2024-2025學年吉林省延邊高二年級上冊第一學期期中數(shù)學階段檢測試卷（含解析）

2024-2025學年吉林省延邊高二上學期第一學期其中數(shù)學階段

檢測試卷

一、填空題（第1-12題每題3分，共36分，考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果,

否則一律得零分.）

1.若點Ze直線。，且直線au平面tz,則Aa.（填合適的符號）

2.已知角。的兩邊和角廠的兩邊分別平行且&=60。，則夕=.

3.棱錐的高為9,底面積為162,平行于底面的截面面積為32,則截得的棱臺的高為.

4.如果三棱錐S—N8C的側(cè)棱與底面所成角都相等，頂點S在底面的射影。在VABC內(nèi)，

那么。是VZ8C的_____心.

5.已知圓柱的側(cè)面展開圖是一個邊長為4的正方形，則該圓柱的表面積是.

6.如圖，在長方體ABCD一4四。。1中，48=8,/4=6,則棱4G與平面4BC1的距

離為.

7.在長方體ABCD一中，BD=2CD=244],則直線BQ與直線BR所成角的余

弦值為.

rc2

cIlimS=—

8.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列但/中，前〃項和為滿n足,那么%的取值范

圍是___.

9.在平面上畫〃條直線，假設其中任意2條直線都相交，且任意3條直線都不共點，設左條

直線將平面分成了/（幻個區(qū)域，那么％+i條直線可把平面分成/（份+個區(qū)域.

10.已知V48c用斜二測畫法畫出的直觀圖是邊長為1的正三角形AHB'C'（如圖），則

VABC中邊長與^A'B'C'的邊長相等的邊上的高為

11.已知在直三棱柱-445中，底面為直角三角形，NZC8=90°,AC=6,

BC=CG=6,「是BCt上一動點，貝|四+P4的最小值為______.

12.已知兩個等比數(shù)列｛%｝,｛'"｝滿足％=〃"〉°）,4-％=1,b2-a2=2!a—%=3.若

數(shù)列｛%｝唯一，則。=.

二、選擇題（本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，選對得3分，否則一律得零分）

13.以下命題中真命題的是（）.

A.所有側(cè)面都是矩形的棱柱是長方體B.有兩個相鄰的側(cè)面是矩形的棱柱是

直棱柱

C.側(cè)棱垂直底面兩條棱的棱柱是直棱柱D.各側(cè)面都是全等的矩形的直棱柱是

正棱柱

14.4、4是空間兩條直線，a是平面，以下結(jié)論正確的是（）.

A.如果4//a,l2//a,則一定有4//12.

B.如果4_L4，，2，a，則一定有A-La.

C.如果4_L4，4，a，則一定有4〃a.

D.如果4_La,l2//a,則一定有4_L4.

15.如圖，正方體4BCD-4耳G2中，八0、尺5分別為棱48、8。、5片、。。的中點，連接

4S、BQ,對空間任意兩點M、N,若線段〃乂與線段都不相交，則稱M、N兩點

可視，下列選項中與點。1可視的為（）

A.點尸B.點。C.點AD.點、B

16.意大利數(shù)學家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,

即可=%=1，%=4_]+4_2（〃之3,〃eN）,此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準晶體結(jié)構(gòu)”、化學等領(lǐng)

域都有著廣泛的應用.若此數(shù)列被2除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列｛6n｝,則數(shù)列｛%｝的前2026項

的和為（）

A.1350B.676C.1351D.1352

三、解答題（共52分）特別注意：本卷解答題用空間坐標表示解題，一律不給分！

17.已知等差數(shù)列｛%｝的首項為為,公差為d,前〃項和為若q=d=l,用數(shù)學歸納法證

i=l

18.已知N是圓錐的頂點，8。是圓錐底面的直徑，C是底面圓周上一點，BD=2,BC=\,

NC與底面所成的角為一，過點/作截面48C、NCD,截去部分后的幾何體如圖.

3

（1）求原來圓錐的側(cè)面積;

(2)求該幾何體的體積.

