2024-2025學年福建省部分學校新高考高三（上）質(zhì)檢數(shù)學試卷（含答案）

2024-2025學年福建省部分學校新高考高三（上）質(zhì)檢數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合4={-2,-1,0,1,2},B=\x\-2<x<2},則4nB=（）

A.{-2-1,0,1,2}B.{-2-1,0,1}C.[-1,0,1,2}D.{-1,0,1）

2.復(fù)數(shù)z=律，貝Uz的虛部為（）

A.3B.-3C.-iD.-1

3.已知等比數(shù)列{斯}為遞增數(shù)列,若。3，。6=6,a4+a5=5,則公比q=（）

123

A-6B.6C3-D-z

ff（X—匹）+t,X>0JI

4.已知函數(shù)/（%）=八4,滿足/（萬）=1,則實數(shù)t的值為（）

ISlrKLXfXU

A."B.|C.1D.2

r

5.在△&BC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知2acos2'=b（l-cosA）+a,則△ABC的形狀是

（）

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

6.如圖，一個直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱441=4.若側(cè)面44/13水平放置時，液面恰好過4C,

7.已知雙曲線C：誨—￡=l（a>0,6〉0）的焦距與其虛軸長之比為3：2,則C的離心率為（）

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8.某城市采用搖號買車的方式，有20萬人搖號，每個月?lián)u上的人退出搖號，沒有搖上的人繼續(xù)進入下月?lián)u

號，每個月都有人補充進搖號隊伍，每個季度第一個月?lián)u上的概率為急第二個月為今第三個月為看則

平均每個人搖上需要的時間為（）個月.

A.7B.8C.9D.10

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知九Qn。九）為實數(shù)，隨機變量X?NQ,/）,且「（XWTH）=尸（X之九），貝!]（）

[1

mn<mn22

A.1B,2+2>4C,m+n<2D.—mF-n>2

10.如圖，在棱長為2的正方體ABC。-/1/C1D1中，點P是正方體的上底面Z1/C1

Di內(nèi)（不含邊界）的動點，點Q是棱的中點，則以下命題正確的是（）

A.三棱錐Q-PCO的體積是定值

B.存在點尸，使得尸Q與441所成的角為60。

C.直線PQ與平面力遇皿所成角的正弦值的取值范圍為（0,孝）

D,若PDi=PQ,則P的軌跡的長度為呼

11.利用不等式“hix—x+1W0”可得到許多與>2且neN*）有關(guān)的結(jié)論，則下列結(jié)論正確的是（）

A.Znn<1+|+|+-+^

Blnn*+*+“,++

n(n+l)

C.(1+2)(1+4)-(1+2九)>e?2—

D,l+2n+---+nn<-^7-nn

6—1

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在△4BC中，已知力B=LAC=3,點G為△ABC的外心，點。為△ABC重心，則而?麗=

7T

13.己知3eR,（Pe[0,2TT）,若對任意實數(shù)%都有sin（x-§）=Sin（3%+9）恒成立，則滿足條件的一組有序

數(shù)對（3,0）為.

a

14.已知函數(shù)/'（%）=x-loghx（a>l,b>1）有且只有一個零點，則ab的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題13分）

已知Sn為數(shù)列｛aj的前n項和，若5?=2即-471+2.

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(1)求證：數(shù)列0+4｝為等比數(shù)列;

712

(2)令。=4,若歷+岳+…+b71V而，求滿足條件的最大整數(shù)幾.

16.(本小題15分)

在△A8C中，內(nèi)角4B,C的對邊分別是a,b,c,若a=1,A=p且滿足asinC+bsinA=2csinB.

(1)求c+6的值；

(2)設(shè)而=而,而=癡，求△4DE外接圓的半徑.

17.(本小題15分)

如圖所示，是。。的直徑，點C是。。上異于4B的動點，PC1平面力BC,E,F分別為PA,PC的中

點.

(1)求證：EF1平面PBC；

(2)若PC=2,AB=2/，二面角B—P4—C的正弦值為手，求BC.

18.(本小題17分)

已知橢圓C：1+同=1?>b>0)的離心率為最且經(jīng)過點

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)過點(1,0)作直線I與橢圓相交于4B兩點，試問在x軸上是否存在定點Q,使得兩條不同直線Q4QB恰

好關(guān)于x軸對稱，若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由.

19.(本小題17分)

已知光e6兀).

(1)將sinx,cosx,x,—|好+1按由小到大排列，并證明；

x2

(2)令/(%)=xe+xcosx-2sinx-sinxf求證：/(%)在久E6兀)內(nèi)無零點.

