2024秋高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.1.1合情推理學(xué)案含解析新人教A版選修2-2

PAGE1-其次章推理與證明同學(xué)們，你知道人造地球衛(wèi)星在太空中是怎樣運(yùn)行與工作的嗎？你知道人們?cè)鯓酉嘧R(shí)浩瀚無(wú)際的宇宙的嗎？你看過(guò)《福爾摩斯探案集》嗎？你了解哥德巴赫猜想嗎？你知道考古學(xué)家怎樣推斷遺址的年頭，醫(yī)生怎樣診斷病人的疾病，警察怎樣破案，氣象專家怎樣預(yù)料天氣，數(shù)學(xué)家怎樣論證命題的真?zhèn)螁幔窟@一切都離不開(kāi)推理．而證明的過(guò)程更離不開(kāi)推理．本章我們將學(xué)習(xí)兩種基本推理——合情推理與演繹推理．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)證明的基本方法——分析法、綜合法、反證法等．要通過(guò)本章的學(xué)習(xí)養(yǎng)成言之有據(jù)，證明過(guò)程語(yǔ)言條理、邏輯規(guī)范的好習(xí)慣．2.1合情推理與演繹推理2.1.1合情推理自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入《內(nèi)經(jīng)·針刺篇》記載了這樣一個(gè)故事：有一個(gè)患頭痛的樵夫上山砍柴，一次不慎碰破腳趾，出了一點(diǎn)血，但頭不疼了．當(dāng)時(shí)他沒(méi)有留意．后來(lái)頭疼復(fù)發(fā)，又偶然碰破同一腳趾，頭疼又好了．這次引起了他的留意，以后每次頭疼時(shí)，他就有意刺破該處，都有效應(yīng)(這個(gè)樵夫碰的地方，即現(xiàn)在所稱的“大敦穴”)．現(xiàn)在我們要問(wèn)，為什么這個(gè)樵夫以后頭疼時(shí)就想到要刺破原腳趾處呢？這里面有怎樣的數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)呢？新知導(dǎo)學(xué)1．歸納推理和類比推理歸納推理類比推理定義由某類事物的__部分對(duì)象__具有某些特征，推出該類事物的__全部對(duì)象__都具有這些特征的推理，或者由__個(gè)別事實(shí)__概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱__歸納__)由兩類對(duì)象具有__某些類似特征__和其中一類對(duì)象的__某些已知特征__，推出另一類對(duì)象也具有__這些特征__的推理稱為類比推理(簡(jiǎn)稱__類比__)特征歸納推理是由__部分__到__整體__、由__個(gè)別__到__一般__的推理類比推理是由__特別__到__特別__的推理2．合情推理含義歸納推理和類比推理都是依據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)__視察__、__分析__、比較、__聯(lián)想__，再進(jìn)行__歸納__、__類比__，然后提出__猜想__的推理．我們把它們統(tǒng)稱為合情推理．通俗地說(shuō)，合情推理是指“合乎情理”的推理過(guò)程eq\x(從詳細(xì)問(wèn)題動(dòng)身)→eq\x(視察、分析、比較、聯(lián)想)→eq\x(歸納、類比)→eq\x(提出__猜想__)預(yù)習(xí)自測(cè)1．(2024·周口期末)下列表述正確的是(A)①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③類比推理是由特別到一般的推理；④演繹推理是由一般到特別的推理；⑤類比推理是由特別到特別的推理．A．①④⑤ B．②③④C．②③⑤ D．①⑤[解析]依據(jù)題意，歸納推理，就是由部分到整體的推理．故①對(duì)②錯(cuò)；由所謂演繹推理是由一般到特別的推理．故④對(duì)；類比推理是由特別到特別的推理．故⑤對(duì)③錯(cuò)，則正確的是①④⑤，故選A．2．魯班獨(dú)創(chuàng)鋸子的思維過(guò)程為：帶齒的草葉能割破行人的腿，“鋸子”能“鋸”開(kāi)木材，它們?cè)诠δ苌鲜穷愃频模虼?，它們?cè)谛螒B(tài)上也應(yīng)當(dāng)類似，“鋸子”應(yīng)當(dāng)是齒形的．該過(guò)程體現(xiàn)了(B)A．歸納推理 B．類比推理C．沒(méi)有推理 D．以上說(shuō)法都不對(duì)[解析]推理是依據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的推斷來(lái)確定一個(gè)新的推斷的思維過(guò)程，上述過(guò)程是推理，由性質(zhì)類比可知是類比推理．3．