2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)第九章平面解析幾何拋物線理

拋物線1．拋物線的概念平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)對稱軸x軸y軸焦點(diǎn)坐標(biāo)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下焦半徑x0＋eq\f(p,2)－x0＋eq\f(p,2)y0＋eq\f(p,2)－y0＋eq\f(p,2)通徑長2p概念方法微思索1．若拋物線定義中定點(diǎn)F在定直線l上時，動點(diǎn)的軌跡是什么圖形？提示過點(diǎn)F且與l垂直的直線．2．直線與拋物線只有一個交點(diǎn)是直線與拋物線相切的什么條件？提示直線與拋物線的對稱軸平行時，只有一個交點(diǎn)，但不是相切，所以直線與拋物線只有一個交點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件．1．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為12，到軸的距離為9，則A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【解析】為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為12，到軸的距離為9，因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相等，故有：；故選．2．（2024?北京）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．是拋物線上異于的一點(diǎn)，過作于，則線段的垂直平分線A．經(jīng)過點(diǎn) B．經(jīng)過點(diǎn) C．平行于直線 D．垂直于直線【答案】B【解析】不妨設(shè)拋物線的方程為，則，準(zhǔn)線為為，不妨設(shè)，，設(shè)準(zhǔn)線為與軸交點(diǎn)為，則，可得四邊形為正方形，依據(jù)正方形的對角線相互垂直，故可得線段的垂直平分線，經(jīng)過點(diǎn)，故選．3．（2024?浙江）已知點(diǎn)，，．設(shè)點(diǎn)滿意，且為函數(shù)圖象上的點(diǎn)，則A． B． C． D．【答案】D【解析】點(diǎn)，，．設(shè)點(diǎn)滿意，可知的軌跡是雙曲線的右支上的點(diǎn)，為函數(shù)圖象上的點(diǎn)，即在第一象限的點(diǎn)，聯(lián)立兩個方程，解得，，所以．故選．4．（2024?天津）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，且為原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為A． B． C．2 D．【答案】D【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．，準(zhǔn)線的方程為，與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，且為原點(diǎn)），，，，，，雙曲線的離心率為．故選．5．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）若拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個焦點(diǎn)，則A．2 B．3 C．4 D．8【答案】D【解析】由題意可得：，解得．故選．6．（2024?全國）過拋物線的焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則A． B． C． D．【答案】D【解析】的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，，則過焦點(diǎn)且垂直軸的直線是，代入得，故，．故選．7．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，則A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線為：，聯(lián)立直線與拋物線，消去可得：，解得，，不妨，，，．則，，．故選．8．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過作兩條相互垂直的直線，，直線與交于、兩點(diǎn)，直線與交于、兩點(diǎn)，則的最小值為A．16 B．14 C．12 D．10【答案】A【解析】方法一：如圖，，直線與交于、兩點(diǎn)，直線與交于、兩點(diǎn)，由圖象知要使最小，則與，與關(guān)于軸對稱，即直線的斜率為1，又直線過點(diǎn)，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，則，，，，的最小值為，方法二：設(shè)直線的傾斜角為，則的傾斜角為，依據(jù)焦點(diǎn)弦長公式可得，，當(dāng)時，的最小，最小為16，故選．9．（2024?海南）斜率為的直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，則__________．【答案】【解析】由題意可得拋物線焦點(diǎn)，直線的方程為，代入并化簡得，設(shè)，，，，則；，由拋物線的定義可得．故答案為：．10．（2024?上海）過曲線的焦點(diǎn)并垂直于軸的直線分別與曲線交于，，在上方，為拋物線上一點(diǎn)，，則__________．【答案】3【解析】過的焦點(diǎn)并垂直于軸的直線分別與交于，，在上方，依題意：得到：，，，設(shè)點(diǎn)，所以：為拋物線上一點(diǎn)，，則：，，，，，代入，得到：．故答案為：311．（2024?北京）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則以為圓心，且與相切的圓的方程為__________．【答案】【解析】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，所求圓的圓心，且與準(zhǔn)線相切，圓的半徑為2．則所求圓的方程為．故答案為：．12．（2024?北京）已知直線過點(diǎn)且垂直于軸．若被拋物線截得的線段長為4，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為__________．【答案】【解析】直線過點(diǎn)且垂直于軸，，代入到，可得，明顯，，被拋物線截得的線段長為4，，解得，，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：．13．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長線交軸于點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，則__________．