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專題06五大?？枷嗨颇Ｐ鸵弧ⅰ局R回顧】模型一：A字模型模型二：8字模型模型三：子母模型（射影定理）模型四：一線三等角模型模型五：手拉手模型（旋轉(zhuǎn)模型）二、【考點類型】考點1：A字模型典例1：（2021秋·安徽安慶·九年級安慶市石化第一中學(xué)校考期中）圖，，點H在BC上，AC與BD交于點G，AB＝2，CD＝3，求GH的長．【變式1】（2022·廣東深圳·深圳市華勝實驗學(xué)校校考一模）如圖，在⊙O中，，CD⊥AB于點F，交⊙O于點D，AO的延長線交CD于點E．(1)求證：AE⊥BC；(2)求證：DF＝EF；(3)若，求的值．【變式2】（2023春·安徽六安·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，平分交于點，的垂直平分線交于點，以點為圓心，以長為半徑作⊙，交于點．(1)求證：是⊙的切線；(2)已知，，求⊙的半徑．【變式3】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，D是上一點，點E在上，連接交于點F，若，則＝__________．考點2：8字模型典例2：（2021秋·重慶·九年級校聯(lián)考期末）如圖與交于，且．（1）求證：∽．（2）若，，，求的長．【變式1】39．（2021春·全國·九年級專題練習(xí)）已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，點F在邊AB上，BC2=BF?BA，CF與DE相交于點G．（1）求證：DF?AB=BC?DG；（2）當(dāng)點E為AC中點時，求證：2DF?EG=AF?DG．【變式2】（2023·山西太原·山西實驗中學(xué)?？家荒＃┤鐖D所示，在中，兩條弦相交于點E，連接，則下列說法中錯誤的是（

）A． B． C． D．考點3：子母模型（射影定理）典例3：（2022·遼寧營口·一模）如圖，，是的直徑，為的切線，為切點，連接，過點作于點，延長交于點，交于點，交于點，連接．(1)求證：；(2)若半徑為，，求的長．【變式1】（2022·陜西西安·西北大學(xué)附中?？寄M預(yù)測）如圖，是的內(nèi)接三角形，過點作的切線交的延長線于點，于點，交于點．(1)求證：；(2)若，，求線段的長．【變式2】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．考點4：一線三等角模型（重點）典例4：（2020秋·寧夏銀川·九年級校考階段練習(xí)）將一副三角尺如圖①擺放，在中，；在中，，點為的中點，交于點，經(jīng)過點．（1）求的度數(shù)；（2）如圖②，將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)角（），此時的等腰直角三角尺記為，交于點，交于點，試判斷的值是否隨著的變化而變化？如果不變，請求出的值；反之，請說明理由．【變式1】（2023春·廣東佛山·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求證△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的邊長．【變式2】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形是矩形，點P是對角線AC上一動點（不與A、C重合），連接，過點P作，交于點E，已知，．設(shè)的長為x．(1)___________；當(dāng)時，求的值；(2)試探究：是否是定值?若是，請求出這個值；若不是，請說明理由；(3)當(dāng)是等腰三角形時，請求出的值．【變式3】（2020春·重慶沙坪壩·九年級重慶八中校考階段練習(xí)）如圖，點是正兩邊上的點，將沿直線翻折，點的對應(yīng)點恰好落在邊上，當(dāng)時，的值是（

）A． B． C． D．考點5：手拉手模型（重點）典例5：（2023春·湖北襄陽·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）（1）問題探究：如圖1，，均為等邊三角形，連接、，求證：．（2）類比延伸：如圖2，在和中，，，連接、，求證：．（3）拓展遷移：如圖3，在四邊形中，，且，，若將線段繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，求線段的長．【變式1】（2021秋·重慶渝北·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在等邊三角形中，點，分別是邊，上的點．將沿翻折，點正好落在線段上的點處，使得．若，則的長度為（

）A． B． C． D．【變式2】（2020·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，頂點A在反比例函y＝（x＞0）上運動，此時頂點B也在反比例函數(shù)y＝上運動，則m的值為(

)A．-9 B．-12 C．-15 D．-18鞏固訓(xùn)練一、單選題1．（2021·山東臨沂·三模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，則△ADE與△ABC的面積之比為（

）A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：52．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，，，分別交于點G，H，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B． C． D．3．（2013·海南·中考真題）直線l1∥l2∥l3，且l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，把一塊含有45°角的直角三角形如圖放置，頂點A，B，C恰好分別落在三條直線上，AC與直線l2交于點D，則線段BD的長度為A． B． C． D．4.（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，點D為線段上一動點（不與點B，C重合），連接，作，交線段于點E．下面是某學(xué)習(xí)小組根據(jù)題意得到的結(jié)論：甲同學(xué)：；乙同學(xué)：若，則；丙同學(xué)：當(dāng)時，D為的中點．則下列說法正確的是（

）A．只有甲同學(xué)正確 B．乙和丙同學(xué)都正確C．甲和丙同學(xué)正確 D．三個同學(xué)都正確5.（2023秋·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知點A，B，C，D，E均在方格紙的格點上，則與的面積比為（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，直線，與之間距離是1，與之間距離是2，且，，分別經(jīng)過點A，B，C，則邊的長為（）A． B． C． D．7．（2022·廣東深圳·深圳市大鵬新區(qū)華僑中學(xué)?？级＃┤鐖D，已知D、E分別是中、邊上的點，且，的周長2，則的周長為（）A．4 B．6 C．8 D．188．（2023秋·安徽六安·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，為上一點，且，則（

