北京市延慶區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試試卷（含答案）

北京市延慶區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分評分一、單選題1．已知集合A={x|x+1>0}，集合B={x||x|≥2}，U=R，則（）．A．A?B B．?C．A∪B={x|x≥2} D．A∩B={x|x≥2}2．若復(fù)數(shù)z滿足(1+3i)z=2+4i，則z的虛部為（）．A．15i B．?15i 3．已知拋物線的焦點(diǎn)是F(?2，A．y2=4x B．y2=?4x C．4．已知F1(0，?2)，A．x2?yC．x2?y5．與圓C1：xA．一個橢圓上 B．一條雙曲線上C．一條拋物線上 D．雙曲線的一支上6．“直線l和曲線C只有一個交點(diǎn)”是“l(fā)與C相切”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．若雙曲線的方程為y2A．53，y=±43x B．54，y=±34x C．8．已知拋物線y2=4x和點(diǎn)A(5，A．5 B．6 C．7 D．89．過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的一條直線與此拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，已知A(4，A．258 B．254 C．3 10．已知點(diǎn)P在拋物線x2=?6y上，且A(0，A．2 B．3 C．3 D．4二、填空題11．函數(shù)y=lg(3x12．函數(shù)y=x2313．已知雙曲線x2a2?y①|(zhì)PF1|②若直線l的斜率與雙曲線的漸進(jìn)線的斜率相等，則直線l與雙曲線只有一個公共點(diǎn)；③點(diǎn)P到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積為a2④若過F1的直線與雙曲線的左支相交于A，B兩點(diǎn)，如果|AF2其中，所有正確結(jié)論的序號為．14．雙曲線的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)是(?2，0)，且雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(2，2)15．已知△ABC中，b=2，c=3，B=30°，則sinC=，a=三、解答題16．根據(jù)下列條件，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）圓心在點(diǎn)A(2，?1)，且過點(diǎn)（2）過點(diǎn)C(0，0)和點(diǎn)（3）E(1，2)，（4）圓心在直線l：2x+3y?8=0上，且過點(diǎn)P(1，17．如圖，已知點(diǎn)A(2，1)，B(1（1）求過點(diǎn)A的圓的切線方程；（2）設(shè)過點(diǎn)A，B的直線交圓C于D，E兩點(diǎn)，求線段DE的長；（3）求經(jīng)過圓C內(nèi)一點(diǎn)B且被圓截得弦長最短的直線的方程．18．如圖，在棱長為4的正方體ABCD?A1B（1）求證：AB1//（2）求證：AB（3）求二面角B?A19．已知橢圓C的兩個焦點(diǎn)分別是F1(?1，0)，F(xiàn)2（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求m的取值范圍；（3）求|AB|的最大值．20．已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，焦距為22，離心率為22，過點(diǎn)P(3，（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，求直線l的方程；（3）若點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓上，求直線l的方程．21．對非空數(shù)集X，Y定義X與Y的和集X+Y={x+y|x∈X，（1）若集合X={0，1，2}，Y={1，（2）若集合X={x1，x2，?

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】因為A={x|x+1>0}={x|x>?1}，B={x||x|≥2}={x|x≥2或x≤?2}，所以A不是B的子集，A不符合題意；?UA∪B={x|x>?1或x≤?2}，C不符合題意；A∩B={x|x≥2}，D符合題意；故答案為：D

【分析】利用已知條件結(jié)合集合間的包含關(guān)系、交集的運(yùn)算法則、并集的運(yùn)算法則和交集的運(yùn)算法則，進(jìn)而找出正確的選項。2．【答案】C【解析】【解答】因為(1+3i)z=2+4i，所以z=2+4i所以復(fù)數(shù)z的虛部為?1故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則，進(jìn)而得出復(fù)數(shù)z，再結(jié)合復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而得出復(fù)數(shù)z的虛部。3．【答案】D【解析】【解答】因為拋物線的焦點(diǎn)是F(?2，0)，所以開口向左，設(shè)拋物線方程為y2=?2px(p>0)，又?p故答案為：D

