2024-2025學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)上冊專項(xiàng)復(fù)習(xí)：與三角形的角有關(guān)的計(jì)算（30題）（解析版）

專題第01講與三角形的角有關(guān)的計(jì)算

1.（2022秋?海珠區(qū)校級期末）如圖，在AABC中，是高，AE,是角平分線，它們相交于點(diǎn)。，ZC

=70°.

（1）NAOB的度數(shù)為；

（2）若/ABC=60°,求ND4E的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義得出/。48+/。氏4=工CZBAC+ZABC),根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得

2

出NBAC+NABC=180°-ZC=110°,進(jìn)而即可求解；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得/ZMC,ABAC,根據(jù)AE是NBAC的角平分線，得出/CAE=』NCAB

2

=25°,根據(jù)ND4E=/CAE-NC4O,即可求解.

【解答】(1)解：BF^ZBAC.NA8C的角平分線，

ZOAB+ZOBA=上(ZBAC+NABC),

2

在△ABC中，ZC=70°,

：.ZBAC+ZABC=\80°-ZC=110°,

AZAOB=180°-ZOAB-ZOBA=180°-工(ZBAC+ZABC)=125°.

2

故答案為：125°；

(2)解：?.?在△ABC中，4。是高，/C=70°,ZABC=60°,

.,.ZDAC=90°-ZC=90°-70°=20°,ZBAC=180°-ZABC-ZC=50°

：AE是NA4c的角平分線，

AZCAE=AZCAB=25°,

2

：.ZDAE=ZCAE-ZCAD=25°-20°=5°,

：.ZDAE=5°.

2.(2023春?洛寧縣期末)如圖，A。為△ABC的高，AE,BP為△ABC的角平分線，ZCBF=30°,ZAFB

=70°.

(1)/BAD=°；

(2)求ND4E的度數(shù).

【分析】(1)利用角平分線的定義求出/A8C,再利用三角形內(nèi)角和定理求出/BAD

(2)根據(jù)ND4E=/BAE-求出NBAE,N2A￡)即可.

【解答】解：(1)：8/平分NABC,

ZABC=2ZCBF=60°,

'：AD±BC,

：.ZADB=90°,

：.ZBAD^90°-ZABC=90°-60°=30°,

故答案為：30；

(2)VZAFB=ZFBC+ZC,

AZC=70°-30°=40°,

：.ZBAC=1SO°-ZABC-ZC=180°-60°-40°=80°,

:AE平分N2AC,

?"M=9/BAC=40。，

AZDAE^ZBAE-ZBAD^40Q-30°=10°.

3.(2023春?豐城市期末)如圖，在△ABC中，BD,CD分別是/ABC,NAC2的平分線，BP,CP分別是

ZEBC,NFCB的平分線.

(1)當(dāng)NABC=64°,ZACB=66°時(shí)，/D=°,NP=°；

(2)ZA=56°,求/。，NP的度數(shù)；

(3)請你猜想，當(dāng)NA的大小變化時(shí)，尸的值是否變化？請說明理由.

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理解答即可;

(2)根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理解答即可；

(3)利用(2)的結(jié)論即得結(jié)果.

【解答】解：(1),:BD,CO分別是/ABC,/ACB的平分線，ZABC=64°,ZACB=66°,

?■?ZDBC=yZABC=32°,ZDCB=j-ZACB=33°-Z￡BC=116°,ZBCF=114°,

：.ZD=180°-ZDBC-ZDCB=115°；

:BP,CP分別是/EBC,/bCB的平分線，

???ZCBP=yZEBC=58°,ZBCP=j-ZBCF=57°，

.,.ZP=180o-ZCBP-ZBCP=65a；

(2)在△ABC中，ZABC+ZACB=180°-ZA,

,:BD,CD分別是NABC,NACB的平分線，

?'-ZDBC=yZABC,ZDCB-yZACB-

—180°-(./DBC+/DCB)

=180°-y(ZABC+ZACB)

=180°-y(180°-NA)

=90°弓/A

=90°+yX56°

=118°；

:BP,CP分別是/EBC,NbCB的平分線，

ZCBP+ZBCP

=yZCBE+yZBCF

=y(ZCBE+ZBCF)

舊(ZA+ZACB+ZA+ZABC)

=y(180°+ZA)

=90°+28°

=118°；

/.ZBPC=180°-(NCBP+NBCP)

=90°-yZA

=90°-28

=62°；

（3）NO+N尸的值不變.

..?由（1）知ND=90°耳/A'NP=90°蔣NA，

.,.zr?+zp=i80°.

...當(dāng)/A的大小變化時(shí)，ND+/P的值不變.

