遼寧省大連市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷（含答案）

遼寧省大連市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單選題1．若直線l的方向向量是e=(1A．π6 B．π3 C．2π32．已知空間向量a=(?1，2，x)，bA．9 B．?1 C．1 D．?93．已知橢圓C：x2a2+yA．12 B．22 C．324．已知三棱錐O?ABC中，點M，N分別為AB，OC的中點，且OA=a，OB=b，A．12(bC．12(a5．已知圓M的圓心在直線y=2x(x>0)上，若圓M與x軸交于A，B兩點，圓M與y軸交于C，D兩點，則（）A．|AB|<|CD| B．|AB|=|CD| C．|AB|>|CD| D．|AB|≥|CD|6．已知一個動圓P與兩圓C1：(x+2)A．4x2?C．4x297．若四棱柱ABCD?A1B1C1DA．63 B．62 C．268．已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，直線A．10 B．9 C．8 D．5二、多選題9．已知向量a=(2，?1，2)A．|a|=|bC．a(chǎn)⊥b D．向量a，b，10．如圖，下列各正方體中，O為下底面的中心，M，N為頂點，P為所在棱的中點，則滿足?MNA． B．C． D．11．已知圓C：x2A．圓C的圓心為(?1，0) B．點C．l與圓C相交 D．l被圓C截得的最短弦長為412．在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AAA．當(dāng)λ=1時，AP+PB1B．當(dāng)μ=1時，三棱錐P?AC．當(dāng)λ=12D．當(dāng)μ=12時，有且僅有一個點P，使得A三、填空題13．已知平行六面體ABCD?A1B1C14．已知雙曲線x2a2?y15．已知圓臺的上、下底面半徑分別是10和20，它的側(cè)面積為900π，則此圓臺的母線與下底面所成角的余弦值為．16．拋物線的光學(xué)性質(zhì)是：位于拋物線焦點處的點光源發(fā)出的每一束光經(jīng)拋物線反射后的反射線都與拋物線的對稱軸平行．已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線l：y=5，點P，Q分別是C，l上的動點，若Q在某個位置時，P僅存在唯一的位置使得四、解答題17．已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(（1）求C的方程；（2）直線l：y=x?3與C交于A，B兩點，求18．如圖，四棱錐P?ABCD，底面ABCD為正方形，PB⊥平面ABCD，E為線段PB的中點．（1）證明：AC⊥PD；（2）若PB=2AB=2，求直線DE與平面PCD所成角的正弦值．19．已知點(4，2)在拋物線C：x2=2py上，直線l與C交于（1）求拋物線C的焦點到準(zhǔn)線的距離；（2）求△AOB面積的最小值．20．在某地舉辦的智能AI大賽中，主辦方設(shè)計了一個矩形場地ABCD（如圖），AB的長為9米，AD的長為18米．在AB邊上距離A點6米的F處有一只電子狗，在距離A點3米的E處放置一個機(jī)器人．電子狗的運動速度是機(jī)器人運動速度的兩倍，如果同時出發(fā)，機(jī)器人比電子狗早到達(dá)或同時到達(dá)某點（電子狗和機(jī)器人沿各自的直線方向到達(dá)某點），那么電子狗將被機(jī)器人捕獲，電子狗失敗，這點叫失敗點．（1）判斷點A是否為失敗點（不用說明理由）；（2）求在這個矩形場地內(nèi)電子狗失敗的區(qū)域面積S；（3）若P為矩形場地AD邊上的一動點，當(dāng)電子狗在線段FP上都能逃脫時，求|AP||AD|21．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點．以DE為折痕將四邊形ABED折起，使A，B分別到達(dá)A1，B1，且平面A1B1（1）證明：B1E∥平面（2）求CP的長；（3）求平面A122．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2（1）求C的方程；（2）設(shè)M關(guān)于x軸的對稱點為P，直線PN交x軸于點Q，過Q作C的一條切線，切點為T，證明：∠TF

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】由直線l的方向向量是e=(1，3)得直線設(shè)直線的傾斜角是α(0≤α<π)，tan故答案為：B.

