2024-2025學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步練習(xí)：圓錐（解析版）

第08講圓錐的認(rèn)識(shí)與計(jì)算

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①圓錐的認(rèn)識(shí)1.認(rèn)識(shí)圓錐以及相關(guān)概念。

②圓錐的側(cè)面積2.掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積計(jì)算公式并運(yùn)用。

③圓錐的全面積3,掌握?qǐng)A錐的全面積公式并應(yīng)用。

思維導(dǎo)圖

知識(shí)點(diǎn)01圓錐的認(rèn)識(shí)

i.圓錐的認(rèn)識(shí)：

如圖，圓錐是由一個(gè)側(cè)面和一個(gè)底面構(gòu)成。頂點(diǎn)c到底面圓上任

意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線，如的CA與CB。AB是圓錐底面直徑，

頂點(diǎn)C到底面圓心O的距離CO是圓錐的高。

2.圓錐的母線長(zhǎng)、高與底面半徑的關(guān)系：

圓錐的母線長(zhǎng)與高與底面半徑構(gòu)成勾股定理。

即：如圖：—CB?=C()2+OB2。

題型考點(diǎn)：①利用三者之間的關(guān)系計(jì)算。

【即學(xué)即練1】

1.一個(gè)圓錐的底面半徑為IOCMI,母線長(zhǎng)為20cM1,求圓錐的高是

【解答】解：（1）如圖所示0,在RtZkSOA中,

SO=VSA2-0A2=7202-102=1。五

知識(shí)點(diǎn)02圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖與側(cè)面積

1.圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的認(rèn)識(shí)：

圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的半徑等于圓

錐的母線長(zhǎng)。扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)。

2.圓錐的側(cè)面積計(jì)算：

方法1:若已知圓錐的母線長(zhǎng)為4,底面圓的半徑為廠，則圓錐的側(cè)面展

開(kāi)圖的扇形的半徑為。，弧長(zhǎng)等于底面圓周長(zhǎng)等于：=根據(jù)

已知弧長(zhǎng)與半徑可得扇形的面積為：S=Lla=aa。

~2-

方法2：圓錐的母線長(zhǎng)為a,側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為”。。則側(cè)面展開(kāi)圖的扇形面積為:

nna

-360

題型考點(diǎn)：①圓錐側(cè)面積的計(jì)算。②側(cè)面積公式的應(yīng)用。

【即學(xué)即練1】

2.圓錐的母線長(zhǎng)為4,底面半徑為3,圓錐的側(cè)面積為（結(jié)果保留n）.

【解答】解：???圓錐的母線長(zhǎng)為4,底面半徑為3,

該圓錐的側(cè)面積為：irX3X4=12n.

故答案為：12TT.

【即學(xué)即練2】

3.已知圓錐的母線長(zhǎng)為8cm,側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為45°,則該圓錐的側(cè)面積為cm1.

【解答】解：根據(jù)題意，該圓錐的側(cè)面積=45X兀X82=8行（°冽2）.

故答案為8Tt.

【即學(xué)即練3】

4.如圖，圓錐的底面半徑08=6,高0C=8,則圓錐的側(cè)面積等于

c

【解答】解：?.,它的底面半徑。2=6,高0C=8.

22

?'?BC=<^g+g=10,

這個(gè)圓錐漏斗的側(cè)面積是：-rtr/=nX6X10=60n.

故答案為：60n.

【即學(xué)即練4】

5.圓錐的側(cè)面積為8m母線長(zhǎng)為4,則它的底面半徑為（）

A.2B.1C.3D.4

【解答】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r,

根據(jù)題意得lx2TtrX4=8n,解得r=2.

2

故選：A.

【即學(xué)即練4】

6.若圓錐的側(cè)面積是15m母線長(zhǎng)是5,則該圓錐底面圓的半徑是.

【解答】解：設(shè)該圓錐底面圓的半徑是為r,

根據(jù)題意得lx2irXr><5=15n,解得r=3.

2

即該圓錐底面圓的半徑是3.

故答案為3.

知識(shí)點(diǎn)03圓錐的全面積（表面積）計(jì)算

1.圓錐的表面積計(jì)算：

圓錐的側(cè)面是一個(gè)扇形，底面是一個(gè)圓。所以：

圓錐的表面積=圓錐的側(cè)面積+圓錐的底面積。

題型考點(diǎn)：①圓錐的表面積的計(jì)算。

【即學(xué)即練1】

7.已知圓錐的底面直徑為20CTM,母線長(zhǎng)為90CMJ,則圓錐的表面積是cm2.（結(jié)果保留it）

【解答】解：圓錐的表面積=107TX90+100iT=1000nc〃2

故答案為：1000TT.

【即學(xué)即練2】

2

8.扇形的圓心角為150°,半徑為4CTM,用它做一個(gè)圓錐，那么這個(gè)圓錐的表面積為cm.

