2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路：空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問題（學(xué)生版+解析）

專題01空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問題

（典型題型歸類訓(xùn)練）

目錄

一、必備秘籍.............................................1

二、典型題型.............................................3

題型一：內(nèi)切球等體積法................................3

題型二：內(nèi)切球獨(dú)立截面法..............................3

題型三：外接球公式法.................................14

題型四：外接球補(bǔ)型法.................................15

題型五：外接球單面定球心法...........................18

題型六：外接球雙面定球心法............................4

三、專項(xiàng)訓(xùn)練.............................................4

一、必備秘籍

i.球與多面體的接、切

定義1；若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體,

這個(gè)球是多面體的外接球。

定義2；若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面

體，這個(gè)球是多面體的內(nèi)切球。

類型一球的內(nèi)切問題（等體積法）

例如：在四棱錐尸-ABCD中，內(nèi)切球?yàn)榍?,求球半徑廠.方法如下:

^P-ABCD~^O-ABCD+^O-PBC+^O-PCD+^O-PAD+^O-PAB

即：Vp-ABCD=耳^ABCD"+§PBC"十耳PCD"十耳SPAD"+§PAB一，可求出

B

r.

類型二球的外接問題

1、公式法

正方體或長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)

2、補(bǔ)形法（補(bǔ)長(zhǎng)方體或正方體）

①墻角模型（三條線兩個(gè)垂直）

題設(shè)：三條棱兩兩垂直（重點(diǎn)考察三視圖）

②對(duì)棱相等模型（補(bǔ)形為長(zhǎng)方體）

題設(shè):三棱錐（即四面體）中，已知三組對(duì)棱分別相等,求外接球半徑（AB=CD,[

AD=BC,AC=BD）

3、單面定球心法（定+算）

步驟：①定一個(gè)面外接圓圓心：選中一個(gè)面如圖：在三棱錐尸-A5C中，選中底面

確定其外接圓圓心。1（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點(diǎn)上，普通三角

形用正弦定理定外心2r=—L）；

②過外心已做（找）底面AABC的垂線，如圖中P。1，面ABC,則球心一定在直線（注意

不一定在線段「。1上）尸。1上；

③計(jì)算求半徑R：在直線尸。i上任取一點(diǎn)。如圖：則0P=Q4=H,利用公式

22

OA=O,A+OO；可計(jì)算出球半徑R.

4、雙面定球心法（兩次單面定球心）

BC

如圖：在三棱錐尸-ABC中:

①選定底面AABC,定AABC外接圓圓心。1

②選定面ARAB,定ARAB外接圓圓心。2

③分別過。?做面ABC的垂線，和。2做面的垂線，兩垂線交點(diǎn)即為外接球球心0.

二、典型題型

題型一：內(nèi)切球等體積法

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起，當(dāng)四面體3-ACD體積最大時(shí)，

它的內(nèi)切球和外接球表面積之比為.

2.（23-24高三下?山東濟(jì)寧?開學(xué)考試）三棱錐P-ABC中，金。是邊長(zhǎng)為0的正三角形，

頂點(diǎn)P在底面A3c上的射影是AABC的中心，且％=1.三棱錐尸-ABC的內(nèi)切球?yàn)榍?。?/p>

外接球?yàn)榍颉?,若球。?的半徑為『，球Q的半徑為R,貝Ur+R=；若/為球。|上任

意一點(diǎn)，N為球。2上任意一點(diǎn)，則線段的最小值為

3.（23-24高二上?江西景德鎮(zhèn)?期中）我國(guó)古典數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載，四個(gè)面都為

直角三角形的四面體稱之為鱉席?現(xiàn)有一個(gè)“鱉席"，出，底面ABC,AC1BC,且

7M=3,AC=4,3C=3,則該四面體的外接球的表面積為,該四面體內(nèi)切球表面積

為.

題型二：內(nèi)切球獨(dú)立截面法

1.（23-24高一下?河南三門峽?期中）已知三棱錐尸-ABC的棱長(zhǎng)均為4,先在三棱錐尸-ABC

內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球。-然后再放入一個(gè)球儀，使得球儀與球。?及三棱錐尸-ABC的三個(gè)

側(cè)面都相切，則球。2的表面積為（）

2兀4兀7171

A.—B.—C.—D.一

3334

2.（2024?廣東深圳?二模）已知圓錐的內(nèi)切球半徑為1,底面半徑為亞，則該圓錐的表面

積為.