【分析】利用已知條件結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)得出p的值，從而結(jié)合焦點(diǎn)的位置得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。4．【答案】D【解析】【解答】根據(jù)題意，F(xiàn)1(0，?2)，動點(diǎn)P滿足|PF1|?|P則P的軌跡是以F1、F其中c=2，2a=2，即a=1，則b2所以雙曲線的方程為：y2故答案為：D．

【分析】利用已知條件結(jié)合雙曲線的定義和焦距的定義，進(jìn)而得出點(diǎn)P的軌跡是以F1、F5．【答案】D【解析】【解答】由圓C1：x2+圓C2：x2+y因此圓心距|C設(shè)與兩圓都外切的圓的圓心為C，半徑為R則滿足|CC1|=即圓心C的軌跡滿足到兩定點(diǎn)距離之差為定值，且定值小于兩定點(diǎn)距離，根據(jù)雙曲線定義可知，圓心的軌跡是某一雙曲線的左支，即圓心在雙曲線的一支上.故答案為：D.

【分析】利用已知條件結(jié)合圓與圓位置關(guān)系的判斷方法，進(jìn)而得出公切圓的圓心和半徑，再結(jié)合雙曲線的定義，進(jìn)而得出圓C1：x6．【答案】D【解析】【解答】若直線l與曲線C只有一個交點(diǎn)，直線l與曲線C不一定相切，比如當(dāng)直線l與雙曲線的漸近線平行時，直線l與該雙曲線只有一個交點(diǎn)，但不是相切；反之，若直線l與曲線C相切，直線l與曲線C也不一定只有一個交點(diǎn)．故“直線l與曲線C只有一個交點(diǎn)”是“直線l與曲線C相切”的既不充分也不必要條件．故答案為：D．

【分析】利用已知條件結(jié)合充分條件和必要條件的判斷方法，進(jìn)而推出“直線l與曲線C只有一個交點(diǎn)”是“直線l與曲線C相切”的既不充分也不必要條件。7．【答案】C【解析】【解答】根據(jù)雙曲線方程可得a=3，b=4，c=9+16=5，所以離心率e=5故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得出a，b的值，再結(jié)合雙曲線中a，b，c三者的關(guān)系式，進(jìn)而得出c的值，再結(jié)合雙曲線的離心率公式得出雙曲線的離心率，再結(jié)合雙曲線的漸近線求解方法得出雙曲線的漸近線方程。8．【答案】B【解析】【解答】如圖，B為點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的投影，

根據(jù)拋物線的定義可得|PF|=|PB|，所以|PF|+|PA|的最小值即|PB|+|PA|的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得，當(dāng)B，P，A三點(diǎn)共線時|PB|+|PA|最小，所以最小值為5+1=6。故答案為：B.

【分析】利用B為點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的投影，根據(jù)拋物線的定義可得|PF|=|PB|，所以|PF|+|PA|的最小值即|PB|+|PA|的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得，進(jìn)而得出當(dāng)B，P，A三點(diǎn)共線時|PB|+|PA|最小，從而得出|PF|+|PA|的最小值。9．【答案】A【解析】【解答】由題意得，拋物線的焦點(diǎn)為F(1，則kAB所以直線AB的方程為y?0=43(x?1)所以AB所在直線的方程為4x?3y?4=0，由4x?3y?4=0y2=4x由根與系數(shù)的關(guān)系可知xA所以線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xA所以線段AB的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離是178故答案為：A

【分析】由題意結(jié)合拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，再結(jié)合兩點(diǎn)求斜率公式得出直線AB的斜率，再結(jié)合點(diǎn)斜式得出直線AB的方程，再利用直線與拋物線相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式得出線段AB的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離。10．【答案】A【解析】【解答】設(shè)P(x，y)(y≤0)，則有x2所以|PA|=因為y≤0，所以(y?1)2所以|PA|=(y?1)2+3所以|PA|的最小值為2。故答案為：A

