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文檔簡(jiǎn)介

大招相似」角形的

常見(jiàn)五種模型

同面模型探究

相似三角形考查范圍廣,綜合性強(qiáng),其模型種類多,其中有關(guān)一線三垂直模型在前面的專題

已經(jīng)很詳細(xì)的講解,這里就不在重復(fù).

模型一'A字型相似模型

A字型(平行)反A字型(不平行)

模型二'8字型與反8字型相似模型

模型三、AX型相似模型(A字型及X字型兩者相結(jié)合)

模型四、共邊角相似模型(子母型)

4(C)

模型五、手拉手相似模型

Mm

而畫例題精講

考點(diǎn)一、A字相似模型

【例1].如圖,在△ABC中,NA=78°,AB=4,AC=6,將△ABC沿圖示中的虛線剪開,

剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是()

解:4陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等,故兩三角形相似,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

8、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等,故兩三角形相似,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C、兩三角形的對(duì)應(yīng)邊不成比例,故兩三角形不相似,故本選項(xiàng)正確.

。、兩三角形對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等,故兩三角形相似,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

故選:C.

A變式訓(xùn)練

【變式17].如圖,在△A8C中,DE//BC,于點(diǎn)H,與。E交于點(diǎn)G.若壁?二

GH2

則里.=旦

BC-5一

?.?-A--G-=--3-,

AH5

':DE//BC,

:.^ADE^AABC,

?DEAG3故答案為s.

,?而而而5

【變式1-2].如圖,在△ABC中,M是AC的中點(diǎn),E是A8上一點(diǎn),AE=^-AB,連接EM

4

并延長(zhǎng),交BC的延長(zhǎng)線于。,則史=.

CD

'.'PC//AE,:.^AEM^^CPM,,&=軍

AEAM

是AC的中點(diǎn),:.AM=CM,:,PC=AE,

\'AE=—AB,:.CP=—AB,:.CP=—BE,

443

':CP//BE,:.ZXOCPs/\DBE,

.CPCD2

==:.BD=3CD,

"BEBD"3

;.BC=2CD,即此=2.

CD

【變式1-3].如圖,在△ABC中,點(diǎn)。在邊AB上,AD=9,BD=I.AC=12.ZVIBC的

角平分線AE交CD于點(diǎn)、F.

(1)求證:△ACDS/XABC;

(2)若AF=8,求AE的長(zhǎng)度.

解:(1)\'AD=9,BD=7,AC=12,

:.AB^AD+BD^16,

..旭=至=9AC=_12

'AC"123'ADT3'

.AB=AC

"ACAD,

':ZBAC=ZCAD,

:.△AC£)s-

(2)由(1)可知,△ACDS/XABC,

NABE=ZACF,

平分/BAC,

:.ZBAE=ZCAF,

:.△ABEs/XACR

.AB_AE即16_AE

AC-AF;'l2--8-,

.4F8X1632

考點(diǎn)二、8字與反8字相似模型

【例2】.如圖,AG//BD,AF;FB=1:2,BC:CD=2:1,求£1的值

解:':AG//BD,

:.XAFGs叢BFD,.AG_AF,1

"BD"BF2

?.,匹=2,:.CD=^BD,.?.迪W

CD3CD2

■:AG//BD,

.?.△AEGsACED,GE_=AG_^3_.

EDCD2

A變式訓(xùn)練

【變式2-1].如圖,AB//CD,AE//FD,NE、即分別交3c于點(diǎn)G、H,則下列結(jié)論中錯(cuò)

誤的是()

DHCH口GECGAF=HGFH_BF

AA.-----=------JJ.----------二---

FHBHFDCBCE-CGAG"FA

解:A、'JAB//CD,

.?.也=空.,故本選項(xiàng)不符合題目要求;

FHBH

B、":AE//DF,

\/\CEG^/\CDH,

.GE=CG?EG=DH

,DHCH"CGCH

:AB//CD,

.CH=DH.DH=DF

"CBDF"CHCB,

?GE=DF.?.亞=”,故本選項(xiàng)不符合題目要求;

'CGCBFDCB

JAB//CD,AE//DF,

,.四邊形AED尸是平行四邊形,尸=DE,

:AE//DF,

.DEHG.AF=HG故本選項(xiàng)不符合題目要求;

,,CE'CG,"CECG

£>、'."AE//DF,

:./\BFH^/\BAG,故本選項(xiàng)符合題目要求;故選:D.

