2024-2025學年高考數(shù)學復習解答題提優(yōu)思路：平面與平面所成角（二面角）（含探索性問題）（學生版+解析）

專題03平面與平面所成角（二面角）（含探索性問題）

（典型題型歸類訓練）

目錄

一、必備秘籍.............................................1

二、典型題型.............................................2

題型一：求二面角......................................2

題型二：已知二面角求參數(shù)..............................4

題型三：求二面角最值（范圍）..........................7

三、專項訓練.............................................9

一、必備秘籍

1、二面角的平面角定義：從二面角棱上任取一點尸，在二面角的兩個半平面內(nèi)分別作

棱的垂線上4、PB,則44PB稱為二面角的平面角.

2,二面角的范圍：［0,乃］

3、向量法求二面角平面角

（1）如圖①，AB,CD是二面角。-/-尸的兩個面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角

的大小?=<AB,CD>.

（2）如圖②③，后分別是二面角。-/-尸的兩個半平面％夕的法向量，則二面角的

大小6滿足：

cos<%,%>=3'2；cos^=±cos</i1,n,>（特別說明，有些題目會提醒求銳二面

1?|II%I

角；有些題目沒有明顯提示，需考生自己看圖判定為銳二面角還是鈍二面角.）

二、典型題型

題型一：求二面角

1.（2024?河北滄州?一模）已知正四棱柱A3CD-A耳的底面邊長與側(cè)棱長之比為1:3,

則平面與平面ABG夾角的余弦值為.

2.（2024高三?全國?專題練習）已知正三棱柱A8CA/8/G的棱長均為°,。是側(cè)棱C。的

中點，則平面ABC與平面ABiD的夾角的余弦值為.

3.（2024高三?全國?專題練習）在四棱錐。-ABC。中，底面A3CD是正方形，若

AD=2QD=QA=亞,QC=3,則二面角B-QD-A的平面角的余弦值為.

Q

4.（2024,湖北黃石?三模）如圖，在三棱錐P-ABC中，A，耳，Q分別是側(cè)棱上4,PB,

PC的中點，AB1BC,4。，平面24cle.

（I）求證：平面44C，平面A4G；

（2汝口果4。=與。，AB=BC=4,求二面角4-5耳-C的余弦值.

5.（23-24高二下?湖北?期中）如圖，在三棱柱ABC-A瓦G中，底面?zhèn)让鍭CGA，

AC=M=2,BC=1,ZACB=90°.

LB

⑴證明：A.CIAB,；

⑵若三棱錐a-ABC的體積為手，N4AC為銳角，求平面44G與平面AGC的夾角.

6.（2024?廣東深圳?二模）如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BBgC1底面ABC,且AS=AC,

4B=AC.

⑴證明：AA，平面ABC；

（2）若⑨=屆=2,NR4c=90。，求平面ABC與平面ABG夾角的余弦值.

題型二：已知二面角求參數(shù)

1.（2024?河南三門峽?模擬預(yù)測）如圖，在多面體ABC。阱中，四邊形ABCD為菱形，四

邊形BDEF為矩形，且￡7〃DC,NBAD=60°,BD=2ED=2,M是線段EF上的一個動點，

且EM=XEE

（1）試探究當彳為何值時，DMU平面并給出證明；

⑵若平面曲與平面雙無F夾角的余弦值為?,求2的直

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD為矩形，點E為PC的中點,

且BE_LAC,PD=AD,AB=0Ao.

⑴求證：PD_LAC.

⑵若尸DLDC,點產(chǎn)為棱PB上一點，平面位＞/與平面比）E所成銳二面角的余弦值為孚,

求三7的值.

3.(2024?全國?模擬預(yù)測)如圖所示，內(nèi)接于圓O,A8為圓。的直徑，AB=W,BC=6,

CD=8,且CD,平面ABC,E為AO的中點.

(1)求證：平面3CE_L平面ABD；

⑵在線段AB上是否存在一點尸，使得平面CEF與平面8CE所成的夾角的余弦值為正,

3

若存在，請指出點廠的位置；若不存在，請說明理由.

4.(23-24高三下?湖南長沙?階段練習)如圖，在四棱錐S-ABCD中，四邊形A3CD是矩形，

△&W是正三角形，且平面平面A3C。，AB=1,P為棱AD的中點，四棱錐S-ABCD

的體積為半

(1)若E為棱S3的中點，求證：PE〃平面SCD；

⑵在棱上是否存在點使得平面與平面&山所成夾角的余弦值為孚？若存在,

求出線段AM的長度；若不存在，請說明理由.

