2024-2025學年北京市大興區(qū)高一數(shù)學上學期期中考試卷及答案解析

本試卷共4頁，150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.

考試結(jié)束后，將答題卡交回.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

A=[a\a2=1]

1.設(shè)集合1I>,則不正確的是（）

A.-leAB.{1}=NC.0^AD.{-1,1}

【答案】B

【解析】

【分析】先求出集合A,再根據(jù)元素與集合、集合與集合的關(guān)系及子集的性質(zhì)逐一判斷.

【詳解】^={a|?2=,顯然A正確；B不正確；

因為0是任何集合的子集；任何集合都是它本身的子集，故C、D正確；

故選：B.

2.命題“?！?2,|刈〉0"的否定是（）

A.Vx^Z,|x|>0B.VXGZ,|X|<0

C.3x^Z,|x|>0D.3xeZ,|x|<0

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)全稱命題的否定結(jié)構(gòu)直接判斷即可

【詳解】命題“▼》€(wěn)2,|劉〉0”的否定為：3xeZ,|x|<0.

故選：D

3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且值域為（-8,+8）的是（）

A.y-VxB.y=x2C.y=x3D.y=x~l

【答案】C

【解析】

【分析】先判斷定義域，再判斷函數(shù)的奇偶性，最后再根據(jù)定義域得到值域即可求出結(jié)果.

【詳解】對于A,y=正定義域為{x|x?O},定義域不關(guān)于原點對稱,

所以該函數(shù)不是奇函數(shù)，該選項不符合題意；

對于B,y=x2定義域為R,一力―(_耳2,

所以該函數(shù)不為奇函數(shù)，該選項不符合題意；

對于C,y=x3定義域為R,

則該函數(shù)為奇函數(shù)，又值域為(-8,+8),該選項符合題意；

對于D,>=匯|=4定義域為{x|x*O},—=

X—XX

則該函數(shù)為奇函數(shù)，但值域為{川ywO},該選項不符合題意；

故選：C.

4.已知。力eR,且ab=2,則二7+1的最小值為()

ab

11

A.-B.-C.1D.2

42

【答案】C

【解析】

【分析】對條件變形，結(jié)合基本不等式計算即可.

2

【詳解】因為ab=2,所以b=—,a2>0,

a

11111/n~,

所以/+廬=/+1=/+彳24/*彳=1，

ClUCI(一)2a*■+VCL*■+

a

當且僅當與=土，即a=±J2,6=±0時，等號成立.

a4

所以一j'+yy的最小值為1.

ab~

故選：C.

5.設(shè)a,b,c,d為實數(shù)，則"a>b,Qd”是“a+c>b+d”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的可加性可得。>b,c>dna+c>b+d成立；反之不成立，例如取c=5,d=l,

a=2,b=3.

【詳解】根據(jù)不等式的可加性可得a>b,c>d=a+c>b+d成立;

反之不成立，例如取c=5,d=1,a=2,b=3,滿足a+c〉b+d,但是。>6不成立，

:.a>b,c>d^a+c>b+d的充分不必要條件，故選A.

【點睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.設(shè)函數(shù)/（x）=x+L在區(qū)間3+8）上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是（）

X

A.（0,1]B,[1,+w）C,（0,2]D.[2,+s）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式求解函數(shù)/（X）在（0,+8）上的單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合題給的區(qū)間求解參數(shù)的范

圍，最后得出答案.

【詳解】根據(jù)題意，》70.設(shè)國,》2€（°，+°°），且石〉》2〉0，

I（11（1,

/（X1）-/（X2）=X1HX2H=（七一刀2）1------，

X1\X2J\X\X2

'：Xj>x2>0Xj-x2>0.

x1>x2>lBt,1—提>>°，此時/（xj—/（》2）>°，/（x）在（1,+°°）上單調(diào)遞增；

》2<西三1時，1-提卜<0,此時/（xj—/（%2）<0，/（X）在（0,1）上單調(diào)遞減.

根據(jù)題意，函數(shù)/（X）在區(qū)間（。,+8）上單調(diào)遞增，所以（a,+co）=1,+8）,

解得，ae[l,+oo）.