4.（2023春?樂山期末）（1）如圖1,△ABC中，延長到M,BP平分NMBC,延長AC到MCP平分

ZNCB,PB交PC于點(diǎn)、P,若/ABC=a,ZACB=^,ZBPC=G,求證：a=一；）；

（2）如圖2,△ABC中，E是AB邊上一點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，延長A8到M,PB平分NMBC,P尸平

分NEFC,BP交PF于點(diǎn)P,若NAEF=a,ZACB=p,ZBPF=Q,求證：9=；

（3）如圖3,/XABC中，E是AB邊上一點(diǎn)，尸是AC邊上一點(diǎn)，延長E尸至ijG,PB平分/ABC,P尸平

分NAFG,BP交PF于點(diǎn)、P,若NAEF=a,ZACB=^,ZBPF=B,探究并直接寫出a,p,0之間的等

量關(guān)系.

【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，求出NCBP+/BCP,ZA,再次利

用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行解答；

（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，求出/CBP,NCFP,ZBOP,再次利用三

角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行解答；

（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，求出/。尸尸，ZCBO,ZPOF,再次利用三

角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行解答；

【解答】（1）證明：平分/MBC,CP平分NBCN,

/.ZCBP=|ZMBC=1(ZA+P),NA蔣B，ZBCP=-1ZBCN=1(ZA+Cl)-|ZA4yd；

?'?ZCBP+ZBCP^-ZA-^-84NA4a=ZA+ya蔣B，

VZA+a+p=180°,

AZA=180°-a-p,

VZCBP+ZBCP+ZP=180°,

；?/人卷a弓⑹+8=180°,

180°-a-p+j-a-Ryp+e=180°>

.c9+6

??y=-------；

2

ZCBP=1ZMBC=1-(ZA+B)4/A蔣P，

ZCFP=1ZEFC=1(ZA+CI)-|ZA^CI.

VZOFC+ZFOC+ZACB=180°,ZBOP=ZFOC,

.../2。尸=180°-p-Z<9FC=180°-P-yZEFC=180°^Q^ZA>

VZCBP+ZP+ZB(9P=180o,

*',■^Z^A+yP+0+180°-8卷a4NA=180°，

e=a+B；

2

(3)解：如圖所不：

尸平分NA3C,尸尸平分NA尸G,

.?.ZOFP=1ZAFG=1(ZA+CI)=yZA-^Cl，

NC80=￡/ABC總(180。-ZA-P)=90°-//A總B,

■：ZPOF=ZCBO+ZACB=^-//A蔣3+B=90?？侼A蔣B，

VZPOF+ZOFP+ZP=180°,

?1,90°-yZA-t^-P+yZA+y<l+0=180°-

?'-04^^-=90°-

5.(2022秋?黃石期末)如圖，直線。與EF相交于點(diǎn)。，ZCO￡=60°,將一直角三角尺AOB(含30°

和60°)的直角頂點(diǎn)與。重合，。4平分/COE.

(1)求48。。的度數(shù)；

(2)圖中互余的角有對；

(3)將三角尺AO8以每秒3°的速度繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)直線EF以每秒9°的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為fs(0W/W40).

①當(dāng)f為何值時(shí)，直線EF平分/AOB.

②當(dāng)t=時(shí)，直線EF平分NBOD.

【分析】(1)依據(jù)/COE=60°,平分NCOE,可得/AOC=30°,再根據(jù)/4。2=90°,即可得到

ZBOD=180--30°-90°=60°；

(2)互余的角有12對分別是：/A與N&ZA^ZAOC,/A與NAOENCOE與NB,NCOE與/

AOC,ZCOE^ZAOE,2094與/800；ZAOE^ZBOD；NA與NBOQ；

(3)①分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)OE平分NAOB時(shí)，乙4OE=45°；當(dāng)OF平分/AOB時(shí)，NAO尸=45°；

分別依據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可得到f的值；

②分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)OE平分N8OO時(shí)，NBOE=L/BOD；當(dāng)OF平分N3OO時(shí)，ZDOF=A

22

NBOD；分別依據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可得出f的值.

【解答】解：(1)VZCO￡=60°,04平分/COE,

...NAOC=30°,

又。2408=90°,

.../20。=180°-30°-90°=60°；

（2）互余的角有4對分別是：NA與NB；NA與/AOC,NA與NAOE,NCOE與/B,NCOE與/

AOC,ZCOE^ZAOE,NCOA與NBOD；NAOE與NBOD；NA與NBOD,ZCOA^ZBOE；ZAOE

與/BOE；/A與NBOE；

（3）①分兩種情況：

當(dāng)OE平分NAOB時(shí)，ZAOE=45°,

即9°?+30°-3°f=45°,

解得f=2.5；

當(dāng)O尸平分NA08時(shí)，ZAOF=45°,

即9°t-150°-3°f=45°,

解得f=32.5；

綜上所述，當(dāng)f=2.5s或32.5s時(shí)，直線平分NAO3；

②t的值為12s或36s.