等差數(shù)列{an}中，an>0，公差d>0，則有a4·a6>a3·a7，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若bn>0，q>1，寫(xiě)出b5，b7，b4，b8的一個(gè)不等關(guān)系__b4＋b8>b5＋b7__.[解析]將乘積與和對(duì)應(yīng)，再留意下標(biāo)的對(duì)應(yīng)，有b4＋b8>b5＋b7.4．視察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，依據(jù)上述規(guī)律，第四個(gè)等式為_(kāi)_13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2__.[解析]由前三個(gè)式子可得出如下規(guī)律：每個(gè)式子等號(hào)的左邊是從1起先的連續(xù)正整數(shù)的立方和，且個(gè)數(shù)依次加1，等號(hào)的右邊是從1起先的連續(xù)正整數(shù)和的完全平方，個(gè)數(shù)也依次加1，因此，第四個(gè)等式為13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.互動(dòng)探究·攻重難互動(dòng)探究解疑命題方向?歸納推理典例1已知下列等式成立：eq\f(1,22－1)＝eq\f(1,3)，eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,42－1)＝eq\f(2,5)，eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,42－1)＋eq\f(1,62－1)＝eq\f(3,7)，eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,42－1)＋eq\f(1,62－1)＋eq\f(1,82－1)＝eq\f(4,9)，……，試依據(jù)以上幾個(gè)等式，歸納出一個(gè)一般性結(jié)論，用等式表示，并用數(shù)列中的方法加以證明．[思路分析]分析給出的各個(gè)等式左邊的項(xiàng)數(shù)，各項(xiàng)的分母的取值特點(diǎn)，分析等號(hào)右邊的結(jié)果與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，從而寫(xiě)出一般性的結(jié)果．[解析]從給出的各個(gè)等式可以看出：第1個(gè)等式左邊有1項(xiàng)，右邊為eq\f(1,2×1＋1)，第2個(gè)等式左邊有2項(xiàng)，右邊為eq\f(2,2×2＋1)，第3個(gè)等式左邊有3項(xiàng)，右邊為eq\f(3,2×3＋1)，第4個(gè)等式左邊有4項(xiàng)，右邊為eq\f(4,2×4＋1)，由此可以歸納出的一般性的結(jié)論為eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,42－1)＋eq\f(1,62－1)＋…＋eq\f(1,2n2－1)＝eq\f(n,2n＋1)(n∈N*)．以下用數(shù)列的方法證明該等式成立．eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,42－1)＋eq\f(1,62－1)＋…＋eq\f(1,2n2－1)＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋eq\f(1,5×7)＋…＋eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,1)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,7)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))＝eq\f(1,2)(eq\f(1,1)－eq\f(1,2n＋1))＝eq\f(n,2n＋1).『規(guī)律總結(jié)』由已知數(shù)式進(jìn)行歸納推理的步驟①分析所給幾個(gè)等式(或不等式)中項(xiàng)數(shù)和次數(shù)等方面的改變規(guī)律或結(jié)構(gòu)形式的特征．②提煉出等式(或不等式)的綜合特點(diǎn)．③運(yùn)用歸納推理得出一般結(jié)論．┃┃跟蹤練習(xí)1__■視察下列不等式：eq\f(1,2)×1≥1×eq\f(1,2)，eq\f(1,3)×(1＋eq\f(1,3))≥eq\f(1,2)(eq\f(1,2)＋eq\f(1,4))，eq\f(1,4)×(1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,5))≥eq\f(1,3)(eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6))，eq\f(1,5)×(1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,7))≥eq\f(1,4)(eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,8))，試寫(xiě)出第n個(gè)不等式．