故選：B.

7.下列四個條件中，使。>6成立的充分而不必要的條件是（）

A.a2>b2B.a3>b3C.a>b+\D.a>b-\

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)充分不必要條件的定義依次分析各選項即可得答案.

【詳解】解：對于A選項，a2〉b2=|a|〉|b|，故由同〉網(wǎng)不能得到。>6,充分性不成立，故不正確；

對于B選項，或=a>b，兩者互為充要條件，故不成立；

對于C選項，a>b+l^>a>b,反之，不然，故滿足條件；

對于D選項，a>bna>b-1,故是的必要不充分條件，不滿足；

綜上，只有C正確.

故選：C

【點睛】本題考查充分不必要條件，是基礎(chǔ)題.

8.若不等式——(q+2)x+2aV0對任意的xe[-1,1]恒成立，則。的取值范圍是()

A.[-1,1]B,[-1,+?)C,[-1,2]D.

【答案】D

【解析】

2

【分析】令/(x)=x-(a+2)x+2a,將問題轉(zhuǎn)化為/(x)max<0,分類討論￡+140與]+1〉0兩種情

況討論，得到關(guān)于。的不等式，解之即可得解.

【詳解】令/(幻=/一伍+2"+2。，，/(x)的對稱軸為》=曰一=￡+1,

2

當■|+1WO,即2時，/(x)max=/(l)=l-(a+2)+2a=a-l,

所以a—1W0,則〃<1,故。<一2；

2

當■|+1〉0,即a>—2時，/(x)max=/(-1)=(-1)+(?+2)+2a=3o+3,

所以3a+3<0,則。<一1,故一2<口三一1；

綜上，a<-\,即實數(shù)。的取值范圍是。<-1.

故選：D.

9.定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足：/(2)=0,且對任意的西/26[0,+8)(西?！?，都有

""A/(而)<o,則不等式切(x)〉0的解集是()

x2一再

A.(-2,0)B.(―2,0)U(2,+00)

C.(-a),-2)U(0,2)D.(-g-2)U(2,+s)

【答案】C

【解析】

【分析】先判斷單調(diào)性，結(jié)合奇偶性，分xNO和x<0討論即可得解.

【詳解】因為對任意的毛/2曰0，+。)(工尸乙)，都有)'3J\"<0,

一■々f

所以/(X)在［0,+“)上單調(diào)遞減，

因為/(x)為偶函數(shù)，所以/(x)在(-8,0］上單調(diào)遞增，

又/(2)=0,所以/(一2)=0,

當x?0時，#(x)>0=/(x)>0,可得0<x<2；

當x<0時，M(x)>0=/(x)<0,可得x<—2.

綜上，不等式獷⑴〉0的解集為(-叫-2)u(0,2).

故選：C

10.已知函數(shù)/(x)=ax?+bx+c,a〉b〉c,a+b+c=0,集合/={機|/(機)<0},貝［J()

A.VmG^4,/(m+3)>0B.Vme^4,/(m+3)<0

C三加￡4/(加+3)=0D,3mG^4,/(m+3)<0

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)己知判斷二次函數(shù)的開口方向和色的范圍，利用韋達定理求/(x)=0的根，然后可得

a

/(加)<0的解集，利用二次函數(shù)單調(diào)性即可得解.

【詳解】因為。>6>。,。+6+。=0,所以。

又0=a+b+c<2〃+。，所以色>-2,

a

c1c1

又0=a+6+c>。+2。，所以一<一大，所以一2<一<——,

。2a2

因為a+6+c=0,所以/(l)=a+3+c=0,所以/(x)=0的一個根為1,

由韋達定理可得，/(x)=0的另一個根為反，

a

所以/(加)<0的解集為二(機<1,所以機+3〉￡+3〉1,

aa

由單調(diào)性可知/(m+3)>/(1)=0恒成立.

故選：A

【點睛】關(guān)鍵點睛：關(guān)鍵在于利用韋達定理求解不等式/(機)<0的解集，然后結(jié)合單調(diào)性即可得解.

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)/(X)=五二1的定義域是.