【分析】設(shè)P(x，y)(y≤0)，則有x2=?6y，再利用A(0，11．【答案】(?∞【解析】【解答】要使對數(shù)函數(shù)有意義，則需真數(shù)大于0，即需使3x解得x<?1或x>1所以函數(shù)定義域為(?∞，故答案為：(?∞，

【分析】利用已知條件結(jié)合對數(shù)型函數(shù)的定義域求解方法，進(jìn)而得出函數(shù)的定義域。12．【答案】[0【解析】【解答】當(dāng)?1≤x≤0時，y=x23所以0≤y≤1；當(dāng)0<x≤1時，y=(23所以23所以函數(shù)y=x23故答案為：[0，

【分析】利用已知條件解分段函數(shù)的解析式畫出分段函數(shù)的圖象，再結(jié)合分段函數(shù)的圖象判斷出分段函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出分段函數(shù)的值域。13．【答案】①③【解析】【解答】對于①：因為F1要想|PF所以|PF1|的最小值為c?a對于②：當(dāng)直線l為雙曲線的漸近線時，直線l與雙曲線沒有公共點(diǎn)；當(dāng)直線l為雙曲線的漸近線平行時，直線l與雙曲線有一個公共點(diǎn)；綜上可知：直線l的斜率與雙曲線的漸進(jìn)線的斜率相等，則直線l與雙曲線最多有一個公共點(diǎn)；故②錯誤；對于③：設(shè)P(x0，可得P到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積為|bx0?a對于④：由雙曲線的定義可知：|AF兩式相加得|AF即|AF又|AF所以2|AB|?|AB|=4a，即|AB|=4a，故④錯誤；故答案為：①③

【分析】利用F1(?c，0)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，要想|PF1|最小，則P必在雙曲線的左支上且為作頂點(diǎn)時最小，進(jìn)而得出|PF1|的最小值；當(dāng)直線l為雙曲線的漸近線時，直線l與雙曲線沒有公共點(diǎn)，當(dāng)直線l為雙曲線的漸近線平行時，直線l與雙曲線有一個公共點(diǎn)，從而得出直線l的斜率與雙曲線的漸進(jìn)線的斜率相等，進(jìn)而得出直線l與雙曲線最多有一個公共點(diǎn)；設(shè)P(x14．【答案】22；【解析】【解答】因為雙曲線的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)是(?2，所以設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2又因為雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(2，2)，則有4所以a2=2或a2=8，因為雙曲線方程為x2所以雙曲線的實軸長為2a=22；標(biāo)準(zhǔn)方程為x故答案為：22；x

【分析】利用已知條件結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)得出c的值，再結(jié)合代入法和雙曲線中a，b，c三者的關(guān)系式，進(jìn)而得出a，b，c的值，從而結(jié)合雙曲線的實軸長的定義，進(jìn)而得出雙曲線的實軸長，再結(jié)合a，b的值和焦點(diǎn)的位置，進(jìn)而得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。15．【答案】34；【解析】【解答】根據(jù)正弦定理得3sinC=根據(jù)余弦定理得b2=a2+c2故答案為：①34；②3+