[解析]第1個(gè)不等式為eq\f(1,2)×1≥1×eq\f(1,2)，即eq\f(1,1＋1)×1≥1×eq\f(1,2×1)，第2個(gè)不等式為eq\f(1,3)×(1＋eq\f(1,3))≥eq\f(1,2)(eq\f(1,2)＋eq\f(1,4))，即eq\f(1,2＋1)×(1＋eq\f(1,2×2－1))≥eq\f(1,2)(eq\f(1,2×1)＋eq\f(1,2×2))，第3個(gè)不等式為eq\f(1,4)×(1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,5))≥eq\f(1,3)(eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6))，即eq\f(1,3＋1)×(1＋eq\f(1,2×2－1)＋eq\f(1,2×3－1))≥eq\f(1,3)(eq\f(1,2×1)＋eq\f(1,2×2)＋eq\f(1,2×3))，第4個(gè)不等式為eq\f(1,5)×(1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,7))≥eq\f(1,4)(eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,8))，即eq\f(1,4＋1)×(1＋eq\f(1,2×2－1)＋eq\f(1,2×3－1)＋eq\f(1,2×4－1))≥eq\f(1,4)(eq\f(1,2×1)＋eq\f(1,2×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,2×4))，歸納可得第n個(gè)不等式為eq\f(1,n＋1)×(1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋…＋eq\f(1,2n－1))≥eq\f(1,n)(eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋…＋eq\f(1,2n))(n∈N*)．命題方向?圖形中的歸納推理典例2下圖是用同樣規(guī)格的灰、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)的若干圖案，則按此規(guī)律，第n個(gè)圖案中需用灰色瓷磚__4n＋8__塊(用含n的代數(shù)式表示)．[思路分析]分析給出的3個(gè)圖形中灰色瓷磚數(shù)目、白色瓷磚數(shù)目以及它們的和之間的關(guān)系，揣測(cè)一般結(jié)論．[解析]第(1)，(2)，(3)，…個(gè)圖案灰色瓷磚數(shù)依次為15－3＝12,24－8＝16,35－15＝20，……由此可揣測(cè)第n個(gè)圖案灰色瓷磚數(shù)為(n＋2)(n＋4)－n(n＋2)＝4(n＋2)＝4n＋8.『規(guī)律總結(jié)』通過(guò)一組平面或空間圖形的改變規(guī)律，探討其一般性結(jié)論，通常需形態(tài)問(wèn)題數(shù)字化，呈現(xiàn)數(shù)字之間的規(guī)律、特征，然后進(jìn)行歸納推理．解答該類問(wèn)題的一般策略是：┃┃跟蹤練習(xí)2__■有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是(B)A．26 B．31C．32 D．36[解析]有菱形紋的正六邊形個(gè)數(shù)如下表：圖案第一個(gè)其次個(gè)第三個(gè)…個(gè)數(shù)61116…由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是6＋5×(6－1)＝31.故選B．命題方向?事物的相像性與類比典例3圓是平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；球是空間中到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合．這兩個(gè)定義很相像．于是我們猜想圓與球會(huì)有某些相像的性質(zhì)．試將平面上的圓與空間中的球進(jìn)行類比．[解析]圓與球在它們的生成、形態(tài)、定義等方面都具有相像的屬性．據(jù)此，在圓與球的相關(guān)元素之間可以建立如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：弦?截面圓，直徑?