2024-2025學年高考數(shù)學復習解答題提優(yōu)思路：利用導函數(shù)研究能成立（有解）問題（學生版+解析）

專題06利用導函數(shù)研究能成立(有解)問題

(典型題型歸類訓練)

目錄

一、必備秘籍.............................................1

二、典型題型.............................................2

題型一：單變量有解問題................................2

題型二：雙變量不等式有解問題..........................3

題型三：雙變量等式有解問題............................5

三、專項訓練.............................................6

一、必備秘籍

分離參數(shù)法

用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個

一端是參數(shù)，另一端是變量表達式的不等式；

步驟：

①分類參數(shù)(注意分類參數(shù)時自變量X的取值范圍是否影響不等式的方向)

②轉(zhuǎn)化：3x^D,使得a>/(x)能成立ooA/aLn；

使得a<f(x)能成立=。</(x)^.

③求最值.

二、典型題型

題型一：單變量有解問題

1.(2024?四川成都?一模)已知函數(shù)/(苫)=/11?:+[晟+11?:)苫，

(1)當相=0時，求〃x)在處的切線方程;

9

⑵當根=2時，設函數(shù)*x)=3g(x)+"x),求證：/(x)<0有解.

2.(23-24高三上?廣東深圳?階段練習)已知/(x)=or-lnx,aeR.

⑴討論的單調(diào)性和極值；

⑵若xe(O,e]時，有解，求。的取值范圍.

3.(20234?河南洛陽?模擬預測)已知函數(shù)〃力=加-樂2-9尤-1在x=-1處取得極值4.

⑴求a,b的值；

⑵若存在xe[2,4],使34-矛之〃x)成立，求實數(shù)4的取值范圍.

4.(2。24安徽淮南T莫)已知函數(shù)小)=三

(1)討論函數(shù)Ax)的單調(diào)性；

(2)已知幾>0,若存在無e(l,+s)時，不等式彳尤2一兄x2(el)lnx成立，求4的取值范圍.

5.(2024?廣東珠海?一模)已知函數(shù)/■(x)=-ox2+lnx(aeR).

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若存在xe(l,y),〃x)>-a,求。的取值范圍.

題型二：雙變量不等式有解問題

1.(23-24高三下?江蘇南京?階段練習)己知函數(shù)〃x)=41nx-ax+W(a>0).

(1)當。=g,求/(x)的極值.

⑵當時，設g(x)=2e-4x+2a,若存在%,4e1,2,/(占)>g(x2),求實數(shù)。的取值

范圍.“為自然對數(shù)的底數(shù)，eN.71828...)

]a2

2.(2024?廣西柳州?二模)己知函數(shù)"X)=alnx+aX+」-(aW0).

(1)討論函數(shù)〃元)的單調(diào)性；

211

⑵設8(幻=2/_旌'+上e+上(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù))，當。=-六時，對任意

v71246

王存在we[l,e],使g(%)V〃w),求實數(shù)機的取值范圍.

3.(23-24高三上?福建龍巖?階段練習)已知函數(shù)/(x)=21nx-:依2+(2。-1)宜〃>0).

⑴若曲線V=f(x)在點QJ⑴)處的切線經(jīng)過原點，求。的值；

⑵設g(x)=V-2x,若對任意se(0,2],均存在fe(0,2],使得f(s)<g(t),求。的取值范

圍.

4.(23-24高二下?黑龍江大慶?)已知函數(shù)/'(x)=2sinx-xcosx-x,7'(x)為的導數(shù).

(I)求曲線y=f(x)在點4(0,〃。))處的切線方程；

(C)證明:八x)在區(qū)間(0,幻上存在唯一零點；

(IH)設g(x)=尤2-2x+a(aeR),若對任意.e[0,7t\，均存在x2e[l,2]，使得/(x1)>g(x2),

求實數(shù)a的取值范圍.

5.(23-24高三上?福建莆田?期中)已知函數(shù)〃x)=*.

⑴當e時，求函數(shù)〃尤)的最小值；

⑵若g(x)=W-d+3尤-。，且對％Jog,都叫可0,2],使得〃占)丸&)成立，求實

數(shù)”的取值范圍.

題型三：雙變量等式有解問題

1.(23-24高一上?湖北■期末)已知函數(shù)/(x)=x2-(a+l)x+a

(1)當。=2時，解不等式f(x)NO；

(2)已知g(x)=/nx+7-3m,當a=3時，若對任意的占總存在々?口,4],使

f(%)=g(X2)成立，求正實數(shù)小的取值范圍.

2.(23-24高二上?浙江?期中)函數(shù)g(x)=x2+ar+3.

⑴當xe[L4]時，總有g(x)Wa成立，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若。＞-3,對V%e[2,*c),川e[2,“o),使得〃與)=8(々)，求實數(shù)。的取值范圍.

