2024-2025學(xué)年北京某中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年北京工大附中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求

的）

1.（2分）下面的圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

*7感

c.7D.

2.（2分）一元二次方程，-16X=0的根是（）

A.x=0B.xi=4,X2=-4

C.x=16D.xi=0,X2=16

3.（2分）將拋物線了=（x-1）2+2的圖象向下平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后，得到的

拋物線的解析式為（）

A.y—（x+2）2B.y—（x-4）2

C.y=（x+2）2+4D.y=（x-2）2+4

4.（2分）用配方法解方程f-4x+l=0,則方程可變形為（）

A.（x-2）2=5B.（x-2）2=3C.（x-1）2=3D.（x-4）2=1

5.（2分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，A,B,C,D,E,F,G,H,I,1/是網(wǎng)格線交點，則其對稱中心是（）

A.點GB.點HC.點/D.點/

6.（2分）如圖，正方形/BCD的對角線相交于點O,正方形與正方形/BCD的邊長相等，已知

4B=2,則旋轉(zhuǎn)過程中兩個正方形重疊部分的面積為（）

第1頁（共25頁）

A.2B.V2C.ID.無法確定

7.（2分）在同一坐標(biāo)系中，二次函數(shù)夕=^2+。的圖象與一次函數(shù)＞=cx+a的圖象可能是（）

8.（2分）跳臺滑雪是冬季奧運會比賽項目之一，運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，

運動員起跳后的豎直高度y（單位：加）（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=ax2+6x+c（aWO）.如圖記錄

了某運動員起跳后的x與y的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，水平距離為（）

A.10mB.15mC.20mD.22.5m

二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）

第2頁（共25頁）

9.（2分）在函數(shù)y=恁中,自變量X的取值范圍是.

10.（2分）不等式2（x-3）W5x+6的解集為.

11.（2分）拋物線y=x2-4x-5與x軸的交點坐標(biāo)為.

12.（2分）若〃?、〃是一元二次方程3--b+2=0的兩個根，貝!|.

13.（2分）如圖，將△48C繞點/順時針旋轉(zhuǎn)a（0°<a<90°）得到則/4DE

=.（用含a的式子表示）

14.（2分）如圖三角點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點，已知前發(fā)行共有210個點，則

k的值為.

15.（2分）如圖，一次函數(shù)（左W0）與二次函數(shù)"uad+bx+c（aWO）的圖象相交于/（-1,5）、

B（9,2）,則關(guān)于x的不等式fcr+HZaf+bx+c的解集為.

16.（2分）如圖是二次函數(shù)y=ax2+6x+c的圖象的一部分；圖象過點/（-3,0）,對稱軸為x=-停>4碇；

②2a+6=0；③a-6+c=0.其中正確的是.（填序號）

第3頁（共25頁）

y

三、解答題(本大題共11個小題，共68分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.計算：V3-(^-)-1+V12+(-2O24)0-

18.解方程：X2-4X-5=0.

19.解方程：二_3=1.

X-1X

20.化簡:詈⑴

21.已知機是方程x?+3x-4=0的一個根，求代數(shù)式(m+1)2+m(m+4)的值.

22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，△042的頂點坐標(biāo)分別為。(0,0),A(5,0),B(4,-3),點

A旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為4.

(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形△OHB'；

(2)點的坐標(biāo)是；點"的坐標(biāo)是

(3)ABOB'的形狀是.

23.已知關(guān)于x的一元二次方程f+(2-m)x+1-m=0.

(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；

第4頁(共25頁)

(2)若%<0,且此方程的兩個實數(shù)根的差為3,求〃?的值.

24.我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面，經(jīng)過鍋心和蓋心的縱斷面是兩段拋物線組合而成封閉圖形，

不妨簡稱為“鍋線”，鍋蓋高1面(鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同)，建立直角坐標(biāo)系如圖①所示1=/2

-3(-3WxW3),把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C2：”=-Xr2+1(-3WxW3)

9

(1)求鍋深OD的長；

(2)如果炒菜時鍋的水位高度是1曲?，求此時水面的直徑；

(3)如果將一個底面直徑為33%,高度為3.24%的圓柱形器皿放入炒菜鍋內(nèi)蒸食物，鍋蓋能否正常蓋

上？請說明理由.