【答案】［1,+口)

【解析】

【分析】根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負得到不等式，解得即可；

【詳解】解：因為/(X)=JE，所以x-120,解得X21,即函數(shù)的定義域為［1,+8)

故答案為：［1,+°0)

12.設(shè)aeR,V=2a(a—2),N=(a+l)(a—3),則〃與N的大小關(guān)系是AfN.

【答案】>

【解析】

【分析】用作差法比較大小即可.

【詳解】M-N=2a-2)-(。+1)(。-3)=a2-2a+3=(a-1)2+2>0,

所以/>N.

故答案為：>.

-x,x<0,

13.函數(shù)/(x)=1八則/(/(T))=______；不等式/(x)〉0的解集為______.

x—,x>0.

【答案】①.0②.(-oo,0)u(l,+oo)

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件求出/(-1)的值，即可求得/的值；

根據(jù)分段函數(shù)的解析式，對自變量進行討論，解不等式即可得到答案.

-x,x<0

【詳解】因為/(X)=1八，所以/(—1)=一(一1)=1，即打〃一1)］=〃1)=1一；=0；

x----,x>01

、x

z、一x>0x—>0

依題意，不等式/X〉0等價于：八或X,

i[x>0

f1

r一x〉0x—>0

解<C，得：X<0；解<X，得：X>1;

x<0八

i[x>0

綜上可得：X<0或X〉l,故原不等式的解集為(-8刀)。(1,+8).

故答案為：0,(-*0)。(1,+00)

14.定義域相同，值域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同的兩個函數(shù)可以是/(x)=,g(x)=.

【答案】①.x(不唯一)②.2x(不唯一)

【解析】

【分析】根據(jù)定義域、值域相同即可得解.

【詳解】根據(jù)定義域、值域相同，可取/(x)=x,g(x)=2x,

兩個函數(shù)的定義域、值域都為R.

故答案為：x；2x(答案不唯一)

15.已知函數(shù)/(x)的定義域為。，若/(X)滿足對任意的國,》2，當/(再)=/(%2)時，總有XI=々

成立，則稱/(X)為單函數(shù).給出下列四個結(jié)論：

(1)/(x)=|x|不是單函數(shù)；

(2)/(x)=—匚是單函數(shù)；

x+1

(3)若/(x)為單函數(shù)，則/(x)在定義域上一定是單調(diào)函數(shù)；

(4)若/(X)為單函數(shù)，則對任意的國,馬，當須時，總有/(%)7/(工2)成立.其中所有正確

結(jié)論的序號是.

【答案】(1)(2)(4)

【解析】

【分析】取特殊值，根據(jù)新定義判斷(1),根據(jù)新定義推理可判斷(2),舉反例判斷(3),反證法判斷

(4).

【詳解】對(1),因為/(—1)=/。)，-1^1,不滿足單函數(shù)定義，所以/(x)=|x|不是單函數(shù)，故

(1)正確;

X]11

對(2),/(x)=——-=1------,當/(玉)=/(X2)時，可得-----7=----7,即占=々，所以

X+lX+1X；+1X,+1

Y

/(x)=——是單函數(shù)，故(2)正確；

x+l

對(3),/(x)為單函數(shù)，可取/(x)=L但是/(x)在定義域(-s,O)U(O,+s)上不單調(diào)，故(3)錯

X

誤；

對(4),當X]WX2時，假設(shè)/(玉)=/(々)，則由單函數(shù)定義，可得者=%2，矛盾，故

故(4)正確.

故答案為：(1)(2)(4)

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知函數(shù)/(x)=x2—2x—3.

(1)求不等式/(x)之0的解集；

(2)求/(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值；

⑶設(shè)yeR,求證："詈]/(?]㈤

【答案】(1)(一8,—l]U[3,+8)

(2)最大值為5,最小值為-4

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)/(x)>0,即2%—320,解一元二次不等式即可；

(2)求出二次函數(shù)的對稱軸，利用單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

(3)利用作差法即可得證.

【小問1詳解】

由/(x)?0,可知必―2x—320，

即(x—3)(x+l)20,解得x23或xW-l,

所以/(x)?0的解集為(-*TU[3,+8).