3.(23-24高一上?遼寧?期末)已知函數(shù)〃x)=x2-2x+a,g(x)=or+5-a.

⑴若函數(shù)y=在區(qū)間[-3,0]上存在零點，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若對任意的刃目-3,3],總存在馬4-3,3],使得/Q)=g(w)成立，求實數(shù)。的取值范

圍.

4.(23-24高一下?陜西漢中?期中)己知函數(shù)y=了+工有如下性質(zhì)：如果常數(shù)f>0,那么該

X

函數(shù)在(0,〃]上是減函數(shù)，在[”,+可上是增函數(shù).

⑴已知〃同=2芯+1+5*-8,xe[0,l],利用上述性質(zhì)，求函數(shù)“X)的值域；

(2)對于(1)中的函數(shù)/(元)和函數(shù)g(x)=-x-2a,若對任意為e[0,1],總存在％e[0,1],

使得g(F)=〃不)成立，求實數(shù)。的值.

三、專項訓練

1.(23-24高一上?湖南衡陽?期中)已知,且函數(shù)g(x)="L.①函數(shù)

/(x)=依+6(。>0)在口⑵上的值域為[2,4]；②函數(shù)/(X)=爐+(2-a)x+4在定義域

矽-1,6+1]上為偶函數(shù).請你在①②兩個條件中選擇一個條件，將上面的題目補充完整.

(1)求a,b的值；

(2)求函數(shù)g(x)在R上的值域；

⑶設〃(x)=cx-2,若FeR,玉2e[-2,2]使得ga)<//(尤2)成立，求c的取值范圍.

2.(23-24高一上?遼寧沈陽?期中)已知函數(shù)〃x)=：x+|,8(尤)=爐-2水+4a—3(aeR),

(1)若對于任意的可式-U],總存在使得/(可)=g(w)成立，求實數(shù)。的取值范

圍；

(2)若不等式2a)r+2對Vxe[T,-3]及都成立，求實數(shù)r的取值范圍.

3.(23-24高一上?福建泉州?期中)已知_________且整數(shù)g(x)=Q—.

①函數(shù)"x)=d+(l-〃)龍+4在定義域為也-1力+1]上為偶函數(shù)；

②函數(shù)〃x)=ax+b(a>0)在區(qū)間[L2]上的值域為[1,2].

在①，②兩個條件中,選擇一個條件，將上面的題目補充完整，求出a,b的值,并解答本題.

⑴判斷g(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；

⑵設旗X)=-X-2C,對任意的占eR,總存在we[-2,2],使得g(xj=M%)成立,求實數(shù)c的取

值范圍.

4.(23-24高一上?貴州遵義?階段練習)已知函數(shù)/("=要士|是定義在(-3,3)上的奇函數(shù)，

且"2)=：.

⑴若關于x的方程Y一2日+24+6=0的兩根滿足一根大于1,另外一根小于1,求實數(shù)上的

取值范圍；

⑵已知函數(shù)/1(%)=3+/,若對任意根e[-1,2],總存在“e[-1,2],使得/(加)=0(")成立,

求實數(shù)t的取值范圍.

8.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/(x)=lnx—辦+L~^—1(QER).

⑴當0<〃<；時，討論了⑴的單調(diào)性；

(2)設g(x)=f-處+4.當〃二;時，若對內(nèi)￡(0,2),3X2e[l,2],使〃不”鼠務),求實

數(shù)人的取值范圍.

9.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/(%)=(工-1)j1+如2,當0〈加46時，

3

g(x)=x---mx,XG(0,2],若*I￡R,Xe(0,2],使/(xjKg?)成立，求實數(shù)機的取

x2

值范圍.

22

10.(23-24高二下?重慶泰江?期中)已知函數(shù)f(x)=^x-adwc(a^R)fg(x)=x-2mr+4

(meR).

⑴若函數(shù)“X)在x=2處的切線方程為y=x+b,求實數(shù)。與6的值；

(2)當。=1時，若對任意的外目1,2],存在使得〃占)幺?)，求實數(shù)用的取值范

圍.

11.(23-24高三上?廣東深圳?階段練習)已知〃x)=(ax-lnx,aeR.

(1)討論的單調(diào)性和極值；

(2)若xe(O,e］時，f(x)V3有解，求”的取值范圍.

12.(2023?青海西寧?二模)設函數(shù)=

X

⑴若函數(shù)"X)在其定義域上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

⑵當a<2時，設函數(shù)g(x)=x-lnx-,，若在［l,e］上存在x］，x2使/(玉)>g(xj成立，求實

數(shù)。的取值范圍.

13.(23-24高二上?河南?期末)已知函數(shù)〃力=三--+6無+1在x=3處取得極值-26.

