山東省威海市文登區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試試題數(shù)學(xué) 含答案

第1頁/共1頁高三數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號等填寫在答題卡指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A B. C. D.23.已知命題，命題，則成立是成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知，則（）A. B. C. D.5.已知為橢圓的上焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.6.已知，且，則（）A. B.C. D.7.已知定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.函數(shù)，則與的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（）A.6 B.8 C.10 D.148.在中，，，是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則的最大值為（）A. B. C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.是的一個(gè)周期 B.是的一條對稱軸C.的值域?yàn)?D.在上單調(diào)遞減10.如圖，在四邊形中，為邊上的一列點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且滿足，其中數(shù)列是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，則（）A.數(shù)列為等比數(shù)列B.數(shù)列的前項(xiàng)和為C.數(shù)列為遞增數(shù)列D.11.已知正方體的棱長為，點(diǎn)滿足，則（）A.點(diǎn)到平面距離為B.二面角的正弦值為C.當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的平面截該正方體外接球所得截面面積的取值范圍為D.若是對角線上一點(diǎn)，則的最小值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知底面半徑為3的圓錐，其軸截面是正三角形，它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為1，則此圓柱的側(cè)面積為__________.13.已知函數(shù)，若將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，則__________.14.已知，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過的直線與的左?右兩支分別交于，兩點(diǎn).若以的中心為圓心，的長為直徑的圓與的右支的一個(gè)交點(diǎn)恰為，若，，成等差數(shù)列，則的漸近線方程為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和記為，其中為常數(shù)且.（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，求；（2）若，求.16.在中，角所對的邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）若，如圖，是上的動點(diǎn)，且始終等于，記.當(dāng)為何值時(shí)，的面積取到最小值，并求出最小值.17.如圖，在四棱錐中，平面平面為等邊三角形，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角正弦值的最大值.18已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）令.若曲線與存在公切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.定義二元函數(shù)，同時(shí)滿足：①；②；③三個(gè)條件.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）若.比較與0的大小關(guān)系，并說明理由.附：參考公式.高三數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號等填寫在答題卡指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合，，再用補(bǔ)集和交集的概念求解即可.【詳解】由，得，所以，或x>1，由，得，所以，所以.故選：D.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】由題可得，計(jì)算后可得與，即可得答案.【詳解】由，可得，則，則.故選：C3.已知命題，命題，則成立是成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先化簡命題p:，：，再利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】解：由，得，解得；由，得，當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，所以成立是成立的充分不必要條件，故選：A4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和余弦二倍角公式得到，化弦為切，代入求值即可.【詳解】，故.故選：A5.已知為橢圓上焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由圓和橢圓方程可確定圓心、半徑、的長；利用橢圓定義和圓的對稱性可將問題轉(zhuǎn)化為求解的最大值問題，利用三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值，由此可得結(jié)果.【詳解】由圓方程得：圓心，半徑；由橢圓方程得：，，設(shè)橢圓下焦點(diǎn)為，則，由橢圓定義知：，；（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號），，又（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號），，即的最大值為.故選：D.6.已知，且，則（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，可得，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，結(jié)合條件可得，即可求解.【詳解】令，則，則是偶函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，且，即，所以，則，所以選項(xiàng)B正確，當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)A和D錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，故選：B.7.