AGBA

【變式2-2].如圖,在平行四邊形ABC。中,E為邊AD的中點(diǎn),連接AC,BE交于點(diǎn)、F.若

△AEF的面積為2,則△ABC的面積為()

D

C

A.8B.10C.12D.14

解:如圖,???四邊形ABC。是平行四邊形,

\'EA//BC,

:.AAEFsACBF,

':AE=DE=^-AD,CB=AD,

2

?AF=EF=AE=AE=_1

"CFBFCBAD2"

:.AF=—AC,EF=—BF,

32

.*?SMBF=—S/SABC,

3

5AAEF=—S^ABF=—X—SAABC=—SAABC,

2236

":SAAEF=2,

S^ABC=6SAAEF=6X2=12,故選:C.

【變式2-3].如圖,銳角三角形48c中,/A=60°,BELAC^-E,CD_L48于。,則DE:

解:如圖,:在△ADC中,ZA=60°,CD_LAB于點(diǎn)。,

AZACD=30°,

.AD=1

"AC2"

又:在△4BE中,ZA=60°,BELACE,

:.ZABE=30°,

?.A?一E_-1-.,

AB2

.AD=AE

"ACAB'

又:ZA=ZA,

AADE^AACB,

:.DE:BC=AD:AC=1:2.故答案是:1:2.

考點(diǎn)三、AX型相似模型(A字型及X字型兩者相結(jié)合)

【例3].如圖,在AABC中,點(diǎn)。和E分別是邊和AC的中點(diǎn),連接DE,DC與BE交

于點(diǎn)。,若△OOE的面積為1,則△ABC的面積為()

解:?..點(diǎn)。和E分別是邊A8和AC的中點(diǎn),

二。點(diǎn)為AABC的重心,

:?0B=20E,

S^BOD=2S/^DOE=2X1=2,

??S/\BDE=3f

':AD=BDf

??S/\ABE—2S/\BDE=6,

*:AE=CE,

S/\ABC=2SMBE=2X6=12.故選C.

A變式訓(xùn)練

【變式37].如圖,DE是△ABC的中位線,廠為OE中點(diǎn),連接A尸并延長(zhǎng)交3C于點(diǎn)G,

若SAEFG=1,貝I]S^ABC=24.

B

解:方法一:是AABC的中位線,

...£>、E分別為AB、BC的中點(diǎn),

如圖過(guò)Z)作DA/〃BC交AG于點(diǎn)M,

,:DM〃BC,

:.ZDMF=ZEGF,

:點(diǎn)尸為。E的中點(diǎn),

:.DF=EF,

在和△EGF中,

,ZDMF=ZEGF

,ZDFM=ZGFE>

DF=EF

:.ADMFm叢EGF(A4S),

SADMF=SAEGF=1,GF=FM,DM=GE,

:點(diǎn)。為AB的中點(diǎn),且。M〃BC,

:.AM=MG,

:.FM=^AM,

2

?.S/\ADM=2s&DMF=2,

■:DM為AABG的中位線,

?.?-D-M_-1,

BG2

S^ABG=4SAADM=4義2=8,

??S梯形DMGB~S/\ABG~S/\ADM=8-2=6,

??S/\BDE=S梯形DMGB=6,

TOE是△ABC的中位線,

:.S/\ABC=^S^BDE=4X6=24,

方法二:連接AE

D,

':DE是ZXABC的中位線,

:.DE//AC,DE=—AC,

2

?.?p是DE的中點(diǎn),

?.E?-F-_--1,

AC4

...52kEFG=EF21,

SAACGAC216

■:S/\EFG=L

??SAACG=16,

^EF//AC,

?GE=EF=2

,eGCACT

.SAAEGGE1

,△KGGC4

S/\AEG—--SZ\ACG=4>

4

.".S/^ACE—SMCG-SMEG=12,

SAABC=2SAACE=24,故答案為:24.

【變式3-2].如圖:AD//EG//BC,EG交DB于點(diǎn)、F,已知A£)=6,BC=8,AE=6,EF

=2.

(1)求E8的長(zhǎng);(2)求FG的長(zhǎng).

D

:.ABADsABEF,

.BE=EF即BE—2

,*BAAD'BE+6?

:.EB=3.

(2)":EG////BC,

△AEGs/XABC,

?EG_AEgj]EG_6

??而一咫,~8~―6^3

.?.EG=N

3

:.FG=EG-EF=—.