JT

5.（23-24高二下,江蘇南京,期中）在三棱柱ABC-A,與G中，已知ZBAC=,

AC=2AB=2,CQ=BC,CQ1AB,/是BC的中點.

⑴求證：BiM1AC；

⑵在棱A4上是否存在點P,使得二面角尸-BC-A的正弦值為。？若存在，求線段AP的

長度；若不存在，請說明理由.

6.(23-24高三下?河南信陽?階段練習)如圖，在三棱柱ABC-AB|G中，AB=AB],

BC=B、C=e,BB\=2,ACJ_平面88c.

⑴求證：平面ABC垂直平面ABC；

(2)若二面角A-BB.-Q的大小為60。，求BBI與平面AB?所成的角的正弦值.

題型三：求二面角最值（范圍）

1.（23-24高二上?湖北武漢?階段練習）如圖，在三棱柱ABC-4AG中，底面是邊長為2

的等邊三角形，CQ=2,D,E分別是線段AC,CG的中點，G在平面ABC內(nèi)的射影為。.

若點P為線段4G上的動點（不包括端點），銳二面角尸—9-E余弦值的取值范圍為.

2.（19-20高二?全國?課后作業(yè)）如圖所示，在正方體A3CO-A與GA中，點尸是棱A3上

的動點（P點可以運動到端點A和5）,設(shè)在運動過程中，平面P。片與平面A。，A所成的

最小角為or,貝l]cosa=.

3.（19-20高二上?浙江紹興?期末）如圖，正三棱柱ABC-A4G中，各棱長均等于2,M

為線段8月上的動點，則平面A3c與平面AMG所成的銳二面角余弦值的最大值

為.

4.（2024?重慶?模擬預(yù)測）如圖，ACOE為菱形，AC=BC=2,NAC8=120。，平面ACDEL

平面ABC,點尸在AB上，且AF=2FB,M,N分別在直線CD,AB上.

(1)求證：CFmACDE；

(2)把與兩條異面直線都垂直且相交的直線叫做這兩條異面直線的公垂線，若/E4c=60。,

MN為直線CD,A8的公垂線，求好的值；

AF

⑶記直線8E與平面A8C所成角為。，若tanc＞叵，求平面BCD與平面CED所成角余

7

弦值的范圍.

5.(23-24高二上?湖北?期末)如圖，四邊形ABCD為矩形，AACD2AACE,且二面角

C—A5—E為直二面角.

E

(1)求證：平面ACE_L平面BCE；

(2)設(shè)P是物的中點，AE=1,BE=A,二面角E-AC-尸的平面角的大小為。，當Xe[2,3]

時，求cos。的取值范圍.

6.(2023?全國?模擬預(yù)測)如圖，在直三棱柱A5C-4用6中，AB=AC=AAi=lfAB1AC,

AA1垂直于平面A3C.點尸，E,P分別為邊AG，44],AC上的動點（不包括頂點），

且滿足AE=4尸=4尸.

（1）求三棱錐g-A/E的體積的最大值；

⑵記平面應(yīng)/與平面BCP所成的銳二面角為。，當。最小時，求cos。的值，并說明點尸所

處的位置.

7.（23-24高二上?重慶九龍坡,期末）如圖所示，四邊形ABCD為正方形，四邊形ABEE,

C￡?E尸為兩個全等的等腰梯形，AB=4,EF//AB,AB=2EF,EA=ED=FB=FC=3.

⑴當點N為線段AO的中點時，求證：ADLFN；

⑵當點N在線段AD上時（包含端點），求平面8尸N和平面ADE的夾角的余弦值的取值范

圍.

三、專項訓練

1.（2024高三?全國?專題練習）如圖，P0是三棱錐P-ABC的高，PA=PB,ABJ.AC,

E是總的中點，若NA8O=/C3O=3（r,PO=3,PA=5,則二面角C—AE—3的正弦值

為_____

2.（2024高三?全國?專題練習）如圖，三棱錐A-3CD中，DA=DB=DC,BDVCD,

ZADB=ZADC=600，E為BC的中點.若點/滿足而=礪，則二面角?！狝B—/的正弦

3.（23-24高三下?江蘇鎮(zhèn)江?開學考試）已知A3是圓錐尸。的底面直徑，C是底面圓周上的

一點，PC=AB=2,ACM，則二面角從一P3-C的余弦值為.