注：在圓錐內(nèi)部，且與底面和各母線均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的球，稱為圓錐的內(nèi)切球.

3.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，球的表面積和圓臺(tái)的側(cè)面積的比為3:4,

求球和圓臺(tái)的體積之比.

題型六：外接球雙面定球心法

1.（2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知長(zhǎng)方體A3CD-4MGA中，側(cè)面BCC內(nèi)的面積為2,

若在棱AD上存在一點(diǎn)“，使得AMBC為等邊三角形，則四棱錐M-BCG與外接球表面積

的最小值為.

2.（23-24高二上?江西九江?期中）如圖，DE是邊長(zhǎng)為84的正三角形ABC的一條中位線，

將VADE沿翻折至△AOE，當(dāng)三棱錐ABE的體積最大時(shí)，四棱錐外接

球。的表面積為;過EC靠近點(diǎn)￡的三等分點(diǎn)M作球。的截面，則所得截面圓面積

的最小值是

B

三、專項(xiàng)訓(xùn)練

一、單選題

1.（2024?全國(guó),模擬預(yù)測(cè)）已知三棱柱ABC-4耳弓的側(cè)棱垂直于底面，且AB=3,AC=5,

BC=1,/見=2石，若該三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球的表面積等于（）.

“256128128An256—

A.兀B.——兀C.-nD........-7i

3333

2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）在三棱錐尸—ABC中，ABAC=9Q°,PA=PB=PC=BC=2,

則三棱錐尸-ABC外接球的表面積為（）

481116

A.-7iB.—兀C.——兀D.—71

3333

3.（2024?四川瀘州?三模）已知圓錐的體積為24%,其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的

內(nèi)切球的表面積為（）

A.4兀B.8?C.12%D.16%

4.（2024?黑龍江雙鴨山?模擬預(yù)測(cè)）已知四面體A8CQ的各頂點(diǎn)均在球。的球面上，平面

ABC平面BCD,AB=BC=AC=CD=2,5CJ_CD,則球。的表面積為（）

16428%

12幾

B.87r亍D.

5.（23-24高二下?湖南衡陽(yáng)?階段練習(xí)）將一個(gè)母線長(zhǎng)為3cm,底面半徑為1cm的圓錐木頭

加工打磨成一個(gè)球狀零件，則能制作的最大零件的表面積為（）

cc5兀23兀2

A.2兀cm?B.兀cm?C.-cmD.—cm

22

3

6.（2024?廣西?二模）已知軸截面為正方形的圓柱W的體積與球。的體積之比為7，則

2

圓柱的表面積與。球的表面積之比為（）

35

A.1B.-C.2D.-

22

7.（2024?廣東?二模）已知球O與圓臺(tái)002的上、下底面和側(cè)面均相切，且球O與圓臺(tái)0Q

的體積之比為則球。與圓臺(tái)&Q的表面積之比為（）

1111

A.-B.—C.-D.-

6432

8.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐尸-ABCD中，底面四邊形A3CZ）為等腰梯形，

AD//BC,NABC=60°,A/W）是邊長(zhǎng)為2的正三角形，BC=2AB=2AD,PB=如,則四

棱錐P-ABCD外接球的表面積為（）

52兀80兀

A.12兀B.16兀C.-----D.-----

33

9.（23-24高一下?浙江金華?期中）已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱K4,PB,尸。兩兩互

相垂直，且PA=PC=囪，PB=y/2＞則此三棱錐外接球的體積為（）

8A/26472—32兀

A.------兀B.-------7iC.8D.

333

二、填空題

10.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的底面半徑為3,母線長(zhǎng)為5,則該圓錐內(nèi)半徑最大

的球的體積為.

TT

11.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在菱形ABCD中，AB=2,/區(qū)4。=§,將△A3。沿8。翻折,

使二面角A-BD-C的余弦值為g,則四面體A3CD的外接球的表面積為.

12.（23-24高三下?河南?階段練習(xí)）直三棱柱ABC-的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若

27r

AB=1,AC=AA1=2,ZBAC=—,則此球的表面積等于.