實物圖圖①

25.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M(xi，yi),N(%2,y2)是拋物線y=ax2+6x+c(a>0)上任意兩點，設(shè)

拋物線的對稱軸為直線》=/.

(1)右對于Xl=l,X2=2,有yi=_V2,求才的值；

(2)若對于1<X2<2,都有yiW”，求/的取值范圍.

26.四邊形是正方形，將線段C〃繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)2a(45°<a<90°),得到線段CE,過點8

作BF_LDE交DE于F,連接2E.

(1)依題意補全圖1:

(2)直接寫出/EBE的度數(shù)；

(3)連接/尸，用等式表示線段”與?！甑臄?shù)量關(guān)系，并證

第5頁(共25頁)

27.為了測量拋物線的開口大小，某數(shù)學(xué)興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放置，并分別以水平放置的

直尺和豎直放置的直尺為x,該數(shù)學(xué)小組選擇不同位置測量數(shù)據(jù)如下表所示，設(shè)3。的讀數(shù)為x,拋物

線的頂點為C.

(1)

(I)列表：

①②③④⑤⑥

X023456

y012.2546.259

(II)描點：請將表格中的(x,?)描在圖2中；

(III)連線：請用平滑的曲線在圖2將上述點連接，并求出y與x的關(guān)系式；

(2)如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a(x-A)2+左的頂點為C,該數(shù)學(xué)興趣小組用水

平和豎直直尺測量其水平跨度為N3,豎直跨度為C〃，CD=n,為了求出該拋物線的開口大小，請選擇

其中一種方案，并完善過程：

方案一：將二次函數(shù)(x-h)2+左平移，使得頂點C與原點。重合，此時拋物線解析式為

①此時點夕的坐標(biāo)為;

②將點2'坐標(biāo)代入中，解得。=；(用含"的式子表示°)

方案二：設(shè)C點坐標(biāo)為(h,k).

①此時點B的坐標(biāo)為；

②將點8坐標(biāo)代入y=a(x-〃)2+后中解得a=；(用含相，"的式子表示a)

(3)【應(yīng)用】已知平面直角坐標(biāo)系中有4,8兩點，4B=4,二次函數(shù)。：/=2(x+〃)2+左和02：

y2=a(x+〃)2+6都經(jīng)過/,3兩點，且。和。2的頂點尸，。距線段N3的距離之和為10,求a的值.

第6頁(共25頁)

圖1圖2

圖3

第7頁（共25頁）

2024-2025學(xué)年北京工大附中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求

的）

1.（2分）下面的圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

（^）

C.ND.

【解答】解：A,是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

是軸對稱圖形，故此選項正確；

C、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

。、是軸對稱圖形，故此選項錯誤.

故選：B.

2.（2分）一元二次方程，-16x=0的根是（）

A.x=0B.xi=4,X2=-4

C.x=16D.xi=0,X2=16

【解答】解：???X2-16X=0,

??x（x-16）=5,

貝（Jx=0或x-16=0,

解得X6=0，X2=16,

故選：D.

3.（2分）將拋物線歹=（x-1）2+2的圖象向下平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后，得到的

拋物線的解析式為（）

A.y=（x+2）2B.y=（x-4）2

C.y=（x+2）2+4D.y=（x-2）2+4

【解答】解：拋物線歹=（工-1）2+5先向下平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度得：歹=-（%

第8頁（共25頁）

-7-3）2+5-2,即尸（x-4）5；

故選：B.

4.（2分）用配方法解方程f-4x+l=0,則方程可變形為（）

A.（x-2）2=5B.（x-2）2=3C.（x-1）2=3D.（x-4）2=1

【解答】解：x2-4x+3=0,

貝U，-3X+4=3,

（x-8）2=3,

故選：B.

5.（2分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，A,B,C,D,E,F,G,H,I,J是網(wǎng)格線交點，則其對稱中心是（）

A.點GB.點77C.點/D.點J

【解答】解：???△N8C與△。昉關(guān)于某點成中心對稱,

對應(yīng)點3和E的連線與對應(yīng)點。和尸的連線的交點/是對稱中心.

