2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)：30°角用法重難點(diǎn)突破（含解析）

30。角用法重難點(diǎn)突破

30°角用法（一）直接用

類型一直接求

1.如圖，在等腰AABC中,AB=AC,NA=12（T,D為線段BC上一點(diǎn),DELAB于點(diǎn)E,DF，AC于點(diǎn)F.若BC=8,則DE+DF

的值為

2.如圖,在RtAABC中,/ACB=9(r,/BAC=3(r,AD平分NBAC交BC于點(diǎn)D,E為AD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),/AEB=90。,

若AB=12,則AABE的面積為()

A.18B.36C.9V3D.18V3

類型二方程求

3如圖，在AABC中,NA=6（F,BD，AC于點(diǎn)D,CEXAB于點(diǎn)E,BD,CE交于點(diǎn)H,若CE=5,BD=7,則仁的值為（）

4.如圖.在等邊AABC的三邊上分別取點(diǎn)D,E,F.若EDLAB于點(diǎn)D,DFJ_AC于點(diǎn)F,FEJ_BC于點(diǎn)E,且AB=15,求CE的

長(zhǎng).

A

30。角用法（二）構(gòu)造用

類型一作垂構(gòu)“369”

L如圖，在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)E,且E為DB的中點(diǎn),NACB=120。,NDAC=30。.若

EC=1,BC=3,求AC的長(zhǎng)

2.如圖，在AABC中,D是AB的中點(diǎn)/A=30o,NCDB=45。,求/ABC的度數(shù).

3圖，在AABC中,AC=BC,NACB=9(F,D為BC上一點(diǎn),E為AD±—ZCED=45°,ZBED=30°,AE=2.^<EB的長(zhǎng)

4.如圖，在RtAABC中,NBAC=9(F,AB=AC,D是AABC內(nèi)一點(diǎn),AB=BD,/ABD=30。.求證:AD=CD.

類型二延長(zhǎng)構(gòu)“369”

5.如圖，在四邊形ABCD中，"BC=NBCD=90"E為BC的中點(diǎn),DE平分NZDC/DAB=60。,則好的值

為.

6.如圖，在四邊形ABCD中，乙B=AADC=90。，乙4=30。,BC=1,AB=5V3,AD=8,.求CD的長(zhǎng).

7.如圖，在RtZkABC中,/ACB=9(r,CA=CB,NBAD=/ADE=60o,DE=3,AB=10,CE平分zXCB.DE與CE相交于點(diǎn)E,

則AD的長(zhǎng)為（）

A.4B.13C.6.5D.7

類型三借15。構(gòu)30°

8.如圖，在等腰4ABC中，Z-ACB=90°MC=BG,D為AB上一點(diǎn).BC的垂直平分線交CD于點(diǎn)E,NBCD=15。.求證:

AE=AC.

突破2630。角用法(一)直接用

1.4解:：AB=AC,/A=120。，

.\ZB=ZC=30°.

VDE±AB,DF±AC,

DE=^BD,DF=^CD,

DE+。尸=，(BO+CD)=|BC=4.

2.A解:延長(zhǎng)AC,交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

ZBAC=30°,ZACB=90°,

BC=-AB=6.

2

VAD平分NBAC,

???ZFAE=ZBAE.

ZAEB=90°,

???^AEF=90°=AAEB.

,.?AE=AE,

???AAEB^AAEF,

AAF=AB=12,

???SAEB=>ABF=Jxix12X6=18.故選A.

3.C解:???NA=60o,CE_LAB,BD_LAC,

???ZACE=30°,ZABD=30°,

???CH=2DH,HB=2HE.

設(shè)DH=x,

則HB=7-x,CH=2x,

AHE=5-2x.

VHB=2HE,

，7-x=2(5-2x),解彳導(dǎo)x=l,

/.CH=2,HE=3,

.??—=之選C.