(1)求。，匕的值；

⑵若存在工￡［T,4］,使得〃%)T>0成立，求實數(shù)/的取值范圍.

專題06利用導函數(shù)研究能成立(有解)問題

(典型題型歸類訓練)

目錄

一、必備秘籍.............................................1

二、典型題型.............................................2

題型一：單變量有解問題................................2

題型二：雙變量不等式有解問題..........................3

題型三：雙變量等式有解問題............................5

三、專項訓練.............................................6

一、必備秘籍

分離參數(shù)法

用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個

一端是參數(shù)，另一端是變量表達式的不等式；

步驟：

①分類參數(shù)(注意分類參數(shù)時自變量X的取值范圍是否影響不等式的方向)

②轉(zhuǎn)化：使得a>/(x)能成立=a〉F(x)min；

3x^D,使得a<f(x)能成立=。<.

③求最值.

二、典型題型

題型一：單變量有解問題

1.(2024?四川成都?一模)已知函數(shù)/(x)=x21n_r+[￡+hix)x,

（1）當相=0時，求〃x）在處的切線方程;

9

⑵當根=2時，設函數(shù)*x）=3g（x）+"x）,求證：歹（x）＜0有解.

【答案】⑴2x-y-2=0

（2）證明見解析

【分析】

（1）當加=。時，求出/（1）、r⑴的值，利用點斜式可得出所求切線的方程;

（2）化簡得出函數(shù)尸（X）的解析式，利用尸⑴＜0可證得結(jié)論成立.

【詳解】（1）解：當切=0時，f（%）=x2lnx+xlnx,則"1）=0,

/,(x)=2xlnx+x+lnx+l,則/''(1)=2,

故當相=0時，“X)在處的切線方程為y=2(尤-1),即2x-y-2=0.

(2)證明：當機=2時，/(x)=x2lnx+xlnx+x,g(x)=口-3x,

722

F(x)=-g(x)+/(x)=—x3-2x+x2Inx+xlnx+x=—x3-x+x2Inx+xlnx

33

2

因為/（1）=§—1＜。，故不等式尸（力＜0有解.

2.（23-24高三上?廣東深圳?階段練習）已知/（x）=ox-lnx,a￡R.

⑴討論的單調(diào)性和極值；

（2）若%?0,e］時，/（耳＜3有解，求。的取值范圍.

【答案】（1）見解析

（2）（。,臼

【分析】（1）首先求函數(shù)的導數(shù)，r（同=竺］,（》＞0）,討論aWO和。＞0兩種情況討論

函數(shù)的單調(diào)性和極值;

QInYAIny

(2)首先不等式參變分離為aW士+吧，在xe(O,e]時有解，再構(gòu)造函數(shù)g")=士+吧，

XXXX

xe(O,e],轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)求函數(shù)的最大值.

【詳解】(1)/(x)=a-1=竺匚,(x>0),

XX

當時，/'(力<0恒成立，函數(shù)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，無極值；

當a>0時，令/(無)=0,得工=工，

a

r(x)<0,得0<x<：,函數(shù)在區(qū)間(0,：)上單調(diào)遞減，

/^)>0,得x>：,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

當尤=工，函數(shù)取得極小值=l+

a\aj

綜上可知，aW0時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+”),無增區(qū)間，無極值；

”>0時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是+8；單調(diào)遞減區(qū)間1。,：],極小值1+lna,無極大值.

(2)由題意可知，6zx-lnx<3,元￡(0,e]時有解，

貝+見土，在%￡(0,e]時有解，即],XG(0,e],

XX〈XX/max

設g(x)=3+^^，X￡(o,e],

xx

./、31-lnx—2—Inx

令g'(x)=O,得x=2,

當0cxe士時，gr(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

e

當3<x〈e時，g[x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

所以g(無)的最大值為g[5]=e2,即awe?,

所以實數(shù)。的取值范圍是(-8,e?].

3.(20234?河南洛陽?模擬預測)已知函數(shù)〃”=必3-桁2一9-1在尸_1處取得極值4.

(1)求a,b的值；

⑵若存在xe[2,4],使34-矛成立，求實數(shù)4的取值范圍.

【答案】(1)。=1，b=3

⑵[T7]

【分析】（1）利用題給條件列出關于。，6的方程組，解之并進行檢驗后即可求得a,b的

值；

（2）利用題給條件列出關于實數(shù)幾的不等式，解之即得實數(shù)4的取值范圍.

【詳解】（1）/（x）=ax'-bx2-9x-l,貝U（尤）=3依2一%%—9.

因為函數(shù)〃%）=加-而_9x-1在戶-1處取得極值4,

fa=1

所以3々+2〃-9=0,—4一人+9—1=4,解得1

0=3

此時r（x）=3x2-6x-9=3（x+l）（%-3）.