3

【變式3-3].如圖,已知AB〃CO,AC與8。相交于點(diǎn)E,點(diǎn)/在線段8C上,坐」,史」

CD2CF2

(1)求證:AB//EF;

(1)證明:\'AB//CD,

.AB=BE=2

*CDED5,

.?.-B-F-=--1,

CF2

?BE=BF

,,EDFC

:.EF//CD,

:.AB//EF.

(2)解:設(shè)△ABE的面積為八

'JAB//CD,

,AABE^ACDE,

S

?AABE=/ABA2=1

??瓦嬴CDT

S^CDE=4m,

..AE=AB=1

*CECD_2,

S/\BEC=2m,

:.SAABE:SAEBC:S^ECD=m:2m:4m=l:2:4.

模型四、子母型相似模型

【例4】.如圖,點(diǎn)C,。在線段A8上,是等邊三角形,且乙4尸8=120°,求證:

(1)AACPSAPDB,

(2)CD2=AC'BD.

證明:(1)?.?△PCD是等邊三角形,

/PCD=NPDC=ZCPD^60°,

AZACP=ZPDB=120°,

;NAP"120°,

AZAPC+ZBPD=60°,

,?ZCAP+ZAPC=60°

:.ZBPD=ZCAP,:.XACPsXPDB;

(2)由(1)得△ACPs/\p£)8,

?.?-A-C-二PC一,

PDBD

是等邊三角形,

:.PC=PD=CD,

?.?AC—CD,

CDBD

:.CD1=AC-BD.

A變式訓(xùn)練

【變式4-1].如圖,點(diǎn)P在△ABC的邊AC上,要判斷△ABPs/wcB,添加一個(gè)條件,不

正確的是()

A.ZABP^ZCB.ZAPBABCC.D.坐^^

ABACAPCB

解:在△ABP和△ACB中,ZBAP=ZCAB,

...當(dāng)時(shí),滿足兩組角對(duì)應(yīng)相等,可判斷SAC故正確;

/A8P=NC△ABP2\B,A

當(dāng)/APB=NABC時(shí),滿足兩組角對(duì)應(yīng)相等,可判斷△4BPsA4C8,故8正確;

當(dāng)空」5■時(shí),滿足兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等,可判斷△A8PS\ACB,故C正確;

ABACZ

當(dāng)坐望時(shí),其夾角不相等,則不能判斷△ABPs/viCB,故。不正確;

APBC

故選:D.

【變式4-2].如圖,在△ABC中,點(diǎn)。在AC邊上,連接BD,若NA8C+/2OC=180°,

AD=2,C£)=4,則AB的長(zhǎng)為()

C.V3D.273

解:VZABC+ZJBDC=180°,ZADB+ZBDC^18Q0,

NADB=NABC,

ZA=ZA,

.ABAD

,?而記

":AD=2,CD=4,

.AB二2

"2^4"AB'

:.AB2=12,

;.4B=2次或-2相(不合題意,舍去),故選:D.

【變式4-3].如圖,邊長(zhǎng)為4的正方形,內(nèi)切圓記為圓。,尸為圓。上一動(dòng)點(diǎn),貝|6%+尸8

的最小值為_JA/5_.

D._______________1cD.-------n-------.C

A

解:設(shè)O。半徑為r,

OP=r=^BC=2,08=&r=2我,

取。3的中點(diǎn)/,連接P/,

:.OI=IB=近,

變正用,

OP2v

???O-P二OB",

01OP

NO是公共角,

:.△BOPSAPOI,

.PI01V2

??--=二,

PBOP2

:.PI=2L±-PB,

2

:.AP+^-PB=AP+P/,

2

???當(dāng)A、P、/在一條直線上時(shí),AP+亞PB最小,

2

作IELAB于E,

VZABO=45°,

Jo

:.IE=BE=-^±-BI=l,

2

:.AE=AB-BE=3,

;?AI=N32+]2,

:.AP+鳥PB最小值,

":y/2PA+PB=42(PA+與PB),

...加刑+PB的最小值是xJI5=2遙.

故答案是2庭.

模型五、手拉手相似模型

[例5],如圖,△ABC與△。所均為等邊三角形,0為BC、EF的中點(diǎn),則AD:BE的值

;△ABC與均為等邊三角形,O為BC、E尸的中點(diǎn),

:.AO±BC,DOLEF,NEDO=30°,ZBAO=3Q°,

J.OD-.OE=OA-.OB=y/3:1,

ZDOE+ZEOA=ZBOA+ZEOA即/DOA=ZEOB,

:.△DOAsAEOB,

:.0D:OE=OA:OB=AD:BE=6:1=73,故答案為:聲.