4.（2024高二上?江蘇?專題練習）在正方體A8CO-A4GA中，點E為2月的中點，則直

線4。與EC所成的角的余弦值為；平面\ED與平面A3CD所成銳二面角的余弦值

為.

5.（23-24高二上?廣東汕尾?期末）如圖，二面角々-―6的棱上有兩個點線段5。與

AC分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱/,^AB=AC=6,BD=S,CD=6y[5,

6.（23-24高二上?安徽亳州?期末）在正方體43。一ABG2中，設(shè)印=4束（0<4<1）,

若二面角B-A.P-B,的平面角的正弦值為畫,則實數(shù)2的值為.

6

7.（22-23高二上?浙江溫州,期中）如圖，平行六面體ABCD-aMGR中，底面ABCD和

側(cè)面BCC/S都是矩形，E是C。的中點，DiErCD,AB=2BC=2,且平面8C0B/與平面

。/匹的夾角的余弦值為且，則線段。/￡的長度為

3

D\

C,

8.（2023高二上?全國?專題練習）如圖，在直三棱柱A2C-4瓦G中，ZACB=90%

2AC=AA,=BC=2,。為A4,上一點.若二面角片-OC-￡的大小為60。，則的長

為.

9.（22-23高二下?江蘇徐州■期中）三棱錐A—3CD中，AB=BD=DA=2,BC=CD=①,

7T5冗

記二面角A-BD-C的大小為。，當時，直線A3與8所成角的余弦值的取值

OO

范圍是.

10.（23-24高三上云南昆明?階段練習）如圖，在三棱錐P-ABC中，BCLBA,AB^BC=1,

R4_L平面ABC,PA=2,E,尸分別為棱P8,尸C上的動點，目EFIIBC.

P

⑴證明：平面AEF_L平面

JTPF

（2）若平面與平面ABC所成角為:，求。的值.

4PB

11.（2024?遼寧葫蘆島?一模）如圖，S為圓錐頂點，。是圓錐底面圓的圓心，AB,8是

長度為2的底面圓的兩條直徑，AB^CD=O,且50=3,尸為母線SB上一點.

D

(1)求證：平面J■平面ADRA；

(2)已知點E在線段G。上(不含端點位置),且平面ABE與平面BCG片的夾角的余弦值為

”、"，求萬DE?的值.

5

14.(23-24高二上?江西南昌?期末)已知平行四邊形48C。如圖甲，ZD=60°,DC=2AD=2,

沿AC將△ADC折起，使點。到達點P位置，且PCL3C,連接PB得三棱錐P-ABC如圖

使二面角”-鈿-。的余弦值為*'若存在’求出\PM|

(2)在線段PC上是否存在點M,

\PC\

的值；若不存在，請說明理由.

15.(23-24高二上?廣東汕尾?期末)在圖甲所示的四邊形ABCP中，AB//PC,ZABC=90°,

AD//BC,PC=2AB=2,沿AO將ARW進行翻折，使得/PDC=90。，得到如圖乙所示

的四棱錐P-AfiCD.四棱錐尸-ABCD的體積為正，”為邊3C上的動點（不與端點8,C

3

重合）.

（2）設(shè)兩=幾互，試問：是否存在實數(shù)4,使得銳二面角5的余弦值為拽1?若

存在，求出實數(shù)彳的值；若不存在，請說明理由.

16.（20-21高三上?山東青島?期中）在多面體ABCD跖中，平面ABCD為正方形，AB=2,

AE=3,DE=45,二面角E-AD-C的平面角的余弦值為支EFIIBD.

⑴證明：平面ABCD1平面DCE；

（2）若礪=ADB（2>0）,求平面ABF與平面CEF所成銳二面角的余弦值的取值范圍.

專題03平面與平面所成角（二面角）（含探索性問題）

（典型題型歸類訓練）

目錄

一、必備秘籍..............................................1

二、典型題型.............................................2

題型一：求二面角......................................2

題型二：已知二面角求參數(shù)..............................4

題型三：求二面角最值（范圍）..........................7

三、專項訓練.............................................9

一、必備秘籍

1、二面角的平面角定義：從二面角棱上任取一點尸，在二面角的兩個半平面內(nèi)分別作

棱的垂線？A、則ZAPB稱為二面角的平面角.

2、二面角的范圍：［0,捫

3、向量法求二面角平面角

（1）如圖①，AB，CD是二面角夕-/-分的兩個面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角

的大小。=＜麗，麗＞.