19.如圖，正四面體尸-NBC中，棱長為2,PZ的中點為求:

B

(1)二面角加一5。一尸的大小;

(2)點P到平面AMC的距離.

20.如圖，在四棱柱—中，四邊形Z8CD為直角梯形，AB//CD,AB>CD,

NABC=90°.過點G作G。1平面ABCD,垂足為O,OB=OC,M是CQ的中點.

(1)在四邊形48CD內(nèi)，過點。作垂足為E.

(i)求證：平面OEG，平面

(ii)判斷。禺AG是否共面，并證明.

(2)在棱5c上是否存在一點N,使得NG〃平面?！▉V？若存在，給出證明：若不存在，

請說明理由.

21.已知數(shù)列｛%｝滿足q=2,對任意正整數(shù)加、。都有

(1)求數(shù)列｛a“｝(〃eN,〃21)的通項公式%;

⑵數(shù)列也｝滿足%=白+言j+言j+…+止不("CN,"之1),求數(shù)列｛4｝的前

”項和8“；

（3）在（2）中的耳，設c〃=*，求數(shù)列｛。“｝（〃€?^"之1）中最小項的值.

2024-2025學年吉林省延邊高二上學期第一學期其中數(shù)學階段

檢測試卷

一、填空題（第1-12題每題3分，共36分，考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果,

否則一律得零分.）

1.若點/e直線。，且直線au平面tz,則Aa.（填合適的符號）

【正確答案】G

【分析】由點線面的位置關(guān)系判斷即可.

【詳解】點Ze直線。，且直線。u平面a,則Zea,

故e

2.已知角。的兩邊和角尸的兩邊分別平行且a=60。，則夕=.

【正確答案】60°或120°

【分析】由等角定理求解即可.

【詳解】角a的兩邊和角P的兩邊分別平行且戊=60。，

由等角定理可知，￡=a或，+。=180°,

則尸=60°或120°，

故60°或120°

3.棱錐的高為9,底面積為162,平行于底面的截面面積為32,則截得的棱臺的高為.

【正確答案】5

【分析】設出截得的棱臺的高，利用棱錐平行于底面的截面比例關(guān)系列式求解.

【詳解】設截得的棱臺的高為〃，

由棱錐被平行于底面的平面所截，截面面積與底面積的比等于截得錐體的高與原錐體高的平

方比，

G-h3?

得（--）2==;，解得〃=5，

9162

所以截得的棱臺的高為5.

故5

4.如果三棱錐S-48C的側(cè)棱與底面所成角都相等，頂點S在底面的射影。在V48C內(nèi),

那么。是V45C的_____心.

【正確答案】外

sososo

【分析】設側(cè)棱與底面所成角為6,則tan6=——=——=——,故。4=05=。。，從而

0AOB0C

判斷即可.

【詳解】三棱錐S-4BC的側(cè)棱與底面所成角都相等，設夾角為，，

頂點S在底面的射影。在VZ8C內(nèi),

,.?SOSOSO

所cr以tan6=——

0A~0B~~0C

所以。4=08=0C,故。是V4BC的外心.

故外

5.已知圓柱的側(cè)面展開圖是一個邊長為4的正方形，則該圓柱的表面積是.

Q

【正確答案】一+16

71

【分析】根據(jù)給定條件，求出該圓柱的底面圓半徑，再求出其表面積.

【詳解】依題意，圓柱的底面圓周長為4,則半徑r=2,

71

8

所以該圓柱的表面積S=2“92+i6=—+16.

71

Q

故一+16

71

6.如圖，在長方體4名。01中，AB=8,AA1=6,則棱與G與平面48c2的距

離為

【分析】建立空間直角坐標系，由與C"/平面//cn，所以棱4G與平面42cB的距離即

為用到平面42cA的距離，利用坐標法求解點到平面的距離即可.