已知定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.函數(shù)，則與的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（）A.6 B.8 C.10 D.14【答案】C【解析】【分析】畫出、在區(qū)間上的圖象，根據(jù)對稱性、周期性等知識來求得正確答案.【詳解】依題意，是定義在R上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于直線對稱，，所以，所以是周期為的周期函數(shù)，所以的圖象關(guān)于直線對稱.函數(shù)的圖象也關(guān)于直線對稱.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，，所以直線與曲線y=gx相切于點(diǎn)2,1.畫出、在區(qū)間上的圖象如下圖所示，由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖象有個(gè)公共點(diǎn)，所以所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.故選：C8.在中，，，是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積以及基本不等式求解即可.【詳解】，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，所以的最大值為.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.是的一個(gè)周期 B.是的一條對稱軸C.的值域?yàn)?D.在上單調(diào)遞減【答案】BC【解析】【分析】先化簡函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)圖像對各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可.【詳解】，圖像如圖所示：由圖像可得，函數(shù)的最小正周期為2π，故選項(xiàng)A是的一條對稱軸，故選項(xiàng)B正確，符合題意；的值域?yàn)?，故選項(xiàng)C正確，符合題意；在上先增后減，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意；故選：BC.10.如圖，在四邊形中，為邊上的一列點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且滿足，其中數(shù)列是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，則（）A.數(shù)列為等比數(shù)列B.數(shù)列的前項(xiàng)和為C.數(shù)列為遞增數(shù)列D.【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)向量共線定理得到，從而，A正確；B選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到，由分組求和和等比數(shù)列求和公式得到B正確；C選項(xiàng)，舉出反例即可；D選項(xiàng)，在B選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到D正確.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)闉檫吷系囊涣悬c(diǎn)，設(shè)，即，所以，即，所以，即，所以數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，故是首?xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，，的前項(xiàng)和為，B正確；CD選項(xiàng)，，故，顯然，則數(shù)列不遞增數(shù)列，C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD11.已知正方體的棱長為，點(diǎn)滿足，則（）A.點(diǎn)到平面的距離為B.二面角的正弦值為C.當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的平面截該正方體外接球所得截面面積的取值范圍為D.若是對角線上一點(diǎn)，則最小值為【答案】ACD【解析】【分析】選項(xiàng)A，根據(jù)條件可得面，從而將到平面的距離轉(zhuǎn)化成到平面的距離，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成到平面的距離，再利用等體積法，即可求解；選項(xiàng)B，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，根據(jù)條件可得為二面角的平面角，再利用幾何關(guān)系，即可求解；選項(xiàng)C，由題知，過點(diǎn)的平面經(jīng)過球心時(shí)，截面圓的面積最大，當(dāng)為截面圓的圓心時(shí)，截面圓的面積最大，即可求解；選項(xiàng)D，通過翻折平面，使得點(diǎn)翻轉(zhuǎn)后得到的點(diǎn)滿足三點(diǎn)共線，且.即可求得【詳解】如圖1，易知，面，面，所以面，對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，即點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)），因?yàn)槊?，所以到平面的距離，也即到平面的距離，連接交于，易知為中點(diǎn)，則到平面的距離等于到平面的距離，又正方體的棱長為，則，所以，設(shè)到平面的距離為，由，得到，解得，所以選項(xiàng)A正確，對于選項(xiàng)B，如圖1，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，易知，所以為二面角的平面角，在中，，，所以，則，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)C，正方體的外接球的球心為正方體的體心，且外接球的直徑為正方體的體對角線長，則，當(dāng)過點(diǎn)的平面經(jīng)過球心時(shí)，此時(shí)平面截該正方體外接球所得截面面積最大，截面面積為，當(dāng)過點(diǎn)的平面經(jīng)不過球心時(shí)，不妨設(shè)截面圓的半徑為，球心到截面圓的距離為，則，顯然有，當(dāng)且僅當(dāng)為截面圓的圓心時(shí)取等號，即截面圓的直徑為，此時(shí)，所以平面截該正方體外接球所得截面面積最小值為，故選項(xiàng)C正確，對于選項(xiàng)D，如圖2，將平面繞著旋轉(zhuǎn)到位置，使之與平面在一個(gè)平面內(nèi)，因是對角線上一點(diǎn)，要使最小，需使三點(diǎn)共線，且.設(shè)，則，故，于是，故選項(xiàng)D正確，故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決空間角問題，關(guān)鍵在于根據(jù)定義找到平面角，然后借助于三角形和正、余弦定理求解；對于包含動點(diǎn)的線段和最小問題，一般考慮將其中一個(gè)平面翻折，使之與另一個(gè)平面共面，化空間距離的和為平面距離的和來求解.