【分析】利用已知條件結(jié)合直線的方向向量求解方法，進(jìn)而得出直線的斜率，再利用直線的斜率與直線的傾斜角的關(guān)系式，再結(jié)合直線的傾斜角的取值范圍，進(jìn)而得出直線的傾斜角。2．【答案】C【解析】【解答】因為空間向量a=(?1，2，x)所以?13=2故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示，進(jìn)而得出x的值。3．【答案】B【解析】【解答】根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得AF1=AF2=a，F(xiàn)1F2故答案為：B.

【分析】利用已知條件結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得AF1=AF2=a，F(xiàn)14．【答案】D【解析】【解答】NM=?=1故答案為：D.

【分析】利用已知條件結(jié)合三角形法則和向量共線定理，再結(jié)合平面向量基本定理，進(jìn)而得出NM→5．【答案】A【解析】【解答】設(shè)圓M的圓心M(m，2m)，過點M作MF⊥y軸，ME⊥x軸，所以|ME||MF|由垂徑定理得：|AB|=2R同理：|CD|=2R因為|ME||MF|=2，所以|AB|=2R所以|AB|<|CD|.故答案為：A

【分析】設(shè)圓M的圓心M(m，2m)，(m>0)，半徑為R，過點M作MF⊥y軸，ME⊥x軸，再利用兩點距離公式得出|ME||MF|的值，由垂徑定理結(jié)合勾股定理得出|AB|=2R2?|ME|2，同理：6．【答案】A【解析】【解答】設(shè)動圓P半徑為R，由于動圓P與兩圓C1：(x+2)所以|PC1|=R+1即|PC可知動圓P圓心的軌跡為以C1即a=12，c=2，所以動圓P圓心的軌跡方程為4x故答案為：A.

【分析】設(shè)動圓P半徑為R，由于動圓P與兩圓C1：(x+2)2+y2=1和7．【答案】C【解析】【解答】如圖，設(shè)AC與BD交于O點，連接A1∵AB=AD，∠A∴△A1AB?△又∵O為BD的中點，∴A∵四邊形ABCD為菱形，∴AO⊥BD，又A1O∩AO=O，∴BD⊥平面在平面A1AO中，過A1作A1H⊥AO又BD∩AO=O，∴A1H⊥平面ABCD，即A1到平面由已知：A1A=2，△ABD為等邊三角形，AO=AB?sin△AA1B和△A∴A在△AA1O∵∠A1OA∈(0在Rt△A1OH故答案為：C.

【分析】設(shè)AC與BD交于O點，連接A1O，利用AB=AD，∠A1AB=∠A1AD=60°，再利用兩三角形全等的判斷方法，進(jìn)而得出△A1AB?△A1AD，再利用兩三角形全等的性質(zhì)，所以A1B=A1D，再結(jié)合點O為BD的中點，再利用等腰三角形的三線合一，所以A1O⊥BD，再利用四邊形ABCD為菱形得出AO⊥BD，再利用線線垂直證出線面垂直，所以直線BD⊥平面A1AO，在平面A1AO中，過A1作A1O的長，在△AA1O中，由余弦定理得出cos∠A1OA的值，再利用∠A18．【答案】B【解析】【解答】由題知C的焦點，F(xiàn)(1，0)，準(zhǔn)線為x=?1，如圖，作AM⊥準(zhǔn)線，l：y=k(x+1)過定點設(shè)A(x1，得k2即k2∴x1x2=∴4|AF|+|BF|=4x當(dāng)且僅當(dāng)4x故答案為：B

【分析】由題知拋物線C的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，作AM⊥準(zhǔn)線，BN⊥準(zhǔn)線，再利用點斜式得出直線l：y=k(x+1)過定點(?1，0)，設(shè)A(x9．【答案】A,B,D【解析】【解答】因為a=(2，所以|a|b所以A符合題意；c?B符合題意；a?C不正確；由a+所以c=故答案為：ABD.