分兩種情況：

當(dāng)OE平分NB。。時(shí)，NBOE=L/BOD,

2

即9°r-60°-3°（60°-3°t）,

2

解得r=12；

當(dāng)。尸平分480。時(shí)，NDOF=、NBOD,

2

即9°t-300°=工（3°L60。），

2

解得f=36；

綜上所述，若直線平分N20Z）,f的值為12s或36s.

6.（2022秋?淮南期末）（1）如圖1,有一塊直角三角板X1Z放置在△ABC上，恰好三角板X出的兩條直

角邊XKXZ分別經(jīng)過點(diǎn)8、C.△A8C中，ZA=30°,貝UNABC+NACB=,ZXBC+Z

（2）如圖2,△ABC的位置不變，改變直角三角板XFZ的位置，使三角板X1Z的兩條直角邊XKXZ

仍然分別經(jīng)過8、C,那么NA8X+/ACX的大小是否變化？若變化，請舉例說明；若不變化，請求出/

A8X+NACX的大小.

【分析】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理.已知NA=30。易求/ABC+/ACB的度數(shù).又因?yàn)?X為90°,

所以易求/XBC+NXCB.

【解答】解：(1)VZA=30°,

AZABC+ZACB=150°,

,：ZX=90°,

：.ZXBC+ZXCB=90°,

故答案為：150°；90°.

(2)不變化.

VZA=30°,

ZABC+ZACB=150°,

VZX=90°,

；.NXBC+NXCB=90°,

Z.ZABX+ZACX^(AABC-ZXBC)+(ZACB-NXCB)

=CZABC+ZACB)-(NXBC+/XCB)

=150°-90°

=60°.

7.(2023春?欒城區(qū)校級期末)在△ABC中，點(diǎn)。在線段AC上，Z)E〃8c交AB于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在線段A8

上(點(diǎn)尸不與點(diǎn)A,E,8重合)，連接。F過點(diǎn)e作FGLFD交射線CB于點(diǎn)G.

①②③

(1)如圖1,點(diǎn)尸在線段BE上.

①直接寫出ZEDF與ZBGF的數(shù)量關(guān)系；

②求證：ZABC+ZBFG-Z￡￡)F=90°；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AE上時(shí)，請?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形，并直接寫出/瓦正與N8GF的數(shù)量關(guān)系.

【分析】(1)①結(jié)論：ZEDF+ZBGF^90°.如圖1中，過點(diǎn)尸作尸H〃BC交AC于點(diǎn)凡利用平行線

的性質(zhì)求解即可.

②過點(diǎn)尸作尸〃〃8c交AC于點(diǎn)H.利用平行線的性質(zhì)求解即可.

（2）作出圖形，利用平行線的性質(zhì)，以及三角形的外角的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：（1）①結(jié)論：ZEDF+ZBGF=90°.

理由：如圖1中，過點(diǎn)/作77/〃交AC于點(diǎn)

圖1

■:DE〃BC,

:.DE〃FH,

，/EDF=NT,

,:FH〃BC,

：.ZBGF=Z2.

■:FGLFD,

：.ZDFG=90°.

.'.Zl+Z2=90°.

：.ZEDF+ZBGF=90°.

②證明：過點(diǎn)方作尸“〃3。交AC于點(diǎn)如圖2,

圖2

???ZABC=/AFH,

：.NA3C=N1+N3,

：.Z3=ZABC-Zl,

■:NEDF=N1,

：.Z3=ZABC-ZEDF,

VFG±F￡>,

：.ZDFG^90°,

AZBFG+Z3=90°,

；./3=90°-ZBFG,

：.90°-NBFG=ZABC-ZEDF,

：.NABC+NBFG-NED尸=90°；

(2)解：結(jié)論：NBGF-/EDF=90°.

：.ZBGF=ZFJE,

VZFJE=ZDFJ+ZEDF,/DEJ=90°,

；./BGF-NEDF=90°.