大小e滿足:

cos（點,>=-3之；cos^=±cos<n?,zT>（特別說明，有些題目會提醒求銳二面

I%II%I~

角；有些題目沒有明顯提示，需考生自己看圖判定為銳二面角還是鈍二面角.）

二、典型題型

題型一：求二面角

1.（2024?河北滄州?一模）已知正四棱柱A8C。-44GR的底面邊長與側(cè)棱長之比為1:3,

則平面DAXB與平面A.BC,夾角的余弦值為.

【答案壯

【分析】建立空間直角坐標系，利用面面角的向量法求解.

【詳解】如圖，以點。為原點，以為MV*軸，建立空間直角坐標系，

正四棱柱的底面邊長為。,（。>0）,貝=3a,

所以6（a,a,0）,A（?,0,3tz）,Cx（0,a,3a）,

則A8=（0,a,-3a）,DB=（〃,〃,0）,AQ=（一a,0）,

設(shè)平面DA16與平面ABC1的法向量分別為為=a,X,4）,布=（為，，Z2）,

n-A.B-ay.-3azi=0

則｛-,，令芯=3,貝lj而=（3z,-3,-1）,

n-DB=axx+ayx=0

m-AB=ay0—3az0=0

<____,令之2=1,則碗=（3,3,1）,

玩?AG=-ax2+ay2=0

!u?nm3x3-3x3-l1

設(shè)向量〃，加的夾角為e,則as"同祠=岳x岳=一歷，

所以平面DA.B與平面A8G夾角的余弦值為'.

故答案為：—

19

2.（2024高三?全國?專題練習）已知正三棱柱的棱長均為。，。是側(cè)棱CG的

中點，則平面ABC與平面ABjD的夾角的余弦值為.

【答案】叵

2

【詳解】

以A為坐標原點，以面A8C內(nèi)垂直于AC的直線為x軸，以AC所在直線為y軸，以44/所

因為ABC-4SG是各棱長均等于a的正三棱柱，。是側(cè)棱CG的中點，所以4（0,0,0）,

Bi（3a,崇a）,D（0,a,3），Ci（Q,a,a},故A歷=（乎a,a）,就=（0,a,今），DCi

=（0,0,界

設(shè)平面A5/O的法向量為n=（x,y,z）,

[nAB\=G

則V_即<

?力=0,

令y=l,則Z=—2,x=S，故n=（S，1,—2）.

又平面ABC的一個法向量為m=（0,0,1）,所以|cos<m,n）|=""=卜上一人二=也,

\m\\n\\;3十1十4x17

所以平面ABC與平面ABiD的夾角的余弦值為啦.

7

【考查意圖】

考查向量法求二面角

3.（2024高三?全國?專題練習）在四棱錐。-ABCD中，底面ABQ）是正方形，若

AD=2,QD=QA=^5,QC=3,則二面角B-QD-A的平面角的余弦值為.

Q

【答案】|

【分析】

設(shè)點O是線段AD的中點，由Q。=QA得。。1A。，根據(jù)已知得CDVQD,進而得到CD1

平面CDLQD,可建如圖所示的空間坐標系，利用向量法求解.

【詳解】

設(shè)點O是線段AD的中點，連接。。，由QD=QA得。0，A。，

由AO=2,QD=6,QC=3得QC?=QD2+CD2,所以CD_LQ￡>,

又正方形中CD1AD,8。AD=。QDu平面Q4D,功u平面QA，

故CDl平面QW,又OQu平面04,所以CD，。。，

在平面A8CD內(nèi)，過O作OT//CD,交BC于T，則。TLAD，

故可建如圖所示的空間坐標系.

則。(0,1,0),0(0,0,2),5(2,—1,0),故里=(-2,1,2),麗=(-2,2,0).

n-BQ=0f—2x+y+2z=0

設(shè)平面。陽的法向量"x,y,z),則二即.1c,

n-BD=O[-2x+2y=0

取x=l,則y=l,z=g,故萬=[1,1,g].

而平面出。的法向量為沅=(1,0,o),故cos(/方)=7=§.

1X一

2

二面角3-QD-A的平面角為銳角，故其余弦值為|.

故答案為：|.

4.（2024?湖北黃石,三模）如圖，在三棱錐P-ABC中，A,凡,G分別是側(cè)棱以，PB,

PC的中點，AB1BC,AC,平面

（1）求證：平面A14C_L平面A4G；

（2）如果4。=4。，AB=BC=4,求二面角4-35-c的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

（2）2

17

【分析】（1）易得根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明A。，4G,再根據(jù)線面垂直的

判定定理證明4G，平面A4C,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；

（2）易得CVS?,。呂兩兩垂直，求出4C，4C,以點。為原點，建立空間直角坐標系，利

用向量法求解即可.