【小問2詳解】

因為f(x)=x2-2x-3的對稱軸為x=--—=1,

所以函數(shù)/(x)在［-2,1］上單調(diào)遞減，在［1,2］上單調(diào)遞增，又1-(-2)>2-1,

所以/(x)mm=/(1)=1-2-3=-4,/(x)111ax=/(—2)=4+4—3=5.

【小問3詳解】

因為/［詈J］詈：—+用+*++加3，

/叫“%)=2x「3『—2/-3=；(J+x_a+%)_3,

2

所以/(石)；/(“2)=；('+x^)-1x1x2=^(%1-%2)>0,

即/『+［</(石)+/(》2)

17.已知集合/={x［0<x<2},8={x|2x-l〉a}.

(1)當a=l時，求/U8,(QZ)n8；

(2)再從條件(1)、條件(2)這兩個條件中選擇一個作為已知，求。的取值范圍.

條件(1)：

條件(2)：“xeZ”是“xeB”的充分條件.

注：如果選擇條件(1)和條件(2)分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(1)Zu8={x|x>0}；(QZ)n8={x|x?2}

(2)答案見解析；

【解析】

【分析】(1)由集合的交并補運算得到結(jié)果即可；

(2)選條件(1)時由補集和集合間的包含關(guān)系計算即可；選條件(2),先由充分條件得到4=5,再計

算即可；

【小問1詳解】

當a=l時，8={x|2x-l>a}=,

所以Zu5={x|x>0},

%/={x|xVO或x?2},所以(QZ)n8={x|x22},

【小問2詳解】

選條件(1),

%/={刈》40或工之2},B=^x\x>|>

因為80(Q/),所以等22,即。23；

選條件(2),

因為“xe/”是“xe8”的充分條件，所以

所以但W0,即1.

2

18.已知函數(shù)/(X)=F------k,keR.

x-+1

(1)判斷/(x)的奇偶性，并說明理由；

(2)用單調(diào)性定義證明/(X)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減；

(3)若/(x)的圖象與無軸交于幺(玉,0),8(%，0)兩點，且藥<》2<；，求左的取值范圍.

【答案】(1)/(x)是偶函數(shù)，理由見解析

4

(2)見解析(3)—<A-<1

【解析】

【分析】(1)求出定義域，找出/(-x),/(x)的關(guān)系；

(2)利用四步證明，取值，作差變形，定號，下結(jié)論；

11

(3)根據(jù)偶函數(shù)及在(0,+8)上單調(diào)遞減，要使西</<2,與歹軸交于正半軸且將X=/代入/(X)函數(shù)

值小于0.

【小問1詳解】

解：/(x)=———左的定義域為R,

X+1

???/(X)是偶函數(shù)；

【小問2詳解】

解：Vxpx2e(0,+oo)且$</，

11\

（x2+xj（%2一2）

（x；+1）（X2+1）

vx15x2e（0,+oo）且$<x2,

x2+x；>0,x2-Xj>0,（x；+l'x；+1）>0,

.（々+石）（々-苞）0

.?W+g+1），

則/（再）-/卜2）>0,

即/（石）>/（%），

???/（X）在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減；

【小問3詳解】

解：/(X)的圖象與X軸交于2(%,0),8(%,0)兩點，且再<》2<3，

'1-左〉0

則</[-----k<

九-0,

4

解得：~<k<\.

19.已知經(jīng)過x(xeN*)年某汽車的總花費由購車費、維修費和其他費用組成，其中購車費用是22.5萬元,

使用x(xGN*)年的維修費為x(0.2+O.lx)萬元，且每年的其他費用為0.8萬元.

(1)求經(jīng)過2年該車的總花費為多少萬元；

(2)設(shè)經(jīng)過x(xeN*)年該車的年平均花費為歹萬元，寫出N關(guān)于x(xeN*)的函數(shù)解析式，并求歹的

最小值.

