2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之共頂點(diǎn)模（解析版）

【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案

專題1共頂點(diǎn)模型

解題策略

模型1：等腰三角形共頂點(diǎn)

已知在等腰4ACB與等腰△DCE中，CA=CB,CD=CE,且=

如圖，連接BD,AE,交于點(diǎn)F,則:

(DABCD^AACE；

(2)AE=BD；

(3)NAFB=NACB；

(4)FC平分NBFE.

模型2：等腰直角三角形共頂點(diǎn)

已知在等腰RtAACB與等腰RtZ\DCE中，NACB=/DCE=90°.

如圖1?連接BAAE.交于點(diǎn)F.連接FC\A

(DABCD^AACE；

(2)AE=BD；

(3)AE±BD；

(4)FC平分NBFE；

(5)AB2+DE2=AD2+BE2；

(6)BF=AF+#FC,EF=DF+V2FC；

模型3：等邊三角形共頂點(diǎn)

已知等邊△ABC與等邊△DCE,B,C,E三點(diǎn)共線.

GH

BCE

如圖，連接BD,AE,交于點(diǎn)F,BD與AC交于點(diǎn)G,AE與DC交于點(diǎn)H,連接CF,GH,則:

(DABCD^AACE；

⑵AE=BD；

(3)/AFB=NDFE=60°；

(4)尸(：平分/8尸￡：；

C5')BF=AF+FC,EF=DF+FCi

(6)/\CGH為等邊三角形.

模型4：相似三角形共頂點(diǎn)

A('

已知在△ACB和△ECD中，釜=^，ZACB=ZECD.

EC

如圖，連接BD,AE,交于點(diǎn)F,則:D

一一e

(l)ABCDc^AACE；

(2)ZAFB=ZACB.

/、BC

經(jīng)典例__題_________.

[例1](2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，△ABC為等邊三角形，。為/C邊上一點(diǎn)，連接AD,M為BD

的中點(diǎn)，連接

A

AA

二

圖1圖2B'

圖3

(1)如圖1,若48=275+2,乙ABD=45°,求△AMD的面積;

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)M作MN1AM與/C交于點(diǎn)E,與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N,求證：AD=CN；

⑶如圖3,在(2)的條件下，將aABM沿/〃翻折得△AB'M,連接2W,當(dāng)皮N取得最小值時(shí)，直接寫

出與產(chǎn)的值?

【答案】⑴3+V3?

(2)證明見解析；

(3理

V714

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)。作。//14B,根據(jù)乙480=45。，的C=60。解三角形求出//。=恁1"=2百，可得

SAABD=6+2再再結(jié)合三角形中學(xué)性質(zhì)即可解得；

(2)過(guò)點(diǎn)/作NGLBC,垂足為G,連接MG,又中位線性質(zhì)和乙4cB=60。，得乙4GM=30。，再通過(guò)四點(diǎn)

共圓證明乙4NM=N4GM=30。，進(jìn)而可得NM4V=60。，從而可證明△4PN為等邊三角形，延長(zhǎng)⑷/到尸,

使連接尸N,構(gòu)造△PMBwZi4MD,得4D=BP,繼而證明△B力Pw△CAN(S4S),從而可得

BP=CN,由此即可得出結(jié)論；

(3)取NC的中點(diǎn)0,連接80,取80的中點(diǎn)K,連接KM,通過(guò)構(gòu)造△AMQ?△4NB，，得出即。為NC

的中點(diǎn)時(shí)，BW取最小值，再結(jié)合題目條件解三角形即可求解.

(1)

解：如解圖1,過(guò)點(diǎn)。作ZV/1/8,

???乙45。=45°,

；.BH=HD,

???在A42C為等邊三角形中，乙&4。=60。，

.^tanZ-BAC=空=百，

AH

：.AB=BH+AH=V3XW+AH,

又?:AB=2眄+2,

：.^AH+AH=2^+2,

；.AH=2,

■■.HD=通AH=2V3,

''-^AABD=^AB-HD=*2百+2)X2V3=6+2>/3，

,:M為BD的中點(diǎn)，

-'-SAAMD=/△AB《(6+2-/3)=3+V3；

A

解圖1

(2)

如解圖2,過(guò)點(diǎn)4作ZGLBC,垂足為G,連接MG,

??,A4BC為等邊三角形，

:.BG=GC,

,:BM=DM,

-.MG//AC,

.ZBGM=乙ACB=60°,

：^AGM=4AGB-4BGM=90°-60°=30°,

又???4M1MN,AGLBC,

.?Z4MN=4/GN=9O。，

.S、M,G、N四點(diǎn)共圓，

?,ZANM=Z.AGM=30°,

??/MAN=900-N/NM=60°,

又?；MP=AM,AM1MN,

?-AN=PN,

又??2M4V=60。，

???△4PN為等邊三角形，AP=ANf

^^BAC=^PAN=60°,

；/BAP+乙PAC=乙PAC+乙CAN,

^Z.BAP=乙CAN,

如解圖2,延長(zhǎng)⑷/到尸，使連接尸N,

,：BM=DM,Z,AMD="MB,

/.△AMD=△PMB(SAS)

：,AD=BP,

在△BAP和△C4V中,

AB=AC

乙BAP=乙CAN,

AP=AN

△BAP=△CAN(SAS)

，BP=CN,

=CN；

(3)

