2024-2025學年高一數(shù)學第一次月考卷（新高考地區(qū)專用集合與邏輯+不等式）

2024-2025學年高一數(shù)學上學期第一次月考卷01

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：集合與常用邏輯用語+不等式。

5.難度系數(shù):0.65o

第?卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.已知全集。=Z,集合4={*=|無三一3典>3},3=(0,3),貝股的4人3=()

A.(1,2)B.{1,2,3}C.{0,1,3}D.{1,2}

【答案】D

【詳解】由已知可得84={—2,—1,0,1,2,3},又3=(0,3),5={1,2}.

故選：D.

2.在R上定義運算"Jab=ab+2a+b,則滿足x」(x-2)<0的實數(shù)x的取值范圍是()

A.(。,2)B.(—2,1)C.(—co,—2)(1,+oo)D.(—1,2)

【答案】B

【詳解】根據(jù)給出在R上定義運算％(%-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1),

由工(%—2)v0得(x+2)(%—1)<0,解之得一2<x<l,

故該不等式的解集是(-2,1).

故選：B

3.若兩個正實數(shù)x，y滿足4元+y=孫，且存在這樣的x，y使不等式X+4〈療+3機有解，則實數(shù)機的取值范

4

圍是()

A.(-1,4)B.(-4,1)C.(^x),-4)U(l,+oo)D.(^x),-3)U(0,+oo)

【答案】C

41

【詳解】由4%+丁=孫，x,y>0,可得一+—=1,

y%

所以

c4xy、--4xy,

=2+——+—＞2+2-------=4,

y4x\y4x

4xv

當且僅當一=六，即y=4x=8時等號成立.

所以m2+3/n＞4,m2+3/n-4=(m+4)(/n-l)＞0,解得機＜-4或機＞1,

所以實數(shù)機的取值范圍是(-8,-4)5L+8)-

故選：C.

4.對于VxeR,用國表示不大于x的最大整數(shù)，例如：㈤=3,［-2』=-3,則"國＞3〃是苗＞”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】當時，如x=3.2,y=3.1,不能得到［x］＞3，

由［可＞3,則國＞”［習,又xN印,所以一定能得到x＞y,

所以"區(qū)＞［可"是成立的充分不必要條件.

故選：A.

5.已知全集為U,集合N滿足"NU,則下列運算結果為。的是().

A.MDNB.(翔N)u(VM)

C.Mu(%N)D.N5dM

【答案】D

【詳解】如圖，

因為/NU,所以“N=N手U,故A錯誤;

因為(瘵V)u(uM=；f(McN)=故B錯誤;

因為/NU,所以故C錯誤；

因為MNU,所以ND(2Af)=U,故D正確.

故選：D

6.關于x的一元二次方程/+了+〃?=0有實數(shù)解的一個必要不充分條件的是（）

1111

A.m<—B.m<—C.<—D.m<—

2424

【答案】A

【詳解】因為一元二次方程Y+無+〃?=0有實根,

所以A=l—4根NO,解得根4二.

4

又（if是（-oof的真子集,

11

所以"（-8三）〃是〃（-8,f〃的必要不充分條件

24

故選：A

7.不等式黑＞1的解集為卜|尤＜-1或x＞4},則渭20的解集為（）

x-6<x<-^

A.B.{x|-l<x<

x-64%<一；

C.<x<l

【答案】A

【詳解】不等式黑＞1可轉化為［（。-1卜-6+1］（*+6）＞0,

其解集為{x|x<-1或X>4},

所以。＞1,且方程（av-x-b+l）（x+b）=0的兩個根為尤1=T,々=4,

-a+l—b+l=0、4。一4-0+1=0a=6。=1

則4+8=0或-1+1,解得67或（舍去）,

b=l

Y+6?。ǎ阂唬┙薪狻唬?/p>

即有罰2°,即

一4九一1，04

所以不等式的解集為X-6V：

故選：A.