【詳解】（1）因為A,G分別是側(cè)棱以，PB,PC的中點，

所以44〃A&BIG〃BC,

因為所以44,8。，

因為AC，平面BB.C.C,4Gu平面BB&C,

所以4。，月孰，

又=A，AC，A?U平面AB￡,

所以笈G，平面AB。，

又因為4Gu平面A4C,

所以平面4BC1?平面A4C；

（2）因為AC，平面25clC,3c，5Cu平面

所以4C，BC，ACJ_3C,

因為他=BC=4,所以A4=4G=2,

所以4。=4。=無，

因為笈G，平面A4C,B}CJ/BC,

所以BC1平面A4C,

又用Cu平面AB￡,所以BC_LB0,

所以C4,,CB,CBl兩兩垂直，

如圖，以點。為原點，建立空間直角坐標系，

則3（4,0,0）1（0,0,0），4僅,。,&）,與僅,虛,0）,

故病=（0,也,-0）,朋=（4,0,-0）,

設(shè)平面ABB1的法向量為為=（%,y,z）,

則有四，y”=°,可取"（1,2a,2&）,

力?A8=4無一及z=0''

因為AC,平面84GC,

所以G=（0,0,0）即為平面BB￡C的一條法向量,

所以二面角4-BB「C的余弦值2叵.

5.（23-24高二下?湖北?期中）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，底面?zhèn)让鍭CQA,

AC=M=2,BC=1,ZACB^9Q0.

(1)證明：A<^±AB1；

(2)若三棱錐A-ABC的體積為更，NHAC為銳角，求平面ABC與平面8CC的夾角.

3

【答案】⑴證明見解析；

(2)30°.

【分析】(1)先利用面面垂直的性質(zhì)結(jié)合已知證明四邊形ACGA為菱形，再由線面垂直的

判定定理證明AC，平面AB￡,最后可得結(jié)果；

(2)由等體積法和三角形的面積公式可求出/AAC=60。，進而得到，然后以C為原點建立

如圖所示坐標系，求出平面gGC的法向量為而=(有,0,1),最后代入空間二面角的向量公

式求出即可.

【詳解】(1)?.?平面ABC/平面ACGA,BCu平面ABC,

平面ABCc平面ACGA=AC,ZACB=90°,

平面ACGA,

■「acu平面ACGA,BCLAXC,

?「BC〃Bg,/.BXCX_LAC,

???AC=M,四邊形ACGA為菱形，

AC.±A.C,

?.?4anAG=G,4G，A￡u平面ABg,

/.AC_L平面AB]C].

又AB'平面AB￡「.AC_LABX,

(2)設(shè)/z為點B到平面441c的距離，

由(1)知/z=8C，工工即Sc.=6,

—AC-AAjsin^AtAC=-\/3sin/LA^AC=,

NAAC為銳角*AC=60。，

取AG中點R,則

以C為原點，以04、CB、CA分別為X軸、y軸、Z軸，建立空間直角坐標系.如圖所示:

則A（2,0,0）,C,（-1,0,73）,8（0,LO）A。，。，括）而=前=（0,-1,0）,

CC]=9=卜1,0,也），設(shè)平面的法向量為身=（x,y,z）,

x=A/3

-x+y/3z=0,

則0取y=0,則沅=（若,0,1）,

-y=0

z=1

由（1）知，式為平面ABC的法向量f=卜1,0,-右），

樂沅，而卜述

1仆1|m||AC2x22

所以，平面AB&與平面4G。的夾角為30°.

6.（2024?廣東深圳?二模）如圖,三棱柱ABC-44G中，側(cè)面BB&C，底面ABC,且他=AC,

AtB=4c.

（1）證明：平面ABC；

⑵若蝴=BC=2,ZBAC=9Q°,求平面ABC與平面ABJ夾角的余弦值.

【答案】⑴證明見解析；

（2）叵.

5

【分析】（1）取BC的中點連結(jié)MA、M\,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和線面垂直判定定

理得BC1平面4始，進而由AA〃43得48ABC,再證明48,平面ABC即可得證.

（2）建立空間直角坐標系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于A5的垂面，從

而得出二面角的平面角再進行求解即可.

【詳解】（1）取BC的中點連結(jié)MA、MA,.

