2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)周練卷3習(xí)題含解析新人教A版必修2

周練卷(3)一、選擇題(每小題5分，共35分)1．若點(diǎn)M在直線a上，a在平面α內(nèi)，則M，a，α間的上述關(guān)系可記為(B)A．M∈a，a∈α B．M∈a，a?αC．M?a，a?α D．M?a，a∈α2．在下列命題中，不是公理的是(A)A．平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行B．過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面C．假如一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上全部的點(diǎn)都在此平面內(nèi)D．假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線解析：選項(xiàng)A是面面平行的性質(zhì)定理，是由公理推證出來(lái)的，而公理是不須要證明的，故選A.3．假如空間中若干點(diǎn)在同一平面內(nèi)的射影在同一條直線上，則這些點(diǎn)在空間中的位置關(guān)系為(C)A．共線B．在與已知平面垂直的平面內(nèi)C．共線或在與已知平面垂直的平面內(nèi)D．無(wú)法確定解析：點(diǎn)共線或在與已知平面垂直的平面內(nèi)，都可以使得它們?cè)谕黄矫鎯?nèi)的射影在同一條直線上，所以它們的位置關(guān)系是共線或在與已知平面垂直的平面內(nèi)，故選C.4．已知l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列結(jié)論正確的是(A)A．假如l1⊥l2，l2∥l3，則l1⊥l3B．假如l1∥l2，l2∥l3，則l1，l2，l3共面C．假如l1⊥l2，l2⊥l3，則l1⊥l3D．假如l1，l2，l3共點(diǎn)，則l1，l2，l3共面解析：l1∥l2，l2∥l3，則l1，l2，l3可能共面也可能不共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，所以B錯(cuò)誤；直線的垂直不具備傳遞性，所以C錯(cuò)誤；l1，l2，l3共點(diǎn)也可能不在一個(gè)平面內(nèi)，如三棱錐的三條側(cè)棱，所以D錯(cuò)誤，故選A.5.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1A.eq\f(\r(10),10) B.eq\f(\r(30),10)C.eq\f(\r(15),5) D.eq\f(3\r(10),10)解析：連接AD1，D1E，因?yàn)锳D1∥BC1，所以∠D1AE是異面直線BC1與AE所成的角．在△D1AE中，可以求得AD1＝eq\r(5)，AE＝eq\r(6)，D1E＝eq\r(5)，所以△D1AE為等腰三角形，從而求得∠D1AE的余弦值為eq\f(\r(30),10)，故選B.6．已知在空間四邊形ABCD中，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，且AC＝4，BD＝6，則(A)A．1＜MN＜5 B．2＜MN＜10C．1≤MN≤5 D．2＜MN＜5解析：取AD的中點(diǎn)H，連接MH，NH，則MH綊eq\f(1,2)BD，NH綊eq\f(1,2)AC，且M，N，H三點(diǎn)構(gòu)成三角形．由三角形中三邊關(guān)系可得|MH－NH|<MN<|MH＋NH|，即1＜MN＜5.7.在如圖所示的正方體中，M，N分別為棱BC和CC1的中點(diǎn)，則異面直線AC和MN所成的角為(D)A．30° B．45°C．90° D．60°解析：連接AD1，D1C，BC1.因?yàn)镸，N分別為BC和CC1的中點(diǎn)，所以C1B∥MN，又C1B∥AD1，所以AD1∥MN，所以∠D1AC即為異面直線AC和MN所成的角．又△D1AC是等邊三角形，所以∠二、填空題(每小題5分，共20分)8．如圖所示的圖形可用符號(hào)表示為α∩β＝AB.解析：依據(jù)題中的圖形可知，它表示兩個(gè)平面相交于直線AB，可用符號(hào)表示為α∩β＝AB.9．在正方體ABCD-A1B1C1D1各個(gè)表面的對(duì)角線中，與直線A1C異面的有解析：如圖，與直線A1C異面的為B1D1，BD，AB1，DC1，BC1，AD110.一個(gè)正方體紙盒綻開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.其中正確結(jié)論的序號(hào)是①③.解析：把正方體的平面綻開圖還原成原來(lái)的正方體可知，AB⊥EF，EF與MN為異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，所以只有①③正確．11．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱BB1，B1C1的中點(diǎn)，若∠CMN＝90°，則異面直線AD1解析：如圖所示，連接BC1，則BC1∥AD1，則異面直線AD1與DM所成的角為直線BC1與DM所成的角．∵M(jìn)，N分別是棱BB1，B1C1∴BC1∥MN.∵∠CMN＝90°，∴BC1⊥MC，又MC是斜線DM在平面BCC1B1上的射影，∴DM⊥BC1，∴直線BC1與DM所成的角為90°，則異面直線AD1與DM所成的角為90°.三、解答題(共45分)12．(本小題15分)已知直線b∥c，且直線a與直線b，c都相交，求證：直線a，b，c共面．證明：∵b∥c，∴直線b，c可以確定一個(gè)平面α.設(shè)a∩b＝A，a∩c＝B，則A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，即a?α，故直線a，b，c共面．13.(本小題15分)已知空間四邊形ABCD的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為AC＝6，BD＝8，AC與BD所成的角為30°，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求四邊形EFGH的面積．解：∵E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，∴EF∥AC，HG∥AC，且EF＝HG＝eq\f(1,2)AC，∴四邊形EFGH為平行四邊形．∵AC∥EF，BD∥FG，∴EF與FG所成的角即為AC與BD所成的角，∴∠EFG(或其補(bǔ)角)＝30°，∴S四邊形EFGH＝EF×FG×sin∠EFG＝eq\f(1,2)AC×eq\f(1,2)BD×sin30°＝3×4×eq\f(1,2)＝6.14．(本小題15分)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)面都是矩形，底面四邊形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，若異面直線A1B和AD1所在的角為90°，求AA1的長(zhǎng)．解：連接CD1，AC.由題意得在四棱柱ABCD-A1B1C1D1A1D1∥BC，A1D1＝BC＝2eq\r(3)，∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥CD1，∴∠AD1C為A1B和AD1∵異面直線A1B和AD1所成的角為90°，∴∠AD1C∵在四棱柱ABCD-A1B1C1D1∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝eq\f(\r(2),2)AC.∵底面四邊形ABCD是