6.（2分）如圖，正方形48CD的對角線相父于點。，正方形與正方形/BCD的邊長相等，已知

AB=2,則旋轉(zhuǎn)過程中兩個正方形重疊部分的面積為（）

第9頁（共25頁）

A.2B.V2C.1D.無法確定

【解答】解：設(shè)48與OH交于點E,BC與0。交于點尸，

:四邊形是正方形，

:.NEBO=NFCO=45°,OB=OC.

'：ZEOB+ZFOB=90°,ZFOC+ZFOB=90°,

ZEOB=ZFOC.

:.△EOB%AFOCCASA).

：./XEOB面積=AFOC面積，

/.四邊形EBFO面積=△08C面積.

,/正方形ABCD的邊長為2,

所以正方形NBCZ）的面積為4,

則△O5C面積=工正方形/2CZ）面積=1.

故選：C.

7.（2分）在同一坐標(biāo)系中，二次函數(shù)夕="2+。的圖象與一次函數(shù)y=cx+a的圖象可能是（）

A.

第10頁（共25頁）

c.

【解答】解：/、由拋物線y=a/+c,可知圖象開口向上，可知。＞0,則直線y=cx+a經(jīng)過一，二，故

此選項不符合題意；

B、由拋物線可知圖象開口向上，可知。＞0,則直線y=cx+a經(jīng)過一，二，故此選項不符合

題意；

C、由拋物線y=a/+c,可知圖象開口向下，可知。＜4,則直線y=cx+a經(jīng)過一，三，故此選項符合題

忌；

D、由拋物線yuaf+c,可知圖象開口向下，可知。＜0,則直線y=cx+a經(jīng)過二、三，故此選項不符合

題意；

故選：C.

8.（2分）跳臺滑雪是冬季奧運會比賽項目之一，運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，

運動員起跳后的豎直高度y（單位：m）（單位：加）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=ax2+6x+c（aWO）.如圖記錄

了某運動員起跳后的x與y的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，水平距離為（）

A.10mB.15mC.20mD.22.5m

【解答】解:

法一：根據(jù)題意知，拋物線＞="2+歷形（aWO）經(jīng)過點（5,54.0）,46.2）,57.7）,

'c=54.0

M-1600a+40b+c=46.2

,400a+20b+c=57.3

第11頁（共25頁）

a=-0.0195

解得"b=0.585

.c=54.7

所以X=--=0.585

2a2X(-0.0195)

法二：?.?拋物線開口向下，

.?.離對稱軸越近，位置越高，

從/、。兩點來看，即在20左邊,

從N、8兩點來看，即在10右邊,

二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）

9.（2分）在函數(shù)y=信中,自變量x的取值范圍是

x>1

【解答】解：由題意可知：

[x-17^0

解得：x>6

故答案為：x>l

10.（2分）不等式2（x-3）W5x+6的解集為G-4

【解答】解：2（x-3）W2x+6,

去括號得：2x-3W5x+6,

移項得：7x-5xW6+4,

合并同類項得：-3xW12,

第12頁（共25頁）

解得：-4.

故答案為：工2-2.

11.（2分）拋物線了=/-4%-5與7軸的交點坐標(biāo)為（-1,0）或（5,0）

【解答】解：當(dāng)y=0時，0=X3-4%-5,

解得：%=-6或%=5,

???拋物線產(chǎn)/-6%-5與工軸的交點坐標(biāo)為（-1,2）或（5,

故答案為：（-1,7）或（5.

12.（2分）若加、幾是一元二次方程3--后葉2=0的兩個根，則加〃=—.

一廠

【解答】解：?.?加、〃是一元二次方程3,-后升5=0的根，

mn——.

3

故答案為：2.

3

13.（2分）如圖，將△48C繞點/順時針旋轉(zhuǎn)a（0°<a<90°）得到△4DE,則N4DE=90°-Xa

2

【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AD=AB,

：.ZADB=ZB,

*.*NBAD=OL,

ZADE—ZADB—-(lgQ0-0.)=90°-Q,

故答案為：90°-la.

3

14.（2分）如圖三角點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點，已知前后行共有210個點，則

k的值為20.

第13頁（共25頁）

【解答】解：由題知，

前1行點的總數(shù)是：1=4；

前2行點的總數(shù)是：1+2=3；

前3行點的總數(shù)是：5+2+3=5；

所以前?行點的總數(shù)是：l+2+6+i=n（n+l）.