A變式訓(xùn)練

【變式5T】.如圖,在△ABC與△AOE中,/BAC=NDAE,/ABC=NADE.

求證:(1)ABACSADAE;(2)ABAD^ACAE.

證明:(1)":ZBAC^ZDAE,ZABC^ZADE.

:./\BAC^/\DAE;

(2):△BACsADAE,

?.A?-B二AC,

ADAE

???A-B---A-D,

ACAE

;NBAC=NDAE,

:.ZBAD=ZCAE,

:./\BAD^ACAE.

【變式5-2].如圖,點(diǎn)。是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且NBZ)C=90°,AB=2,AC=J§,ZBAD=

ZCBZ)=30°,AD=恒.

—2―

D

B

解:如圖,過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線,過(guò)點(diǎn)。作AO的垂線,兩垂線交于點(diǎn)連接3M,

VZBAD=30°,

AZDAM=60°,

:.ZAMZ)=30°,

???ZAMD=/DBG

又??,NA£>M=N3OC=9(T,

,叢BDCs叢MDA,

?BDDC

??二-,

MDDA

又/BDC=NMDA,

:.ZBDC+ZCDM=ZADM+ZCDM,

即/BOM=NCZM,

:.叢BDMs叢CDA,

,:AC=M,

22=22

在RtZVLBM中,AMVBM-ABVS-2=Vs>:.AD=1AM=^-

【變式5-3].如圖,在四邊形ABC。中,AE1.BC,垂足為E,ZBAE=ZADC,BE=CE

2,CD=5,AO=O18(左為常數(shù)),則BD的長(zhǎng)為_五6k2+25一?(用含左的式子表示)

D

BEC

解:如圖中,9:AE±BC,BE=EC,

:.AB=AC,

將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACG,連接。G.則80=CG,

G,

,:ZBAD=ZCAG,

:.ZBAC=ZDAG,

VAB=AC,AD=AG,

???ZABC=ZACB=ZADG=ZAGD,

:.AABC^AADG,

':AD=kAB,

:?DG=kBC=4k,

VZBAE+ZABC=90°,/BAE=NADC,

:.ZADG+ZADC=90°,

:.ZGDC=90°,

=22

CGVDG-K;D=V16k2+25-

BD=CG=416k'+25'

故答案為:yli6k2+25-

詞畫實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖,已知。E〃BC,EF//AB,則下列比例式中錯(cuò)誤的是()

A

BFAD口ADEFCECA八ADCF

A.=r

BCABDEFCCFCBABCB

解:A、,JEF//AB,

.BF=AE

"BC而'

'SDE//BC,

.AE=AD

"AC而'

:.竺1=坦,故A正確,

BCAB

B、易知尸c,

.AD=DE

"EFCF'

AD=EF;故B正確.

DEFC

C、VACEF^ACAB,

.CE=CF

"CACB,

,故C正確.

CFCB

£>、'."DE//BC,

.AD=DE

1,ABBC;

顯然。E#CE故D錯(cuò)誤.故選:D.

2.如圖,梯形ABC。中,AD//BC,/B=NAC£)=90°,AB=2,DC=3,則△42。與4

DCA的面積比為()

A.2:3B.2:5C.4:9D.&:73

解:'.,AD//BC,

:.ZACB=ZDAC

又:NB=NACZ)=90°,

.?.△CBA^AACD

BC=AC=AB=2

ACADDCS''

S

AABC(Z)2=_4

SADCA39

.?.△ABC與△OCA的面積比為4:9.故選:C.

3.如圖,菱形ABC。中,E點(diǎn)在8C上,尸點(diǎn)在CD上,G點(diǎn)、”點(diǎn)在上,且AE〃HC

//GF.若A”=8,HG=5,GO=4,則下列選項(xiàng)中的線段,何者長(zhǎng)度最長(zhǎng)?()

解:VAH=8,HG=5,GO=4,

40=8+5+4=17,

?.?四邊形ABC。為菱形,

:.BC=CD=AD=ll,

':AE//HC,AD//BC,

四邊形AECH為平行四邊形,

:.CE=AH=S,

:.BE=BC-CE=17-8=9,

,JHC//GF,

.DF=DG_即DF_4

??而GH'17-DF5

解得:。尸=毀,

9

.??rT(?_rz—\in/_-6-8-_--8-5,

99

?.?生>9>8>絲,

99

長(zhǎng)度最長(zhǎng),故選:A.