取4C的中點(diǎn)0,連接8。，取8。的中點(diǎn)K,連接KM,

,「將沿AM翻折得,

??Z-BAM=Z.MAB'AB'—AB=AC,

又=乙CAN,

=乙CAN,

工乙MAN一乙CAN=^MAN—乙MAB'，即：乙MAC=^NAB',

又“4VM=30。，AQ=^AC^AB',

tAM__AQ__1

,?前一菽-5'

A△AMQ?△ZNB,

?,BN=2MQ,

又。:BM=MD,BK=KQ,

???KM〃QO,

又?：AB=BC,

--BQA.ACf

：.BQ上KM,

???KQMMQ,當(dāng)W點(diǎn)與K點(diǎn)重合時(shí)，MQ取最小值，此時(shí)9N=2MQ取最小值,

??.。點(diǎn)與0點(diǎn)重合，即。為4C的中點(diǎn)時(shí)，QN取最小值，如解圖3-2；

設(shè)AD=a,

-AABC是等邊三角形，。點(diǎn)是4C的中點(diǎn)，

??Z/OM=NMOE=90。，/.ABD=30°

:.BD=百a,AB=BC=2a,

.-.MD=^BD=^a,

?'?AM—VMD2+AD2=J（曰a）+a2~斗a,

：.MN=AMtan^MAN=%x百=叵a,

22

-Z.MAE=^DAM.Z.AME=￡.ADM=^Q,

???△/ME-ZkAOM,

..MO_DE

'~AD~~MD'

3

???DE=%,

4

<CN=AD=a,

3

.BN—DE_BC+CN—DE_2a+a-%a_3^/21

,?MN-MN-亨a14-

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形綜合，涉及了等邊三角形、全等三角形、相似三角形的性質(zhì)和判定以及解

三角形等知識(shí)點(diǎn)，難度大，綜合性強(qiáng)，需要平時(shí)積累和訓(xùn)練.解題關(guān)鍵是根據(jù)題目的已知條件添加輔助線

構(gòu)造適當(dāng)?shù)娜切无D(zhuǎn)化線段和角的關(guān)系.

【例2】（2022?江蘇?八年級(jí)專題練習(xí)）（1）問題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，乙4c8=<DCE=90。，連接2D,BE,點(diǎn)4、D、E在同一條

直線上，貝吐4EB的度數(shù)為，線段4D、BE之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)拓展探究：

如圖2,aaCB和△DCE均為等腰直角三角形，乙4cB=NDCE=90。，連接力D,BE,點(diǎn)2、D、E不在一條

直線上，請(qǐng)判斷線段力D、BE之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(3)解決問題：

如圖3,△ACB和△DCE均為等腰三角形，乙ACB=LDCE=a,則直線4D和BE的夾角為.(請(qǐng)

用含a的式子表示)

【答案】(1)90°,AD=BE；(2)AD=BE,ADVBE-,(3)a

【分析】(1)由已知條件可得4C=BC,CD=CE,進(jìn)而根據(jù)乙4C5-zZ)CB=zZ)CE-zDC3,可得乙4c。=

乙BCE,證明AyiCZ)三ZiBCE(SAS),即可求得/。=8￡；ABEC=￡CDA=135°；

(2)延長(zhǎng)4。交BE于點(diǎn)巴同理可得A4CD三ZiBCE,設(shè)乙貝!|4。4。=4。3￡=45。-01,根據(jù)

以3￡=45。+45。-01=90。-01,進(jìn)而根據(jù)"FS=180。-乙FAB-UBE=180°-a-(90°-a)=90°,即可求解；

(3)延長(zhǎng)8E交N。于點(diǎn)G,方法同(2)證明A4CD三△3CE,進(jìn)而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求得直線

4。和BE的夾角.

【詳解】(1)???△2CB和△￡>￡1￡1均為等腰直角三角形，N4CB=NDCE=90。，

■.AC^BC,CD=CE,ACDE=45°

：./.CDA=U5°

???UCB-/.DCB=ADCE-ADCB,

：.AACD=^BCE.

在△/CD和△5CE中，

'AC=BC

乙ACD=(BCE,

CD=CE

,?.△ACD三ABCE(S4S),

:ZBEC=UDC=135°,AD=BE

.-■Z-AEB=9Q°

故答案為：90°,AD=BE

(2)AD=BE,ADLBE,理由如下，

同理可得MCDmABCE,

則AD=BE,

延長(zhǎng)4。交BE于點(diǎn)F,

設(shè)貝此CADNCAERO-a

.,23￡=45°+45°-a=90°-a

：./-AFB=\8Q°-4FAB-乙ABE=180°-a-(90°-a)=90°

E

■?■ADLBE

(3)如圖，延長(zhǎng)BE交/。于點(diǎn)G,

?.?△力CB和△DCE均為等腰三角形,

-'-AC=BC,CD=CE,

Z-ACB=Z-DCE=a,

；CB+UCE=3CE+UCE,

^Z-ACD=Z.BCE.

在△/CD和△BCE中，

(AC=BC

\z.ACD^Z.BCE,

(CD=CE

三

：aCD4BCE(SAS)f

工乙CBE=^CAD

,-'Z.ACB=Z.DCE=a

???乙CBA=cCAB=i(180°-a)=90°—a

.^GAB+/-GBA=^CAD4-/.CAB)+(乙ABC—乙CBE),

=CABC+乙CAB=180°-a,

-.AAGB=180°-^GAB+Z.GBA)=a,

即直線AD和BE的夾角為a.

