則共有種涂色方法；②若與涂色不相同，則有2種涂色方法，當(dāng)涂色相同時，有3種涂色方法；當(dāng)涂色不相同時，有2種涂法，有2種涂色方法.共有種涂色方法.故答案為：240.3．(2024·四川省眉山車城中學(xué))西部五省，有五種顏色供選擇涂色，要求每省涂一色，相鄰省不同色，有__________種涂色方法．【答案】420【解析】對于新疆有5種涂色的方法，對于青海有4種涂色方法，對于西藏有3種涂色方法，對于四川：若與新疆顏色相同，則有1種涂色方法，此時甘肅有3種涂色方法；若四川與新疆顏色不相同，則四川只有2種涂色方法，此時甘肅有2種涂色方法；根據(jù)分步、分類計(jì)數(shù)原理，則共有5×4×3×(2×2+1×3)＝420種方法．故答案為420.4．(2024·全國高三專題練習(xí))某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分.現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有______種.(用數(shù)字作答)【答案】120【解析】由題意，6個部分.栽種4種不同顏色的花，必有2組顏色相同的花，若2、5同色，則3、6同色或4、6同色，所以共有種栽種方法；若2、4同色，則3、6同色，所以共有種栽種方法；若3、5同色，則2、4同色或4、6同色，所以共有種栽種方法；所以共有種栽種方法.故答案為：120題型五分組分配問題【例5】按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方式?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本;【答案】(1)60；(2)360；(3)15；(4)90；(5)15；(6)90.【解析】(1)先從6本書中選1本，有種分配方法；再從剩余5本書中選擇2本，有種分配方法剩余的就是2本書，有種分配方法所以總共有種分配方法．(2)由(1)可知分組后共有60種方法，分別分給甲乙丙后的方法有種．(3)從6本書中選擇2本書，有種分配方法；再從剩余4本書中選擇2本書，有種分配方法；剩余的就是2本書，有種分配方法;所以有種分配方法．但是，該過程有重復(fù)．假如6本書分別為A、B、C、D、E、F，若三個步驟分別選出的是．則所有情況為，，，，，．所以分配方式共有種(4)由(3)可知，將三種分配方式分別分給甲乙丙三人，則分配方法為種(5)從6本書中選4本書的方法有種從剩余2本書中選1本書有種因?yàn)樵谧詈髢杀緯x擇中發(fā)生重復(fù)了所以總共有種(6)由(5)可知，將三種分配情況分別分給甲乙丙三人即可，即種．【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】分組、分配問題1．對不同元素的分配問題(1)對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)．(2)對于部分均分，解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就要除以幾個這樣的全排列數(shù)．(3)對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．2．對于相同元素的“分配”問題，常用方法是采用“隔板法”【舉一反三】1．(2024·全國高三專題練習(xí))把5張不同的電影票分給4個人，每人至少一張，則不同的分法種數(shù)為________．【答案】．【解析】將這張不同的電影票分成四組，每組至少一張，共有種分組辦法，再分給人的不同分法有種．故答案為：．2．(2024·全國高三專題練習(xí))在浙江省新高考選考科目報(bào)名中，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)均已選擇物理、化學(xué)作為選考科目，現(xiàn)要從生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這五門課程中選擇一門作為選考科目，則不同的選報(bào)方案有___________種(用數(shù)字作答)；若每位同學(xué)選報(bào)這五門學(xué)科中的任意一門是等可能的，則這四位同學(xué)恰好同時選報(bào)了其中的兩門課程的概率為____________.【答案】625【解析】從生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這五門課程中選擇一門作為選考科目，則不同的選報(bào)方案有種；若這四位同學(xué)恰好同時選報(bào)了其中的兩門課程，其中一人獨(dú)自選一科，另外三人選一科，共有不同的選報(bào)方案種，其中兩人選一科，另外兩人選另一科，共有不同的選報(bào)方案種，則這四位同學(xué)恰好同時選報(bào)了其中的兩門課程的概率為故答案為：3.某學(xué)校有5位教師參加某師范大學(xué)組織的暑期骨干教師培訓(xùn)，現(xiàn)有5個培訓(xùn)項(xiàng)目，每位教師可任意選擇其中一個項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，則恰有兩個培訓(xùn)項(xiàng)目沒有被這5位教師中的任何一位教師選擇的情況數(shù)為。【答案】1500【解析】分兩步：第一步：從5個培訓(xùn)項(xiàng)目中選取3個，共Ceq\o\al(3,5)種情況；第二步：5位教師分成兩類：①選擇選出的3個培訓(xùn)項(xiàng)目的教師人數(shù)分別為1人，1人，3人，共eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))種情況；②選擇選出的3個培訓(xùn)項(xiàng)目的教師人數(shù)分別為1人，2人，2人，共eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))種情況.故選擇情況數(shù)為Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))))Aeq\o\al(3,3)＝1500(種).4．(2019·河北省九校第二次聯(lián)考)第十四屆全