HE3

4.解:TED_LAB于點(diǎn)D,DF_LAC于點(diǎn)F,FE_LBC于點(diǎn)E,

JZAFD=ZBDE=ZFEC=90°,

???ZA=ZB=ZC=60°,

JZBED=ZEFC=ZADF=30°,

ZDFE=ZDEF=ZFDE=60°,

:?△DEF為等邊三角形，

???DF=EF=DE,

???AADF^ABED^CFE.

設(shè)CE=x，則CF=2x,

???BD=CE=X,AD=CF=2X.

VBD+AD=15,

x+2x=15.解得x=5.

：.CE=5.

突破2730。角用法(二)構(gòu)造用

1解過點(diǎn)D作DF〃BC,交AC于點(diǎn)F,

.*.ZDFC=ZACB=120°,

JZDFA=60°.

???ZDAC=30°,

JZDAF+ZDFA=90°,

???ZADF=90°,

.\AF=2DE

ZDFC=ZACB,ZDEF=ZBEC,DE=BE,

:?△DFE也△BCE,

.*.DF=BC=3,EF=EC=1,

.\AF=2DF=6,

???AC=AF+FE+EC=6+1+1=8.

2.解:過點(diǎn)B作BE±AC于點(diǎn)E,連接DE,

???ZAEB=90°.

,/ZA=30°,

..BE=-AB^ABE=60°.

2f

VD是AB的中點(diǎn)，

...AD=BD=^AB=BE,

???△BDE為等邊三角形，

二?AD二BD=DE,

???NDEA=NA=30°.

VZACD=ZCDB-ZA=45°-30。=15。，

AZEDC=ZAED-ZACD=30°-15°=15。，

JNEDONACD,

ACE=DE=BE,

???△CBE為等腰直角三角形，

JZCBE=45°,

AZABC=ZABE+ZCBE=60°+45°=105°.

3.解:過點(diǎn)C作CF±CE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接BF,

：.ZFCE=ZACB=90°,

???ZACE=ZBCF.

ZCED=45°,

???ZCED=ZCFE=45°,

.*.CE=CF,ZCEA=135°.

VAC=BC,

AAACE^ABCF,

ABF=AE=2,

ZCFB=ZCEA=135°,

???ZEFB=ZCFB-ZAFC=90°.

ZBED=30°,

???BE=2BF=4.

4.證明:過點(diǎn)D作DELAC于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作AFLBD于點(diǎn)F.

ZABD=30°,AB=BD,

ZBDA=ZBAD=75°,ZBAF=60°,

???NDAF=NDAE=15。，

AAADE^AADF,

AAF=AE.

???ZABD=30°,ZAFB=90°,

..AF=-AB=-AC,

22

JAE=CE.

VDE±AC,

二?AD=CD.

5.3解:延長(zhǎng)DE與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,可證ACDE之△BFE,

.*.BF=CD,EF=DE.

VDE平分NCDA,

JZADE=ZCDE=60°,

???ZF=60°,

???△ADF為等邊三角形，

二?AD=AF.

,.*DE=EF,

???AE_LDF,

i

AEAF=-ADAB=30°,

2

???AF=2EF.

.乙BEF=90°-ZF=30。，

AEF=2BF,

AAF=4BF,

???AB=3BF=3CD,

AB

???——=3.

CD

6.解:延長(zhǎng)AD,BC交于點(diǎn)E,連接AC.

ZDAB=30°,

Z.ADC=AB=90。，

JZE=60°,

乙ECD=90°-60°=30°.

設(shè)DE=x,

貝!]CE=2DE=2x,AE=2BE,

AE=AD+DE=8+x=2(2x+

1),解得x=2,

/.DE=2,CE=4,AE=10,

SACE=\AE-CD=、E.AB,

?-10CD=20V3,

..CD=2V3.

7.D解:延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F,延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)G.

ZBAD=ZD=60°,

???△ADF是等邊三角形.

/.AD=AF=DF,ZAFD=60°.

VCA=CB,CE平分/ACB,

；.CG_LAB,

即乙CGB=90°,AG=|4B=5,

/FEG=30°.設(shè)AD=AF=DF=a，在RtAGEF中,NAFD=60°,EF=DF-DE=a-3,