【答案】6【解析】拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長線交軸于點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，可知的橫坐標(biāo)為：1，則的縱坐標(biāo)為：，．故答案為：6．14．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）已知曲線，為直線上的動點(diǎn)，過作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，．（1）證明：直線過定點(diǎn)．（2）若以為圓心的圓與直線相切，且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求該圓的方程．【解析】（1）設(shè)，，，則，由于，切線的斜率為，故，整理得：．設(shè)，，同理可得．故直線的方程為．直線過定點(diǎn)；（2）解：由（1）得直線的方程．由，可得．于是．設(shè)為線段的中點(diǎn)，則，由于，而，與向量平行，，解得或．當(dāng)時，，所求圓的方程為；當(dāng)時，，所求圓的方程為．15．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）已知曲線，為直線上的動點(diǎn)，過作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，．（1）證明：直線過定點(diǎn)；（2）若以為圓心的圓與直線相切，且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求四邊形的面積．【答案】【解析】（1）證明：的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)切點(diǎn)，，，，即有，，切線的方程為，即為，切線的方程為，聯(lián)立兩切線方程可得，可得，即，直線的方程為，即為，可化為，可得恒過定點(diǎn)；（2）法一：設(shè)直線的方程為，由（1）可得，，中點(diǎn)，由為切點(diǎn)可得到直線的距離即為，可得，解得或，即有直線的方程為或，由可得，四邊形的面積為；由，可得，此時到直線的距離為；到直線的距離為，則四邊形的面積為；法二：（2）由（1）得直線的方程為．由，可得．于是，，，．設(shè)，分別為點(diǎn)，到直線的距離，則，．因此，四邊形的面積．設(shè)為線段的中點(diǎn)，則．由于，而，與向量平行，所以．解得或．當(dāng)時，；當(dāng)時，．綜上，四邊形的面積為3或．16．（2024?北京）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為原點(diǎn)，直線與橢圓交于兩個不同點(diǎn)、，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．若，求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)．【答案】【解析】（Ⅰ）橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)．可得，，則橢圓方程為；（Ⅱ）證明：與橢圓方程聯(lián)立，可得，設(shè)，，，，△，，，的方程為，令，可得，即，；的方程為，令，可得．即，．，，即為，即有，由，解得，滿意△，即有直線方程為，恒過原點(diǎn)．17．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為的直線與的交點(diǎn)為，，與軸的交點(diǎn)為．（1）若，求的方程；（2）若，求．【答案】【解析】（1）設(shè)直線的方程為，將其代入拋物線得：，設(shè)，，，，則，①，②，由拋物線的定義可得：，解得，直線的方程為．（2）若，則，，化簡得，③由①②③解得，，，．18．（2024?上海）已知拋物線方程，為焦點(diǎn)，為拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)，為線段與拋物線的交點(diǎn)，定義：．（1）當(dāng)時，求；（2）證明：存在常數(shù)，使得；（3），，為拋物線準(zhǔn)線上三點(diǎn)，且，推斷與的關(guān)系．【答案】【解析】（1）拋物線方程的焦點(diǎn)，，，的方程為，代入拋物線的方程，解得，拋物線的準(zhǔn)線方程為，可得，，；（2）證明：當(dāng)時，，設(shè)，，，則，聯(lián)立和，可得，，，則存在常數(shù)，使得；另解：，可得．（3）設(shè)，，，則，由，，則．19．（2024?天津）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，且與直線交于點(diǎn)．若為原點(diǎn)），求的值．【答案】【解析】（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為，由橢圓的離心率為，；又，，由，，且；可得，從而解得，，橢圓的方程為；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，由已知；；又，且，，由，可得；由方程組，消去，可得，由（Ⅰ）知直線的方程為；由方程組，消去，可得；由，可得，兩邊平方，整理得，解得或；的值為或．20．（2024?北京）已知拋物線過點(diǎn)．過點(diǎn)作直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，過點(diǎn)作軸的垂線分別與直線、交于點(diǎn)，，其中為原點(diǎn)．（1）求拋物線的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）求證：為線段的中點(diǎn)．【答案】【解析】（1）過點(diǎn)，，解得，，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，準(zhǔn)線為，（2）證明：設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，，，，，直線為，直線為：，由題意知，，，，由，可得，，，為線段的中點(diǎn)．21．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）在直角坐標(biāo)系中，曲線與軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)改變時，解答下列問題：（1）能否出現(xiàn)的狀況？說明理由；（2）證明過、、三點(diǎn)的圓在軸上截得的弦長為定值．【答案】【解析】（1）曲線與軸交于、兩點(diǎn)，可設(shè)，，，，由韋達(dá)定理可得，若，則，即有，即為這與沖突，故不出現(xiàn)的狀況；（2）證明：設(shè)過、、三點(diǎn)的圓的方程為，由題意可得時，與等價，可得，，圓的方程即為，由圓過，可得，可得，則圓的方程即為，另解：設(shè)過、、三點(diǎn)的圓在軸上的交點(diǎn)為，則由相交弦定理可得，即有，再令，可得，解得或．