專題01空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問題

（典型題型歸類訓(xùn)練）

目錄

一、必備秘籍.............................................1

二、典型題型.............................................3

題型一：內(nèi)切球等體積法................................3

題型二：內(nèi)切球獨(dú)立截面法..............................3

題型三：外接球公式法.................................14

題型四：外接球補(bǔ)型法.................................15

題型五：外接球單面定球心法...........................18

題型六：外接球雙面定球心法............................4

三、專項(xiàng)訓(xùn)練.............................................4

一、必備秘籍

1.球與多面體的接、切

定義1；若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體,

這個(gè)球是多面體的外接球。

定義2；若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面

體，這個(gè)球是多面體的內(nèi)切球。

類型一球的內(nèi)切問題（等體積法）

例如：在四棱錐P-ABCD中，內(nèi)切球?yàn)榍?,求球半徑乙方法如下:

^P-ABCD=^O-ABCD+*O-PBC+^O-PCD+^O-PAD+^O-PAB

B

即：吟-ABC。=gSMc。"+§SpBc"+]Spc￡）,r+gSpg?r+38?^?r,可求出r.

類型二球的外接問題

1、公式法

正方體或長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)

2,補(bǔ)形法（補(bǔ)長(zhǎng)方體或正方體）

①墻角模型（三條線兩個(gè)垂直）

題設(shè)：三條棱兩兩垂直（重點(diǎn)考察三視圖）

②對(duì)棱相等模型（補(bǔ)形為長(zhǎng)方體）

題設(shè):三棱錐（即四面體）中，已知三組對(duì)棱分別相等，求外接球半徑（45=CD,|士

AD=BC,AC=BD^

3、單面定球心法（定+算）

步驟：①定一個(gè)面外接圓圓心：選中一個(gè)面如圖：在三棱錐P-ABC中，選中底面AABC,

確定其外接圓圓心。1（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點(diǎn)上，普通三角

形用正弦定理定外心2廠=-^）；

②過外心。1做（找）底面AABC的垂線，如圖中P。1，面ABC,則球心一定在直線（注意

不一定在線段尸。1上）。。1上；

③計(jì)算求半徑R：在直線尸。1上任取一點(diǎn)。如圖：則0P=Q4=R,利用公式

OA2=QA2+OO；可計(jì)算出球半徑R.

4、雙面定球心法（兩次單面定球心）

BC

如圖：在三棱錐尸-ABC中：

①選定底面AABC,定AABC外接圓圓心。1

②選定面ARAB,定ARAB外接圓圓心。2

③分別過。?做面ABC的垂線，和。2做面的垂線，兩垂線交點(diǎn)即為外接球球心0.

二、典型題型

題型一：內(nèi)切球等體積法

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起，當(dāng)四面體3-ACD體積最大時(shí)，

它的內(nèi)切球和外接球表面積之比為.

【答案】士/0.1

【分析】

當(dāng)平面BACL平面D4C時(shí)，四面體B-ACD的高最大，并利用導(dǎo)函數(shù)討論體積的最大值,

構(gòu)造長(zhǎng)方體求外接球的半徑，利用等體積法求內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而可求解.