當(dāng)點(diǎn)G在CB的延長線上時(shí)，同法可證/￡。/+/26尸=90°,如圖4,

8.（2023春葉B江區(qū)期中）閱讀下列材料并解答問題：

在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角a的度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的2倍，那么這樣的三角形我們稱為“優(yōu)雅

三角形”，其中a稱為“優(yōu)雅角”.例如：一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是、100°、，這個(gè)三角形就是

“優(yōu)雅三角形”，其中“優(yōu)雅角”為100°.反之，若一個(gè)三角形是“優(yōu)雅三角形”，那么這個(gè)三角形的

三個(gè)內(nèi)角中一定有一個(gè)內(nèi)角a的度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的2倍.

（1）一個(gè)“優(yōu)雅三角形”的一個(gè)內(nèi)角為120。，若“優(yōu)雅角”為銳角，則這個(gè)“優(yōu)雅角”的度數(shù)為.

（2）如圖1,已知/MON=60°,在射線OM上取一點(diǎn)A,過點(diǎn)A作AB_LOM交ON于點(diǎn)8,以A為端

點(diǎn)畫射線交線段08于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與點(diǎn)。、點(diǎn)8重合）.若△AOC是“優(yōu)雅三角形"，求/AC8的度數(shù).

（3）如圖2,△ABC中，點(diǎn)。在邊8c上，OE平分/ADB交AB于點(diǎn)E,尸為線段AD上一點(diǎn)，MZAFE+

ZA￡）C=180°,ZFED=ZC.若△AOC是“優(yōu)雅三角形”，求NC的度數(shù).

【分析】本題考查“優(yōu)雅三角形”的新定義問題，靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理.

【解答】解：(1)一個(gè)“優(yōu)雅三角形”的一個(gè)內(nèi)角為120°,另兩個(gè)角之和為：180°-120°=60°,

“優(yōu)雅角”為銳角，根據(jù)“優(yōu)雅三角形”的定義，“優(yōu)雅角”為40。，另一個(gè)角為20°.

(2)交ON于點(diǎn)8,AZMOB=9Qa,

ZMON=6Q°,AAOC是“優(yōu)雅三角形”，①當(dāng)“優(yōu)雅角”為60°時(shí)，另一個(gè)角為30°,則NACO=

90°,NACB的度數(shù)為90°,②當(dāng)另兩個(gè)角中有優(yōu)雅角時(shí)，另兩個(gè)角之和為120。，

根據(jù)“優(yōu)雅三角形”的定義，另兩個(gè)角分別為：40°,80°,

則NACO=80°,NACB的度數(shù)為100°,

ZACO=40°,ZACB的度數(shù)為140°.

(3)VZAFE+ZADC=1SO°,ZAFE+ZEFD=180°,

：./A￡)C=ZEFD,

：.EF//BC,

△AOC是“優(yōu)雅三角形”，

DE平分NAOB交AB于點(diǎn)E,

①當(dāng)NC=a,ZADC=-^~,

2

ZADB=180°--=(180°-X2,

22

解得a=72°,/C=72°；

②當(dāng)NC=a,ZDAC--^-,

2

無解，故不符合題意；

③當(dāng)NADC=a,ZDAC^—,

2

ZADB=180°-a=[180°-a-(180°-]X2,

2

解得a=90°,ZC=45°；

④當(dāng)NA￡)C=a,ZC=-^-,

2

ZADB=180°-a=(180°---a)X2,

2

解得a=90°,ZC=45°；

⑤當(dāng)/ZMC=a,ZADC=—,

2

ZADB=180°-巴=[180°-(180°---]X2,

222

解得a=72°,ZC=72°；

⑥當(dāng)NZMC=a,ZC=-5-,

2

無解，故不符合題意；

綜上，/C的度數(shù)為：72°,45°.

9.(2023春吁B江區(qū)期中)綜合與探究：愛思考的小明在學(xué)習(xí)過程中，發(fā)現(xiàn)課本有一道習(xí)題，他在思考過程

中，對習(xí)題做了一定變式，讓我們來一起看一下吧.在△ABC中，ZABC與NACB的平分線相交于點(diǎn)P.

「M分」

?----------QQ

BC

圖1圖2圖3

(1)如圖1,如果NA=80°,那么NBPC=°

(2)如圖2,作AABC的外角/MBC,NNCB的平分線交于點(diǎn)°,試探究與/BPC的數(shù)量關(guān)系.

(3)如圖3,在(2)的條件下，延長線段BP,QC交于點(diǎn)E,在△BQE中，若/Q=4/E,求/A的度

數(shù).

【分析】(1)運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，首先求出/ABC+/ACB,進(jìn)而求出N8PC即

可解決問題；

(2)根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出與/BCN,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得NC%+NBC。,

最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；

(3)在△BQE中，由于/。=90°-AZA,求出由NQ=4NE,得出2NA=90°-Az

222

4,求解即可.