即有圓與軸的交點(diǎn)為，，則過、、三點(diǎn)的圓在軸上截得的弦長為定值3．22．（2024?浙江）如圖，已知拋物線，點(diǎn)，，，，拋物線上的點(diǎn)，，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．（Ⅰ）求直線斜率的取值范圍；（Ⅱ）求的最大值．【答案】【解析】（Ⅰ）由題可知，，所以，故直線斜率的取值范圍是：；（Ⅱ）由知，，所以，，設(shè)直線的斜率為，則，即，則，，聯(lián)立直線、方程可知，，故，，又因?yàn)椋?，所以，令，，則，由于當(dāng)時，當(dāng)時，故，即的最大值為．強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2024?漢陽區(qū)校級模擬）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)為拋物線上第一象限上的點(diǎn)，為上一點(diǎn)，滿意，則直線的斜率為A． B． C．3 D．【答案】D【解析】作出圖形，過點(diǎn)作直線，垂足為，由拋物線的定義可知，，設(shè)，，，，設(shè)直線的傾斜角為，則，直線的斜率為．故選．2．（2024?濱州三模）已知拋物線與圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為劣弧上不同，的一個動點(diǎn)，平行于軸的直線交拋物線于點(diǎn)，則的周長的取值范圍為A． B． C． D．，【答案】C【解析】如圖，可得圓心也是拋物線的焦點(diǎn)，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，依據(jù)拋物線的定義，可得故的周長，由可得，，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，的取值范圍為的周長的取值范圍為故選．3．（2024?沙坪壩區(qū)校級模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與拋物線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，若，則拋物線的方程為A． B． C． D．【答案】A【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與拋物線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，解得．拋物線的方程為．故選．4．（2024?楊浦區(qū)校級模擬）已知為拋物線的焦點(diǎn)，，、，是拋物線上的不同兩點(diǎn)，則下列條件中與“、、三點(diǎn)共線”等價的是A． B． C． D．【答案】B【解析】，，若，，三點(diǎn)共線，設(shè)直線的方程為：，代入可得：，，．，又，，，設(shè)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，，明顯，，滿意條件，且，但此時，，三點(diǎn)不共線，故，錯誤；若，則，解得或，故錯誤，故選．5．（2024?廬陽區(qū)校級模擬）已知為拋物線上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，圓的圓心坐標(biāo)，，，是圓上隨意一點(diǎn)，的最小值為，故選．6．（2024?寶雞三模）已知拋物線，是直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)向曲線引切線，切點(diǎn)分別為，，則的重心A．恒在軸上方 B．恒在軸上 C．恒在軸下方 D．位置不確定【答案】A【解析】在直線上，設(shè)，，，在上，設(shè)，，，點(diǎn)的切線方程為，點(diǎn)在上，，即，同理，點(diǎn)的切線方程有，，是方程的兩根，，的重心恒在軸上方．故選．7．（2024?寶雞三模）已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上隨意一點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則以為直徑的圓與圓的位置關(guān)系是A．相離 B．相切 C．相交 D．以上都有可能【答案】B【解析】在雙曲線右支上，，是線段的中點(diǎn)，，是線段的中點(diǎn)，，，即圓心距等于兩圓的半徑之差，以線段為直徑的圓與圓的位置關(guān)系是相內(nèi)切．故選．8．（2024?瀘州四模）焦點(diǎn)為的拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，在中，，則的值是A． B．4 C．2 D．1【答案】A【解析】過軸上方）作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則由拋物線的定義可得，由，則中由正弦定理可知：則，，設(shè)的傾斜角為，則，，四邊形是正方形，所以：．故選．9．（2024?和平區(qū)校級一模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)到其中一條新近線的距離等于，拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則拋物線上的動點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】雙曲線的漸近線方程為，右焦點(diǎn)，到其一條漸近線的距離等于，可得，解得，即有，由題意可得，解得，即有拋物線的方程為，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作準(zhǔn)線于點(diǎn)，連接，依據(jù)拋物線的定義得，設(shè)到的距離為，到直線的距離為，，依據(jù)平面幾何學(xué)問，可得當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，有最小值．到直線的距離為．的最小值是2，由此可得所求距離和的最小值為2．故選．10．（2024?梅河口市校級模擬）已知第四象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)到軸的距離是該點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離的，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．【答案】B【解析】由拋物線的方程可得準(zhǔn)線方程為，設(shè)的橫坐標(biāo)為，第四象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)到軸的距離是該點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離的，則，所以，所以，所以．故選．11．（2024?