【詳解】

不妨設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為括，AC=2x,0<x<j3,

外接球半徑為衣，內(nèi)切球半徑為小

取AC中點(diǎn)為O,連接08,0。皿，

因?yàn)?4=3C,所以3O_LAC,BO=，

當(dāng)平面BAC_L平面D4c時(shí)，平面BACc平面D4C=AC,

BOu平面BAC,所以801平面ZMC,

此時(shí)四面體3-ACD的高最大為30=囪二2，

因?yàn)閆M=￡?C,所以DOJ_AC,=13—爐,

2

S&DAC=-ACDO=x\l3-x

11a/-

XS

所以VB-ACD=^ADACxBO=-(-%+3x),0<x<y/3,

22

V；_ACC=1(-3^+3)=-(X-1),

令^B-ACD=—(/-1)>0解得。V兀V1,

令匕YCD=-U2-l)<。解得1<X(百，

所以VB-ACD=|(-1+4x)在(0,1)單調(diào)遞增,(1,73)單調(diào)遞減,

12

所以當(dāng)x=1時(shí)VB_ACD最大，最大體積為VB-CD=](T+3)=§，

此時(shí)AC=2X=2,JDO=8O=0,B￡)=JDO2+3O2=?,

以四面體的頂點(diǎn)構(gòu)造長(zhǎng)方體，長(zhǎng)寬高為a/,c,

付+/=3fa2=1

則有</+。2=3解得<〃=2,所以4R2=a2+〃+c2=5,

b2+c2=4[c2=2

所以外接球的表面積為4兀改=5TI,

SgAC=S&DAC=X-/3-X2=應(yīng),

又因?yàn)楣?。4=后2。=2,

所以S.BAD=；XBDX]BA2-[；BD[=0,

BC=DC=y/3,BD=2,

所以S”=”DXJBC2-[B可=后,

[2

所以§(%AC+SABAC+SABAD+SABCD)X廠=VB_ACD=]，

所以r=也，及內(nèi)切球的表面積為4口2=《兀，

42

￡

所以內(nèi)切球和外接球表面積之比為二=工.

5兀~10

故答案為：—

2.(23-24高三下?山東濟(jì)寧?開學(xué)考試)三棱錐尸-ABC中，"1BC是邊長(zhǎng)為0的正三角形,

頂點(diǎn)尸在底面ABC上的射影是AABC的中心，且上4=1.三棱錐尸-ABC的內(nèi)切球?yàn)榍?。?/p>

外接球?yàn)榍颉?,若球。1的半徑為「，球Q的半徑為R，貝Ur+R=；若/為球O1上任

意一點(diǎn)，N為球。2上任意一點(diǎn)，則線段的最小值為

【答案】"+工漢Li

323

【分析】將三棱錐放入正方體中，利用等體積法可得內(nèi)切球半徑，根據(jù)正方體的外接球求解

R=§,進(jìn)而可求解空1,根據(jù)兩球的關(guān)系，結(jié)合半徑的關(guān)系即可求解空2.

2

【詳解】由題易知，三棱錐尸-ABC為棱長(zhǎng)為1的立方體的一部分，如圖

BCP'4尸=￡'(\fiCP+S.ACP+S^ABP+S-ABC)"，即r=---—

36

又由2R=JL即R=3,所以「+尺=」+迫；

223

_1y/2_A/6________瓜

AABC的外接圓半徑為『5'京=?,故點(diǎn)P到平面ABC的距離為歷二出=與，

Sm33

由于尺=21>?，所以。2在三棱錐的外部,

故球0內(nèi)含于球。2，且002=R_F+r=*_￥+\^=；，

所以知心山=氏一廠一002=等一1一3=￥—1.

故答案為：3+L,空一1

323

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化

為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：

（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心

到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；

（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元

素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；

（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.

3.（23-24高二上?江西景德鎮(zhèn)?期中）我國(guó)古典數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載，四個(gè)面都為

直角三角形的四面體稱之為鱉席?現(xiàn)有一個(gè)"鱉臊"，PAL底面A3C,AC1BC,且

PA=3,AC=4,BC=3,則該四面體的外接球的表面積為,該四面體內(nèi)切球表面積

為.

■5仔■.-.16%,16

【答案】34兀~g~

【分析】由題意確定四面體外接球的球心，進(jìn)而求得外接球半徑，即可求得四面體的外接球

的表面積；利用等體積法求得四面體內(nèi)切球的半徑，即可求得四面體內(nèi)切球的表面積.

【詳解】由題意可知尸4_L底面ABC,AC,3C,ABu底面ABC,

故PALAaPALACPALBC,又AC上BC,

叢門4。=4,尸4,4。匚平面上4（7,故BC2平面PAC,

PCu平面PAC,故3cLpC,

取的中點(diǎn)為。，則。4=OC=OP=OF,

即。為四面體的外接球的球心，

乂申=3,AC=4,BC=3,貝[]AB=V32+42=5,PC=A/32+42=5>

則四面體外接球半徑為R=^-PB=-7PA2+AB2=叵,

222

故該四面體的外接球的表面積為47cH2=34兀；

設(shè)四面體的內(nèi)切球球心為0',半徑為r,則Vp_ABC=yO'-ABC+VO'-PAC+VO'-PBC+VO'-PAB，

BP—x—x4x3x3=—xrx(—x4x3+—x4x3+—x5x3+—x5x3),

3232222

o4167r

解得廠="則四面體內(nèi)切球表面積為4a2=4TIX-=-^,

故答案為：34兀；?