【答案】(1)經(jīng)過2年該車的總花費為24.9萬元；

2?S

(2)y=^+0.1x+l,xeN*,N的最小值為4萬元

x

【解析】

【分析】(1)設(shè)總花費為W萬元，根據(jù)題意列出總費用的表達式，再將x=2代入計算即可;

225

(2)利用了=^+O[x+l,再利用基本不等式求最值.

x

【小問1詳解】

解：設(shè)總花費為W萬元，

則w=22.5+x(0.2+0.lx)+0.8x,

當x=2,w=22.5+2(0.2+0.1x2)+0.8x2=24.9(萬元)，

答：經(jīng)過2年該車的總花費為24.9萬元；

【小問2詳解】

解：由題意得：-5+x(O.2+O[x)+O-",

>2^^xO.lx+l=4,xeN*，

225

當且僅當：—=0.1%,即x=15,等號成立，

x

故歹的最小值為4萬元.

.[/(%),/(%)<g(x),

20.已知函數(shù)/(x)=x+l,g(x)=(x—l)2.令函數(shù)M(x)=、

〔g(x),/(x)〉g(x).

(1)若〃(x)=2,求x的值；

(2)若函數(shù)y=〃(x)的圖象關(guān)于點尸(0,1)成中心對稱圖形，當xNO時，h(x)=M(x).

(i)直接寫出當x<0時，〃(x)的解析式；

(ii)對任意的工€口,(7+1],|力0)區(qū)2恒成立，求。的取值范圍.

【答案】(1)V2+1

，/、—X"—2x+1,-3<x<0rr—~\

(2)(i)〃("=《；(ii)卜3,j2」

?XH~1,43

【解析】

【分析】(l)根據(jù)條件得到分段函數(shù)，根據(jù)函數(shù)值求得X的值；

(2)(i)根據(jù)對稱求出解析式；

(ii)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)值所對應(yīng)的點可求出取值.

【小問1詳解】

當/(x)<g(x),即X+1<(X—1)2,解得xWO或x23,

當/(x)>g(x)，即x+l〉(x—1)2,解得0<x<3,

fx+l,x<0或x>3

所以"(x)=2,

(x-1),0<x<3

當xVO或x23,若M(x)=2,即x+l=2,解得x=l,矛盾，

當0<x<3,若”(x)=2,即(x—iy=2,解得》=虛+1，》=—近+1(舍)，

所以當M(x)=2時，％=y/2+1;

【小問2詳解】

(i)設(shè)X<0,則一%>0,

因為函數(shù)歹=〃(%)的圖象關(guān)于點尸(0J)成中心對稱圖形，當x20時，〃(%)=M(x),

所以力⑴=2-〃(-工)，

當—x23,即％V—3時，〃(—x)=—x+1,則〃(x)=2—(―x+1)=x+1,

當0<—x<3,即一3Vx<0時，〃(一x)=(-%-1)2,

則/z⑴=2-(-、-1)2=-x2-2x+1,

-x2—2x+1,-3<x<0

所以〃(%)=<

x+1,x<-3

x+l,x>3

(ii)根據(jù)以上條件可得當x20時，〃(％)=</、2

\7(x-1),0<x<3

-x?-2x+1,-3<x<0

當工<0時,/z(x)=<

x+l,x<-3

所以該函數(shù)在和(1,+00)上為增函數(shù)，在(-1,1)上為減函數(shù),

又〃(-1)=-1+2+1=2，〃⑴=0,

由(1)可知當x20時，〃(x)=2時，求得》=亞+1，不存在〃(力=一2的值,

當x<0時，〃(一1)=2,令h(x)=-2,求得x=—3,

因為對任意的x^[a,a+1],|/z(x)|<2恒成立，即對任意的x&[a,a+1],-2<A(x)<2恒成立,

所以當一2<〃（x）<2時，—3VxvVi+l，即<+]<正+丁解得一3VavVi，

21.若含有4個元素的數(shù)集N={a,8c,d}能滿足ab-cd=l,則稱數(shù)集A具有性質(zhì)J.給定集合

B=-[1,2,3,4,5,6,7,81,C=eN*|1<x<4n,〃23,〃eN*}.

（1）寫出一個具有性質(zhì)J