14

8.已知尤+y=—+—+8(x,y>0),則x+y的最小值為()

xy

A.5石B.9C.4+726D.10

【答案】B

1414

【詳解】x+y=—+—+8=>x+y-8=—+—,

xyxy

兩邊同時乘以〃x+y〃得：(X+j-8)(x+y)=(-+—)(%+y),

兀y

所以(工+丁一8)(入+>)=('+±)(%+')=5+2+把29,

xyxy

當且僅當y=2尤時等號成立，令/=苫+九

所以(—8)429,解得Y-1或/N9,

因為x+y>0,所以x+yN9,即(x+y)1nto=9,

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.下面命題正確的是()

A.若尤,ywR且x+y>2,則％,y至少有一個大于1

B."任意x<l,則/<1"的否定是"存在x<l,則尤221”

C.設x,yeR,貝！|"x22且y22"是/+儼24的必要而不充分條件

D.設a,6cR,貝iJ"awO"是""WO"的必要不充分條件

【答案】ABD

【詳解】對于A,假設x，y都不大于1,即X<1,y<l,則x+y42與已知矛盾，假設是錯的，原命題為真

命題，A正確；

對于B,"任意x<l,則于<1"的否定為“存在無<1,則爐",B正確;

對于C,x?2則尤21,yN2則yz*4,x2+y2>8,則成立,滿足充分性，C錯誤；

對于D,當時，他可能為零，當成20時，。一定不等于零，貝「a力0”是"必大0"的必要不充分條件，

D正確.

故選：ABD.

10.若a>b>0,則下列不等式成立的是()

ba-、—bb+1-1,1

A.—>—B.ab>bC.—<------D.a+—>b+—

abaQ+1ba

【答案】BCD

nh

【解析】對A,若a>b>0,則/>〃，兩邊同時除以必，所以:〉二，A錯誤；

ba

對B,由a>b>0可得而>/，B正確；

對C,因為々S+1)-優(yōu)1+1)=々一人>。，所以〃("+1)>優(yōu)〃+1)>。，即"^>2,C正確；

a+\a

對D,由a>6>0可得，—>—>0,所以—，D正確.故選：BCD.

baba

11.已知關于x的一元二次不等式a?+桁+c>。的解集為"，則下列說法正確的是()

A.若M=0,貝!Ja<0且"一4acW0

B.若三=芻=￡，則關于x的不等式儲尤2+外+￡；，>0的解集也為〃

abc

C.若“="|-1<》<2},則關于X的不等式a（尤2+1）+6。-1）+。<2依的解集為雙={彳|無<0,或%>3}

D.若〃=印彳W%/為常數(shù)},且。<6,則"+："+4’的最小值為5+2百

b-a

【答案】ACD

【詳解】A選項，若M=0,即一元二次不等式奴2+6x+c>0無解，

則一元二次不等式a?+6x+c<0恒成立，

?--a<0>/72-4ac<0,故A正確；

3F人abc/,a.,b.c

B選項，令~7=77=-（才wOx）,貝!j〃=—、b=_、c=—,

abcttt

a'x2+Z/%+c'>0可化為』（Q%2+/ZX+C）>0,

t

當f<0時，?。?。/+法+0）>0可化為辦?+區(qū)+c<o,其解集不等于故B錯誤；

t

C選項，若出={x|-1cx<2},

貝i|a<0,且-1和2是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根，

bc

.?一1+2=——,且一lx2=一,/.b=-a,c=-2a,

aa

關于元的不等式”(X2+1)+b(x-1)+c<2ax可化為1(f+1)-Q(X-1)-2〃<lax,

可化為。(%2—3%)<0,avO,X2-3X>0,解得x<0或%>3,

即不等式。(/+1)+伏％—l)+c<2ax的解集為N={x|x<0,或x>3},故C正確；

D選項，M={%|%。無0，%0為常數(shù)}，

b2

a+3b---

...a>0且/_4〃c=o,a+3Z?+4ca，

b-ab-a

b>a>Q,..b-a>Of令b—a=t>0,貝ljb=a+t,

.b1*、(a+t)2

Q+3obH---Q+3(〃+f)H---------

g_a

b-at

當且僅當r=則6=（1+國」3+國",且。為正數(shù)時，等號成立,

2

所以"+"+"的最小值為5+26,故D正確.

b-a

故選：ACD.

第II卷

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知lWa+6W4,-l<a-b<2,貝U4a—26的取值范圍為.

