2024秋高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語(yǔ)1.1.3四種命題間的相互關(guān)系學(xué)案含解析新人教A版選修2-1

PAGE1-1.1.3四種命題間的相互關(guān)系自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入在商品大戰(zhàn)中，廣告成了一道漂亮的風(fēng)景線(xiàn)．幾乎全部的廣告商都熟識(shí)這樣的命題變換藝術(shù)：“擁有的人們都華蜜，華蜜的人們都擁有”．初聽(tīng)起來(lái)，是幾句贊美語(yǔ)，然而它的實(shí)際效果可大哩！原來(lái)這句話(huà)，變成等價(jià)命題就是“不擁有的人們不華蜜”．哪個(gè)家庭不希望華蜜呢？掏錢(qián)買(mǎi)就是了．瞧！商家就通過(guò)這樣奇妙的命題變換達(dá)到了目的．本節(jié)我們將學(xué)習(xí)命題的四種形式及其相互之間的關(guān)系．新知導(dǎo)學(xué)四種命題的真假關(guān)系1．在原命題的逆命題、否命題、逆否命題中，肯定與原命題真假性相同的是__逆否命題__.2．兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題時(shí)，它們的真假性__沒(méi)有關(guān)系__.3．一般地，四種命題的真假性有且僅有下面四種狀況：原命題逆命題否命題逆否命題真真__真____真__真__假__假__真____假____真__真假__假__假__假__假預(yù)習(xí)自測(cè)1．設(shè)m∈R，命題“若m＞0，則方程x2＋x－m＝0有實(shí)根”的逆否命題是(D)A．若方程x2＋x－m＝0有實(shí)根，則m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有實(shí)根，則m≤0C．若方程x2＋x－m＝0沒(méi)有實(shí)根，則m＞0D．若方程x2＋x－m＝0沒(méi)有實(shí)根，則m≤0[解析]一個(gè)命題的逆否命題，要將原命題的條件、結(jié)論都加以否定，并且加以互換位置，故選D．2．命題“若p不正確，則q不正確”的逆命題的等價(jià)命題是(D)A．若q不正確，則p不正確B．若q不正確，則p正確C．若p正確，則q不正確D．若p正確，則q正確[解析]其等價(jià)命題為原命題的否命題，“若p正確，則q正確．”故選D．3．命題“若a>－3，則a>－6”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]易知原命題正確，則其逆否命題也正確，原命題的逆命題“若a>－6，則a>－3”不正確，其否命題也不正確，故選B．4．(山西太原2024－2024學(xué)年高二期末)命題“假如x＋y>3，那么x>1且y>2”的逆否命題是__假如x≤1或y≤2，則x＋y≤3__.[解析]命題“假如x＋y>3，那么x>1且y>2”的逆否命題是“假如x≤1或y≤2，則x＋y≤3”．5．命題“已知不共線(xiàn)向量e1、e2，若λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0”的等價(jià)命題為_(kāi)_已知不共線(xiàn)向量e1、e2，若λ，μ不全為0，則λe1＋μe2≠0__，是__真__命題(填“真”或“假”)．[解析]互為逆否的命題為等價(jià)命題，同真同假．互動(dòng)探究·攻重難互動(dòng)探究解疑命題方向?四種命題間的相互關(guān)系典例1下列四個(gè)命題：①“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的否命題；②“若a>b，則a2>b2”③“若x≤－3，則x2－x－6>0”的否命題；④“對(duì)頂角相等”的逆命題．其中真命題的個(gè)數(shù)是(B)A．0 B．1C．2 D．3[規(guī)范解答]①中命題的否命題為“若x＋y≠0，則x，y不互為相反數(shù)”，易知為真命題．②中，當(dāng)a＝2，b＝－3時(shí)，a2<b2，則原命題為假命題，故它的逆否命題為假命題．③中命題的否命題為“若x>－3，則x2－x－6≤0”．當(dāng)x＝4>－3時(shí)，x2－x－6＝16－4－6＝10>0，故它的否命題為假命題．④中命題的逆命題為“若兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)角為對(duì)頂角”．易知為假命題．『規(guī)律總結(jié)』1.命題的四種形式中，哪個(gè)是原命題是相對(duì)的，不是肯定的．2．探討命題及其關(guān)系時(shí)，首先要將命題寫(xiě)成“若p，則q”形式，再依據(jù)相關(guān)概念作出推斷．