【詳解】

BXCJIBC,BXCA<Z平面AXBCDX,BCu平面AtBCD1,

所以gG//平面42CA,所以4到平面AXBCDX的距離即為棱4G與平面AXBCDX的距離,

如圖：建立空間直角坐標系，48=8,AA,=6,設4D=a,

所以4（。,0,6）,5（a,8,0）,C（0,8,0）,^（0,0,6）,男（見8,6）,

45=(0,8,-6),5C=(-?,0,0),

設平面AXBCDX的法向量為記二（x,y,z）,

m-A}B=08y-6z=0

則，，故，則x=0,令歹=6,z=8,

m-BC=0-ax=0

故應=(0,6,8),函=(0,0,6),

W,網(wǎng)_48_24

所以用到平面4BCR的距離為:

\m\,36+645

24

故一

5

7.在長方體ABCD-4鳥。01中，BD=2CD=2AA,,則直線與直線所成角的余

弦值為.

3

【正確答案】-##0.75

4

【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義可得ND8G或其補角即為所求的角，再由余弦定理計算

可得結(jié)果.

【詳解】如圖所示：

不妨設BD=2CD=244=2，則由長方體性質(zhì)可得BC=6，

易知直線BQ與直線B、D、所成的角即為直線BCi與直線BD所成的角，即為NDBC］或其補角；

在△3￡>G中，可得80=2,3。］=2,4。=行，

BD2+CB2-CD24+4-23

由余弦定理可知3〃相=23GB=?

,、2

8.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛g｝中，前〃項和為S“，滿足帆S〃=了,那么4的取值范

圍是

【正確答案】（0,正）

【分析】利用等比數(shù)列前〃項和的極限，得到關(guān)于%的代數(shù)式，進而求得體的取值范圍.

【詳解】各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛霰｝中，設其公比為g,首項為生,

則limSn=-~~—,0<^<1,

2+紇1-q

則言=；，則％=回1-4)，

由0<q<l,可得0<1-,<1,0<2(1-^)<2,

則0<回1-q)<VL則％的取值范圍是

故(0?

9.在平面上畫〃條直線，假設其中任意2條直線都相交，且任意3條直線都不共點，設左條

直線將平面分成了f(k)個區(qū)域，那么左+1條直線可把平面分成f⑹+個區(qū)域.

【正確答案】k+l##l+k

【分析】根據(jù)題意，依次分析/(1),/(2),/(3),/(4),/(5)的值，由此類推，歸納可得答案.

【詳解】1條直線把平面分成2個區(qū)域，2條直線把平面分成2+2=4個區(qū)域，則有

/(2)=/(1)+2,

同理，3條直線把平面分成2+2+3=7個區(qū)域，則有/(3)=/(2)+3,

4條直線把平面分成2+2+3+4=11個區(qū)域，則有/(4)=/(3)+4,

5條直線把平面分成2+2+3+4+5=16個區(qū)域，則有/(5)=/(4)+5,

依次類推，第左+1條直線與前左條直線都相交，

則第k+1條直線有4個交點，被分為左+1段，每段都會把對應的平面分為兩部分，

則增加了左+1個平面,即f(k+l)=f(k)+k+l.

故答案為.k+1

（如圖），則

VABC中邊長與^A'B'C'的邊長相等的邊上的高為

【正確答案】V6

【分析】由斜二測畫法的特點可知平行于x軸的邊長不變，在直觀圖中由正弦定理求出

然后求出原圖中0C的長度即可求解.

【詳解】由于V4BC用斜二測畫法畫出的直觀圖是邊長為1的正三角形AHHC,

則VABC中邊長與"BC的邊長相等的邊為AB=AB，

在AOWC‘中Z'C'=1,ZA'O'C=45°>ZC'A'B'=60°>

CO'A'C

所以NC'4O'=120°，由正弦定理得:

sinZC'A'O'sinZC'O'A'

所以。'。'=壬=造，所以原圖V48C中48邊上的高為：OC=2x&=E

V222

V

故答案為.V6

11.已知在直三棱柱NBC-481G中，底面為直角三角形，AACB=90°,AC=6,

BC=CC、=6,P是BQ上一動點,則CP+PAX的最小值為.