【分析】利用已知條件結(jié)合向量的模的坐標(biāo)表示得出向量的模，再結(jié)合向量的坐標(biāo)運算得出向量c→?b→的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系，再結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出a→?b→≠010．【答案】A,D【解析】【解答】對于A：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為2，則P(0，故MN=(?2所以MN?所以?MN對于B：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為2，則P(0，故MN=(?2所以MN?所以?MN對于C：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為2，則P(2，故MN=(0所以MN?所以?MN對于D：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為2，則P(2，故MN=(2所以MN?所以?MN故答案為：AD

【分析】利用已知條件，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為2，進(jìn)而得出點的坐標(biāo)，再結(jié)合向量的坐標(biāo)表示得出向量的坐標(biāo)，再利用正方體的結(jié)構(gòu)特征和中點的性質(zhì)，再結(jié)合數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，進(jìn)而得出滿足?MN11．【答案】B,C,D【解析】【解答】由x2+y2?2x?8=0?(x?1)2因為x=?1時y=k(?1+1)+1=1，所以點(?1，因為圓心(1，0)到(?1，1)的距離為5<3(?1，1)與圓心連線與直線垂直時，l被圓C截得的弦最短，最短弦長為故答案為：BCD.

【分析】利用已知條件結(jié)合圓的一般方程得出圓心坐標(biāo)，再結(jié)合代入法和直線的解析式得出點(?1，12．【答案】A,C,D【解析】【解答】易知，點P在矩形BCC對于A，當(dāng)λ=1時，BP=BC+μBB1=BC+μCC1，即此時對于B，當(dāng)μ=1時，BP=λBC+BB1=BB對于C，當(dāng)λ=12時，BP=12BC+μBB1，取BC，B1A1(32，0，1)，P(0，0，μ)，B(0，12對于D，當(dāng)μ=12時，BP=λBC+12BB1，取BB1，CC1中點為M，N．BP=BM+λ故答案為：ACD．

【分析】利用已知條件易知，點P在矩形BCC1B1內(nèi)部（含邊界），得出當(dāng)λ=1時，BP→=BC→+μCC1→，即此時P∈線段CC1，將矩形CBB1C1展開與CAA1C1在同一平面如圖，再利用幾何法和勾股定理得出AP+PB1的最小值；當(dāng)μ=1時，BP→=BB1→+λB1C1→，故此時P點軌跡為線段B1C1，而P到平面AA1B1B的距離不為定值，再利用三棱錐的體積公式得出其體積不為定值；當(dāng)λ=1213．【答案】1【解析】【解答】AC1=故答案為：1。

【分析】利用已知條件結(jié)合三角形法則和平行六面體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而得出實數(shù)m的值。14．【答案】2【解析】【解答】由于雙曲線的一條漸近線為y=3x，故ba=3，所以雙曲線離心率e=15．【答案】1【解析】【解答】作出圓臺的軸截面，如圖所示：設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為r1和r2，母線長為由題意可知：r1=10，r2所以S=π(r1+設(shè)圓臺的母線與下底面所成角為α，由圖可知：∠ABC=α，則cosα=故答案為13

【分析】作出圓臺的軸截面，設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為r1和r2，母線長為l，由題意可知r1，r16．【答案】294或【解析】【解答】設(shè)P(x，y)，易知拋物線C：Q為直線l：y=5上的動點，設(shè)∴|PF|=|PQ|=由|PF|=|PQ|?∴∴?2x+1=?2ax+a2y2=4x，即x=y∴a∴(1?a)當(dāng)a=1時，??20y+50=0?y=5由y2=4x得此時方程只有一個解，滿足題意，∴|PQ|=當(dāng)a≠1時，Δ=0，Δ=解得a=?1，代入(1?a)y2求得y=5?x=254|PQ|的值為294或41故答案為：294或41