【解答】解：(1)VZA=80°,

ZABC+ZACB=1SO°-ZA=180°-8°=100°,

,/ZABC^ZACB的平分線交于點(diǎn)P,

?'?ZPBC=yZABC'ZPCB=yZACB-

：.ZBPC=1SO0-(NPBC+NPCB)=180°--1CZABC+ZACB)=180°-^-x10Q°=130°；

故答案為：130°；

(2)?.?外角/MBC,/NCB的平分線交于點(diǎn)。，

ZQBC=yZMBC-ZQCB=yZNCB-

，/。=180°-(：ZQBC+ZQCB)=180°-工(/MBC+/NCB)=180°-(180°-ZABC+180°

22

-ZACB)=A(ZABC+ZACB)=1(180°-NA)=90°-—/i,,

222

VZBPC=1800-CZPBC+ZPCB)=180°-A(ZABC+ZACB)=180°-工(180°-NA)=90°

22

：.ZQ+ZBPC=180°；

(3)如圖，延長2C至尸,

,：CQ為△ABC的外角NNCB的角平分線,

：.CE是AABC的外角ZACF的平分線，

ZACF=2ZECF,

：8E平分NABC,

NABC=2NEBC,

'：ZECF=ZEBC+ZE,

：.2ZECF=2ZEBC+2ZE,

即ZACF=ZABC+2ZE,

又ZACF=ZABC+ZA,

：.ZA^2ZE,即NE=』NA,

2

：.ZQ=2ZA,

?：ZQ=90°-AZA,

2

:.2ZA=9o°-AZA,

2

ZA=36°.

10.(2022秋?海豐縣期末)綜合與探究：

【情境引入】

(1)如圖1,BD,CD分別是△ABC的內(nèi)角NA8C,的平分線，說明/。=90°+工/4的理由.

2

【深入探究】

(2)①如圖2,BD,C。分別是△A8C的兩個(gè)外角/EBC,/FC8的平分線，/￡>與/A之間的等量關(guān)

系是;

②如圖3,BD,C。分別是△ABC的一個(gè)內(nèi)角NABC和一個(gè)外角NACE的平分線，BD,CD交于點(diǎn)D,

探究/。與NA之間的等量關(guān)系，并說明理由.

圖1圖2圖3

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理證明即可；

(2)①根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理求解即可;

②根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義求解即可.

【解答】(1)證明：CO分別是△ABC的內(nèi)角/ABC,/ACB的平分線，

.,.Z1=-1ZABC,Z2=-^ZACB,

22

.,.Zl+Z2+Z￡>=180°,ZA+ZABC+ZACB=180°,

.,.ZZ)=18O0-Z1-Z2

=180°--1(ZABC+ZACB)

2

=180°-A(180°-ZA)

2

=90°+AZA；

2

(2)解：①ND=90°-1ZA,理由如下：

2

:BD,CO分別是△ABC的兩個(gè)外角/E8C,NbCB的平分線，

；./DBC=L/EBC=LCZA+ZACB},/DCB=L/FCB=LCZA+ZABC),

2222

VZZ)BC+ZDCB+ZD=180°,ZA+ZABC+ZACB=180°,

???ZD=180°-ZDBC-ZDCB

=180°-—(ZEBC+ZFCB)

2

=180。-1(1800+ZA)

=90°-AZA,

2

故答案為：NO=90°-1ZA；

2

②NO=2/A,理由如下：

2

,:BD,CD分別是△ABC的一個(gè)內(nèi)角NABC和一個(gè)外角ZACE的平分線，

：.ZDBC=^-ZABC,ADCE=^ZACE,

22

VZACE=ZA+ZABC,ZDCE=ZD+ZDBC,

：.ZD+^ZABC=—(ZA+ZABC),

22

：.ZD=^ZA.

2

11.(2023春?南陽期末)如圖，在△ABC中，BD,CO分別是NABC,NACB的平分線，BP,CP分別是

ZEBC,NPCB的平分線.

(1)若NA=30°,則/O=°,4P=°,/D+NP=°；

(2)當(dāng)NA變化時(shí)，/O+NP的值是否變化？請說明理由.