易知/（無）在（-jT）上單調(diào)遞增，在（T,3）上單調(diào)遞減，在（3,上單調(diào)遞增，

則尸-1是函數(shù)“尤）的極大值點，符合題意.故。=1,b=3.

（2）若存在xe[2,4],使32-外2/（x）成立,貝！|33一矛N"（x）]111ta.

由（1）得，y（%）=—3x2—9x—1,

且〃尤）在[2,3）上單調(diào)遞減，在（3,4]上單調(diào)遞增，

所以"（^）]^=/（3）=27-27-27-1=-28,

所以32—外2—28,即分一34—2840,解得一4<2V7,

所以實數(shù)幾的取值范圍是[T,7].

Inx

4.（2024?安徽淮南?一模）已知函數(shù)/（x）=-

x-i

（1）討論函數(shù)Ax）的單調(diào)性；

（2）已知幾>0,若存在尤e（l,+◎時，不等式九丁一加成立，求彳的取值范圍.

【答案】（1）函數(shù)y=/（x）在區(qū)間（0,1）,（1,內(nèi)）上均單調(diào)遞減

⑵

【分析】（1）利用導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應用，即可得到結(jié)果；

（2）根據(jù)題意，將原不等式轉(zhuǎn)化為臀2占，即，）>f{x）；再根據(jù)（1）,可知y=/（x）

在（1,y）單調(diào)遞減，將原問題轉(zhuǎn)換為/'Vx在（1,內(nèi)），兩邊同取自然對數(shù)，采用分離參數(shù)法

可得4V.在（1,y）上能成立，再利用導數(shù)求出函數(shù)以尤）=垣（x>l）的最值，即可得到結(jié)

XX

果.

【詳解】（1）解：了=/。）的定義域為（0,1）51,+8）

因為/。)=學,l---lnx

所以

x-1-1)2

11—Y

令g(x)=l-「叱貝Ug'(x)=F

所以函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(o,1)單增；在區(qū)間(1,+^)單減.

又因為g⑴=0,所以當無e(0,l)U(l,E)時g(x)<0,Ax)<0

所以函數(shù)y=/(X)在區(qū)間(0,1),(Ly)上均單調(diào)遞減；

(2)解：,.1Ax2-Ax>(e^-1)Inx

二.(x-1)In2(/*-1)Inx

Ipp'"1r)y

當2>0,x>l時x-l>0,所求不等式可化為半r29工，

產(chǎn)x-1

即

易知*e(l,+oo),

由(1)知，y=/(x)在(1,內(nèi))單調(diào)遞減，

故只需在(1,+◎上能成立.

Inx

兩邊同取自然對數(shù)，得尢r<lnx,即花一在?？?上能成立.

x

人/、Inxr、e，/、1一Inx

令c(x)=——(z%>i),貝!Je(x)=——)

XX

當xe(l.e)時，夕'(x)>0,函數(shù)y=9(無)單調(diào)遞增，

當xw(e,"o)時，0(x)<O,函數(shù)y=9(x)單調(diào)遞減，

。(??^=。(6)=工，

e

所以彳4,，又彳>0,故4的取值范圍是.

eIe」

5.(2024?廣東珠海?一模)已知函數(shù)/(尤)=一改2+山工("￡尺).

(1)討論/(九)的單調(diào)性；

(2)若存在%￡(1,+00),〃可>—即求。的取值范圍.

【答案】(1)分類討論，答案見解析；(2)［巴))

【分析】(1)對函數(shù)/(X)求導，再按和。>0分別討論導函數(shù)值正負而得解；

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)+a,討論a40時g(x)在(L+8)的值的正負，a>0時再分段討論g(x)

最小值情況即可得解.

【詳解】⑴函數(shù)"X）的定義域為（0,+8）,尸（工）=一26+L=上二”,

XX

當aWO時,/^x）＞0,則〃x）在（0,+動上遞增,

當。＞0時，由/''（X）=0,得x=-,

由制x）＞0,得無由r（x）＜。，得工6

于是有“X）在小吉〕

上遞增，在上遞減;

⑵由〃%)>_口，得a(x?-l)-lnx<0,xe(l,+oo),

-lnj;<0,x2-l>0,當“WO時，a(x2-l)-lnx<0,滿足題意,

當時，令g"haCx2—l)-lnx(x>l),gf(x)=2aX—>0,g(無)在(L+8)上遞增，則

zX

g(x)>g(l)=O,不合題意,

由g'(x)<°,得xe[l，^―]，

當0<a<5時，由g，(x)>0，得xe[1—,+oo

于是有g（無）在|1,上遞減，在上遞增,g（無）晶

則0＜a＜：時，Hxe（l,-Ko）,g（x）＜0,

綜上，0的取值范圍為1-哈￡].