故答案為：a.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握旋轉(zhuǎn)模型證

明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

【例3】(2022?江蘇?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖1,在A42C中，AELBC于E,AE=BE,。是/￡上的一點(diǎn)，

且。E=CE,連接8。，CD.

Cl)試判斷8。與/C的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)如圖2,若將△OCE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，試判斷2。與ZC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變

化，并說(shuō)明理由；

(3)如圖3,若將(2)中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變.

①試猜想與/C的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②你能求出AD與NC的夾角度數(shù)嗎？如果能，請(qǐng)直接寫出夾角度數(shù)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）BD=4C,BD1AC,理由見解析；（2）不變，理由見解析；（3）?BD=AC,理由見解析；②

能，60。或120°.

【分析】（1）延長(zhǎng)8。交NC于尸，根據(jù)“S4S”判定△BED三△4EC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求證；

（2）根據(jù)“S4S”判定△BED三△AEC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求證；

（3）①根據(jù)“SAS”判定△BED三△4EC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求證；②設(shè)2C與BD交于點(diǎn)F,根據(jù)

全等三角形的性質(zhì)，即可求證.

【詳解】（1）BD=AC,BD1AC,

理由：延長(zhǎng)AD交/C于尸.

；EB=UEC=90°,

在ABED和以石。中

'BE=AE

乙BED="EC

,DE=EC

/XBED三△4EC(SAS),

:.BD=AC,乙DBE=&CAE,

"BED=90°,

:,乙EBD+乙BDE=9。。，

“BDE=UDF,

：./.ADF+ACAE=90°,

“方。=180。-90。=90。，

?'-BDlyLC；

(2)

不發(fā)生變化，

理由是：MBEA=3EC=9。。,

；zBEA+UED=Z-DEC+Z-AED,

??/BED=Z.AEC,

在ABED和zMEC中，

BE=AE

乙BED=Z-AEC

DE=EC

:.△BEDzAAEC(SAS),

：.BD=AC,LBDE=LACE,

??"￡C=90。，

???，4CE+乙EOC=90。,

"EOC=3OF,

工人BDE+乙DOF=9。。，

向0=180。-90°=90°,

-.BD1AC；

(3)0???LBEA=^DEC=90°,

：/BEA+乙4ED—Z-DEC+Z.AED,

；/BED=UEC,

在和A4EC中，

'BE=AE

乙BED=Z.AEC

DE=EC

??.△BED三AAEC(￡4S),

???BD=AC,

②能.設(shè)AC與BD交于點(diǎn)凡如下圖:

理由：???A45E和△OEC是等邊三角形，

.■.AE=BE,DE=EC,乙EDC=4DCE=60°,乙BEA=4DEC=60°,

：/BEA+UED=zJDEC+Z.AED,

；/BED=UEC,

在△BE。和A4EC中，

BE=AE

(BED=Z-AEC,

DE=EC

??.△BED三AAEC(&4S),

；/BDE=UCE,BD=AC.

???乙DFC=180°-(Z^DE+乙EDC+乙DCF)

=180°-^ACE+Z.EDC+乙DCF)

=180。一(60。+60。)

=60°,

即BD與AC所成的角的度數(shù)為60?；?20°.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法與性質(zhì).

[例4](2021?福建?閩江學(xué)院附中九年級(jí)期中)正方形/BCD和正方形NEFG的邊長(zhǎng)分別為3和1,將正方

形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).

F

(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖1位置時(shí)，連接BE,DG,則線段和DG的關(guān)系為:

(2)在圖1中，連接3D,BF,DF,求在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中△AD尸的面積最大值；

(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)G,E,。在同一直線上時(shí)，求線段的長(zhǎng).

【答案】⑴BE=DG,BE1DG；⑵7.5；(3)+或的

【分析】(1)利用正方形的性質(zhì)證明△B4E三△ZMG即可證得結(jié)論；

(2)連接BD,BF,DF,AF,AC,設(shè)47交BD于點(diǎn)K.利用勾股定理求出力F,AK,由4F=正推出當(dāng)點(diǎn)尸,

A,K在同一直線上時(shí)，點(diǎn)F到BD的最大距離=V^+|V^=|VL由此可得結(jié)論；

(3)分兩種情形：如圖2-1中，當(dāng)D,E,G共線時(shí)，連接4尸交DG于T.如圖2-2中，當(dāng)D,E,G共線時(shí)，

連接4F交。E于T.利用勾股定理求出0T,可得結(jié)論.

【詳解】解：(1)BE=DG,BE1DG,理由如下：

如圖1中，設(shè)BE交4D于點(diǎn)。，交DG于點(diǎn)/.

圖1

??????四邊形42C。、四邊形4EFG都是正方形,

/-BAD=Z.EAG=90°,AB=AD,AG=AE,

???乙BAD+Z.DAE=Z-EAG+Z-DAE,

Z.BAE=乙DAG,

在△B4E和△IMG中，

(AB=AD

\z-BAE=Z.DAG,

(AE=AG

.'.ABAE=ADAG,

BE=AG,Z-ABE=/-ADG,

vZ.BOD=/.ABE+乙BAD=Z.ADG+乙DJO,

???乙84。=?0=90。，

BE_LDGf

故答案為：BE=DG,BELDG：

(2)如圖1中，連接BQ,BF,DF,AF,AC,設(shè)4C交BD于點(diǎn)K.