【分析】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理用NA表示出/ABC+NACB,再根據(jù)角平分線的定義表示出N

DBC+ZDCB,然后在△BCD中利用三角形的內(nèi)角和定理可得出的度數(shù)；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理

及其推論以及角平分線的定義及三角形外角的性質(zhì)即可得出/尸的度數(shù)；

(2)根據(jù)(1)中/。與NP的式子即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)-：ZA=30°,

：.ZABC+ZACB=180°—150°,

,:BD,C。分別是/ABC,NACB的平分線,

ZDBC=yZABC，ZDCB=yZACB，

ZDBC+ZDCB-^-(ZABC+ZACB)=75°，

.?.ZD=180o-75°=105°；

VZABC+ZACB=180°-ZA=150°,

.,.ZCB￡+ZBCF=210°,

,:BP,CP分別是NEBC,NPCB的平分線，

ZCBP=yZCBE,ZBCP=yZBCF,

ZCBP+ZBCP=lj/CBE+yZBCF=y(ZCBE+ZBCF)=105°-

.,.ZP=180°-105°=75°；

.,.ZD+ZP=105°+75°=180°；

故答案為：105,75,180.

(2)結(jié)論：/Z)+/P的值不變.理由如下：

在△ABC中，ZABC+ZACB=180°-NA,

,:BD,CD分別是NA2C,NAC2的平分線，

ZDBC=yZABC，ZDCB=yZACB，

ZDBC+ZDCB=y(ZABC+ZACB)=y(180°-ZA)=90°-yZA-

在△SCO中，ZZ)=180°-QDBC+/DCB)=180°-(90°-yZA)=900+yZA>

,:BP,CP分別是/E2C,/BCB的平分線，

ZCBP=yZCBE,ZBCP=yZBCF,

ZCBP+ZBCP=yZCBE+^-ZBCF=y(ZCBE+ZBCF)

(ZA+ZACB+ZA+ZABC)(180°+/A)，

在△BCP中，ZP=180°-(NCBP+NBCP)

=180°-y(180°+ZA)=90°-yZA-

?'-ZP+ZD=(90°-yZA)+(90°+yZA)=180°-

12.（2023春?洪洞縣期末）在△ABC中，AO_LBC于點(diǎn)D

B

DE

圖1備用圖

特例研究：

(1)如圖1,若N54C的平分線AE能交BC于點(diǎn)E,ZB=35°,/EAD=5°,求NC的度數(shù);

操作發(fā)現(xiàn):

如圖2,點(diǎn)N分別在線段AB,AC,將△ABC折疊，點(diǎn)2落在點(diǎn)尸處，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，折痕分別

為DM和DN,點(diǎn)G,尸都在射線ZM上;

(2)若NB+NC=60°,試猜想/AM尸與NANG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(3)將繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角記為a(0°<a<360°).記旋轉(zhuǎn)中的△QMF為△DMiFi,

在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)M,尸的對應(yīng)點(diǎn)分別為Ml,Fi,直線MLFI,與直線BC交于點(diǎn)。，與直線AB交于點(diǎn)

P.若/8=35°,ZPQB=90°,請直接寫出旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

【分析】(1)利用三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可解決問題;

(2)結(jié)論：ZAMF+ZANG=6O°.由翻折可知ZC=ZG,由/B+/C=60°得出/BAC

=120°,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得出NBAC=N4WF+NANG+N2+NC,從而得出結(jié)論;

(3)分兩種情形分別求解即可解決問題.

【解答】解：(1)-：AD1BC,

；.乙4。8=90°.

又：NB=35°,

：.ZBAD=1SQ0-ZB-ZADB=55°.

'：ZEAD=5°,

：.ZBAE=55°+5°=60°.

：AE平分NBAC,

：.ZBAE=ZCAE=6Q°,

AZC=180°-90°-60°-5°=25°.

(2)結(jié)論：ZAMF+ZANG=60°.理由:

由折疊可知：ZB=ZAFM,NC=NG,

VZB+ZC=60",

：.ZBAC=nO°,

ZBAC=ZBAD+ZDAC=ZAMF+ZAFM+ZANG+ZG,

：.ZBAC=ZAMF+ZANG+ZB+ZC,

即120°=NAMRNANG+60°,

AZAMF+ZANG=60°.

(3)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為35°或215°.

①當(dāng)0°VaW900時(shí)，

?.?/尸。3=90°,

：.ZF\QD=180°-90°=90°,

??,將AABC折疊，點(diǎn)5落在點(diǎn)尸處，折痕為將△DM/繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度a,

ZDF\Mi=ZDFM=ZB=35°,

：.ZF1DQ=1SO°-ZFiQD-ZDFiMi=180°-90°-35°=55°,

；?/FDFi=NADB-NFiDQ=90°-55°=35°,

②當(dāng)90°<a^360°時(shí)，

9：ZPQB=90°,

：.ZFiQD=180°-90°=90°,

??,將△ABC折疊，點(diǎn)5落在點(diǎn)尸處，折痕為DM,將△DM/繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度a,

AZDF\Mi=ZDFM=ZB=35°,

：.ZFiDQ=180°-ZFiQD-ZDFiMi=180°-90°-35°=55°,

/.ZFDFi=ZADC-^ZFiDQ=900+55°=145°,

???a=360°-145°=215°；

AZDFiMi=ZDFM=ZB=35°,

：?/PQB=/BPQ-/B=90°-35°=55°,

ZPQB=NDFiMi+NFiDB,

：.ZFiDB=ZPQB-ZDFiMi=55°-35°=20°,

，NFDFi=NADB-/FiDB=90°-20°=70°,

.'.a=70°.