【點睛】結(jié)論點睛：對于能成立問題，⑴函數(shù)/W定義區(qū)間為D3XGD,。3（力成立，則

有“ZWmin；⑵函數(shù)於）定義區(qū)間為，BX&D,。勺力成立，則有ag（X）max.

題型二：雙變量不等式有解問題

1.（23-24高三下?江蘇南京?階段練習）已知函數(shù)“無）=41nx-依+生？（a＞0）.

X

（1）當a=g,求/（x）的極值.

（2）當時，設g（x）=2e」4x+2“，若存在J,2,八國）＞g（x2）,求實數(shù)。的取值

范圍.（e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）

【答案】（1）極小值為3；極大值為41n7—3

⑵[L4）

【分析】(1)利用導數(shù)判斷單調(diào)性，求出極值即可;

(2)存在%,%e；,2,使/(占)>g(%)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間g，2上〃》)而AgOO疝n，即可求

解.

【詳解】(1)〃尤)的定義域為(0,+8),

1Y7

當時，/(元)=41nx-5+1，

令/'(x)>0,可得l<x<7,令，(無)<0,可得0<x<l或無>7,

二函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1),(7,+8),單調(diào)增區(qū)間為(1,7)

.,.x=：L時，函數(shù)取得極小值為3；x=7時，函數(shù)確定極大值為41n7—3；

(2)/⑺=一叱+4『4+3)卜>0),令〃3)=-依?+4x—(。+3),

若aNl,貝！JA=16-4儲-12〃=-(〃-1)(々+4)?0,

(x)在區(qū)間(0,+°°)上單調(diào)遞減，

???當4之1時，f(x)在；,2上單調(diào)遞減，

”⑴在1,2上的最大值為/］；j=-41n2+Ta+6,

gr(x)=2ex-4,令g，(x)=0,得x=ln2,

當xe；,ln21時，g,(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當x?ln2,2］時,^(%)>0,：.g(尤)單調(diào)遞增，

g(x)在g,2上的最小值為g(ln2)=4-41n2+2a,

3

由題意可知一4In2d—。+6>4—41n2+2〃，解得々<4,

2

又

「?實數(shù)〃的取值范圍為［L4).

1Q2

2.(2024?廣西柳州?二模)已知函數(shù)/(x)=olnx+；x+2L(ow0).

⑴討論函數(shù)〃尤)的單調(diào)性；

2

e11

⑵設8("=2/_〃盧+五+1(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù))，當”-芳時，對任意

玉存在々?［國，使g(不)4/(%)，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)分類討論，答案見解析；

(2)m>—.

e

【分析】(］)求出函數(shù)/(X)的導數(shù)，再分類討論求出函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間作答.

(2)利用(1)的結(jié)論求出/(X)在［l,e］上的最大值，再利用給定條件，構(gòu)建不等式并分離

參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)最大值作答.

【詳解】(1)函數(shù)/(x)=alnx+L+宜的定義域為(0,+?)),求導得

4x

4x2

而awO,當a>0時，由/'(%)<。得0<%<2〃，由/'(兄)>0得x>2a,

因此函數(shù)〃x)在(0,2a)上單調(diào)遞減，在(2a,+8)上單調(diào)遞增，

當a<0時，由/'(無)<0得0<尤<-6。，由/'(x)>0得x>-6a,

因此函數(shù)/(X)在(0,-60上單調(diào)遞減，在(-64,+8)上單調(diào)遞增.

(2)當a=時，由(1)知，函數(shù)〃尤)在口,e］上單調(diào)遞減，而％目1向，則

6

e21

/（々/ax="1）=五+“

任意入閆1,4］,存在使g(%等價于D石g(xjw卷+；恒成立,

貝！J有V石G［1,41,2%；-mex'<0?根>2^成立，h(x)=^—,l<x<4，

eX1QX

則1(x)=4x2廠=_2x(x2),當1<X<2時，h\x)>0,當2Vx<4時，〃(x)<0,

exex

o

即有力(x)在［1,2］上單調(diào)遞增，在［2,4］上單調(diào)遞減，以尤)1mx=人(2)=:，

e

因此當xn1,4］時，工最大值為提，則機與，

O

所以實數(shù)機的取值范圍是機

e

3.(23-24高三上?福建龍巖?階段練習)已知函數(shù)/1(x)=21nx-；依2+(2。_1)宜〃>0).

⑴若曲線>可'(x)在點(1"(D)處的切線經(jīng)過原點，求。的值；

⑵設g(x)=f一2x,若對任意se(0,2］,均存在fe(0,2］,使得〃s)<g(t),求。的取值范

圍.

【答案】⑴a=4;

(2)(0,1-In2).