大圓，周長(zhǎng)?表面積，圓面積?球體積，等等．于是，依據(jù)圓的性質(zhì)，可以揣測(cè)球的性質(zhì)如下表所示：圓的性質(zhì)球的性質(zhì)圓心與弦(不是直徑)的中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與截面圓(不是大圓)的圓心的連線垂直于截面與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長(zhǎng)與球心距離相等的兩截面圓是等圓；與球心距離不等的兩截面圓不等，距球心較近的截面圓較大圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)球的切面垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)球心且垂直于切面的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切面的直線必經(jīng)過(guò)球心圓的周長(zhǎng)C＝πd球的表面積S＝πd2圓的面積S＝πr2球的體積V＝eq\f(4,3)πr3『規(guī)律總結(jié)』運(yùn)用類比推理要在合適的類比對(duì)象之間進(jìn)行，可以從其形式、結(jié)構(gòu)、維數(shù)等不同方向進(jìn)行．例如相等與不等的類比(解一元二次方程與解一元二次不等式的類比)，升維類比(圓與球、三角形與四面體)，概念與性質(zhì)(分解因式與分解因數(shù)、等差數(shù)列與等比數(shù)列)等等．┃┃跟蹤練習(xí)3__■將平面圖形與空間圖形作類比，按可作類比的屬性填空.平面圖形空間圖形點(diǎn)線線面圓球三角形__四面體__線線角__二面角__邊長(zhǎng)__面積__周長(zhǎng)__表面積__面積__體積__……命題方向?類比推理典例4如圖，已知O是△ABC內(nèi)隨意一點(diǎn)，連接AO、BO、CO并延長(zhǎng)交對(duì)邊分別于A′、B′、C′，則eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＝1.這是平面幾何中的一道題，其證明常采納“面積法”；eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＝eq\f(S△OBC,S△ABC)＋eq\f(S△OCA,S△ABC)＋eq\f(S△OAB,S△ABC)＝eq\f(S△ABC,S△ABC)＝1.請(qǐng)運(yùn)用類比思想，對(duì)于空間中的四面體V－BCD，存在什么類似的結(jié)論？并用“體積法”證明．[思路分析]考慮到用“面積法”證明結(jié)論時(shí)把O點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)連接，把三角形分成三個(gè)三角形，利用面積相等來(lái)證明相應(yīng)的結(jié)論．在證明四面體中類似結(jié)論時(shí)，可考慮利用體積相等的方法證明相應(yīng)的結(jié)論．[解析]在四面體V－BCD中，任取一點(diǎn)O，連接VO、DO、BO、CO并延長(zhǎng)分別交四個(gè)面于E、F、G、H點(diǎn)，則eq\f(OE,VE)＋eq\f(OF,DF)＋eq\f(OG,BG)＋eq\f(OH,CH)＝1.證明：在四面體O－BCD與V－BCD中，設(shè)底面BCD上的高分別為h′，h，則eq\f(OE,VE)＝eq\f(h′,h)＝＝eq\f(\f(1,3)S△BCD·h′,\f(1,3)S△BCD·h)＝eq\f(VO－BCD,VV－BCD).同理有：eq\f(OF,DF)＝eq\f(VO－VBC,VD－VBC)；eq\f(OG,BG)＝eq\f(VO－VCD,VB－VCD)；eq\f(OH,CH)＝eq\f(VO－VBD,VC－VBD)，∴eq\f(OE,VE)＋eq\f(OF,DF)＋eq\f(OG,BG)＋eq\f(OH,CH)＝eq\f(VO－BCD＋VO－VBC＋VO－VCD＋VO－VBD,VV－BCD)＝eq\f(VV－BCD,VV－BCD)＝1.『規(guī)律總結(jié)』1.類比推理的思維過(guò)程大致為：eq\x(視察、比較)eq\o(→,\s\up15(相像性,一樣性))eq\x(聯(lián)想、類推)→eq\x(\a\al(揣測(cè)新,的結(jié)論))2．類比推理的一般步驟：(1)通過(guò)視察、分析，找出兩類事物之間的相像性或一樣性．(2)通過(guò)類比、聯(lián)想，用一類事物的性質(zhì)去推想另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想)．(3)通過(guò)推理論證，證明結(jié)論或推翻結(jié)論．