題型二：內(nèi)切球獨(dú)立截面法

1.（23-24高一下?河南三門峽?期中）已知三棱錐尸-ABC的棱長(zhǎng)均為4,先在三棱錐尸-ABC

內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球。-然后再放入一個(gè)球儀，使得球儀與球。?及三棱錐尸-ABC的三個(gè)

側(cè)面都相切，則球R的表面積為（）

2兀4兀兀

A.——B.—cD.-

33-J4

【答案】A

【分析】利用等體積可求得內(nèi)切球a半徑，再取截面并根據(jù)比例求得球。2的半徑，則可求

得球。2的表面積.

【詳解】取三棱錐尸-ABC過內(nèi)切球球心a的截面，如圖所示:

=4月,

4

2r-4百

底面ABC的外接圓半徑為“一sin60。一百一3，解得斗=包

4A/6

點(diǎn)P到平面ABC的距離為d

所以人—43孚=竿

所以S/BC=SJAB="詠=：X4X4sin60°=473,

設(shè)球。?的半徑為R，

所以KP-ABC=^Oi-PAB+K?J-PAC+^O{-PBC+%-ABC，

則呼=34x4島，得R聾,

設(shè)球。2的半徑為『，則二=近二步三，又R衛(wèi),得廠=逅，

R7636

所以球。2的表面積為5=4兀=y.

故選：A.

2.（2024?廣東深圳?二模）已知圓錐的內(nèi)切球半徑為1,底面半徑為夜，則該圓錐的表面

積為.

注：在圓錐內(nèi)部，且與底面和各母線均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的球，稱為圓錐的內(nèi)切球.

【答案】8兀

【分析】借助過圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖求出圓錐的母線長(zhǎng)，即可求出圓錐表面積.

【詳解】由題過圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖如下：

設(shè)圓錐高為6,母線長(zhǎng)為/,

則在三角形SO、B中有川+/=L，即/+2=產(chǎn)①,

又由ASOO~ASQ2得6=與些，即/=0(/-1)②，

rI

所以由①②得/=30,〃=4,

所以圓錐的表面積為S=S底+5=兀，"+?！?2兀+6兀=8兀,

故答案為：8兀.

3.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球,球的表面積和圓臺(tái)的側(cè)面積的比為3:4,

求球和圓臺(tái)的體積之比.

【答案*

【分析】

法一、利用圓臺(tái)及球體的特征先作出軸截面，由勾股定理及直線與圓的位置關(guān)系結(jié)合幾何體

的表面積、側(cè)面積、體積公式計(jì)算即可；法二、通過設(shè)角解三角形，利用三角函數(shù)表示線段

長(zhǎng)，根據(jù)幾何體的表面積、側(cè)面積、體積公式計(jì)算即可.

【詳解】如圖，作軸截面，其中盡G、尸都是切點(diǎn).

法一、設(shè)ED=r,FC=R.

由圓的切線的性質(zhì)可知，ZDOC=90°,OG±DC,DG=r,GC=R,OG2=Rr.

S球=4兀?OG2=4nRr,S合倜=兀（R+r,

4jiRr3

R2+r2

兀（R+廠）？43

???L=g兀?OG3,咚=]X2OG（尺2+戶+Hr）,

4a

-TIXOG3

32Rr6

20G（改十八^Rr+Rr13

法二、設(shè)OF=R,NFCO=6,則/石OD=9,

ED=Rtan3,FC=",DC=7?|tan^+—

tan。Itang

471K23/.tan2^+-\—10

4tai?。T.

TIR1tan0d-------

Itan。

4兀店

a6

因此,

13,

tan^+tan￥+1

3

題型三：外接球公式法

1.（2024?天津?二模）已知正方體ABC。-ABCA的外接球的體積為36兀，點(diǎn)E為棱AB的

中點(diǎn)，則三棱錐G-4即的體積為（）.

A.1B.2.x/3C.—D.16G

33

【答案】B

【分析】由正方體的特征及球的體積公式可計(jì)算正方體棱長(zhǎng)，再根據(jù)三棱錐的體積公式計(jì)算

即可.

【詳解】由題意可知正方體的外接球直徑為正方體的體對(duì)角線，

所以V=g兀x=36兀=AB=2y[3,

所以％TED=』xC]CxLxADxAE=^x26x26x6=26.