2

因為前發(fā)行共有210個點，

所以*曳_=210，

解得左=20或-21,

因為左為正整數(shù)，

所以左=20.

故答案為：20.

15.（2分）如圖，一次函數(shù)yi=Ax+力（發(fā)片0）與二次函數(shù)了2=a/+6x+c（aWO）的圖象相交于/（-1,5）、

B（9,2）,則關(guān)于x的不等式foc+〃》ax2+bx+c的解集為-1WxW9.

【解答】解：根據(jù)圖象可得關(guān)于x的不等式的解集是：-1WXW4.

故答案為：-1WXW9.

16.（2分）如圖是二次函數(shù)y=a/+6x+c的圖象的一部分；圖象過點/（-3,0）,對稱軸為x=-仔＞4℃；

②20+6=0；③a-6+c=0.其中正確的是①.（填序號）

第14頁（共25頁）

【解答】解：①;圖象與X軸有兩個交點，

b1-4qc>4,

即b2>4ac,正確；

②：對稱軸為直線x=--L=-1,

2a

?**2q=b.

：.5a+b=4a<0,故②錯誤；

③：x=-5時y有最大值，

由圖象可知-6+c>0,故yWO,

...③錯誤.

故答案為：①.

三、解答題(本大題共U個小題，共68分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.計算：V3-(4)~1+V12+(-2O24)0-

O

【解答】解：原式=?-3+6%

=3遍-2.

18.解方程：X2-4X-5=0.

【解答】解:(x+1)(x-5)=6,

貝!Jx+l=0或x-5=0,

.*.%=-1或x=4.

19.解方程：

X-1X

【解答】解：方程兩邊都乘以x(X-1),得

X2+8(x-1)=x(x-1),

解這個方程，得X&

3

第15頁(共25頁)

經(jīng)檢驗，X上是原方程的根.

2

原方程的根是乂上.

3

2

20.化簡：聲里三二1.

a-113a

2

【解答】解：(空2_8).二二1

a-l4a

=a+2-a+l.(a+1)(aT)

a-48a

=3?(a+6)(a-l)

a-l3a

=a+7

a

21.已知加是方程/+3x-4=0的一個根，求代數(shù)式(冽+1)2+m(m+4)的值.

【解答】解：由題意可得：m2+3m-6=0,

m2+6m=4,

原式=m2+4m+1+m2+7m

=2m2+7m+l

=2(m2+3m)+1

=8X4+1

=7.

22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△CMB的頂點坐標(biāo)分別為。(0,0),A(5,0),B(4,-3),點

4旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為4.

(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形△(?/'B'；

(2)點H的坐標(biāo)是(0,-5)；點夕的坐標(biāo)是(-3,-4)；

(3)^BOB'的形狀是等腰直角三角形.

第16頁(共25頁)

【解答】解：（1）作出點/、8旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點4,順次連接，如圖所示:

（2）根據(jù)圖可知，點4的坐標(biāo)是（0；點次的坐標(biāo)是（-3.

故答案為：（3,-5）,-4）.

（3）連接29,根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，/BOB'=90°,

...△8。夕為等腰直角三角形.

故答案為：等腰直角三角形.

23.已知關(guān)于x的一元二次方程一+（2-加）x+1-機=0.

（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若%<0,且此方程的兩個實數(shù)根的差為3,求〃?的值.

【解答】（1）證明：：一元二次方程x?+（2-w）x+4-m=0,

A=（2-加）7-4（1-m）

第17頁（共25頁）

=m6-4m+4-7+4m=m2.

A20.

???該方程總有兩個實數(shù)根.

(2)解：:一元二次方程/+(2-m)x+1-m=3f

解方程，得xi=-1,xs=m-1.

Vm<0,

-3>m-1.

???該方程的兩個實數(shù)根的差為3,

：.-2-(m-1)=3.

*.m=-3.

24.我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面，經(jīng)過鍋心和蓋心的縱斷面是兩段拋物線組合而成封閉圖形，

不妨簡稱為“鍋線”，鍋蓋高1面(鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同)，建立直角坐標(biāo)系如圖①所示1=/2

-3(-34W3),把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C2：”=-(-3WXW3)

9

(1)求鍋深OD的長；

(2)如果炒菜時鍋的水位高度是1dm,求此時水面的直徑；

(3)如果將一個底面直徑為31〃?，高度為3.2加1的圓柱形器皿放入炒菜鍋內(nèi)蒸食物，鍋蓋能否正常蓋

上？請說明理由.