【解答】解：：扇形的圓心角為150°,半徑為4cm,

/.扇形的弧長(zhǎng)為15°>X4=也冗，

1803

圓錐的底面周長(zhǎng)為」與區(qū)，

3

.,.圓錐的底面半徑為也n+2ir=§c〃z,

33

.,.圓錐的表面積為TtX$X4+nX（5）2=^2Lcrrr.

339

故答案為&L.

9

【即學(xué)即練3】

9.已知直角三角形ABC的一條直角邊AB=12cm另一條直角邊BC=5c〃z,則以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得

到的圓錐的表面積是（）

A.90ncm2B.209TC（?m2C.155ircm2D.65ircm2

【解答】解：圓錐的表面積=』X10TrX13+TrX52=90m"2.

2

故選：A.

題型精講

題型01圓周側(cè)面積的計(jì)算

【典例1】

已知圓錐的底面半徑是4,母線長(zhǎng)是5,則圓錐的側(cè)面積是（）

A.IOTTB.15nC.20TTD.25n

【解答】解：圓錐的側(cè)面積=』X2TtX4X5=20n,

2

故選：C.

【典例2】

圓錐的高為蓊，母線長(zhǎng)為3,沿一條母線將其側(cè)面展開(kāi)，展開(kāi)圖（扇形）的圓心角是度，該圓

錐的側(cè)面積是（結(jié)果用含TT的式子表示）.

【解答】解：???圓錐的高為K歷，母線長(zhǎng)為3,

.,.圓錐底面圓的半徑為：432-（）2=1，

...圓錐底面圓的周長(zhǎng)為：2n.

設(shè)展開(kāi)圖(扇形)的圓心角是,

依題意得：2]』兀*&,

180

解得：?=120°,

圓錐的側(cè)面積是：120兀X32

360

故答案為：120,3n.

【典例3】

已知圓錐的底面半徑為5c〃z,高線長(zhǎng)為12c〃z,則圓錐的側(cè)面積為()cm2.

A.130TTB.120TTC.65TTD.60TT

【解答】解：???圓錐的底面半徑為5c7〃，高線長(zhǎng)為12。小

??.圓錐的底面周長(zhǎng)=2nX5=10TT(cm),母線長(zhǎng)={52+]_22=」(cm),

.,.圓錐的側(cè)面積=2XIOTCX13=65TC(cm2).

2

故選：c.

【典例4】

已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、4、5,將這個(gè)三角形繞著最短的邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)幾何體，

那么這個(gè)幾何體的側(cè)面積為()

A.12TtB.15TTC.20TTD.24it

【解答】解：：32+42=52,

這個(gè)三角形為直角三角形，兩直角邊為3,4,斜邊為5,

以直角邊為3所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，底面半徑是4,母線是5,

.-.Ax2irX4X5=20Tt.

2

故選：C.

題型02圓錐的表面積計(jì)算

【典例1】

已知圓錐的母線是3c/n,底面半徑是1CM,則圓錐的表面積是cm2.

【解答】解：底面半徑為1cm,則底面周長(zhǎng)=2now,圓錐的側(cè)面面積=」乂2兀乂3=3n(?〃?2,底面面積=

2

ncm2,

/.圓錐的表面積=3冗+冗=4伍;毋.

故答案為：4n.

【典例2】

如圖，圓錐的底面直徑A3=6cm,OC=4cm,則該圓錐的表面積是24ncm2(結(jié)果保留n).

.??。4=鯉>=3(cm),

2

AC"VOA2OC2=VS2+42"5(cm)，

圓錐的表面積=S底+SwLTrJ+nrUgTr+lSTTuZM(cm2),

故答案為：247r.

【典例3】

如圖，在△ABC中，AC=3,AB=4,BC邊上的高A￡>=2,將△ABC繞著B(niǎo)C所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的

幾何體的表面積為14TT.

【解答】解：所得到的幾何體的表面積為nX2X3+T[X2X4=14Tr.

故答案為：14TT.

【典例4】

如圖所示，矩形紙片A8C。中，AD=6cm,把它分割成正方形紙片A8FE和矩形紙片EFC。后，分別裁出

扇形尸和半徑最大的圓，恰好能作為一個(gè)圓錐的底面和側(cè)面，則圓錐的表面積為()

2

C.6TIcmD.8ircm

【解答】解：設(shè)AB=xcm,則。E=（6-x）cm,

根據(jù)題意，得也工互=豆（6-x）,

180

解得x=4,

所以圓錐的表面積=S惻+S底=Lx4%+Tt=5TT（CTM2）.

4

故選：B.