圖1

四邊形4BCD、四邊形4EFG都是正方形，

.-.AB=AD=3,NB4D=90°,EA=EF=1,NAEF=90°,

?,.BD=AC=V32+32=3V2，/尸=Vl2+l2=V2?

???AK=CK=p/2.

AF=五,

???當(dāng)點(diǎn)RA,K在同一直線上時(shí)，點(diǎn)尸到BD的最大距離=&+|V^=|x5

??.△BDF的面積的最大值為!X3V2X|V2=7.5；

(3)如圖2-1中，當(dāng)D,E,G共線時(shí)，連接4尸交DG于T.

圖2T

四邊形2EFG是正方形，

AF±EGfAF—EG=V2，

???AT=FT=TG=TE=|V2>

DT=\lAD2-AT2=J32-(|V2)2=1V34>

DG=GT+DT=|V2+|V34>

■.■BE=DG,

...BE=^2+|V34；

圖2-2

四邊形4EFG是正方形，

■■■AFIEG,AF=EG=5

???AT=FT=TG=TE

22

?1?DT=y/AD-AT=J32-(|V2)2=|V34>

DG—DT—GT—|V34—|V2^>

■：BE=DG,

BE=1V34-1V2；

綜上所述，滿足條件的DG的長(zhǎng)為何+京丘或右項(xiàng)-右反.

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題.

培優(yōu)訓(xùn)練

X.________________________z

一、解答題

1.(2022?四川自貢?九年級(jí)專題練習(xí))問題：如圖1,在等邊三角形/5C內(nèi)，點(diǎn)尸到頂點(diǎn)/、B、C的距離

分別是3,4,5,求乙4pB的度數(shù)？

探究由于刃、PB、PC不在同一個(gè)三角形中，為了解決本題，我們可以將A4AP繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到

A4cp處，連結(jié)尸P,這樣就將三條線段轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而利用全等的知識(shí)，求出ZJP8的度

數(shù).請(qǐng)你寫出解答過(guò)程：

應(yīng)用：請(qǐng)你利用上面的方法解答：如圖2,A48C中，乙C4B=90。,AB=AC,E、尸為3C上的點(diǎn)，且

&AF=45°,求證：BE2+FC2=EF2

【答案】探究：zJP5=150°,應(yīng)用：見解析

【分析】探究：運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及全等三角形的性質(zhì)得對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，得出/尸/尸'=

60°,再利用等邊三角形的判定得出為等邊三角形，即可得出N/PP的度數(shù)，即可得出答案；

應(yīng)用：利用已知首先得出△/EG四△/相，即可把斯，BE,尸C放到一個(gè)直角三角形中，從而根據(jù)勾股定

理即可證明.

【詳解】探究：解：將△45尸繞頂點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)到△4CP處，

:.ABAP名/\CAP，,

：.AB=AC,AP=AP',ZBAP=ZCAP',

AZBAC=ZPAPr=60°,

：.AAPP'是等邊三角形，

AZAPP'=60°,

因?yàn)?尸P不一定在一條直線上，

：.P'C=PB=4,PP'=P4=3,P'C=PC=5,

：.ZPPrC=90°,

???△尸尸'。是直角三角形，

:?/APB=NAP，C=ZAPP'+NPPC=60°+90°=150°,

AZBPA=150°；

應(yīng)用：證明：把△ZC歹繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△45G.連接EG.

則△ZCF也ZUBG.

：.AG=AF,BG=CF,/ABG=/ACF=45°.

VZBAC=90°,ZG^F=90°.

：.ZGAE=ZEAF=45°,

在△力△?和△4方￡中，

AG=AF

/.GAE=Z.FAE,

、AE=AE

:?△AEG名LAFE(SAS).

:?EF=EG,

又?；NGBE=90°,

：.BE2+BG2=EG2,

即BE2+CF2=EF2.

圖2

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，讀懂題

目信息，理解利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出全等三角形和等邊三角形以及直角三角形是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1,在四邊形力BCD中，對(duì)角線4C1BD,垂足是O,

求證：AB2+CD2=AD2+BC2.

【拓展遷移】（2）如圖2.以三角形48C的邊48、"為邊向外作正方形ABDE和正方形4CFG,求證：

CELBG.

（3）如圖3,在（2）小題條件不變的情況下，連接GE,若NEG4=90。，GE=6,AG=8,則BC的長(zhǎng)

.（直接填寫答案）

D

D

（）

B

圖1圖2

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2V73.

【分析】（1）根據(jù)利用勾股定理分別求出4辟+（：￡）2和2￡）2+802即可證明結(jié)論；

（2）利用正方形的性質(zhì)證明三4G/B（SAS）,可得上CEA=4GBA,根據(jù)NG8/+乙4N3=90。等量代換

求出N￡MN=90。即可；

（3）利用勾股定理分別求出/￡、CG和8E,然后利用（1）中結(jié)論求出3C即可.