因為他=AC,\B=A,C,所以BC1AM,BC±A,M,

由于AM,A]叔u平面AM4,且AA/cAM=M,

因此BC1平面4始，

因為AAu平面型出，所以BC，4A,

又因為AA〃43,所以人BC,

因為平面B4GC，平面ABC,平面BBCCH平面ABC=BC,且48u平面84GC,所以

與2J_平面ABC,

因為AA〃48，所以蟲~L平面ABC.

（2）法一：因為NB4C=90。，且8c=2,所以AB=AC=A^.

以AB,AC,AA所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-孫z,

zfC人

則A（0,0,2）,網(wǎng)a,0,0）,C（0,V2,0）,q（0,72,2）.

所以質(zhì)=（60,-2）,AC=（0,72,-2）,而=（o,"o）.

/、mAB=0yf2x.—2z,=0

設(shè)平面ABC的法向量為加=（X1，M，4）,貝葉一.,可得IL,

m-A^C=0[J2y]-2zi=0

令4=1,則應(yīng)=（衣衣1）,

n-AB=0fA/2X—2Z=0

設(shè)平面48G的法向量為為=（巧，力,zj,貝"」_，可得廣一99

方,AG=o叵y1=0

令4=1,則為=（應(yīng),0,1）,

\m-fA

設(shè)平面A3C與平面ABG夾角為例則cos6=SJ=

所以平面AtBC與平面夾角的余弦值為正.

5

法二：將直三棱柱ABC-45c補成長方體A5DC-A42G.

連接G。，過點C作垂足為P,再過P作PQ^AB,垂足為。連接CQ,

因為應(yīng)）1平面CDDG,且CPU平面CDDG,

所以BD1CP,

又因為CP_LCQ，由于2。，CQu平面AB。。，且BOnGD=D,

所以CP,平面ABDQ,貝UACPQ為直角三角形，

由于A8U平面ABZ）G，所以48,CP,

因為CP,PQu平面CP。，且CPnPQ=P，所以A3,平面CP。,

因為CQu平面CP。，所以CQ^AB,

則NCQP為平面與平面A8G的夾角或補角，

在△4石。中，由等面積法可得。。=浮，

因為PQ=AG=^2,所以cosNCQP==@5,

CQ5

因此平面A.BC與平面\BCX夾角的余弦值為正.

5

題型二：已知二面角求參數(shù)

1.（2024?河南三門峽?模擬預(yù)測）如圖，在多面體MCDEF中，四邊形A8CZ）為菱形，四邊

形BDEF為矩形,且ED1DC，/區(qū)位>=60,,3￡>=2￡0=2,知是線段郎上的一個動點，且

EM=AEF.

E

⑴試探究當力為何值時，DMII平面AC尸，并給出證明；

⑵若平面ADM與平面BDEF夾角的余弦值為—，求力的值.

7

【答案】（1）2=;,證明見解析

【分析】（1）若DMII平面ACF,根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知2=若九=；，由線面平

行的判定定理可知。0II平面ACF,即可得結(jié)果；

（2）取AB的中點G,連接。G,可證￡D1平面MCD,建系，利用空間向量處理面面夾

角問題.

【詳解】（1）當彳=；時，。|人1平面4?？鬃C明如下：

設(shè)Acn〃）=。，則。為BD的中點，連接OF，

若DMu平面ACF,且OMu平面8/）即，平面ACFc平面8。即=0F，

可知。0IIOF,

又因為MFIIDO,可知為平行四邊形，

則MF=OD,可知2=工；

2

當九=；時，也為胡的中點，

因為府為E尸的中點，四邊形比）即為矩形，所以

又因為MFIIOD,所以四邊形。0成為平行四邊形，所以。0UOF,

且DM（Z平面ACF,OFu平面4方，

所以。0II平面ACF；

綜上所述：當且僅當彳=；時，DWU平面ACF.

（2）因為四邊形ABCD為菱形，且一區(qū)4。=6。。,3￡>=2,

所以為等邊三角形，且AB=AD=2.

取48的中點G,連接。G，則QGLDC,

又EDLDC,ED±BD,BDcDC=D,BD,DCu平面ABCD,

所以劭1平面ABCD，

以￡＞為坐標原點，方弓反，力2的方向分別為％，%z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角

坐標系.

則D（0,0,0）,B（A1,0）,C（0,2,0）,E（0,0,1）,尸（）,1,1）,A/,一1,0）,

設(shè)M（%，No,z0）,由EM=2EF（0S2S1）可得（%,%,Z（）-1）=X（V3,l,0）,

所以％=2,Zo=1,即

所以次=（石,-1,0）,麗=（石；u,l）.