1326

故選：B

2.（23-24高一下?浙江寧波?期中）已知S,48,C是球。表面上不同的點(diǎn)，SAL平面A3C,

_47T

AB.LBC,AB=1,BC=垃，若球。的體積為7，則SA=（）

A.—B.1C.V2D.73

2

【答案】B

【分析】由已知易得S,A,8,C四點(diǎn)均為長(zhǎng)寬高分別為SA,A5,BC三邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，由

長(zhǎng)方體外接球的直徑等于長(zhǎng)方體對(duì)角線，利用球的體積公式可得答案.

【詳解】因?yàn)?4,平面ABC,AB1BC,

所以四面體S-ABC的外接球半徑等于以SA,AB,BC為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)的外接球，

冗°

又球。的體積為4半7r，即4當(dāng)7r=三4外，所以R=l,

所以2R=J1+2+5A?=2,

所以&4=1.

故選：B.

S

BC

題型四：外接球補(bǔ)型法

1.（2024?河南信陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）把沿三條中位線折疊成四面體ABCD,其中22=12,

DA=10,DR=8,則四面體ABCD的外接球表面積為（）

rr77兀77兀77兀

A.77TIB.C.-----D.-----

482

【答案】D

【分析】由條件分析四面體A3CL>的結(jié)構(gòu)特征，由此考慮構(gòu)造長(zhǎng)方體，結(jié)合長(zhǎng)方體的外接球

的半徑的與長(zhǎng)寬高的關(guān)系結(jié)合條件求出4R2,再由球的表面積公式求球的表面積即可.

【詳解】如圖，記22的中點(diǎn)分別為民C。，

A

因?yàn)?2=12,^￡>3=10,D2D3=8,

由中位線性質(zhì)可得。3=4,=6,3C=5,

翻折后的四面體如圖：

A

由翻折的性質(zhì)可得AB=6,AC=4,AD=5,

所以四面體ABCD對(duì)棱相等，

故可以考慮將四面體ABCD補(bǔ)形為長(zhǎng)方體如下;

四面體ABCD的外接球即長(zhǎng)方體的外接球，

設(shè)其外接球半徑為R,BM=x,BN=y,BP=z,

則（2村=/+_/+z?,

x2+y2=36

77

因?yàn)閒+z2=25,所以Y+y2+z2=2,

y2+z2=16

77

所以4店=彳，

777r

所以四面體ABCD的外接球表面積S=4?！?午，

2

故選：D.

2.（2024,黑龍江?二模）已知三棱錐尸-ABC的四個(gè)面是全等的等腰三角形，且PA=2,

PB^AB=3,則三棱錐P-ABC的外接球半徑為；點(diǎn)。為三棱錐P-ABC的外接球球

面上一動(dòng)點(diǎn)，尸。=包時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。的軌跡長(zhǎng)度為.

2

［答案］巫/工而正兆

222

【分析】

由三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，可擴(kuò)成長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的外接球半徑得三棱錐的外接球半徑；由

動(dòng)點(diǎn)。的軌跡形狀，求長(zhǎng)度.

【詳解】三棱錐尸-ABC的四個(gè)面是全等的等腰三角形，且R4=2,PB=AB=3,如圖所

示，

則有%=8。=2,PB=AB=PC=AC=3,

把三棱錐尸-ABC擴(kuò)成長(zhǎng)方體PHCG-EBE4,

AF2+AG2=PA2=4

則有＜AF2+AE2=AB2=9,解得AF2=AG2=2,AE2=1,

AG2+AE2=AC2=9

則長(zhǎng)方體外接球半徑r='.+AG2+A互=叵

22

所以三棱錐P-ABC的外接球半徑亞；

2

點(diǎn)。為三棱錐P-ABC的外接球球面上一動(dòng)點(diǎn)，尸。=姮時(shí),

2

由尸。=。。=。尸=姮，動(dòng)點(diǎn)。的軌跡是半徑為迤的圓,

24

故答案為:坐警

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

三組對(duì)棱分別相等的四面體（三棱錐）一一補(bǔ)形為長(zhǎng)方體（四面體的棱分別是長(zhǎng)方體各面的對(duì)

角線）.