4.如圖,在△ABC中,BC=6,E,尸分別是AB,AC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)尸在射線所上,BP

交CE于點(diǎn)D,ZCBP的平分線交CE于點(diǎn)。,當(dāng)CQ=^CE時(shí),EP+BP的值為()

3

A.6B.9C.12D.18

解:如圖,延長(zhǎng)2。交射線E尸于

?;E、B分別是A3、AC的中點(diǎn),

J.EF//BC,

:.ZM=ZCBM,

???8。是/C8P的平分線,

:.ZPBM=ZCBM,

:.ZM=ZPBM,

:.BP=PM,

:.EP+BP=EP+PM=EM,

VCQ=^-CE,

:.EQ=2CQ,

由EF〃BC得,LMEQS^BCQ,

.EMEQ_°

??-----—―'乙,

BCCQ

:.EM=2BC=2X6=n,

即EP+BP=12.故選:C.

5.如圖,在四邊形ABC。中,AD//BC,ZABC=90°,AB=2我,AD=2,將△ABC繞

點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得B'C,當(dāng)A'B'恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí),△夕C。為等腰三

A.VHB.273c.V13D.714

解:過(guò)。作DELLBC于E,

設(shè)2'C=BC=x,

則DC=42X,

:.DC2=DE1+EC2,即2/=28+(X-2)2,

解得:x=4(負(fù)值舍去),

-"-BC=4,AC=^AB2+BC2=,

:將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得△4'B'C,

:.ZDB'C=NABC=90°,B'C=BC,A'C=AC,ZA'CA=NB'CB,

.A'C=AC

C'BC

.'.△A'CA^/\B'CB,

.A'A二AC叩A(chǔ),A二MT1

■'B7T=BC,2=4

.*.AA,=VT1>故選:A.

6.如圖,已知,△ABC中邊AB上一點(diǎn)P,且/ACP=NB,AC=4,AP=2,貝l]BP=6

解:VZA=ZA,ZACP=ZB,

:.AACP^AABC,

:.AC2=AP'AB,即AB=AC24-AP=164-2=8,

:.BP=AB-AP=6.

7.如圖,在回48a(中,AC,2。相交于點(diǎn)。,點(diǎn)E是。A的中點(diǎn),聯(lián)結(jié)BE并延長(zhǎng)交AD

于點(diǎn)R如果△AEB的面積是4,那么△1CE的面積是36.

B

解:?.?在團(tuán)4BC。中,AO=—AC,

2

:點(diǎn)E是。4的中點(diǎn),

:.AE=^-CE,

3

':AD//BC,

△AFEs^CBE,

?AF=AE=1

"BCCET

-:SMEF=4,,△虹F=(AF)2=工

8.如圖,在△ABC中,點(diǎn)G為ABC的重心,過(guò)點(diǎn)G作。E〃AC分別交邊AB、8C于點(diǎn)。、

E,過(guò)點(diǎn)。作。e〃BC交AC于點(diǎn)R如果。P=4,那么BE的長(zhǎng)為8

解:連接8G并延長(zhǎng)交AC于H,

:G為ABC的重心,

???B—G_c乙,

HG

9:DE//AC,DF//BC,

???四邊形0ECT是平行四邊形,

:.CE=DF=4,

,:GE〃CH,

:?叢BEGs^CBH,

?BEBGry

CEGH

:.BE=8,故答案為:8.

9.如圖,已知RtaABC中,兩條直角邊AB=3,BC=4,將Rt^ABC繞直角頂點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一

定的角度得到RtZV)BE,并且點(diǎn)A落在。E邊上,則sin/A8E=工.

-25一

解:?..將RtAABC繞直角頂點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定的角度得到RtADBE,

:.BD=AB,BC=BE,/ABD=NCBE,ZDEB=ZACB,

:.ZD=ZBAC=ZBAD=^-(180°-AABD},

2

.,.ZB£C=A(180°-NCBE),

2

/D=ABEC,

VZABC=ZDBE^90°,

/.ZDEB+ZBEC=90°,

:.ZA£C=90°,

':NAGB=NEGC,

:.ZACE=ZABE,

?.,在RtZ\ABC中,AB=3,BC=4,

:.AC=DE=5,

過(guò)8作BHLDE于H,

貝UDH=AH,BD1=DH'DE,

:.AD=^-,

5

:.AE^DE-AD=—,

5

7_

sinZABE=sinZACE==1-=,故答案為:—.