AC

【分析】把面4GB沿Bq展開與△C8C］在一個平面上如圖，連接&c,則4c的長度即為

。尸+尸4的最小值，求解即可.

【詳解】由題意知，P4在幾何體內(nèi)部，但在面4GB內(nèi)，

把面4GB沿Bq展開與△C8G在一個平面上如圖，連接4。，

則4c的長度即為CP+PAX的最小值，

因為在直三棱柱ABC-481G中，cq1平面4用。］,

1

而4G<=平面4用。1，則4clCG，

因為ZACB=90°,則乙4￡及=90°,即4G1B￡,

又cqc耳q=G,cq，qGu平面BB￡C,則4G±平面BB”,

而BQu平面BB￡C,所以4G1BC［,即ZAQB=90°,

因為3。=。。］=正，易知CG，8C，所以NC￡B=40。

所以NCC/I=45°+90°=135°,

而4G=6,cq=也，

所以在△a/中，4c2=4G2+CC；-24G?CGcos135。=50,

所以4c=50，即CP+尸4的最小值為5后.

故答案為.5亞

12.己知兩個等比數(shù)列｛%｝,也｝滿足q=a（a>0）,bx-ax=\,仇-%=2,4一四=3.若

數(shù)列｛4｝唯一，則。=.

【正確答案】-

3

【分析】設等比數(shù)列｛%｝的公比為q（qwO）,依題意可得的2一4做+3"1=0,且

△=4/+4a>0,由于數(shù)列｛4｝唯一，則公比《的值只能有一個，故方程必有一解為0,代

入方程即可求解參數(shù).

【詳解】設等比數(shù)列｛%｝的公比為q（qwO）,=。（。〉0）,

2

4一4=1,b2-a2=2,b3-a3=3,：.bx+a,b2-2+aq,b3=3+aq.

b1,b2,4成等比數(shù)列，.??（2+的）2=（1+4乂3+的2）,

整理得aq1-4aq+3。-1=0.丁。>0,A=4a2+4Q>0，

...關(guān)于公比q的方程有兩個不同的根，且兩根之和為4,兩根之積為3-

a

又數(shù)列｛%｝唯一，公比9的值只能有一個，故這兩個鄉(xiāng)的值必須有一個不滿足條件.

??,公比9的值不可能等于0,

二?方程的2一4四+3a一1=0必有一根為0,把9=0代入此方程，解得。二g.

故一

3

二、選擇題（本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，選對得3分，否則一律得零分）

13.以下命題中真命題的是（）.

A.所有側(cè)面都是矩形的棱柱是長方體B.有兩個相鄰的側(cè)面是矩形的棱柱是

直棱柱

C.側(cè)棱垂直底面兩條棱的棱柱是直棱柱D.各側(cè)面都是全等的矩形的直棱柱是

正棱柱

【正確答案】B

【分析】利用長方體、直棱柱、正四棱柱的定義，對各個選項逐一分析判斷，即可求解.

【詳解】對于A,直棱柱的側(cè)面都是矩形，但不一定是長方體，

如直三棱柱，故A不正確，

對于B,有兩個相鄰側(cè)面是矩形，則利用線面垂直的判定定理證明出側(cè)棱垂直于底面，則該四

棱柱是直棱柱，故B正確，

對于C,斜四棱柱可以滿足側(cè)棱垂直底面兩條棱，但不是直棱柱，故C不正確；

對于D,底面是菱形的直棱柱，滿足底面四條邊相等，各側(cè)面都是全等的矩形，

但不是正四棱柱，故D不正確.

故選：B.

14./1、4是空間兩條直線，0是平面，以下結(jié)論正確的是（）.

A.如果4//a,4〃a,則一定有4//12.

B.如果/I_L/2，則一定有乙，a.

C.如果1n，2，a，則一定有k//01-

D.如果4_La,l2//a,則一定有4_L4.

【正確答案】D

【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的關(guān)系逐一核對四個選項得答案.

