相似三角形證明的方法與技巧

1、第五講：相似三角形證明的方法與技巧A字形，斜A形，8字形（X型），蝴蝶形，雙垂直型, 旋轉(zhuǎn)形雙垂直結(jié)論:射影定理：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng) ACDCDBAD:CD=CD:BDCD2=ADBDACDABCAC:AB=AD:ACAC2=ADABCDBABCBC:AC=BD:BCBC2=BDAB結(jié)論：得AC2:BC2=AD:BD；結(jié)論：面積法得ABCD=ACBC比例式證明等積式(比例式)策略1、直接法：找同一三角形兩條邊，變化：等號同側(cè)兩邊同一三角形 三點(diǎn)定形法2、間接法： 3種代換 等線段代換； 等比代換； 等積

2、代換；創(chuàng)造條件 添加平行線創(chuàng)造“A”字型、“8”字型 先證其它三角形相似創(chuàng)造邊、角條件 相似判定條件：兩邊成比夾角等、兩角對應(yīng)三邊比 相似終極策略： 遇等積，化比例，同側(cè)三點(diǎn)找相似； 四共線，無等邊，射影平行用等比； 四共線，有等邊，必有一條可轉(zhuǎn)換；兩共線，上下比，過端平行條件邊。彼相似，我角等，兩邊成比邊代換。（3）等比代換：若是四條線段，欲證，可先證得（是兩條線段）然后證，這里把叫做中間比。方法一：遇等積，化比例，同側(cè)三點(diǎn)找相似1ABC=ADE求證：ABAE=ACAD2.ABC中，AB=AC，DEF是等邊三角形，求證：BDCN=BMCE3.等邊三角形ABC中，P為BC上任一點(diǎn)，AP的垂直平

3、分線交AB、AC于M、N兩點(diǎn)。求證：BPPC=BMCN 方法二：有射影，或平行，等比傳遞我看行1.在RtABC中，BAC=90，ADBC于D，E為AC的中點(diǎn)，求證：ABAF=ACDF（換比法）斜邊上作高線，比例中項(xiàng)一大片2.如圖，在ABCD中，求證：（換比法）3.梯形ABCD中，AD/BC，作BE/CD,求證：OC2=OA.OE（換比法） 方法三：四共線，看條件，其中一條可轉(zhuǎn)換；1.RtABC中，四邊形DEFG為正方形。求證：EF=BEFC（換項(xiàng)法）2.ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，CFBA，求證：BP=PEPF（換項(xiàng)法） 3.AD是ABC的角平分線，EF垂直平分AD，交BC的延

4、長線于E，交AB于F.求證： DE=BECE. 方法四：兩共線，上下比，過端平行條件邊。1.AD是ABC的角平分線.求證：AB:AC=BD:CD.2.在ABC中，AB=AC，求證：DF:FE=BD:CE.3.在ABC中，ABAC，D為AB上一點(diǎn)，E為AC上一點(diǎn)，AD=AE，直線DE和BC的延長線交于點(diǎn)P，求證：BP:CP=BD:CE.4.在ABC中，BF交AD于E.(1)若AE:ED=2:3，BD:DC=3:2，求AF:FC；(2)若AF:FC=2:7，BD:DC=4:3，求AE:ED. 5.在ABC中，D、E分別為BC的三等分點(diǎn)，AC邊上的中線BM交AD于P，交AE于Q，若BM=10cm，試求BP、PQ、QM的長. 6.ABC中，AC=BC，F(xiàn)為底邊AB 上的一點(diǎn)，（m、n0），取CF的中點(diǎn)D， 連結(jié)AD并延長交BC于E.（1）的值.（2）如果BE=2EC，那么CF所在直線與邊AB有怎樣的位置關(guān)系？證明你的結(jié)論；（3）E點(diǎn)能否為BC中點(diǎn)？如果能，求出相應(yīng)的的值；如果不能，證明你的結(jié)論。方法五：彼相似，我條件，創(chuàng)造邊角再相似1.AEADAB，且ABEBCE，求證：2.已知，求證：3（2012金牛區(qū)三模）如圖，在ABC中，ACB=90，BC=nAC，CDAB于D，點(diǎn)P為AB邊