AC52525

10.如圖,在RtZXABC中,ZACB=90°,ZBAC=60°,AC=6,A。平分NA4C,交邊

BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作。1的平行線,交邊AB于點(diǎn)E.

(1)求線段。E的長(zhǎng);

(2)取線段AD的中點(diǎn)聯(lián)結(jié)交線段DE于點(diǎn)R延長(zhǎng)線段交邊AC于點(diǎn)G,

求變的值.

DF

A

解:(1)平分N2AC,ZBAC=60°,

4c=30°,

在RtZxACO中,ZACD=90°,ND4c=30°,AC=6,

:.CD=2小

在RtaACB中,ZACB=90°,ZBAC=60°,AC=6,

:.BC=6y[3<

:.BD=BC-CD=,a,

':DE//CA,

?.D?~EB—D—2,

CABC3

.?.D£=4;

(2)如圖,

:點(diǎn)M是線段AO的中點(diǎn),

:.DM=AM,

'JDE//CA,

.DFDM

"AG'AM"

:.DF^AG,

'JDE//CA,

.EF_BFBF_BD

"AG=BG"BG"BC,

.EFBD

??—=一,

AGBC

:BD=AM,BC=SM,DF^AG,

?.?-E-F=—2.

DF3

11.如圖,在菱形ABCQ中,/ADE、NCOP分別交8C、AB于點(diǎn)E、F,。/交對(duì)角線AC

于點(diǎn)M,S.ZADE=ZCDF.

(1)求證:CE=AF;

(2)連接ME,若奧=型,AF=2,求ME的長(zhǎng).

BECE

解:(1)?.?四邊形ABC。是菱形,

:.AD^CD,ZDAF=ZDCE,

又,:ZADE^ZCDF,

:.AADE-ZEDF=ZCDF-ZEDF,

:.NADF=NCDE,

在△AZ)/和△(?£>£:中,

,ZADF=ZCDF

-AD=CD,

ZDAF=ZDCE

/\ADF^/\CDE,

:.CE=AF.

(2):四邊形ABC。是菱形,

:.AB=BC,

由(1)得:CE=AF=2,

:.BE=BF,

設(shè)BE=BF=x,

..CECD

=AF=2,

,BECE

.,.Z=x+2,解得

x2

:.BE=BF=4s

CECD

=,MCE=AF,

BECE

.CE=CD=CD

"BECEAF'

--ZCMD=ZAMF,NDCM=ZAMF,

\AAMF^ACMD,

.,mCDw_CM

CD=?CM=CE;^,ZACB^ZACB

AFAMBE

AABCsAMEC

\ZCAB=ZCME=ZACB

,.ME=CE=2

12.[問(wèn)題背景](1)如圖①,己知△ABCS/XADE,求證:△ABDs/XACE.

[嘗試應(yīng)用](2)如圖②,在△A8C和△AOE中,ZBAC=ZDAE=90°

NABC=/ADE=30°,AC與OE相交于點(diǎn)凡點(diǎn)。在2C邊上,地=展,

BD

①填空:膽=1;

BD

②求亞的值.

CF

(1)證明:如圖①,VAABC^/XADE,

;.NBAC=/DAE,膽=螞,

ADAE

:.ZBAC-ZCAD=ZDAE-ZCAD,空=。

ACAE

:.ZBAD=ZCAE,

:.AABDs^ACE.

(2)解:①如圖②,':ZDAE=90°,ZADE=30°,

:.DE=2AE,

AD=VDE2-AE2=V(2AE)2-AE2=MAE,

?.?世=在,

BD

:.AD=y/3BD,

:.MAE=MBD,

???A―E-1,

BD

故答案為:1.

②如圖②,連接CE,

':ZBAC=ZDAE=90°,ZABC=AADE,

:.ABAC^ACAE,

?AB=AC

"ADAE'

?AB=AD

ACAE)

':ZBAD=ZCAE=9Q°-ZCAD,

:.ABAD^ACAE,

ZABC=ZACE,

:.ZADE=ZACE,

ZAFD=ZEFC,

:.^AFD^/\EFC,

?DF=AD

"CFCE'

由①得AO=?AE,AD=MBD,

.?.里=地=相,

CEAE

:.BD=MCE,

:.AD=MxMCE=3CE,

.?.包.=3,

CE

?.D?F1_D.