【詳解】解：（1）■■ACLBD,

.-./-AOD=AAOB=ACOD=^BOC=90°,

由勾股定理得：AB2+CD2=OA2+OB2+OD2+OC2,AD2+BC2=OA2+OD2+OB2+OC2,

222

■■-AB+CD=4。2+BC；

(2)???在正方形ZBOE和正方形ACFG中，AC=AG,AE=AB,乙CAG=^EAB=90。,

.?./.CAG+^GAE=AEAB+Z-GAEf即NG4E=Z.G/5,

??.△CAE三AGAB(SAS),

???(CEA=^GBA,

??ZGBA+UNB=9。。,UNB=NNE,

：.^CEA+AMNE=90°,

-.Z.EMN=90°f

?，.CE_LBG；

(3)如圖3,連接CG,BE,

-Z.EGA=90°,GE=6,AG=8,

??.4C=8,AE=762+82=10,

：?CG=782+82=8仿BE=y/\o2+1。2=10小

??,CE1BG,

???由(1)可知：GE2+BC2=CG2+BE2,BR36+BC2=128+200,

-BOQ,

=2V73.

故答案為：2V73.

圖3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解答此題的關(guān)鍵.

3.（2022?全國(guó)?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角頂點(diǎn)，并將它們的底角

頂點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)連接起來(lái)得到兩個(gè)全等三角形，我們把這樣的圖形稱為“手拉手”圖形.如圖1,在“手拉手”圖

形中，AB=AC,AD^AE,乙BAC=^DAE,連結(jié)3。，CE,貝三A^CE.

圖1圖3

(1)請(qǐng)證明圖1的結(jié)論成立;

(2)如圖2,AZ8C和是等邊三角形，連接2。，EC交于點(diǎn)。，求乙BOC的度數(shù);

(3)如圖3,AB=BC,AABC=ABDC=60°,試探究乙4與NC的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)見解析

(2)60°

⑶乙4+乙8。》=180°,理由見解析

【分析】(1)利用等式的性質(zhì)得出即可得出結(jié)論;

(2)同(1)的方法判斷出A42D三△^CE,得出乙4。3=乙4改，再利用對(duì)頂角和三角形的內(nèi)角和定理判斷

出乙BOC=60。，即可得出答案;

(3)先判斷出△5D尸是等邊三角形，得出AD=3P,ADBP=60°,進(jìn)而判斷出“8。三△CB尸(S/S),即可得

出結(jié)論.

(1)

解：證明：?.?L

:.乙BAC+乙CAD=KDAE+￡C4D,

:.乙BAD=4CAE,

在△ABD和A4CE中,

'AB^AC

乙BAD=Z.CAE,

.AD=AE

■■.AABD=AACE(SAS)；

(2)

如圖2,

■.■AABC和A4DE是等邊三角形,

：.AB=AC,AD=AE,LBAC=4DAE=60°,

?t-Z-BAD=Z-CAE,

在A45。和中,

AB=AC

Z-BAD=Z.CAE,

,AD=AE

??.△ABD三AACE(S4S),

：.Z-ADB=/,AEC,

令4。與C￡交于點(diǎn)G,

?.aGE=XDGO,

.-.180。-乙4Z)5-〃)GO=180。-乙4￡OGE,

；/DOE=cDAE=6。。,

?"OC=60。；

(3)

乙4+48。。=180。.理由:

如圖3,延長(zhǎng)。。至P,使DP=DB,

圖3

?40060。，

???△AD尸是等邊三角形，

:.BD=BP,ADBP=60°,

,%BC=60o=cDBP,

：&BD=^CBP,

?：AB=CB,

.?.MBDz4CBP(S4S),

"BCP=4,

vz5CD+z^CP=180°,

.-.Z^+ZSCD=18O°.

【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和

性質(zhì)，構(gòu)造等邊三角形是解本題的關(guān)鍵.

4.(2022?重慶開州?八年級(jí)期末)在正方形4BCD中，連接對(duì)角線NC,在/C上截取4E=BC,連接

過(guò)點(diǎn)/作4F1BE于點(diǎn)R延長(zhǎng)//交8c于點(diǎn)

(1)如圖1,連接ME并延長(zhǎng)交40的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，若BC=5,求△4QM的面積；

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)/作APIAM于點(diǎn)/,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，求證：AP-2FM=BE.

【答案】⑴S/\4QM=泉/^

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)，再利用邊角邊的判定定理，可證4AEM三再根據(jù)

全等的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)證明△力EQ為等腰直角三角形，求出40的長(zhǎng)，最后用三角形的面積公式求

出△力QM的面積即可；

(2)如圖(見詳解)，在E4上截取FG=FM,連接5G,先利用角邊角的判定定理證明△ABM三△4DP,

再利用角邊角的判定定理證明△4BG三zXBCE,就能得到AG=BE,MG=2FM,即可證明

AP-2FM=BE.

(1)

(1)解：???四邊形/BCD是正方形

??AB-BC—5.

■：AE=BC,

??AE=AB=5.

又???”18E,

：.￡.EAM=Z.BAM.

且/M=ZM,

?.AAEM=AABM(SAS).

：.Z.AEM=Z.ABM=90°,^AEQ=90°.

SQAC=45°

=180°-Z.AEQ-Z.QAC=45°.

，乙Q=Z.QAC.

-9-AE=QE=5,

■■AQ=yjAE2+QE2=5V2-

-,'S^AQM=^AQ-AB=^x5V2x5=^V2-

(2)

證明：如圖，在E4上截取FG=FM,連接8G.