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參考答案

1.D

2.B

3.0

4.B

5.D

6.B

7.C

8.C

9.AB

IQ.ACD

11.ABD

12-

,3

兀)或(―1蘇)

1

14.(a+00)

15.解：⑴證明:由S九=2M一4九+2可得，

當?1=1時，的=2a]—4+2,解得a1=2,

當九N2時，S九一1-2a九一1—4(71—1)+2,即5*九_1—2a九一4九+6,

則Q九=Sn—Sn-i=(2an—4n+2)—(2a71T—4荏+6)

ctn—2azi—2a九—i—4,BPtzn—2。九+4,

BPa+4=2(a_i+4),即^^=2,

nnun—l'什

又+4=6,

所以數(shù)列國九+4｝是首項為6,公比為2的等比數(shù)列.

(2)由⑴得冊+4=6-27，則%=古==I*(I)-1，

設(shè)由+b24----kbn=Tn,

則44X6)°+1XG)1+1X(界+…+1X處一

=|X[(1)°+(|)!+(1)2+.?.+(|)n-l]

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1”（I-表）ii

=3X--=EX（2-布）

2

A11、，134目1、1

令（2—布）〈元，侍布〉元，

即2n-i<20,即2n<40,

又MGN*,25=32,26=64,

所以滿足條件的最大整數(shù)為幾為5.

16.解：（1）由as》。+bsinA=2csinB,結(jié)合正弦定理，得ac+ab=2bc.

因為a=1,所以2bc=c+b.

由余弦定理，得cos/=板=],

所以力2+02—1=be,所以（b+c）2—2bc-1=be,

即（c+以-1=3bc=-|（c+b）,

整理，得2（c+b）2-3（c+b）-2=0,

解得c+b=2（舍負）.

（2）由c+b=2,2bc=c+b,得b=c=1.

又Q=1,所以△ABC是邊長為1的正三角形.

由同=麗，知4,B,。三點共線，且2。=2AB=2.

由而=挺，知4C,E三點共線，且4E=3.

在△ADE中，由余弦定理，^DE2=AD2+AE2-2AD-AEcos-^=4+9-2x2x3x1=7,所以DE=

由正弦定理，得2R=煞=*=釁，

川13可3

所以R=號，即△4DE外接圓的半徑為號.

17.解：（1）證明：由PC1平面ABC,知PC1AC,

由A8是O。的直徑，知AC1BC,

ACOBC=C,

：.AC1平面P8C,

由E,F分別是PA,PC的中點，知EF〃/1C,

.-.EF1平面PBC.

（2）以C為原點，CA,CB,CP所在直線分別為久軸、y軸、z軸,

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建立如圖所示的空間直角坐標系，則P(0,0,2),

設(shè)4(a,0,0),8(0,6,0),且a2+F=8(a>0力>0),

易知平面P4C的一個法向量訪=(0,1,0),

設(shè)平面P4B的一個法向量元=(x,y,z),貝!!

(~nlPA^0(n-PA=0,(ax-2z=0,

則任1PB=O'即b-PB=0,"[bx-2z=0.

取z=ab,得％=2b,y—2a,則n=(2b,2a,a6),

???二面角B-PA-C的正弦值為,，則其余弦值為字,

?.|cos〈nwi〉|一同向-^b2+4a2+a2b2__,

又a2+扶=8,(a>0,b>0),

解得Q=2,b=2.

故5C=2.

18.解:⑴由題意，

fC_1

a=2fa=2

彳=,+。2,解得b7.

1?9_】〃:1

???橢圓C的標準方程為1+4=1；

43

(2)在黑軸上假設(shè)存在點Q,使得Q4QB恰好關(guān)于%軸對稱,

設(shè)8(%2》2)，

再設(shè)直線&x=my+1,Q(t,0),

聯(lián)立｛黑2累^X?i2=0，得(4+3m2)y2+6my-9=0.

則歸+%=—律號,功力=一常蕨，

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由%Z+/CQB=O，可得等7+*7=。，

BPyi(my2+1-0+丫2(成力+l-t)=0,

可得2?nyiy2+(l-t)(yi+y2)=0-

貝lj2nl?(一：萬)+(1-t)?(-_^T~)二°，得4一七=0,即t=4.

故在x軸上是否存在定點Q(4,0),使得兩條不同直線Q4QB恰好關(guān)于x軸對稱.

1

19.(1)解：設(shè)g(%)=cosx+-x2-1,則g'(%)=—sinx+x,設(shè)h(%)=g'(x)=-sinx+x,則

/iz(x)=—cosx+1,

因為久e(5r)時，h'O)>0恒成立.

TTTT

所以/i(%)在(不TT)上單調(diào)遞增，即g'。)在(不兀)上單調(diào)遞增；

所以或x)>9位=曰善>0,

77

所以g(x)在(不兀)上單調(diào)遞增，

從而g(無)>9生=吟產(chǎn)一1>0,

即第