G

綜上所述，旋轉(zhuǎn)角。的度數(shù)為35°或215。.

13.(2023春?東方校級期末)在△ABC中，/A8C與/ACB的平分線相交于點(diǎn)P.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,如果/A=70°,ZABC=50°,ZACB=60°,求/BPC的度數(shù)；

(2)如圖1,如果/A=a,用含a的代數(shù)式表示NBPC；

(3)探索：如圖2,作△ABC外角NM8C、/NCB的平分線交于點(diǎn)°,試寫出N。、/A之間的數(shù)量關(guān)

系；

(4)拓展：如圖3,延長線段8尸、QC交于點(diǎn)E,△8QE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，請

直接寫出NA的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)已知條件和角平分線的性質(zhì)，求出/PBC和再利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)

算；

(2)根據(jù)已知條件和角平分線的性質(zhì)，把/P8C和/BCP用NABC和/ACB表示出來，再利用NA表

示出來，最后利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行代換即可；

(3)根據(jù)已知條件和角平分線的性質(zhì)，求出/CB。和/8CQ,再利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算；

(4)根據(jù)已知條件求出/項(xiàng)。的度數(shù)，然后由(3)求出的/。，利用三角形內(nèi)角和求出NE,再分4

種情況討論，求出NA的度數(shù).

【解答】解：(1):BP,CP分別是NABC和NACB的角平分線，ZABC=50°,ZACB=60°,

ZPBC=—ZABC=25°,ZBCP=^-ZACB=3Q°,

22

ZPBC+ZBCP+ZBPC=180°,

AZBPC=1800-ZPBC-ZBCP=125°；

(2))-：BP,CP分別是/ABC和NAC2的角平分線，

：.ZPBC=^ZABC,ZBCP=^ZACB,

22

VZPBC+ZBCP+ZBPC=l^Q°,

ZBPC=180°-ZPBC-ZBCP

=180°-yZABC-yZACB

=180°-y(ZABC+ZACB)

=180°-y(180°-ZA)

=900弓/A；

(3)-：BQ,C。分別是NCBM,NBCN的角平分線，

.-.ZCBG=1ZCBM>NBCQ'NBCN,

ZCBM=ZA+ZACB,NBCN=ZA+ZABC,

.?.ZCB2=1ZA4AZACB,ZBCQ=1ZA+1ZABC,

'：ZCBQ+ZBCQ+Z2=1800,

卷(NACB+NABC)+N0=180。,

ZA-^(180°-ZA)+ZQ=180°，

六/。=90。-^/A；

(3)：2尸是/ABC的角平分線，2。是/CBM的角平分線，

：.ZPBC=^ZABC,NC8Q=//CBM，

VZABC+ZCBM=180°,

/.ZPBC+ZCBQ=j-(ZABC+ZCBQ)=90°，

ZQBE=ZPBC+ZCBQ=9O°,

由(3)知NQ=90°-//A'

Z￡+Zg=90o,

?*-NE=/NA'

?.?在aBOE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，ZQBE=90°,

：.ZQ,/E都是銳角，

???分四種情況討論：

①NQ=3/E,

?，-90°-yZA=3XyZA>

2ZA=90°,

AZA=45°；

②NQBE=3NE,

?，?3XyZA=90°-

AZA=60°；

@ZBQE=3ZQ,

???3(90?？侼A)=90。，

270-1.5ZA=90°,

—120°,

@ZE=3ZQ,

■|ZA=3(90"-yZA)-

解之得：ZA=135°,

綜上可知：NA的度數(shù)為45°或60°或120°或135°.

14.(2023春?商水縣期末)【基本模型】

(1)如圖1,在△ABC中，BP平分/ABC,CP平分外角NACO,試說明

2

【變式應(yīng)用】

(2)如圖2,NMON=90°,A,8分別是射線ON,OM上的兩個(gè)動點(diǎn)，/ABO與NBAN的平分線的

交點(diǎn)為P,則點(diǎn)48的運(yùn)動的過程中，/尸的大小是否會發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請求出其值；若發(fā)

生變化，請說明理由.