┃┃跟蹤練習(xí)1__■設(shè)原命題：若a＋b≥2，則a、b中至少有一個(gè)不小于1，則原命題與其逆命題的真假狀況是(A)A．原命題為真，逆命題為假B．原命題為假，逆命題為真C．原命題與逆命題均為真命題D．原命題與逆命題均為假命題[解析]因?yàn)樵}“若a＋b≥2，則a、b中至少有一個(gè)不小于1”的逆否命題為“若a、b都小于1，則a＋b<2”，明顯為真，所以原命題為真；原命題“若a＋b≥2，則a、b中至少有一個(gè)不小于1”的逆命題為“若a、b中至少有一個(gè)不小于1，則a＋b≥2”，是假命題，反例為a＝1.2，b＝0.3，故選A．命題方向?原命題與逆否命題的等價(jià)應(yīng)用典例2推斷命題“已知a，x為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為空集，則a<2”的逆否命題的真假．[思路分析]推斷這個(gè)命題的逆否命題的真假，可先寫(xiě)出它的逆否命題再推斷，也可以利用互為逆否命題的等價(jià)性來(lái)推斷．[規(guī)范解答]解法一：原命題的逆否命題為：“已知a，x為實(shí)數(shù)，若a≥2，則關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2推斷真假如下：拋物線(xiàn)y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2開(kāi)口向上，判別式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝∵a≥2，∴4a－7>0，即拋物線(xiàn)與x∴關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2解法二：先推斷原命題的真假：∵a，x為實(shí)數(shù)，關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4∴a<eq\f(7,4)<2.∴原命題是真命題．由原命題和它的逆否命題等價(jià)，知它的逆否命題為真命題．┃┃跟蹤練習(xí)2__■求證：若a＋b≥6，則a，b中至少有一個(gè)不小于3.[證明]構(gòu)造命題p：若a＋b≥6，則a，b中至少有一個(gè)不小于3，則其逆否命題為：若a，b都小于3，則a＋b<6.而當(dāng)a<3，且b<3時(shí)，必有a＋b<6，所以逆否命題為真，從而原命題p為真命題．學(xué)科核心素養(yǎng)等價(jià)性命題在證明中的應(yīng)用典例3求證：當(dāng)a2＋b2＝c2時(shí)，a，b，c不行能都是奇數(shù)．[思路分析]可將要證明的問(wèn)題看作一個(gè)命題，只需證明這個(gè)命題是真命題即可，若證明這個(gè)命題本身比較困難，則可以利用命題的等價(jià)性證明其逆否命題為真命題．[規(guī)范解答]證明：構(gòu)造命題p：若a2＋b2＝c2，則a，b，c不行能都是奇數(shù)．該命題的逆否命題是：若a，b，c都是奇數(shù)，則a2＋b2≠c2.下面證明逆否命題是真命題．由于a，b，c都是奇數(shù)，則a2，b2，c2都是奇數(shù)，于是a2＋b2必為偶數(shù)，而c2為奇數(shù)，所以有a2＋b2≠c2，故逆否命題為真命題，從而原命題也是真命題．『規(guī)律總結(jié)』正難則反思想的利用：我們?cè)诟纱嘧C明某一個(gè)命題為真命題有困難時(shí)，可以通過(guò)證明它的逆否命題為真命題，來(lái)間接地證明原命題為真命題．┃┃跟蹤練習(xí)3__■已知a、b、c∈R，證明：若a＋b＋c<1，則a、b、c中至少有一個(gè)小于eq\f(1,3).[證明]原命題的逆否命題為“已知a、b、c∈R，若a、b、c都大于或等于eq\f(1,3)，則a＋b＋c≥1”．由條件a≥eq\f(1,3)，b≥eq\f(1,3)，c≥eq\f(1,3)，三式相加得a＋b＋c≥1，明顯逆否命題為真命題，所以原命題也為真命題，即已知a、b、c∈R，若a＋b＋c<1，則a、b、c中至少有一個(gè)小于eq\f(1,3).易混易錯(cuò)警示典例4命題“若a，b都是奇數(shù)，則a＋b是偶數(shù)”的否命題是(D)A．若a，b都不是奇數(shù)，則a＋b是偶數(shù) B．若a，b都是奇數(shù)，則a＋b不是偶數(shù)C．若a，b都不是奇數(shù)，則a＋b不是偶數(shù) D．若a，b不都是奇數(shù)，則a＋b不是偶數(shù)[錯(cuò)解1]B[辨析]在寫(xiě)一個(gè)命題的否命題時(shí)，只對(duì)結(jié)論否定是不正確的．應(yīng)當(dāng)對(duì)條件和結(jié)論同時(shí)否定，即“若p，則q”的否命題為“若?p，則?q”．[錯(cuò)解2