一般狀況下，假如類比的兩類事物的相像性越多，相像的性質(zhì)與推想的性質(zhì)之間越相關(guān)，那么類比得出的結(jié)論就越牢靠．類比推理的結(jié)論既可能真，也可能假，它是一種由特別到特別的相識(shí)過(guò)程，具有非常重要的好用價(jià)值．┃┃跟蹤練習(xí)4__■平面幾何里有“設(shè)直角三角形ABC的兩直角邊分別為a，b，斜邊上的高為h，則eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝eq\f(1,h2)”，拓展到空間，探討三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面上的高間的關(guān)系可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A－BCD的三條側(cè)棱兩兩垂直，其長(zhǎng)分別為a，b，c，平面BCD上的高為h，則__eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2)＝eq\f(1,h2)__”．[解析]如圖所示，設(shè)A在底面的射影為O，連接BO并延長(zhǎng)交CD于E.連接AE，由AB⊥AC，AB⊥AD得AB⊥平面ACD.∴AB⊥AE.設(shè)AE＝h1，在△ABE中，由已知可得eq\f(1,a2)＋eq\f(1,h\o\al(2,1))＝eq\f(1,h2).又易證CD⊥平面ABE，∴CD⊥AE.在△ACD中有eq\f(1,h\o\al(2,1))＝eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2)，∴eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2)＝eq\f(1,h2).學(xué)科核心素養(yǎng)歸納推理在數(shù)列中的應(yīng)用歸納推理具有從特別到一般，從詳細(xì)到抽象的認(rèn)知功能，在求數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和的問(wèn)題中，常常用歸納推理得出關(guān)于前有限項(xiàng)的結(jié)論，此時(shí)要留意把它們的表達(dá)式的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行統(tǒng)一，以便于找尋規(guī)律，歸納猜想得出結(jié)論．其詳細(xì)步驟是：(1)通過(guò)條件求得數(shù)列中的前幾項(xiàng)；(2)視察數(shù)列的前幾項(xiàng)尋求項(xiàng)的規(guī)律，揣測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．典例5已知數(shù)列{an}滿意a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)歸納猜想通項(xiàng)an的表達(dá)式．[思路分析]eq\x(由a1求a2)→eq\x(由a2求a3)→eq\x(由a3求a4)→eq\x(由a4求a5)→eq\x(\a\al(分析a1，a2，a3，a4，a5,的結(jié)構(gòu)特征))→eq\x(猜想通項(xiàng)公式an)[解析](1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，則a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.(2)由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，可歸納猜想出an＝2n－1(n∈N*)．『規(guī)律總結(jié)』(1)依據(jù)給出的幾個(gè)詳細(xì)等式歸納其一般結(jié)論時(shí)，要留意從等式的項(xiàng)數(shù)、次數(shù)、分式的分子與分母各自的特點(diǎn)及改變規(guī)律入手進(jìn)行歸納，要留意等式中項(xiàng)數(shù)、次數(shù)等與等式序號(hào)n的關(guān)系，發(fā)覺(jué)其規(guī)律，然后用含有字母的等式表示一般性結(jié)論．(2)解決數(shù)列中的歸納推理問(wèn)題時(shí)，通常是將所給等式中的n取詳細(xì)值1,2,3,4，…，然后求得a1，a2，a3，a4，…的值或S1，S2，S3，S4，…的值，依據(jù)這些結(jié)果進(jìn)行歸納得到結(jié)果．┃┃跟蹤練習(xí)5__■已知a1＝3，an＋1＝aeq\o\al(2,n)(n＝1,2，…)，試通過(guò)歸納推理得出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并給出證明．[解析]由a1＝3，an＋1＝aeq\o\al(2,n)，得