題型03底面圓的半徑計(jì)算

【典例1】

如果圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積是15m母線長(zhǎng)是5,則這個(gè)圓錐的底面半徑是（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：設(shè)底面半徑為R,則底面周長(zhǎng)=2皿?，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的面積=lx2nRX5=15m

2

:?R=3.

故選：A.

【典例2】

將半徑為4,圓心角為90°的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則此圓錐底面圓的半徑是（）

A.1B.aC.2D.V2

2

【解答】解：設(shè)此圓錐底面圓的半徑是r,

根據(jù)題意，可得2兀r=><2兀乂4,

3：6?0。

解得廠=1,

即此圓錐底面圓的半徑是1.

故選：A.

【典例3】

如圖，用圓心角為120。，半徑為6的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面半徑是（）

A.4B.2C.4互D.2K

【解答】解：扇形的弧長(zhǎng)=12°兀旭=4TT,

180

圓錐的底面半徑為4n4-2n=2.

故選：B.

【典例4】

如圖，從一塊半徑是2的圓形鐵片上剪出一個(gè)圓心角為90°的扇形，將剪下來(lái)的扇形圍成一個(gè)圓錐，那么

A.2LB.亞C亞

442

【解答】解：連接2C,AO,

由題意，得：ZCAB=90°,AC=BC,

VA,B,C在OO上，

為OO的直徑，AO=BO=2,BCLAO,

在RtA4B。中，=VOB2-K)A2=2V2,

即扇形的半徑為：R=25/2

扇形的弧長(zhǎng)：廠/兀,2&用冗

180

設(shè)圓錐底面圓半徑為r,

則有2兀r=&兀，

故選：c.

題型04圓錐的高線的計(jì)算

【典例1】

已知圓錐的母線長(zhǎng)13CTM,側(cè)面積65nc?i2,則這個(gè)圓錐的高是cm.

【解答】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為皿"，

根據(jù)題意得工?2Tt?L13=65iT,

2

解得r=5,

所以圓錐的rWi=yj132-5=12(cm).

故答案為：12.

【典例2】

圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角120°,半徑6cm的扇形，則該圓錐的高是()

A.1cmB.2cmC.^~2cmD.2'V10cm

【解答】解：?.?一圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為120。、半徑為6cm的扇形，

兀

；?扇形弧長(zhǎng)=120X6=41T(cm),

180

2nr=4n,

r=2(cm),

?,?圓錐的高=462-22=4，^(cm),

故選：C,

【典例3】

如圖，已知圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的扇形面積為65Tle機(jī)2,扇形的弧長(zhǎng)為10n則圓錐的高是()

【解答】解：設(shè)母線長(zhǎng)為R,由題意得：65Tt=2X10irXR,解得R=13CTM.

2

設(shè)圓錐的底面半徑為r,則10n=2m

解得：-=5,

故圓錐的高為：=

故選：C.

題型05圓錐的母線長(zhǎng)的計(jì)算

【典例1】

已知一個(gè)圓錐的底面半徑是5c〃z,側(cè)面積是8511（:/,則圓錐的母線長(zhǎng)是（）

A.65cmB.13cmC.11cmD.26cm

【解答】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為Rem,

貝！J：85it=itX5XR,

解得R=17,

故選：C.

【典例2】

圓錐的底面圓半徑是1,側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是90。，那么圓錐的母線長(zhǎng)是.

【解答】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為R,由題意得：90KXR=2HX1

180

解得：R=4,

故答案為：4.

【典例3】

如圖，以正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)A為圓心，4B為半徑作與正六邊形A8CD跖重合的扇形部分恰好

是一個(gè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖，則該圓錐的底面半徑與母線長(zhǎng)之比為（）

【解答】解：設(shè)正六邊形ABCDE尸的邊長(zhǎng)為a,圓錐的底面半徑為r,

六邊形ABCDEF為正六邊形，

4P=120°,

根據(jù)題意得2irr=120Xnxa,

180

所以工■=2，

a3

即該圓錐的底面半徑與母線長(zhǎng)之比為」.

3

故選：C.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.圓錐的底面半徑為3,母線長(zhǎng)為5.則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為（）

A.257rB.20TIC.15nD.12n

【解答】解：圓錐的側(cè)面積=Tr〃=nX3X5=15ii,

故選：C.

2.已知圓錐的底面半徑為5CM,高為12CM,則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為（）

A.60ncm2B.65ircm2C.120ncm2D.130ncm2

【解答】解：由圓錐底面半徑〃=5CM,高/Z=12CM,

22=

根據(jù)勾股定理得到母線長(zhǎng)/=Vr+h=7?+1213（cm）,

根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式：n〃=nX5X13=65n（cm2）,

故選：B.