【分析】(1)利用導數(shù)的幾何意義求切線方程(含參數(shù)。)，由切線過原點求出。的值；

(2)利用導數(shù)研究/(x)的單調(diào)性并求出(0,2]上的最大值，由二次函數(shù)性質(zhì)求g(x)在(0,2]上

的最大值，根據(jù)已知不等式恒(能)成立求參數(shù)。的范圍.

12

【詳解】(1)由/(x)=21n%——ax2+(2a—l)x(a>0),可得/'(尤)=ax+2a-1.

2x

13

因為=2-a+2a-l=a+l,/(I)=-—a+2a—l=—a-l,

所以切點坐標為(1,言-1),切線方程為：J-|^y-lJ=(a+l)(x-l),

因為切線經(jīng)過(0,0),所以,-1=。+1,解得。=4.

(2)由題知/(x)的定義域為(0,+°°)*f'(x)——[ax2—(2a—l)x—2],

X

令/'(無)=ax2-(2?-l)x-2=0,解得x=_■-或x=2，

a

因為。>0,所以—<0,所以—<2,

aa

令/'(x)>0,gpax2-(2a-l)x-2<0,解得：--<^<2,

a

令/'(x)<0,即ax?—(2a—l)x—2>0,彳導：x<或無>2,

a

所以/(x)增區(qū)間為(0,2),減區(qū)間為(2,+a)).

因為g?)=r-2f=(r-l)2-l,所以函數(shù)g?)在區(qū)間(0,2]的最大值為o,

函數(shù)/⑶在(0,2)上單調(diào)遞增，故在區(qū)間(0,2]上As**="2)=2In2+2a-2,

所以21n2+2。-2<0,iPln2+a-l<0,故a<l—ln2,

所以。的取值范圍是(0,lTn2).

4.(23-24高二下?黑龍江大慶?)已知函數(shù)/'(x)=2sin尤-xcosx-無，/'⑺為了(戈)的導數(shù).

(I)求曲線y=f(x)在點40/(0))處的切線方程；

(II)證明：/在區(qū)間(0,萬)上存在唯一零點；

(印)設g(x)=f-2x+a(aeR),若對任意.e[0,司，均存在々e[1,2],使得/(占)>g(x2),

求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(I)y=0；(H)證明見解析；(EDO

【分析】(])將x=0代入”力求出切點坐標，由題可得/'(x)=cosx+xsinx-l,將尤=0

代入尸(X)求出切線斜率，進而求出切線方程.

(II)設g(x)=r(x),則g'(x)=xcosx,由導函數(shù)研究g(x)=/'(尤)的單調(diào)性進，而得出答

案.

(in)題目等價于源,>8*,易求得gnuLg⑴=。-1，利用單調(diào)性求出“X)的最小值，

列不等式求解.

【詳解】(I)/，(x)=cosx+xsinx-l,所以八0)=0,即切線的斜率左=0,且"0)=0,

從而曲線丫="X)在點A(0,/(0))處的切線方程為y=0.

(II)設g(x)=f'(x),貝(|g(x)=cosx+xsinx-l,g'(x)=xcosx.

當xe(0,$時，g'(x)>0；當時，g'(x)<0,所以g(x)在(0,全單調(diào)遞增，在。兀]

單調(diào)遞減.

又g(。)=0,gC)>0,g(7i)=-2,故g(x)在(0,71)存在唯一零點.

所以y'(x)在(0,兀)存在唯一零點.

(DI)由已知，轉(zhuǎn)化為fin>gmin,且g(X)=獷-2x+€R)的對稱軸元=1€[1,2]所以

gmin=g6="l.

由(H)知，/'(x)在(0,兀)只有一個零點,設為％,且當xe(O,人)時,f\x)>0；當兀)

時，小)<0,所以/⑺在(0,%)單調(diào)遞增,在(一㈤單調(diào)遞減.

又"0)=0"(兀)=0,所以當xe[0,兀]時,九n=0.

所以0>。一1,即a<1,因此，a的取值范圍是(-8,1).

【點睛】導數(shù)是高考的重要考點，本題考查導數(shù)的幾何意義，利用單調(diào)性解決函數(shù)的恒成立

問題，存在性問題等，屬于一般題.

5.(23-24高三上?福建莆田,期中)已知函數(shù)〃力=尊.

⑴當卷時，求函數(shù)/(X)的最小值；

⑵若g(x)=W-尤3+3x-。，且對內(nèi),都衽e[0,2],使得人占)〈8(毛)成立，求實

數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴J2

兀

(2)(-a=,-+l.

【分析】(1)利用導數(shù)研究“X)單調(diào)性，注意構(gòu)造中間函數(shù)"x)=xcosx-sinx,xe[o,。

判斷尸(x)的符號；

(2)構(gòu)造Mx)=sinx-x,xe[o(研究其單調(diào)性證”》)=%<1在1上恒成立，再應

用導數(shù)研究g(x)在[。,2]上的最大值，結(jié)合己知恒能成立有工+2-。21即可求范圍.

e

【詳解】(1)因為函數(shù)=所以尸(x)=xc°sx”x.