【詳解】對于A,若4〃a,l2//a,則有4〃42或4與‘2相交或4與4異面，故A錯誤；

對于B、C,如果4_L/2，則有4〃a或4ua,故B、C錯誤；

對于D,如果則4垂直a內(nèi)的所有直線，又，2〃&，則過乙與&相交的平面交&于

a,則42〃。，4~L（，故D正確.

故選：D.

15.如圖，正方體ABCD-4B1G2中，P、Q、RS分別為棱4B、BC、BB?CD的中點，連接

4,用。，對空間任意兩點〃、N,若線段九W與線段41片。都不相交，則稱M、N兩點

可視，下列選項中與點。1可視的為（)

C.點RD.點3

【正確答案】B

【分析】根據(jù)異面直線的定義判斷即可.

【詳解】A選項：四邊形4Asp是平行四邊形，4s與相交，故A錯；

C選項：四邊形。內(nèi)8。是平行四邊形，與D8］相交，故C錯；

D選項：四邊形田。是平行四邊形，與OB1相交，故D錯；

利用排除法可得選項B正確.

故選：B.

16.意大利數(shù)學家斐波那契以兔子繁殖為例,引入“兔子數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...,

即。1=%=1，an=an_x+an_2(w>3,?eN),此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準晶體結(jié)構(gòu)”、化學等領(lǐng)

域都有著廣泛的應用.若此數(shù)列被2除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列出n｝,則數(shù)列｛0｝的前2026項

的和為()

A.1350B.676C.1351D.1352

【正確答案】C

【分析】依據(jù)斐波那契數(shù)列性質(zhì)得出數(shù)列中數(shù)字規(guī)律即可求得新數(shù)列出?｝的規(guī)律，再利用數(shù)列

的周期性即可得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)斐波那契數(shù)列性質(zhì)可得Sn｝中的數(shù)字呈現(xiàn)出奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)循環(huán)的規(guī)律，

因此新數(shù)列初?｝即為按照1,1,0成周期出現(xiàn)的數(shù)列，周期為3,

易知2026=675x3+1,一個周期內(nèi)的三個數(shù)字之和為2；

所以數(shù)列也｝的前2026項的和為675x2+1=1351.

故選：C

三、解答題（共52分）特別注意：本卷解答題用空間坐標表示解題，一律不給分！

17.已知等差數(shù)列｛4｝的首項為由,公差為d,前〃項和為S“.若%=4=1,用數(shù)學歸納法證

明.1＞；=氏（〃€2〃21）

1=1

【正確答案】證明見解析.

【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列｛冊｝的通項％，前〃項和為S“，再利用數(shù)學歸納法證

明.

【詳解】等差數(shù)列｛%｝中，%=%+（〃—l）d=〃，Sn==號坦，

當〃=1時，④=1,S；=1,原等式成立；

假設當〃=左（左eN*）時，原等式成立，即2城=酣，WX=[F，

z=lz=l2

則￡=￡＞：+吭產(chǎn)/+/+廳=[桃甘]2+依+1）3

z=lz=l2

=叩32+4化+川=叩曰+2）2=；^^]=阮「

即當〃=左+1時，原等式成立，

所以對一切〃?N*，等式象；=s；成立.

Z=1

18.己知/是圓錐的頂點，3。是圓錐底面的直徑，C是底面圓周上一點，BD=2,BC=1,

7T

4。與底面所成的角為一，過點4作截面45。、ACD,截去部分后的幾何體如圖.

3

BD

（1）求原來圓錐的側(cè)面積;

（2）求該幾何體的體積.

【正確答案】（1）2乃；

（2）3+6%.

6

【分析】（1）設8。的中點為0,連結(jié)。4,0C,則。4J_平面8C。，求出圓錐母線長度即

能求出圓錐側(cè)面積.

⑵該幾何體的體積廠=g（S4CD+S半圓）2。，由此能求出結(jié)果.

【小問1詳解】

如圖，設3。的中點為0,連接。4、0C,

???/是圓錐的頂點，3。是圓錐底面的直徑，

r.0/_L平面5co.