3.某學(xué)校組織開(kāi)展手工制作實(shí)踐活動(dòng)，一學(xué)生制作的圓錐母線長(zhǎng)為30c",底面圓的半徑為10cm,這個(gè)圓

錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)是（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

【解答】解：設(shè)這種圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)是,

根據(jù)題意得，2兀X10=亞衛(wèi)1，

180

解得“=120,

即這種圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)是120°,

故選：D.

4.如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開(kāi)并展平，得到一個(gè)扇形，若圓錐的底面圓的半徑r=lcm,扇形的圓

心角6=120。，則該圓錐的母線長(zhǎng)/為（）

A.1cmB.12cmC.3cmD.6cm

【解答】解：圓錐的底面周長(zhǎng)=2nXl=2it

設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為Ron,貝IJ：12°兀=2m

180

解得R=3.

故選：C.

5.現(xiàn)有一張圓心角為90°,半徑為8cm的扇形紙片，用它恰好圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），則

該圓錐底面圓的半徑為（）

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

【解答】解：設(shè)該圓錐底面圓的半徑為r,

根據(jù)題意得2何=90'兀:8,

180

解得r=2,

即該圓錐底面圓的半徑為2cm.

故選：B.

6.如圖，Rt^ABC的斜邊A8=13aw,一條直角邊AC=50W,以8C邊所在直線為軸將這個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)一

周，得到一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的全面積為（）

B

AC

nnn

A.65ncmB.9chic加C.156ncmD.300Tle徵2

【解答】解：圓錐的表面積=71X5X13+71X52=9071（cm2）

故選:B.

7.如圖所示，在矩形紙片上剪下一個(gè)扇形和一個(gè)圓形,使之恰好能圍成一個(gè)圓錐模型.若扇形的半徑為R,

圓的半徑為r,則R與r滿足的數(shù)量關(guān)系是（）

A.R=?rB.R=2rC.R：=3rD.R=4r

【解答】解：扇形的弧長(zhǎng)是：迎里=理，

1802

圓的半徑為r,則底面圓的周長(zhǎng)是2nr,

圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)則得到工K=2m,

2

即：R=4r,

R與r之間的關(guān)系是R=4廠.

故選：D.

8.如圖，矩形紙片ABC。中，AD=12cm,把它分割成正方形紙片A3FE和矩形紙片EFCD后，分別裁出

扇形A2B和半徑最大的圓，恰好能作為同一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，則的長(zhǎng)為（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.9cm

【解答】解：設(shè)圓錐的底面的半徑為rem,則￡>E=2ro?t,AE=AB=（12-2r）cm,

根據(jù)題意得9°兀X（12-2r）=2.，

180

解得r=2,

所以A2=12-2r=12-2X2=8（cm）.

故選：C.

9.某盞路燈照射的空間可以看成如圖所示的圓錐，它的母線AB=5米，半徑。2=4米，則圓錐的側(cè)面積

是平方米（結(jié)果保留TT）.

【解答】解：：。2=4米，42=5米，

.,.圓錐的底面周長(zhǎng)=2XTTX4=8TT米，

扇形=1/r=lx8rtX5=20n米2.

22

故答案為：207t.

10.有一直徑為2的圓形鐵皮，要從中剪出一個(gè)最大圓心角為60°的扇形ABC,用此剪下的扇形鐵皮圍成

一個(gè)圓錐，該圓錐的底面圓的半徑r=.

B

A

【解答】解：連接。4,作。于點(diǎn)D

則NZMO=2X60。=30°,。。=工，

22

則AD=MOD=^~,

2

:.AB=y[^.

則扇形的弧長(zhǎng)是：60兀義炳=?n,

1803

根據(jù)題意得：2巾=返口，

3

解得：『近.

6

故答案為：近.

6

11.已知一個(gè)圓錐的側(cè)面積與全面積的比為3：5,則其側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為°.

【解答】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，，母線長(zhǎng)為/,側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為〃。，

圓錐的側(cè)面積=」X2nrX/=Tu7,

2

圓錐的全面積=冗”+71”，

,?,圓錐的側(cè)面積與全面積的比為3：5,

:?Ttrl：(nr/+7iJ)=3：5,

?.?I,--3---T,

2

3

乂p?乂1nX兀X^r

...2/叱2I=_________

180180

解得“=240,

即圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為240°.

故答案為：240.

12.如圖，已知矩形紙片ABC。，AD=2,AB=J§,以A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交BC于點(diǎn)E,將扇形

AED剪下圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的底面半徑為

???NA4E=30°,

：.ZDAE=60°,

.?.圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)為：00＞泊2.=2n,

1803

圓錐的底面半徑為2n+2n=工.

33

13.在半徑為?的圓形紙片中，剪出一個(gè)圓心角為60。的扇形（圖中的陰影部分）.

（1）求這個(gè)扇形的半徑；

（2）若用剪得的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，求所圍成圓錐的底面圓半徑.

【解答】解：（1）如圖，連接BC,OB,