設”(xbxcosx-sinx.xelo,],貝ijM(x)=-xsinx<0,故"(x)在(0,]上遞減.

.,.M(X)<M(O)=O,即/'[x)<0,xe(0,],

\"X)在上單調(diào)遞減，最小值為

(2)令/2(x)=sinx-x,xe|o,q,貝！]"(x)=cosx-lV0在]。仁上恒成立，

即函數(shù)/z(x)在(0胃上單調(diào)遞減，所以/心)<旗0)=0,

所以sinx<x,xe(0，W],即〃無)=誓<1在]。，5]上恒成立；

12」x<2_

又g，(x)=---3(/-1)=(1—x)[—+3x+x),當xe[0,2]時3x+3+=>°,

xe(O,l),g<x)>O,g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增;

xe(1,2)R(x)<0,g(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減.

函數(shù)g(尤)在區(qū)間[0,2]上的最大值為g⑴-1+3-4」+2-a.

ee

11(1

綜上，只需—+2-解得aV—+1,即實數(shù)。的取值范圍是-%—+1

ee<e

題型三：雙變量等式有解問題

1.(23-24高一上?湖北?期末)已知函數(shù)/(x)=d-(a+l)x+a

(1)當。=2時，解不等式/(X)20；

(2)已知g(x)=〃ix+7-3m,當。=3時，若對任意的X]€[1,4],總存在尤2e[1,4],使

/(不)=8(吃)成立，求正實數(shù)機的取值范圍.

【答案】⑴(F』u[2,y)

(2)[4,+8)

【分析】(1)根據(jù)一元二次不等式的解法求得正確答案.

(2)先求“力和g(無)在區(qū)間[1,4]上的值域，然后列不等式組來求得機的取值范圍.

【詳解】(1)當a=2時，f(x)=x2-3x+2,

由/(x)=x2-3x+2=(x-l)(x-2)>0,

解得xWl或尤22,

所以不等式的解集為

(2)當“=3時，y(x)=x2—4x+3,

對稱軸為x=2,且/(2)=-1,"4)=3,

所以對任意的與《1,4],/&)?-1,3].

機>0時，g(x)是增函數(shù)，g(l)=7-2m,g(4)=7+m,

由9目1,4]得g(々)￡[7-2九7+%],

若對任意的占e[1,4],總存在[1,4],使/&)=g(務)成立，

7-2m<-1

所以<7+%23,解得機24,

m>0

所以正實數(shù)機的取值范圍是[4,內(nèi)).

2.(23-24高二上?浙江?期中)函數(shù)1,g{x}=x1+ax+3.

⑴當xe[l,4]時，總有g(x)2a成立，求實數(shù)”的取值范圍；

⑵若a>-3,對V占e[2,y),切目2,y)，使得〃%)=g(%0,求實數(shù)”的取值范圍.

【答案]⑴JN-6

⑵aG(-3,-2]

【分析】(1)由題意g(x)2。恒成立，采用變量分離法得a2-匕生，求解出>=一匕生的

X—1X—1

最大值，從而得解；

(2)根據(jù)題意可得出，〃x)在[2,+8)上的值域為g(x)在[2,內(nèi))上的值域的子集，根據(jù)子

集運算規(guī)則解得參數(shù)。的取值范圍.

【詳解】(1)解：由g(x)2a得儀》一1)2-(工2+3),

當x=l時，止匕時awR；

2

X+3（4

當1<元《4時，a>------=-X-1H--------F2

x—1IX—1

因為1<工44,故

44

所以％-1+-----+2>2J（x-l）x------+2=6，

x-1Vx-1

4

當且僅當％-1=」一時等號成立，即x=3時等號成立，

X-1

tj[a>-6；

綜合得：a>-6；

(2)記4={川y=/(x),xe[2,~H?)},3={y|y=gCr),xe[2,+oo)},

因為對％e[2,*o),3X2G[2,-KO),使得〃玉)=g(x?),

所以

因為〃X)=(X-1)+■7+123,當且僅當x=2時，等號成立，

X-1

所以A=[3,y),

當a>—3時,g(x)在[2,內(nèi))上單調(diào)遞增，

所以g(x)2g⑵=7+2。，

故3=[7+2a,+oo),

因為B,

所以7+2aW3,即aW-2,

又CL>—3,

故ae(-3,-2].

3.(23-24高一上?遼寧?期末)已知函數(shù)/⑺二％2—2x+a,g(x)=av+5—a.

⑴若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間卜3,0]上存在零點，求實數(shù)。的取值范圍；

⑵若對任意的不4-3,3],總存在％2d-3,3],使得/(%)=g(赴)成立，求實數(shù)。的取值范

圍.