/、n?DA=y/3x—y=0

設(shè)平面ADM的法向量為為=（%，yz）,貝"___,,

n-DM=yJ3Ax+Ay+z=0

令4=1,則y=z=-20丸.可得力=（1,右,一2班幾），

由題意可知：衣=卜后3,0）為平面應(yīng)）￡尸的一個法向量，

設(shè)平面與平面3D郎的夾角為。，

I—.1\n-AC2后

貝|Jcos0^\cosn,AC\=,,=,—=—,

11同AC"+12萬.近7

整理得力=L解得彳=!或力=-工（舍），

422

所以％的值為方.

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）在四棱錐尸-ABCD中，底面ABGD為矩形，點石為PC的中點,

且3E_LAC,PD=AD,AB=y/2AD.

Pz

E

修---------%

（1）求證：PDLAC.

（2）若PD1DC,點尸為棱依上一點，平面前尸與平面8/用所成銳二面角的余弦值為半，

PF

求詬的直

【答案】⑴證明見解析；

,PF1

（2）----=—.

PB2

【分析】（1）根為OC的中點，有MEIIPD,通過△?!5c?ABCM證得M81AC,可得AC1

平面M8E，則有AC1ME,可得PQ1AC.

PF

（2）—=以點。為原點建立空間直角坐標系，由平面■與平面BDE所成銳二面角

的余弦值為反，求兩個平面的法向量，解出r的值.

5

【詳解】（1）取DC的中點根，連接ME,M3,如圖（1）.

圖⑴

因為點E,M分別為尸C,DC的中點，所以PD//ME.

「位ABBC/r

因為F=7^=，2,ZABC=ZBCM=90,

BCCM

所以△ABC?△BCM,得NCAB=ZMBC,

所以2048+/朋34=/加8。+/^&4=90',所以MB1AC.

又BELAC,MB,BEu平面膽￡,所以AC1平面MB￡.

因為MEu平面MBE，所以AC1ME.

又MEIIPD,所以PD1AC.

(2)因為尸D，DC,PD，AC,DCnAC=C,DC,ACu平面480),

所以尸￡）1平面ABCD.因為D4u平面ABCD，所以PDlDt

如圖（2）,以點。為原點，分別以ZM,DC,。尸所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角

坐標系.

圖⑵

令A(yù)D=2,則。（0,0,0）,4（2,0,0）,川2,2衣0）,尸（0,0,2）,網(wǎng)0,在1,

所以漢=（2,0,0）,麗=（2,2"0）,詼=（0,應(yīng),1）,而=僅,2忘,-2）,加=（0,0,2）.

設(shè)竺=入貝°麗=.而=3,2萬,-2，，所以訪=麗+麗=（27,2萬,2-2，.

DE-m=y(2y+z=0,

設(shè)平面B/）E的一個法向量為沅=（%，y，z）,則有＜

DBm=2x+2在y=0,

令y=-1,得％=V5,z=V5,則沆=(A/J,—.

DA-fl=2a=0,

設(shè)平面ADF的一個法向量為為=（qb,c）,則有＜

DF?n=2ta+2y[2tb+(2—20c=0,

令b=t—1,得〃=0,c=y/2t,則為=僅,，一

因為平面延與平面B/用所成銳二面角的余弦值為半，

fh'h\l-t+2t\岳

|cos（泣砌二

所以利萬5

解得V?故胃=;

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖所示，AABC內(nèi)接于圓O,AB為圓O的直徑，AB^IO,BC=6,

CD=8,且CD1平面ABC,石為AQ的中點.

D

(1)求證：平面3CE_L平面ABD；

⑵在線段4B上是否存在一點尸，使得平面CEF與平面BCE所成的夾角的余弦值為趙，若

3

存在，請指出點尸的位置；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴證明見解析

2

⑵存在點尸且=

【分析】(1)由AB是圓O的直徑，得到AC/BC，再由CD1平面ABC,得到CD1AC,

CDLBC,然后以C為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別求得平面BCE和平面順的

法向量，由兩法向量的數(shù)量積為零求解；

⑵假設(shè)存在點尸，設(shè)詬=2麗=2(-8,6,0),2e[0,l],求得平面。郎的一個法向量為

m=(x,y,z),然后由|85%,詞=乎求解.

【詳解】(1)解：由題意知：48是圓O的直徑，則AC/BC,

因為CD1平面ABC,ACu平面ABC,BCu平面ABC,

所以CD1AC,CDLBC.

以C為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，

則4(8,0,0),5(0,6,0),￡>(0,0,8),￡(4,0,4).