題型五：外接球單面定球心法

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在正三棱錐A—3CD中，BC=CD=DB=2,AB=AC=AD=^3,

則三棱錐A-BCD的外接球表面積為（）

“27%、八「2771-27n

A.-----B.97tC.-----D.----

254

【答案】C

【分析】根據(jù)正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征可求解高的長(zhǎng)度，進(jìn)而根據(jù)勾股定理即可求解半徑，即可

由表面積公式求解，或者利用空間直角坐標(biāo)系求解半徑.

【詳解】方法一：如圖，取正三角形3C。的中心為P,連接AP,尸C,

則三棱錐A-BCD的外接球球心。在AP上，連接OC.

在正三角形3CD中，BC=2,所以尸c=2xBCsin^=友.

333

在RtAAPC中，AC=V3,所以AP=JAC，-PC?=j3-g=g.

設(shè)外接球的半徑為R，

(/77V<96丫9

由OC2=OA2,。尸2+PC2=OC2nS——R+g=R2,解得氏二^^，

所以三棱錐A-BCD的外接球表面積S=4無店=若.

故選:C.

方法二：在正三棱錐A-BCD中，過點(diǎn)A作底面3CZ)于點(diǎn)尸,

則F為底面正三角形BCD的中心，

因?yàn)檎切蜝CD的邊長(zhǎng)為2,所以8尸=2“BCsin4=友.

333

因?yàn)锳B=JL所以AF={AB?一BF?=叵.

3

如圖，以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)三棱錐A-BCD的外接球球心為0（0,0,/!）,半徑為R.

由OC2=OT,得g+川=h一一,解得九=2后，

所以尺2=§4+/焉77，

則三棱錐A-BCD的外接球表面積S=4兀&=詈77TT,

故選：C.

2.（2024?四川涼山?二模）已知在三棱錐P—ABC中，PA=43,FB=PC=2,底面A3C是

邊長(zhǎng)為1的正三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（）

13?！啊?/p>

A.3兀B.C.4兀D.6兀

3

【答案】B

【分析】

根據(jù)給定條件，證得PAL平面A3C,再確定三棱錐外接球球心，并求出球半徑及表面積.

【詳解】在三棱錐尸-ABC中，PA=0PB=PC=2,正“LBC的邊長(zhǎng)為1,

則P/V+AB?=4=92,即有總J_AB,同理PA_LAC,而43。46=4,4&4。＜=平面43。，

于是PAL平面ABC,令正AABC的外心為。|,三棱錐尸-ABC外接球球心為O,

則OO］，平面ABC,顯然球心。在線段24的中垂面上，取24的中點(diǎn)。，則ODLPA,

而OO"/PA,則四邊形A。。。1是矩形，OD=O1A=2*ABsin60。=也，

133

所以球半徑R=OP=y/OD2+PD2=樣了+吟￥=笑,表面積S=4無尺2=與.

故選：B

p

D

C

3.(2024?浙江嘉興?二模)在四面體A8CD中，8C=2,/ABC=/BCD=90。，且A8與CO

所成的角為60。.若四面體ABCD的體積為4g,則它的外接球半徑的最小值為.

【答案】3

【分析】根據(jù)題意，將四面體A3CD補(bǔ)形為直三棱柱ABE-尸8,設(shè)CD=x,CF=y,由

%co=4/求得孫=24,在RtAOCO?中，勾股定理得尺2=1+；。尸，由余弦定理可得

DF2=x2+y2-xy,結(jié)合基本不等式求解.

【詳解】依題意，可將四面體ABCD補(bǔ)形為如圖所示的直三棱柱ABE-FCD,因?yàn)锳B與CO

所成的角為60。，

所以/￡>CP=60°或120。，設(shè)8=無，。尸=y,外接球半徑記為R,

外接球的球心如圖點(diǎn)O.

易知AF//平面BCDE,所以點(diǎn)A到平面BCDE的距離等于點(diǎn)尸到平面BCDE的距離，

?■?《-BCD=%-BCD=。8。$&加=；x2x]:孫sin60°]=f孫=46，得孫=24,

3312)o

在RtAOCO,中，R2=OC2=OO,2+CO,2=1+(———]=1+-DF2,

22UsinZDCFj3

在ACDF中，由余弦定理得DF-=f+,2+2xyCOsZDCF,

所以當(dāng)/DC「=60°時(shí)，外接球的半徑會(huì)更小.

所以￡>尸=x2+y2-xy,

所以R?=1++y2—xy^>\+—{2xy—xy^=\+—xy=9,

所以凡M=3.