【答案】[-2,10]

【詳解】解：設4。一處=龍（。+6）+y（<?一6）=（尤+_y）a+（x-y）b,

fx+y=4f%=l

所以c，解得。，

[x-y=-2口=3

因為14a+6W4,-1<a-b<2,

則-3V3（a-b）46,

因此，—2V4a—2bW10.

故答案為：[-2,10].

—+4x+5<0

13.已知關于X的不等式組c2<s<、，的解集中存在整數(shù)解且只有一個整數(shù)解，則上的取值范圍

2x+5x<-[2x+5）k

為.

【答案】[-6,2）53,4]

【詳解】由f—4x—5=（x-5）（x+l）>0,得x<-l或x>5,

所以2d+（2左+5）x+5左=（2x+5）（x+左）<0的解集與｛x|x<-1或無>5｝的交集中存在整數(shù)解，且只有一個整

數(shù)解.

當上時，2/+（2々+5）X+5/<0的解集為止匕時一2〈一左46,即一6W左<2,滿足要求；

當上=|時，2d+（2左+5）x+5左<0的解集為0,此時不滿足題設；

當上時，2x?+（2Z+5）x+5左<0的解集為%<x<—,此時TW—上<—3,即3<上44,滿足要求.

綜上，%的取值范圍為[F2）u（3,4].

故答案為：[-6,2）53,4]

14.定義集合尸=｛x|a<x<）｝的“長度”是6-。，其中a,beR.已如集合加=3旌無4機+；｝,

N=｛x|Vx。｝,且M,N都是集合｛x|l<x<2｝的子集,則集合McN的"長度"的最小值是；若加=[，

3

集合MuN的〃長度〃大于（，則〃的取值范圍是.

…【答…案】記1/°」「8⑺七（9T門

13

【詳解】集合"=｛%1相根+5｝,N=｛x\n--<x<n｝,且M,N都是集合｛%11<%<2｝的子集，

-3n__>18

由〈1c，可得1W〃2〈二，由<5-,可得二

m+-<22-5

[2[n<2

要使McN的"長度"最小，只有當加取最小值、,取最大或機取最大、〃取最小時才成立.

當"2=1,〃=2,="長度''為■|-（=2，

當機=：〃=|,McN=bGwxw|}，"長度'為（一

乙D[ZDJ1U

故集合McN的"長度"的最小值是七；

什6"1|6//17]

要使集合"UN的"長度”大于（，故，廣|<3-|或〃>[+|，

即",那或又，故"e修2,

1U33L。1UJ_

1「817、<9J

故答案為:-；,

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

已知集合人={%1-24％-"5}、集合3={%|M+1KXK2機一1}（meR）.

⑴若AB=0,求實數(shù)相的取值范圍；

⑵設命題P：xeA；命題叫xeB,若命題P是命題的必要不充分條件，求實數(shù)相的取值范圍.

【詳解】（1）由題意可知A={%]—2?x—1<5}={劃—1?%?6},

又AB=0,當5=0時，m+l>2m-l,解得根<2,

當5w0時，m+1<2m—1,m+1>6或2根-lv-1,解得相>5,

綜上所述，實數(shù)加的取值范圍為（-e,2）D（5,+8）；..............6分

（2）回命題P是命題9的必要不充分條件，團集合B是集合A的真子集，

當3=0時，m+l>2m-l,解得m<2,

m+1<2m-1

7

當時，m+l>-l（等號不能同時成立），解得24加工5，

2m-1<6

綜上所述，實數(shù)機的取值范圍為1-肛g..............13分

16.（15分）

甲、乙兩位同學參加一個游戲，規(guī)則如下：每人在A民GD四個長方體容器中取兩個盛滿水，盛水體積多者

為勝.甲先取兩個容器，余下的兩個容器給乙.已知43的底面積均為產(chǎn),高分別為xj;C、D的底面積均為「，

高分別為尤、y(其中x#y).在未能確定X與y大小的情況下，請給出一個讓甲必勝的方案(即指出甲取哪兩

個容器可以獲勝)，并說明此方案必勝的理由.