???四邊形N8CD是正方形，尸在CD的延長(zhǎng)線上,

.?2BM=N4DP=90°.

JL-APLAM,

.-.^PAM=ABAD=90°,

.■.ABAD-ADAM=APAM-ADAM,

即N84M=A.DAP.

5L-：AB=AD,

???△ABM=△ADP(ASA).

.-.AM=AP.

SC是正方形ABCD的對(duì)角線，

??ZB/C=45。，

.-.ZEXM=/-BAM=斐BAC=22.5°,

：.Z-AMB=1800-AABC-Z.BAM=67.5°.

又,：FG=FM,AF1BE,

??.B/垂直平分MG,

；.BM=BG,

???乙4MB=NBGM=67.5。，

???乙MBG==180-67.5-67.5=45°.

又???BM=BG,BF工MG,

="MBG=22.5。.

2

??Z-BAG=Z.CBE.

-Z.ABG=乙ABC—乙MBG=90°-45°=45°.

??Z-ABG=乙BCE.

又,：AB=BC,

???△4BGwZkBCE(4SZ),

MG=BE.

又??,FG=FM,

???MG=2FM.

-AM=MG+AG,

.-.AP=2FM+BE,^AP-2FM=BE.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)幾何綜合,

熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理以及全等三角形的判定定理并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

5.(2022?福建省福州延安中學(xué)模擬預(yù)測(cè))如圖，在必A42C中，^ACB=90°,AC=BC,。為斜邊上一

動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)48重合)，以C為旋轉(zhuǎn)中心，將CD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到CE,連接/￡,BE,尸為/￡的

中點(diǎn).

c

(1)求證：BE1AB；

(2)用等式表示線段CD,BE,C尸三者之間數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)若CF=|,CD=S求tanNBCE的值.

【答案】(1)見解析

(2)4CF2+BE2^2CD2,見解析

觴

【分析】(1)通過(guò)證明△ZCDwAgCE即可證明；(2)連接。RDE,通過(guò)證明兩邊對(duì)應(yīng)成比例及其夾角相

等，證△GW?△CM,得與5。的關(guān)系，然后根據(jù)勾股定理得出結(jié)論；(3)利用(2)中的結(jié)論即可求

解.

(1)

證明：

-CD旋轉(zhuǎn)90。得到CE

；.CD=CE,乙BCE+乙BCD=9。。.

-Z-ACB=Z.ACD+乙BCD=90°

??Z.ACD=乙BCE

在ZUC。和△BC￡中，

AC=BC

｛乙4co=Z-BCE

CD=CE

???△ACD以BCE(SAS)

-'-Z.CAD=Z.CBE

-Z.ACB=90°,AC=BC,

=Z.CBA=Z.CBE=45°

???乙=/.CBA+乙CBE=90°

.'.BELAB.

⑵

法一：解：4CF2+BE2=2CD2

理由如下：

取/C中點(diǎn)為G點(diǎn)，連接GRDE,

?于為NE中點(diǎn)

.WG為A4CE的中位線，

-.FG||CE,FG=*E,

??ZCGF+"CE=180。.

“BCD+Z.ACB=乙BCD+乙ACD+Z.DCE=180°

'-Z-CGF=乙BCD.

-：AC=BC,CD=CE,

tFG_FG_1CG_CG_1

'''CE~'CD~29~AC~~BC~2f

.FG_CG

'''CD~~BC'

:?△GCFFCBD

,CF_1

即。尸=觸.

在RfABDE中,BD2+BE2=DE2

在RtACDE中，CD=DExsin45°=返DE

2

-'-DE=近CD

???(2CF)2+BE2=2CD2

■■.4CF2+BE2=2CD2

法二：解：4CF2+BE2=2CD2

???延長(zhǎng)CF交48于點(diǎn)8

連接8尸

由⑴得，乙4BE=90°

?于為NE的中點(diǎn)

■■.BF=\AE=AF

■■AC=BC

■.C,尸在線段的垂直平分線上,

???CF垂直平分

:五為AB中點(diǎn).

.?.FH為A48E的中位線

：.FH=^BE.

,:4ACDmABCE,

'-BE=AD

■■■CH=^AB

：.CF=CH-FH=^AB-AE}=^BD.

在無(wú)△CDH中，

CD2=CH2+DH2

?■AH=BH=CH

.'.AD2+BD2=(AH-DH)2+(DH+BH)2=2DH2+2AH2=2DH2+2CH2

■■.AD2+BD2=2CD2

：ACF2+BE2=2CD2

或者：連接8。

在RtZ^BDE中,BD2+BE2=DE2

在RtACDE中，CD=DExsin45°=返DE

2

-'-DE=近CD

??.(2CF)2+BE2=2CD2

?■-4CF2+BE2=2CD2

法三：解：4CF2+BE2=2CD2

理由如下：

連接8尸

C

由⑴得，NABE=90°

???/為NE的中點(diǎn)

：.BF==AF

■■■AC=BC

■.C,尸在線段的垂直平分線上,

???CF垂直平分48.

延長(zhǎng)CT交45于點(diǎn)。如圖所示，以點(diǎn)。為原點(diǎn)以45所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)4。=a,OB=b

貝ij/(一瓦0),8(瓦0),C(0,b),0(@—80)

???△ACD經(jīng)ABCE,

：.BE=AD

???E(0,a),F(0,f)

???在Rt^CDO中，

?,?CD2=房+(a—b)2=2b2+a2-2ab

BE2=a2,

9a2

CF2=(b——)=b2+——ab

L4

-.2CF2+^BE2^CD2.