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖3,NMON=90°,作NMON的平分線。D,A是射線0。上的一定點(diǎn)，3是直線0M上的任

意一點(diǎn)(不與點(diǎn)。重合)，連接A3,設(shè)/A2。的平分線與NBA。的鄰補(bǔ)角的平分線的交點(diǎn)為P,請直接

寫出NP的度數(shù).

圖1圖2圖3

【分析】(1)根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求出/P和NA,再根據(jù)角平分線的定

義NACn=2Nl,ZABC=2Z2,最后由NA=/AC。-/ABC進(jìn)行等量代換即可；

(2)根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求出/尸和NO,再根據(jù)角平分線的定義

=2/1,/ABO=2N2,最后由N0=NNA2-NAB。進(jìn)行等量代換即可；

(3)根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求出/尸和N40B,再根據(jù)角平分線的定義/

DAB^2Z1,/420=2/2,最后由NAOB=-/ABO進(jìn)行等量代換即可；

【解答】解：(1)如圖1所示：

平分/ACD,BP平分/ABC,

；./ACP=/NACD，/24/ABC,

*/ZACD=ZA+ZABC,

NACP=/NA+^NABC'

VZA+ZABC+ZACB^1SO°,

：.ZABC+ZACB=180°-ZA,

VZ2+ZP+ZACB+ZACP=180°,

?"-yZABC+ZP+ZACB4^-ZA-^ZABC=180°-

zABC+ZACB+ZP^ZA=180°，

180°-ZA+ZP+|ZA=180°，

?*-ZP=^ZA；

(2)/尸的大小不變，理由如下：

如圖2所示：

VZ2+ZP=Z1,ZABO+ZO=ZNAB,

：.ZP=Z1-Z2,NAOB=NNAB-ZABO,

又平分/4BO,CA平分/7V/W,

：.ZNAB=2Z1,ZABO=2Z2,

：.ZAOB=ZNAB-ZABO^2(Z1-Z2)=2ZP,

ZP^-Z0=45°；

圖2

(3)ZP=22.5°或67.5°,分兩種情況：

①如圖3所示：

VZ2+ZP=Z1,ZABO+ZAOB^ZDAB,

：.ZP=Z1-Z2,ZAOB=ZDAB-ZABO,

又平分/ABO,CA平分NDAB,

：.ZDAB=2Z1,ZABO=2Z2,

：.ZAOB=ZDAB-ZABO=2(Z1-Z2)=2NP,

ZP-j-ZA0B=22.5°；

②如圖4所示：

VZ2+ZP=Z1,ZABO+ZAOB=ZDAB,

.\ZP=Z1-Z2,ZAOB=ZDAB-AABO,

又尸平分NAB。，AC平分NZMB,

：.ZDAB^2Z1,ZABO^2Z2,

：.ZAOB=ZDAB-ZABO=2(Z1-Z2)=2ZP,

ZP-|ZA0B=yX(90°+45°)=67.5°-

M

圖4

15.(2023春?大荔縣期末)我們將內(nèi)角互為對頂角的兩個(gè)三角形稱為“對頂三角形”.例如，在圖1中，△

AOB的內(nèi)角/AO8與△C。。的內(nèi)角/COO為對頂角，則△AOB與△C。。為“對頂三角形”，根據(jù)三角

形三個(gè)內(nèi)角和是180°對頂三角形”有如下性質(zhì)：ZA+ZB=ZC+ZZ).

性質(zhì)理解：

(1)如圖1,在“對頂三角形"zMOB與△CO。中，則NAOB=85°,則/C+NZ)=95°.

性質(zhì)應(yīng)用：

(2)如圖2,在△ABC中，AD,BE分別平分NBAC和/ABC,若NC=60°,NADE比/BED大8°,

求/BED的度數(shù).

拓展提高：

(3)如圖3,BE、CD是△ABC的角平分線，且/8OC和/8EC的平分線。P和耳相交于點(diǎn)尸，設(shè)/

A=a,請嘗試求出/尸的度數(shù)(用含a的式了表示/尸).

【分析】(1)由對頂三角形可得/A+NB=/C+/￡>,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到答案；

(2)由對頂三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理得到NADE+NBEO=60°,再根據(jù)已知即可求解；

(3)利用三角形內(nèi)角和定理求得NABE+NACD=90。-ya，再利用角平分線的定義求得/CEP=/(Z

ABE+ZA),ZCDP=y(ZACD+ZA)'最后根據(jù)對頂三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：(1)由對頂三角形可得NA+/B=/C+/D,

在△AOB中，ZA+ZB=180°-ZAOB=180°-85°=95°,

：.ZC+ZD^95°.

故答案為：95；