雨花區(qū)校級模擬）拋物線的焦點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最大值為A．6 B．2 C． D．【答案】A【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，圓的圓心為，半徑，到圓上點(diǎn)的距離的最大值為．故選．12．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，直線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，于，若△的面積等于，則A． B．2 C． D．4【答案】B【解析】拋物線的焦點(diǎn)，，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，由，可得，，過作于，可得，又，在△中，，即為，可得，在中，，即為，解得，又△的面積等于，可得，解得，則．故選．13．（2024?眉山模擬）點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過的直線交拋物線于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），過、分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線段，垂足分別為、，若，，則直線的斜率為A．1 B． C．2 D．【答案】D【解析】由拋物線方程，可得直線方程為，，，設(shè)，，，，則，，，，得，①，得，②又直線過焦點(diǎn)，，③聯(lián)立①②③得，，解得．設(shè)拋物線準(zhǔn)線交軸于，則．在中，可得，由拋物線的性質(zhì)，可得，則，，則，，則．直線的斜率為．故選．14．（2024?碑林區(qū)校級模擬）已知拋物線，為拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，為拋物線上的兩點(diǎn)，的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為5，的重心為，則A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】拋物線的焦點(diǎn)，，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為5，所以，①又因?yàn)榈闹匦臑?，所以，②?lián)立①②可得，解得，故選．15．（2024?運(yùn)城模擬）圓與拋物線交于，三點(diǎn)，若的面積為，則拋物線的方程為A． B． C． D．【答案】C【解析】將代入，得，則或，將代入，得，所以，，，，由的面積為，得，所以，所以拋物線的方程為．故選．16．（2024?靖遠(yuǎn)縣四模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，且，則拋物線的方程是A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，解得，則拋物線的方程是．故選．17．（2024?新鄉(xiāng)三模）若拋物線的準(zhǔn)線與拋物線相切，則A．8 B． C． D．4【答案】B【解析】拋物線的準(zhǔn)線為，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，拋物線的準(zhǔn)線與拋物線相切，可得：，解得．故選．18．（2024?河南模擬）頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線為的拋物線的方程為A． B． C． D．【答案】A【解析】頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線為的拋物線的方程為．故選．19．（2024?黃州區(qū)校級二模）若點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，，點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，則的最小值為A．8 B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，，，由拋物線的定義可知，，，代入拋物線方程，得，不妨取點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則，，故選．20．（2024?金安區(qū)校級模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為，是第一象限上一點(diǎn)，以為圓心的圓過點(diǎn)且與直線相切，若圓的面積為，則圓的方程為A． B． C． D．【答案】C【解析】由圓的面積為，得，可得圓的半徑，以為圓心的圓過點(diǎn)且與直線相切，可得，，即，由拋物線的定義可得，解得，則拋物線的方程為，，可得的坐標(biāo)為，則圓的方程為，故選．21．（2024?吉林模擬）已知拋物線恰好經(jīng)過等腰梯形的四個頂點(diǎn)，，的延長線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)．（1）求拋物線的方程；（2）證明：經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)．【解析】（1）依據(jù)題意，為拋物線的準(zhǔn)線與對稱軸的交點(diǎn)，，則，拋物線的方程為；（2）證明：設(shè)，，，，，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，得，且，．設(shè)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，直線的方程為，與方程聯(lián)立，得．解得，，即．故經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)．22．（2024?道里區(qū)校級模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個焦點(diǎn)．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)，，為拋物線上的不同三點(diǎn)，點(diǎn)，且．求證：直線過定點(diǎn)．【解析】（1）依題意橢圓的一個焦點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個焦點(diǎn)．可得，所以，所以，（2）設(shè)，，，，設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得，，，，，由得，，．化簡得，解得或（舍，所以直線過定點(diǎn)．23．（2024?讓胡路區(qū)校級三模）已知拋物線，過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作的切線，兩切線相交于點(diǎn)．（1）記直線，的斜率分別為，，