設(shè)％=(岑小4)是平面BCE的法向量，

4?CE=4玉+44=0,

匕-CB=6yl=0,

令石=1.則4二一1,故居=(1,0,—1).

AB=（-8,6,0）,AD=（-8,0,8）,

設(shè)%=（巧+%+z2）是平面ABD的法向量，

h2?AB=-8X2+6y2=0

n2?AD=-8X2+8Z2=0

令出一3,%-4,22—3,故%=（3,4,3）.

4?電=（）,則平面平面川第.

2

（2）存在點/，且

使得平面CEF與平面BCE所成的銳二面角的余弦值為國，

3

理由如下：

設(shè)酢=4麗=2（-8,6,0）,Ae[0,l],

故而=枳+屈=（8-8462,0）,CE=（4,0,4）.

設(shè)平面CEF的一個法向量為m=（x,y,z）,

[CE-m=OJ4x+4z=0,

貝1J[而.用=O=j（8—82）x+62y=（T

令x=-3X,則y=4—44,Z=32,

所以加=（一3辦4一4432）.

由（1）知％=（1,。,-1）是平面BCE的法向量，

|cos方利=包引=—,_6

''愜同>/2^（-32）2+（4-42）2+（32）23,

2

整理得54?+82—4=0,解得2=5或％=-2（舍去）.

4.（23-24高三下?湖南長沙?階段練習）如圖，在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，

△S4D是正三角形，且平面S4D_L平面4BCD,AB=\>尸為棱AD的中點，四棱錐S-ABCD

（2）在棱&4上是否存在點收，使得平面尸MB與平面SAD所成夾角的余弦值為差？若存在,

求出線段AM的長度；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析

4

⑵存在，—

【分析】（1）合理構(gòu)造圖形，利用線線平行證明線面平行即可.

（2）建立空間直角坐標系，利用面面角的向量求法處理即可.

【詳解】（1）取SC中點尸，連接尸分別為S3,SC的中點，

：.EF\\BC,EF=^BC,

???底面四邊形ABCD是矩形，尸為棱AD的中點，

：.PD//BC,PD=-BC,

2

:.EF〃PD,EF=PD,

故四邊形陽D是平行四邊形，，PE〃fD，

又：u平面SCO,PEz平面SCD,

:,PE〃平面SCD.

（2）假設(shè)在棱&4上存在點也滿足題意，如圖：連接SP,MP，MB，

在等邊ASW中，尸為AD的中點，所以SP1AD，

又平面&⑦，平面ABCD,平面S4DC平面ABC?=AD,SPu平面W）,

.?.SP1平面ABCD,則SP是四棱錐S-筋CD的高，

設(shè)池=相加＞0），則/s矩形"8=根，

[12'^^"

二%I棱錐S-ABCD=§S矩形尸=§7"X3"7=三—，所以冽=2，

以點尸為原點，可，會，方的方向分別為％,%z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標

系，

z,

則尸（0,0,0）,A。,0,0）,8（1,1,0）,S（0,o,6）,

故西=（1,0,0）,方=（1,1,0）,旃=卜1,0,6b

設(shè)兩=%旃=卜九0,0/1）（04241）,

.?.兩=麗+謝=（1-彳,0,后）.

設(shè)平面尸MB的一個法向量為%=(羽y,z),

4-PM=（1—Z）x+-\/3Az=0,

所以可取1=(屈，-屈,2-1).

%?PB=x+y-

易知平面出⑦的一個法向量為1=（0,1,0）,

?..I%近2—用_273

COS（%,%）=r一=/==-L—

1\71-22+15

0<A<1,/.A=^,「.AM=|AM|=Jg+0+導=g

4

故存在點M,AM滿足題意.

TT

5.（23-24高二下?江蘇南京?期中）在三棱柱ABC-A4G中，已知/54C=ZB^C=§,

AC=2AB=2,CC、=BC,CQIAB,M是BC的中點.

B

(1)求證：BXM±AC-

(2)在棱AA上是否存在點P,使得二面角尸-8C-A的正弦值為《？若存在，求線段AP的

長度；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴證明見解析

⑵存在，步的長度為由.

3

【分析】（1）根據(jù)余弦定理得到AB18C和aw，gw,再由線面垂直的判定條件得到AB1

平面BBQC，然后證明，平面ABC,進而證明與MLAC.

（2）建立空間直角坐標系，根據(jù)點?在棱上設(shè)出市5=2陽，再求出兩個半平面的法向

量，根