【分析】利用已知條件結(jié)合正弦定理和余弦定理，進(jìn)而得出角C的正弦值和a的值。16．【答案】（1）解：由題意可得r=|AB|=(2+2)所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?2)2（2）解：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?a)2因為圓過點(diǎn)C(0，0)和點(diǎn)所以(0?a)2+(0?b)2=4所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?3)2（3）解：因為EF的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2，3)，即圓心為半徑r=1所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?2)2（4）解：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?a)2由題意可得2a+3b?8=0(1?a)2+所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?1)【解析】【分析】(1)利用已知條件結(jié)合兩點(diǎn)距離公式得出圓的半徑長，再結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出圓心坐標(biāo)，從而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（2）利用已知條件結(jié)合代入法得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（3）利用已知條件結(jié)合兩點(diǎn)距離公式得出圓的半徑長，再結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出圓心坐標(biāo)，從而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（4）利用已知條件結(jié)合代入法得出圓心坐標(biāo)，再結(jié)合代入法得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。17．【答案】（1）解：當(dāng)斜率不存在時，過點(diǎn)A(2，1)的直線為此時與圓C：當(dāng)斜率存在時，可設(shè)過點(diǎn)A(2，1)的切線方程為即kx?y+1?2k=0，由|1?2k|k2+1此時切線方程為?34x?y+1?2×(?綜上可知：過點(diǎn)A的圓的切線方程為3x+4y?10=0或x=2；（2）解：因為kAB所以直線AB的方程為y?1=x?2即x?y?1=0，又圓心到直線AB的距離為d=|?1|所以|DE|=2r（3）解：圓C內(nèi)一點(diǎn)B且被圓截得弦長最短的直線必與OB垂直，因為kOB所以圓C內(nèi)一點(diǎn)B且被圓截得弦長最短的直線的方y(tǒng)?(?2即3x?6y?5=0.【解析】【分析】（1）當(dāng)斜率不存在時，過點(diǎn)A(2，1)的直線為x=2，再利用直線與圓相切位置關(guān)系判斷方法，得出此時與圓C：x2+y2=4（3）利用圓C內(nèi)一點(diǎn)B且被圓截得弦長最短的直線必與OB垂直，再結(jié)合兩點(diǎn)求斜率公式得出直線QB的斜率，再利用點(diǎn)斜式得出圓C內(nèi)一點(diǎn)B且被圓截得弦長最短的直線的方程。

18．【答案】（1）證明：因為AB//CD，AB?平面CDD1C1，所以AB//平面CDD1C1，同理BBAB，B所以平面ABB1A1//平面CD所以AB1//（2）證明：因為BC⊥BB1，BC⊥AB，且BB1∩AB=B所以BC⊥平面ABB1A1，AB又因為AB1⊥A1B，所以AB1⊥平面A1BM所以A（3）解：如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以向量DA，DC，A1(4，0，4)，M(2，A1M=(?2設(shè)平面A1MCA1M?m=?2x+4y?4z=0所以平面A1MC由（2）可知，AB1⊥平面A1BM設(shè)二面角B?A1M?C1則cosθ=?|所以θ=3π4，即二面角B?【解析】【分析】（1）利用AB//CD結(jié)合線線平行證出線面平行，所以AB//平面CDD1C1，同理BB1//平面CDD1C1，再利用線面平行證出面面平行，所以平面ABB1A1//平面CDD1C1，再結(jié)合面面平行的性質(zhì)定理證出線面平行，從而證出直線AB1//平面CDD1C1。

（2）利用BC⊥BB1，BC⊥AB結(jié)合線線垂直證出線面垂直，所以BC⊥平面ABB1A19．【答案】（1）解：由題意可知c=1，所以a=2又b=a所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）解：由x22+設(shè)A(x由題意可知：Δ=64m解得?3<m<3，所以m的取值范圍是(?3，（3）解：由（2）可知：x1|AB|==5由（2）可知?3<m<3，所以?8m所以|AB|≤59×所以|AB|的最大值210【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)得出c的值，再結(jié)合橢圓的定義得出a的值，再利用橢圓中a，b，c三者的關(guān)系式得出b的值，從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（2）利用直線與橢圓相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合判別式法，進(jìn)而得出實數(shù)m的取值范圍。

（3）設(shè)A(x1，y1)，B(x20．【答案】（1）解：由題意可得：2c=22解得a=2，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程x2（2）解：設(shè)直線l的方程為