故答案為：3.

D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是將求四面體ABCD補(bǔ)形為直三棱柱ABE-FCD,轉(zhuǎn)化為

求直三棱柱外接球半徑的最小值.

題型六：外接球雙面定球心法

1.（2024?四川綿陽(yáng),模擬預(yù)測(cè)）已知長(zhǎng)方體ABCO-中，側(cè)面BCQ耳的面積為2,

若在棱AD上存在一點(diǎn)使得zJWBC為等邊三角形，則四棱錐M-BCG4外接球表面積

的最小值為.

【答案】還無

3

【分析】根據(jù)幾何體的特征，確定四棱錐外接球的球心，結(jié)合長(zhǎng)度和幾何關(guān)系，基本不等式

確定半徑的最小值，即可求解.

【詳解】如圖，由對(duì)稱性可知，點(diǎn)"是A。的中點(diǎn)，設(shè)3C=x,則=CQ=-,

2x

點(diǎn)N是5c的中點(diǎn)，

4

A

由底面矩形3CG用的對(duì)角線的交點(diǎn)H作底面3CC4的垂線，過等邊三角形的中心G

作平面的垂線，兩條垂線交于點(diǎn)。，點(diǎn)。是四棱錐"-BCG與外接球的球心，

OH=GN=^-x,"8=3卜+0,則

=OB2=OH2+BH2=-+-{+4^=~x2+^>2.1-x2-\=—，

2

124（尤2）3%\3尤②3

當(dāng)：》2=二，即彳=%時(shí)，等號(hào)成立，則R2的最小值為Hl,

3x3

所以四棱錐M-3CG與外接球表面積的最小值為盛兀.

3

故答案為：8?7t

3

2.（23-24高二上?江西九江?期中）如圖，DE是邊長(zhǎng)為8石的正三角形ABC的一條中位線，

將VADE沿DE翻折至△ADE,當(dāng)三棱錐C-ABE的體積最大時(shí)，四棱錐4-8CDE外接

球。的表面積為；過EC靠近點(diǎn)￡的三等分點(diǎn)M作球。的截面，則所得截面圓面積

的最小值是

【分析】先判斷當(dāng)平面ADE，平面BCDE時(shí)，三棱錐C-ABE的體積最大，求得AG,再

找出四棱錐A-BCDE外接球的球心，由勾股定理求得半徑，進(jìn)而得到表面積；當(dāng)ON垂直

于截面圓時(shí)，截面圓半徑最小，面積最小即得答案.

【詳解】第一空：設(shè)點(diǎn)4到平面3CDE的距離為〃,

在AASC中，取BC的中點(diǎn)P,連接AP交DE于點(diǎn)G,連接AG,

因?yàn)?4BC為等邊三角形，P為BC的中點(diǎn)，則APLBC,

由題意可知，D、E分別為AC、AB的中點(diǎn)，則DE〃BC,則DELAG,DELPG,

翻折后，則有AGLDE,所以二面角A-OE-P的平面角為NAGP,

過點(diǎn)A在平面AG尸內(nèi)作A尸，尸G或其延長(zhǎng)線上，

因?yàn)?。尸G,A.G1DE,AXG[}PG=G,A】G、PGu平面A/G,

所以DE工平面4尸G,

因?yàn)槠矫鍭PG,則ABLDE,

又因?yàn)?尸，PG,PGC\DE=G,PG、OEU平面BCDE,

所以AFL平面BCDE,

h

所以〃=4下，且；^usinNAGP,則〃=AGsin/4GP,

AQ

當(dāng)/AQP為直角時(shí)，力取最大值，

因?yàn)镋為A8的中點(diǎn)，S,BCE=；S⑷C為定值，

YBETCE

故當(dāng)NAG尸為直角時(shí)，匕=匕=|S^BCEh取最大值,

此時(shí)，平面4。石，平面BCDE,

故△ADE是邊長(zhǎng)為4/的等邊三角形，

因?yàn)?G_LOE,則$G=AEsin60。=4若x曰=6,

因?yàn)镻為3C的中點(diǎn)，E為AB的中點(diǎn)，則PE〃AC且PE=2AC=!><8/=4石，

22

同理可得PD=PB=PC=473,則尸為四邊形BCDE的外心，

設(shè)等邊△A