）A． B． C． D．9．（2023·貴州遵義·?？家荒＃┤鐖D，在中，是邊上的點，，，則與的面積比是（）A． B．1：2 C．1：3 D．1：410．（2022秋·四川遂寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形的四個頂點分別在直線，，，上，若直線且間距相等，，則的值為（

）A． B． C． D．11.（2020秋·廣西桂林·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，△繞點A逆時針轉(zhuǎn)到，，分別交對角線BD于點E，F(xiàn)，若AE=4，則的值為（

）A．8 B．12 C．16 D．2012．（2022秋·九年級單元測試）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點，連接AC，BE交于點F．若△AEF的面積為2，則△ABC的面積為()A．8 B．10 C．12 D．1413．（2021·江蘇無錫·九年級專題練習(xí)）如圖，正方形的對角線、相交于點，是的中點，交于點，若，則等于A．3 B．4 C．6 D．814．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形內(nèi)放一個Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角頂點D在半徑OB上，OD＝2DB，點E在半徑OA上，點F在弧上．則半徑OA的長為（

）A． B．2 C． D．15．（2020·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，將正方形紙片ABCD沿EF折疊，折痕為EF，點A的對應(yīng)點是點A′，點B的對應(yīng)點是點B′，點B′落在邊CD上，若CB′:CD=1:3，且BF＝10，則EF的長為（）A． B． C． D．二、填空題16．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？计谥校┤鐖D，中，點在上，，若，，則線段的長為___________．17．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，已知AD＝，那么BC＝_______．18.（2020·海南?？凇そy(tǒng)考二模）如圖，在中，，，，點在邊上，與邊、分別切于點、，則的值為__________．19．（2022秋·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D是邊BC上一點，將△ABC沿EF折疊使點A與點D重合，若BD:DE=2:3，則CF=____．20．（2020秋·福建泉州·九年級福建省南安市僑光中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，是直角三角形，，，點A在反比例函數(shù)的圖象上．若點B在反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為______21．（2019·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的對角線AC上有一點E，且CE＝4AE，點F在DC的延長線上，連接EF，過點E作EG⊥EF，交CB的延長線于點G，連接GF并延長，交AC的延長線于點P，若AB＝5，CF＝2，則線段EP的長是_____．22．（2019秋·浙江杭州·九年級期末）如圖，已知和是等邊三角形，連接，連接并延長交于點，交于點，，，那么的長為______．23．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，點F是BC邊上一點，連接AF，以AF為對角線作正方形AEFG，邊FG與AC相交于點H，連接DG．以下四個結(jié)論：①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；②△ACF∽△ADG；③；④DG⊥AC．其中正確的是_____．（寫出所有正確結(jié)論的序號）24．（2021春·全國·九年級專題練習(xí)）已知正方形DEFG的頂點F在正方形ABCD的一邊AD的延長線上，連結(jié)AG，CE交于點H，若，，則CH的長為________.25．（2023秋·湖北襄陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點D在邊上，，則的長為_____．三、解答題26．（2023秋·安徽六安·九年級?？计谀┤鐖D，在中，、分別是、邊上的高．求證：．27.（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB，直線OB交⊙O于點E、D，連接EC、CD．（1）試判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系，并加以證明；（2）求證：；（3）若，⊙O的半徑為3，求OA的長．28．（2022秋·北京房山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AD與BC交于O點，，，，，求CD的長．29．（2018·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，以AD為直徑的⊙O交AB于C點，BD的延長線交⊙O于E點，連CE交AD于F點，若AC＝BC．（1）求證：；（2）若，求tan∠CED的值．30．（2021秋·廣東佛山·九年級佛山市第十四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在矩形ABCD中，E為DC邊上一點，把沿AE翻折，使點D恰好落在BC邊上的點F．（1）求證：；（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的長．31．（2020·河南商丘·?？寄M預(yù)測）如圖，的一邊經(jīng)過的圓心，另一邊與交于點，作的平分線與交于點，過點作的切線，交的延長線于點．（1）求證：（2）若．①若，則的長為______；②的最大值為______．32．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在中，，D為邊上一點（不與點B、C重合）將線段繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則線段與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；【探究證明】（2）如圖2，在和中，將繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點C，D，E在同一直線時，與具有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由；【拓展延伸】（3）如圖3，在中，，將繞順時針旋轉(zhuǎn)，點C對應(yīng)點E，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（），當(dāng)點C，D，E在同一直線時，畫出圖形，并求出線段的長度．33．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）某校數(shù)學(xué)活動小組探究了如下數(shù)學(xué)問題：(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，中，，．點P是底邊BC上一點，連接AP，以AP為腰作等腰，且，連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關(guān)系是______；(2)變式探究：如圖2，中，，．點P是腰AB上一點，連接CP，以CP為底邊作等腰，連接AQ，判斷BP和AQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)問題解決：如圖3，在正方形ABCD中，點P是邊BC上一點，以DP為邊作正方形DPEF，點Q是正方形DPEF兩條對角線的交點，連接CQ．若正方形DPEF的邊長為，，求正方形ABCD的邊長．34．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）一次小組合作探究課上，老師將兩個正方形按如圖所示的位置擺放（點E、A、D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)且．小組討論后，提出了下列三