【解答】解：(1)由拋物線Ci：yi=Z-x2-4(-34W3)得：D(8,-3),

3

：.OD=3；

(2)..?炒菜時鍋的水位高度是3而?，

：.G(0,-2),

第18頁(共25頁)

如圖①，過點6作即〃苫軸交拋物線于點￡,F,

解得：xi=-M，X8=愿，

：.E(-M，-6)正，2),

:在=2近,

...此時水面的直徑為2adm；

(3)鍋蓋不能正常蓋上.理由如下：

如圖②，作出〃x軸、工作y軸的平行線交拋物線C2于點人K,

:圓柱形器皿的底面直徑為3dm,

...點L的橫坐標(biāo)分別為亙，

23

圖②

\'yH——X（--）2-3=-—,yL—-lx（3）2-3=-工,

324'：324

yj--Ax（-―）5+1=3,yK--J_X（工）2+8=3,

724-924

：.H（--1,-旦），L（旦，-2）3,3）,K（3,3）,

26244424

:.HJ=3-（-3,

44

:圓柱形器皿的高度為33dm>3dm,

鍋蓋不能正常蓋上.

第19頁（共25頁）

25.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M（xi，yi）,N（工2，、2）是拋物線7=。/+6%+。（。>0）上任意兩點，設(shè)

拋物線的對稱軸為直線l=九

（1）若對于Xl=l,X2=2,有yi=X2，求/的值；

（2）若對于OVxiVI,1Vx2V2,都有yi壬y2，求，的取值范圍.

【解答】解：（1）???對于xi=l,%3=2,有yi=V6，

a+b+c—4a+2b+c,

7a+b=3

?.?對稱軸為直線》=-M=3,

5a2

2

（2）VO<X2<1,1<X4<2,

X（,<X2,

752

當(dāng)yi<y7，a>0,

/.（XI，77）離對稱軸更近，X\<X2,則（X3，VI）與（%2，"）的中點在對稱軸的右側(cè),

當(dāng)。>0,

（X5，歹2）離對稱軸更近，%1<%6，則（％1，J1）與（X3，V2）的中點在對稱軸的左側(cè)側(cè),

即勺+、4一〈人

綜上分析，tw".

22

26.四邊形/8C。是正方形，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)2a（45°<a<90°）,得到線段CE,過點8

作BF_LDE交DE于F,連接3E.

（1）依題意補全圖1；

（2）直接寫出/qE的度數(shù)；

（3）連接N尸，用等式表示線段/歹與DE的數(shù)量關(guān)系，并證

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備用圖

(2)結(jié)論：ZFBE=45°.

理由：?.?四邊形/BCD是正方形，

：.CB=CD,ZDCB=90°,

,:CB=CD=CE,

：.ZBED=1-ZBCD=45°,

2

:BFJLDE,

：.ZBFE=9Q°,

:./FBE=9G-45°=45°.

(3)結(jié)論；DE=yj7-

證明：作凡交F2的延長線于點H,

由(2)得NFBE=/FEB=45°.

：.FB=FE.

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'：AH±AF,ZBAD=90°,

/HAB=NFAD,

VZBFD=ZDAB=90°,

AZABH+ZABF=1SO°,ZABF+ZADF^1SO0,

：.ZABH=ZADF,

：./\HAB^/\FAD(ASA),

：.HB=FD,AH=AF,

：.HF=DE,"=45°.

：.HF=42AF.

:.DE=MAF.

27.為了測量拋物線的開口大小，某數(shù)學(xué)興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放置，并分別以水平放置的

直尺和豎直放置的直尺為x,該數(shù)學(xué)小組選擇不同位置測量數(shù)據(jù)如下表所示，設(shè)3。的讀數(shù)為x,拋物

線的頂點為C.

(1)

(I)列表:

①②③④⑤⑥

X023456

y012.2546.259

(II)描點：請將表格中的(x,?)描在圖2中；

(UT)連線：請用平滑的曲線在圖2將上述點連接，并求出y與x的關(guān)系式；

(2)如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a(x-A)?+左的頂點為C