22

即4。產(chǎn)+BE=2CD.

(3)

解：?1-CF=|,CD=后由(2)W4CF2+BE2=2CD2,

解得：BE=1.

過(guò)點(diǎn)E作EGLBC于點(diǎn)G

vzCBE=45o,

??.在RtABEG中，GE=BE-sin45°=返,

2

■.BE=BG=—.

2

■-CD=V5>

由（1）得CE=CD=",

.?.在RtABEG中，CG=y/CE2-EG2=J（場(chǎng)2_（?1=

在RSEG中，

.?.tanzBCF=^EG=^—=|1.

CG|V23

【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等、相似、勾股定理等，屬于幾何綜合題目，靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)，作輔助線，構(gòu)

造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

6.（2022?浙江湖州?中考真題）已知在尺加聞?。中，zJC5=90°,a,6分別表示zJ,4的對(duì)邊，a>b.記

△ABC的面積為S.

圖2

圖3

⑴如圖1,分別以AC,CB為邊向形外作正方形ACDE和正方形BGFC.記正方形ACDE的面積為Si，正

方形3G尸C的面積為S2.

①若Si=9,S2=16,求S的值；

②延長(zhǎng)及4交G8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,連結(jié)尸N,交BC于點(diǎn)M,交4B于點(diǎn)H.若FHLAB(如圖2所示)，求

證：52—S]=2S.

(2)如圖3,分別以NC,CB為邊向形外作等邊三角形/CD和等邊三角形CAE,記等邊三角形NCD的面積

為Si，等邊三角形C2E的面積為S2.以AB為邊向上作等邊三角形48尸(點(diǎn)C在A42尸內(nèi))，連結(jié)所，

CF.若EFLCF,試探索S2—Si與S之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】⑴①6；②見解析

(2)S2-SI="S,理由見解析

【分析】(1)①將面積用。，6的代數(shù)式表示出來(lái)，計(jì)算，即可

②利用NN公共邊，發(fā)現(xiàn)△FAN-Z^ANB,禾傭篇=獲得到。，6的關(guān)系式，化簡(jiǎn)，變形，即可得結(jié)論

(2)等邊△ABF與等邊ACBE共頂點(diǎn)瓦形成手拉手模型，AABC^AFBE,利用全等的對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角,

得到：AC=FE=b,"￡2=乙4c8=90。，從而得到zFEC=30。，再利用RtZkCFE,cos30°==

CEa2

得到。與6的關(guān)系，從而得到結(jié)論

(1)

?.5]=9,S2=16

???b=3,a=4

???乙408=90。

11

???S=22-ab=-x3x4=6

②由題意得：乙FAN=UNB=900,

-FHLAB

:&FN=90°—(FAH=(NAB

-.AFAN-AANB

.FA_AN

^~AN~~NB

.a+b_a

=b9

得：ab-\-b2=a2

?,?2S+Si=S2.

即S2-S1=2s

⑵

s?—S1=；s,理由如下：

-AABF和△5￡C都是等邊三角形

:?AB=FB,ABC=60?！?FBC=CFBE,CB=EB

?，AABC=AFBE(SAS)

??.AC=FE=b

乙FEB=L4cB=90。

.-.Z.FEC=30°

??,EF1CF,CE=BC=a

bFEnnoV3

=—=cos30°=—

aCE2

??b=-a

2

?，?S=^-ab=—a2

24

由題意得：S1=旦2,S=旦2

44

..62-51=旦2一旬2=42

4416

??-52-5I=

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，相似，手拉手模型，代數(shù)運(yùn)算，本題難點(diǎn)是圖二中的相似和圖三中的手拉手

全等

7.(2022?貴州遵義?三模)某校數(shù)學(xué)興趣學(xué)習(xí)小組在一次活動(dòng)中，對(duì)一些特殊幾何圖形具有的性質(zhì)進(jìn)行了如

下探究：

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1,在等腰△2BC中，AB^AC,點(diǎn)M是邊BC上任意一點(diǎn)，連接AM,以2M為腰作等腰

AAMN,使2M=AN,"AN=^BAC,連接CN.求證：AACN=AABM.

(2)類比探究：如圖2,在等腰△4BC中，Z5=3O°,AB=BC,AC=4,點(diǎn)”是邊BC上任意一點(diǎn)，以AM為

腰作等腰△力MN,使4M=MN,乙AMN=4B.在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，4V是否存在最小值？若存在，求出最

小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)拓展應(yīng)用：如圖3,在正方形4BCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG,“是正方形DEFG

的中心，連接CH.若正方形DEFG的邊長(zhǎng)為6,CH=2五,求△「￡)//的面積.

【答案】(1)證明見解析

(2)/N存在最小值，最小值為：2

(3)714+2

【分析】(1)先證明再利用全等三角形性質(zhì)即可得證；

(2)過(guò)/作于〃，設(shè)/由x,先根據(jù)/C的長(zhǎng)度及乙8度數(shù)，解直角三角形，求出x值，再證明

AABJAAMC,得與NN的比值，將NN的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值，由垂線段最短知NM12C時(shí)取

最小值，即可得解；

(3)連接8。、EH,過(guò)X作以。1CD,證明△HOC”△磯＞77,得8E的長(zhǎng)度，設(shè)CE=x,解直角三角形CDE,

求出x值，利用相似三角形性質(zhì)知〃)C〃=45。，求出“。的長(zhǎng)度，代入三角形面積公式即可.