CF

更的值是3.

CF

A

13.如圖,在正方形A5CD中,45=4,E、/分別是3C、C0上的點(diǎn),且NE4b=45

AE.Ab分別交5。于點(diǎn)M、N,連接EN、EF.

(1)求證:AABNsAMBE;

(2)求證:BM2+Nb1=MN2;

(3)①求△CEb的周長(zhǎng);

②若點(diǎn)G、b分別是ERCD的中點(diǎn),連接NG,則NG的長(zhǎng)為$.

-L

BEC

(1)證明:如圖1,???四邊形A3CD是正方形,

:.AB=AD.ZBAD=ZABC=90°,

AZABD=ZADB=45°,

:?NABN=NMBE=45。,ZBME=ZABD+ZBAM=45°+ZBAM,

VZEAF=45°,

AZBAN=ZEAF+ZBAM=45°+ZBAM,

:?/BAN=/BME,

:.叢ABNs叢MBE.

(2)證明:如圖1,將△AON繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至連接MH,

:.ZBAH=ZDAN,AH=AN,HB=ND,

VZMAN=ZEAF=45°,

???NMAH=/BAH+NBAM=ZDAN+ZBAM=45°,

???ZMAH=/MAN,

9

\AM=AMf

:.AMAH^叢MAN(SAS),

:.MH=MN,

■:NABH=/ADN=45。,

AZMBH=ZABD+ZABH=90°,

:.BM2+ND2=MN2.

(3)解:①如圖2,將尸繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△A3K,

:.AK=AFfNBAK=NDAF,BK=DF,ZABK=ZADF=90°,

AZABK+ZABE=1SO°,

?,?點(diǎn)K、點(diǎn)5、點(diǎn)E在同一條直線上,

NEAK=NBAE+/BAK=ZBAE+ZDAF=45°,

???ZEAK=ZEAFM,

':AE=AE,

:.AEAK^^EAF(SAS),

:.EK=EF,

:.BE+DF=BE+BK=EK=EF,

?:CB=CD=AB=4,

:.CE+EF+CF=CE+BE+DF+CF=CB+CD=4+4=8,

:?△CEF的周長(zhǎng)是8?

②如圖2,,?,方是CO的中點(diǎn),

:.CF=DF=—CD=2

2f

VZC=90°,

222

.\CF+EF=CE9

EF=BE+DF=BE+2,CE=CB-BE=4-BE,

/.22+(4-BE)2=(BE+2)2,

解得

3

尸=&+2=衛(wèi),

33

ZMBE=ZMAN=45°,ZBME=ZAMN,

?MB=ME

"MA而’

.MB=MA

"ME而’

ZAMB=ZNME,

/.AAMB^ANME,

;.NNEM=NABM=45°,

:.NENF=/MAN+/NEM=90°,

:G是所的中點(diǎn),

:.NG=-EF=—X^-=^-

2233

故答案為:—.

圖1

14.問(wèn)題背景如圖(1),已知△ABCs^AZJE,求證:AABDsAACE;

嘗試應(yīng)用如圖(2),在△ABC和△ADE中,ZBAC=ZDAE=90°,ZABC=ZADE=

30°,AC與DE相交于點(diǎn)F,點(diǎn)。在BC邊上,旦1=?,求】E的值;

BDCF

拓展創(chuàng)新如圖(3),D>AABC內(nèi)一點(diǎn),ZBAD=ZCBD=30°,ZBDC=90°,AB

=4,AC=26,直接寫出AQ的長(zhǎng).

問(wèn)題背景

證明:VAABC^AADE,

...空望,ZBAC=ZDAE,

ADAE

:.ZBAD=ZCAE,空

ACAE

△ABQS"CE;

嘗試應(yīng)用

解:如圖1,連接EC,

圖1

':ZBAC=ZDAE=90°,ZABC=ZADE=3>0°,

/.AABC^AADE,

由(1)知△ABZ)s2\ACE,

AAE^=AD_NACE=/ABD=NADE,

CEBD

在RtZ^ADE中,ZADE^30°,

:.也事,

AE

...坦坦嶇3y=3

ECAECE

ZADF=Z.E

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