【答案】(1)[-15,0]

(2)(-a?,-6]O[10,+<%>)

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)/(X)在[-3,0]上單調(diào)遞減，由函數(shù)y=〃x)在區(qū)間[-3,0]上存在零

點，得r/(為-3)=)15=+小a>0即可解決；

（2）記函數(shù)〃尤）=尤2-2%+°,xe[-3,3]的值域為集合A,g（x）=ax+5-a,xe[-3,3]的

值域為集合B,則對任意的與e[-3,3]，總存在&e[-3,3]，使得/(占)=g(赴)成立=A1,

又A={y|a-lVyVa+15},g(x)的值域分a=0,a>0,0<0求解，即可解決.

【詳解】(1)由題知，/(X)=X2-2X+O,

因為y=/(x)的圖象開口向上，對稱軸為x=l,

所以函數(shù)在[-3,0]上單調(diào)遞減

因為函數(shù)y=〃力在區(qū)間[-3,0]上存在零點,

f(-3)-15+a>0

所以解得一15M4W0,

/(0)=?<0

所以實數(shù)。的取值范圍為[-15,0].

(2)記函數(shù)〃x)=x2-2x+a,xe[-3,3]的值域為集合A,

g(x)=ax+5-a,xe[-3,3]的值域為集合B,

則對任意的占3,3],總存在王e[-3,3],使得〃xj=g(x2)成立04=3,

因為y=〃x)的圖象開口向上，對稱軸為x=l,

所以當無3,3],

/(^L=〃1)=。-1，=/(-3)=?+15,

得4={丫|°-a+15},

當。=0時，g(元)的值域為{5},顯然不滿足題意;

當a>0時，g(元)的值域為3={川5—4a4y45+2。},

因為AgB,

5—4〃Ka—1

所以解得aNIO；

5+2a2a+15'

當a<0時，g(x)的值域為3={y|5+2aVyW5-4a},

5+2aKa—1

因為AqB,所以解得a<-6,

5-4a>a+l5

綜上，實數(shù)〃的取值范圍為(一「6]D[10,+8).

4.(23-24高一下,陜西漢中,期中)已知函數(shù)丁=%+工有如下性質(zhì)：如果常數(shù)/>0,那么該

X

函數(shù)在上是減函數(shù)，在[〃+可上是增函數(shù).

(1)己知〃x)=2x+l+J萬-8,xe[O,l],利用上述性質(zhì)，求函數(shù)〃x)的值域；

(2)對于(1)中的函數(shù)〃尤)和函數(shù)g(x)=r-2a,若對任意占e[0,1],總存在[0,1],

使得g(%)=〃匕)成立，求實數(shù)。的值.

【答案】⑴[-4,-3]

(2)。=J

【分析】(1)設"=2x+l,貝ij有人3=&+芻-8,we[1,3],再根據(jù)給定的性質(zhì)即可求解;

(2)求出g(x)=r-2a的值域，根據(jù)題意易得的值域是g(x)的值域的子集，由此列

出不等式組，求解即可得出。的范圍.

【詳解】(1)依題意，

4

f(x\=2x+l+------8,

「2x+l

設〃=2x+l,XG[0,1],則

令=---8,we[l,3].

由己知性質(zhì)得,當時，力(〃)單調(diào)遞減；

當時,單調(diào)遞增.

文:始）=-3,旗2)=-4,/z(3)=-y,

-4W/z(“)W-3.

/(尤)的值域為[<-3].

(2)g(x)=-x-2。為減函數(shù)，

故g(x)e[-l-2a,-2司,xe[O,l].

由題意得，當x4O,l]時，的值域是8(元)的值域的子集,

-l-2tz<-43

3解得

【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域的求法，函數(shù)的任意和存在性問題的解法以及化

簡運算能力，屬于中檔題.

三、專項訓練

1.(23-24高一上?湖南衡陽?期中)已知，且函數(shù)g(x)=/3.①函數(shù)

=依+必。>0)在口,2]上的值域為⑵4]；②函數(shù)/(X)=尤2+(2-a)x+4在定義域

lb-1,b+1］上為偶函數(shù).請你在①②兩個條件中選擇一個條件，將上面的題目補充完整.

⑴求a,6的值;

⑵求函數(shù)g(x)在R上的值域；

⑶設//(x)=cx-2,若％eR,切e［-2,2］使得g(xj＜/z(x2)成立，求c的取值范圍.

【答案】(l)a=2,人=0

⑵一卜1二r

【分析】(1)根據(jù)所選條件，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求a,b的值；

(2)根據(jù)函數(shù)解析式，利用函數(shù)奇偶性結(jié)合基本不等式，求函數(shù)g(x)在R上的值域；