(1)

證明：-：/^AC=/-MAN,

:ZBAC-乙CAM=^MAN—/.CAM,

■：AB=AC,AM=AN,

.-.AABM=AACN,

:/CAN=UBM.

(2)

解：4N存在最小值，理由如下：

過(guò)4作4815。于如圖所示,

設(shè)4由工,

?"=30。，

；.AB=2x=BC,BH=gx,CH=Q—g)x,

在用A4CH中，由勾股定理得：［(2_V§)X「+/=42,

解得：*2=%2+后)，舍去負(fù)值，

?,?%=存+傷

??AB=2.y/^+2\^,

.?_2V^+2遮_尼+加

"AC42—'

?"MN=?AM=MN,AB=BC,

:.ABACs

,AM_AB_痣+小

"AN-AC2-，

由垂線段最短知，當(dāng)4M15。時(shí)，4M取最小值，最小值為47/的長(zhǎng)度,

故/N存在最小值，最小值為：(V6+V2)=2.

(3)

解：連接AD,EH,過(guò)〃作HQ1C。于Q,如圖所示,

為正方形DEFG的中心，

：.DH=EH,LDHE=90。,

???四邊形4BCZ)為正方形，

??.BC=CD,乙BCD=90。,

工(BDE+乙CDE=^CDH+乙CDE=45°,

???乙BDE=cCDH,

BDDEf-

,:而=而=五'

:ZDEFCDH,

；/DCH=MBE=45°,BESCH=4,

設(shè)CE=x,則CD=x+4,

?；DE=6,

??,由勾股定理得：/+(%+4)2=62,

角牟得：X=V14-2^X=-V14-2(舍)，

?，-0)=714+2,

在放△C7)H中，CQ=QH=2f

??.△CD”的面積為Tx(V14+2)X2=V14+2.

【點(diǎn)睛】本題考查了手拉手全等（相似）模型、正方形性質(zhì)、勾股定理解直角三角形、垂線段最短、特殊

角的三角函數(shù)值等知識(shí)點(diǎn).本題綜合性強(qiáng)，根據(jù)題意作出輔助線借助相似三角形求線段間的關(guān)系是解題關(guān)

鍵.

8.(2022?重慶一中七年級(jí)期中)如圖，等腰三角形/3C和等腰三角形NDE,其中48=/C,AD^AE.

(1)如圖1,若如C=90。，當(dāng)C、D、E共線時(shí)，4D的延長(zhǎng)線4F12C交2c于點(diǎn)尸，則；

(2)如圖2,連接CD、BE,延長(zhǎng)ED交8c于點(diǎn)尸，若點(diǎn)尸是8c的中點(diǎn)，乙BAC=￡DAE,證明：AD1CD；

(3)如圖3,延長(zhǎng)DC到點(diǎn)連接使得乙48A/+乙4cM=180。，延長(zhǎng)瓦入BM交于點(diǎn)、N,連接/N,若

乙BAC=2乙N4D,請(qǐng)寫出"LDM、ZZXE它們之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過(guò)程.

【答案】⑴22.5。

(2)見解析

⑶。4E+2乙4。〃=180。，詳見解析

【分析】(1)由等腰直角三角形性質(zhì)得乙8=4。尸=45。，再由三角形外角性質(zhì)知乙4c￡=N8C凡代入求值即

可；

(2)連接4F,過(guò)4作由手拉手相似得A4CDSA4F//,得4CDF日人R4C,再由乙4?！?90。一^

ZJ)AE,等量代換即可得證；

⑶將/N繞/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的C的度數(shù)，交延長(zhǎng)線于。，證明2MC。三AIBN,得4N=AQ,再證明

AAND^AAQD,得UDQ=UND,由對(duì)頂角相等得乙10河=乙4￡>￡,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)等量代換即可解

答.

(1)

解：為等腰三角形，乙BAC=90。,

；&BC=UCB=45°,

由三角形外角性質(zhì)知，/-ADE=/-ACE+/-DAC,乙4ED=^ECB+乙B,

?■?AD=AE,

/-ADE=/-AED,

???乙4CE+乙DAC=KECBMB,

???AFLBC,

."/月=乙。。=45。，

；.￡ACE=LBCE,

又乙405=45。，

山CE=22.5。，

故答案為：22.5°.

(2)

解：連接4尸，過(guò)力作4/1所于兄如圖所示,

vZ-BAC=Z.DAE,AD=AE,AB=AC,

；?LCAF=LBAF=LDAH=4AH,

：^CAD=LHAF,

由"CF?A4O”知I,

tAF_AC

??屈―布’

；,/\ACD-3FH,

山CD=4FH,

:'乙CDF=cCAF,

?"DE=UED=90。-^ADAE,

：.UDE+乙CDF=90。,

故。。090。,

即ADLCD.

(3)

解：將4N繞4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)如。的度數(shù)，交延長(zhǎng)線于。,

???乙BAC=^QAN,

：.Z.QAC=Z-BAN,

???乙4員以+乙4cM=180。，乙4