【詳解】設A,B,C,。的體積分別為匕，VB,Vc,VD,則匕=盯1%=>3,

甲從A,B,C,D中任選2個，有8cme￡>,共6種可能，..............4分

當時，則彳3>無2y>肛2>,3,即匕>

則%+%>%+%，匕+%>/+七，即甲取B2CD均不能夠穩(wěn)操勝券；.............7分

當X<y時，貝即％>%>%>匕，

則%+%>%+%，%+%>%+%，即甲取AC,均不能夠穩(wěn)操勝券；..............10分

若甲先取AD,貝lJ(K+%)-(%+%)=x3+y3_(到2+x2y)=(x-y)2(x+y)>0,

即匕+%>/+%，即甲先取AD能夠穩(wěn)操勝券，選2C不能夠穩(wěn)操勝券；

綜上所述：甲必勝的方案：甲選AD...............15分

17.(15分)

已知實數(shù)。、6滿足:9a2+b2+4ab=W.

(1)求ab和3a+6的最大值；

(2)求96+〃的最小值和最大值.

【詳解】(1)S9a2+b2+4ab=l0,回9/+/=10—4。匕，

09?2+Z?2>6ab,^110-4ab>6ab,回

當且僅當°=/、6=g或a=-*、6=-百時等號成立，回向的最大值為1,

09<72+Z?2+4?Z?=lO,回(3a+b)2—10=2ab,

2

re7223〃+久2(3a+b)

02ab=—x3axb<—x(----)=--------,

3326

El(3a+6)2-10W?"+3[a(3a+6)2<12,

6

@3a+b426,當且僅當°=￡、6=g時等號成立，回3a+6的最大值為2石；..............7分

}0-9a2-b2

(2)團9a之+人？+4ab=10,^\ab=----------

4

10—Q/y2_A2

團9a2+/之6ab,09?2+Z?2>6x---------,BP9?2+Z72>6,

4

當且僅當a=且、6=若或。=-4、6=-石時等號成立，國9/+〃的最小值為6,

33

又9aH6ab,團-6x-J即9/+”30,

當且僅當°=巫、b=-后或a=-叵、6=岳時等號成立,

33

國9片+〃的最大值為30.............................15分

18.(17分)

已知函數(shù)y=(m+1)*2-(m-l)x+m-l.

⑴若不等式(帆1)%+帆-Ivl的解集為R,求加的取值范圍；

(2)解關于兄的不等式(加+1)%2-2如+加一1》0；

⑶若不等式(根+1)/—根—12。對一切WxW(卜恒成立，求機的取值范圍.

【詳解】(1)由題意，

當根+1=0,即m=-l時，2x-2<l,解集不為R,不合題意；

當加+1。0,即m^-1時，(m+l)x2-(m-l)x+m-2<0的解集為R,

Jm+l<0Jm<-1

■,[A=(m-l)2-4(m+l)(m—2)<0'即[3m2-2m-9>0

故m<-l時,m<--漢7.

3

綜上，m<--..............6分

3

(2)由題意得，

(m+l)x2-2mx+m-l>0,即[(m+l)x-(m-l)](x-l)>0,

當加+1=0,即m=-l時，解集為{%,之1};

(rn—\\

當m+l>0,BPm>—1時，％------(x-1)>0,

(m+lj

即二z1=i__?_<1,解集為LL<^lpJa>i);

m+1m+11|m+1j

(m—1、

當m+l<0,即m<-\時，x--------(x-1)<0,

Vm+1J

m-1121叼*且IL,m-l|

——7=l-------育軍集為\x\l<x<——-k

m+lm+l[|m+lj

綜上，當m<-l時，解集為卜卜二，；

當>n=-l時，解集為卜卜訓；

當m>-l時，解集為卜4^^■加2“............................11分

(3)由題意,

(m+l)x2-(m-l)x+m-l>0,BPm^x2-x+l^>-x2-x+1,

x2-x+l>0恒成立，

r—x2—x+\2(1—x)

---------=-l+^——

x—X+1x—X+1

13

設l-x=t,貝|J-<t<-,x=l-t

1-x_t_/_1

x2-x+l-(I-/)2-(1-0+1-t2-t+l~j1I，

t

t+->2,當且僅當r=l時取等號，

t

1—x

.?.FI1當且僅當』時取等號,

/21\

—X—X+I

當x=Q時,=1,

,%2—X+I.

、/max

:.m>\,

回加的取值范圍為［L+8)..