JI

?：BD=2,BC=\,ZC與底面所成角的大小為一，

3

...在RS/OC中，OC=1,ZACO=-,/C=2,A0=5

3

2

???圓錐側(cè)面積為：71r?AC=7rx—x2=In；

2

【小問2詳解】

該幾何體為三棱錐與半個圓錐的組合體，

?.?ZO=G，/BCD=90°,

CD=5

.?.該幾何體的體積V=+S半圓）ZO=tXlxG+Qx若=.

J\乙乙Jvz

19.如圖，正四面體尸。中，棱長為2,尸/的中點為求:

B

（1）二面角/—5C—P的大小;

（2）點尸到平面8MC的距離.

【正確答案】（1）arcsin

3

(2)1

【分析】（1）取5C的中點。，連接。河,。尸，易證得尸2,平面加C,iWLBC,OP1BC,

則/POM即為二面角M-8C-0的平面角，再解RSPOM即可；

（2）由「加，平面BMC,可得線段PM的長度即為點P到平面BMC的距離，即可得解.

【小問1詳解】

取8c的中點。，連接（W,OP,

在正四面體P-48。中，尸Z的中點為M,

貝UBM±PA,CM±PA,BM=CM=6,

因為。為的中點，所以＜W，8C,0P，8C,

所以NPOM即為二面角M—8C—P的平面角，

因為WcCM=M,BM,CMu平面BMC,

所以尸2,平面的KC,

又（Wu平面瓦MC,所以尸/LOW,

在RSPQW中，PM=\,OP=43,則sin/PQW=C="，

OP3

、c

所以二面角M—BC—P的大小為arcsin—;

3

p

【小問2詳解】

由(1)知PM，平面BMC,

所以線段PM的長度即為點P到平面BMC的距離，

所以點尸到平面BMC的距離為1.

20.如圖，在四棱柱4BCD-中，四邊形48CD為直角梯形，AB//CD,AB>CD,

NABC=90。.過點G作CQ,平面ABCD,垂足為O,OB=OC,M是CQ的中點.

(1)在四邊形Z8CD內(nèi)，過點。作。垂足為E.

(i)求證：平面OEC、±平面ADDXAX-

(ii)判斷O,E，A，G是否共面，并證明.

(2)在棱5C上是否存在一點N,使得2。〃平面OMN?若存在，給出證明：若不存在,

請說明理由.

【正確答案】(1)(i)證明見解析；(ii)不共面，證明見解析

(2)存在，證明見解析

【分析】(1)(i)由線面垂直的性質(zhì)可得G。，ZD,然后由面面垂直的判定可證，(ii)利

用反證法，假設不共面，利用面面平行的性質(zhì)推出矛盾，進而得到結(jié)論正確;

(2)利用面面平行的判定可得平面。W〃平面4BG，然后利用線面平行的定義得證.

【小問1詳解】

(i)由G。，平面ABCD，40u平面ABCD,則G。1AD,

又0EL4D,0EH0Q=0,?！?。。1匚平面。￡。1，則平面

因為ZDu平面4DD4,所以平面0EC、1平面ADD,AX；

(ii)0,E，2，G不共面，

假設0,E，2，G共面于tz,

由四棱柱ABCD-,得平面ABCD//平面44G2，

又平面45coea=?！?平面481GAea=CQ,所以0E//CQ1，

又CD/ICR,所以0E//CD,又0ELAD,即

又/ABC=90°，且NADC=90°,ABI/CD,

從而四邊形ZBCD為矩形，與/5>CD矛盾！

所以0,E，3，G不共面；

【小問2詳解】

取8C的中點N,連接C。并延長交Z8于尸，

因為N/BC=90°,OB=OC,所以。為CP的中點，0N//AB,

因為0N.平面4BG，48u平面4BG，所以ON//平面48。1，

由M是CG的中點，MN//BC[,MNU平面ABC、,平面,

所以跖V//平面4BC],

因為ONcMN=N,ON,MNu￥回OM