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知底面半徑為3的圓錐，其軸截面是正三角形，它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為1，則此圓柱的側(cè)面積為__________.【答案】【解析】【分析】作出圓錐的軸截面，求出圓錐的高，利用三角形相似求出圓柱的高，再根據(jù)側(cè)面積公式計(jì)算可得.【詳解】如圖作出圓錐的軸截面，根據(jù)題意可知,,所以可得,根據(jù)三角形相似可得,所以,可求得,根據(jù)圓柱側(cè)面積公式可得.故答案為：13.已知函數(shù)，若將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，則__________.【答案】【解析】【分析】由圖象變換寫出新解析式，然后由圖象關(guān)于軸對稱求得參數(shù)值．【詳解】，變換后函數(shù)式為，它的圖象關(guān)于軸對稱，則，,又，所以，故答案為：．14.已知，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過的直線與的左?右兩支分別交于，兩點(diǎn).若以的中心為圓心，的長為直徑的圓與的右支的一個(gè)交點(diǎn)恰為，若，，成等差數(shù)列，則的漸近線方程為__________.【答案】【解析】【分析】由已知以為直徑的圓過點(diǎn)，可知，再結(jié)合等差數(shù)列及雙曲線定義可得各邊長，再根據(jù)直角三角形勾股定理可得，即可得漸近線方程.【詳解】如圖所示，由已知以的中心為圓心，的長為直徑的圓過點(diǎn)，可知，再由AB，，成等差數(shù)列，得，由雙曲線定義可知，，則，即，，又，則，即，則，即漸近線方程為，故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和記為，其中為常數(shù)且.（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，求；（2）若，求.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列列方程，求得，求得公差，進(jìn)而求得.（2）利用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式來求得正確答案.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，因數(shù)列為等差數(shù)列，所以，即，解得，所以，公差為2，所以.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，①所以②所以②-①得，，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，解得，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為；偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，所以.16.在中，角所對的邊分別為，且.（1）求角的大?。唬?）若，如圖，是上的動點(diǎn)，且始終等于，記.當(dāng)為何值時(shí)，的面積取到最小值，并求出最小值.【答案】（1）（2），最小值為【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理將分式化簡，結(jié)合兩角和的正弦公式可求得結(jié)果；（2）在中，根據(jù)正弦定理表示出，在中，根據(jù)正弦定理表示出，根據(jù)三角形面積公式得到的面積，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】在中，由正弦定理可得，所以，所以，即得，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以；【小?詳解】因?yàn)?，由?）知，所以，在中，由正弦定理可得，所以，在中，由正弦定理可得，所以，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，即，所以當(dāng)時(shí)，的面積取到最小值，最小值為.17.如圖，在四棱錐中，平面平面為等邊三角形，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，由面面垂直得平面，從而得，再由線面垂直的判定定理證得線面垂直平面，得證，然后再由線面垂直的判定定理證得結(jié)論成立.（2）證明平面，然后以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，用空間向量法求線面角，利用基本不等式、不等式的性質(zhì)得最值.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，所以平?【小問2詳解】連接，因?yàn)?，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z則，可得，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得最大值，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.18.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）令.若曲線與存在公切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，即可對討論求解導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解，（2）設(shè)出切點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線方程，根據(jù)公切線可得，進(jìn)而可得，構(gòu)造函數(shù)且求導(dǎo)，即可根據(jù)單調(diào)性求解函數(shù)的值域得解.【小問1詳解】，①當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?,+∞，令f′x>0，即得，所以因?yàn)?，解得：；令，解得：，②?dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，令f′x>0，即得，所以因?yàn)?，解得：，令，解得：，綜上：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】由題意知：設(shè)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)，則?x在處的切線方程為.③設(shè)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)，則在處的切線方程為.④聯(lián)立③④，得，當(dāng)時(shí)，，代入方程組，不成立，所以消去得.設(shè)函數(shù)且.令，