【分析】設(shè)P(x，y)，易知拋物線C：y2=4x焦點坐標(biāo)，再利用點Q為直線l：y=5上的動點，設(shè)Q(a，5)，再結(jié)合兩點距離公式和|PF|=|PQ|得出a2?2ax+2x?10y+24=0，再利用y2=4x，即x=17．【答案】（1）解：選①②，可得b=3，a2+b2選①③，可得?b=3，a2+b2選②③，可得a2+b2a2=4，a（2）解：設(shè)A(x1，y1)，所以x1+x所以|AB【解析】【分析】（1）選①②，可得b的值，再利用橢圓中a，b，c三者的關(guān)系式和橢圓的離心率公式，進(jìn)而得出a的值，從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；選①③，可得b的值和橢圓中a，b，c三者的關(guān)系式得出a的值，從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；選②③，再利用橢圓的離心率公式和橢圓中a，b，c三者的關(guān)系式，進(jìn)而得出a，b的值，從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（2）利用已知條件結(jié)合直線l：y=x?3與C交于A，B兩點，聯(lián)立二者方程求出交點A，B的坐標(biāo)，再結(jié)合兩點距離公式得出18．【答案】（1）證明：連接AC，設(shè)AC與BD交點為O，連接PO，因為ABCD為正方形，所以AC⊥BD，因為PB⊥平面ABCD，所以AC⊥PB，因為BD∩PB=B，BD，PB含于面PBD，所以AC⊥平面PBD，所以AC⊥PD；（2）解：因為底面ABCD為正方形，且PB⊥平面ABCD，所以BA，BC，BP兩兩垂直，則建立空間直角坐標(biāo)系B?xyz，如圖所示．所以C(0，1，0)，D(1，1，0)，P(0，0，2)，設(shè)平面PCD的一個法向量為n=(x，y，z)令z=1，則n=(0，2，1)，設(shè)直線DE與平面PCD則sinα=|即直線DE與平面PCD所成角的正弦值為1515【解析】【分析】（1）連接AC，設(shè)AC與BD交點為O，連接PO，利用ABCD為正方形，所以AC⊥BD，再利用PB⊥平面ABCD結(jié)合線面垂直證出線線垂直，所以AC⊥PB，再利用線線垂直證出線面垂直，所以AC⊥平面PBD，再利用線面垂直的定義證出線線垂直，從而證出AC⊥PD。

（2）利用底面ABCD為正方形，且PB⊥平面ABCD，所以BA，BC，BP兩兩垂直，則建立空間直角坐標(biāo)系B?xyz，再利用已知條件得出點的坐標(biāo)，再結(jié)合向量的坐標(biāo)表示得出向量的坐標(biāo)，再利用平面的法向量的求解方法得出平面PCD的一個法向量，設(shè)直線DE與平面PCD所成角為α，由圖可知α為銳角，再結(jié)合數(shù)量積求向量夾角公式和誘導(dǎo)公式，進(jìn)而得出直線DE與平面PCD所成角的正弦值。

19．【答案】（1）解：將點(4，2)代入方程x2所以拋物線C的焦點到準(zhǔn)線的距離為4；（2）解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2因為∠AOB=90°，所以O(shè)A?OB=0，即代入可得：?8b+b2=0，即b=8所以S所以當(dāng)k=0時，△AOB面積有最小值64．【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合代入法和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得出p的值，再結(jié)合拋物線的定義和點到直線的距離公式，進(jìn)而得出拋物線C的焦點到準(zhǔn)線的距離。

（2）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為y=kx+b，再利用直線與拋物線相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合判別式法和韋達(dá)定理得出Δ=64k20．【答案】（1）解：由于|AF|=6，|AE|=3，A是失敗點（2）解：建立以A點為坐標(biāo)原點，AD為x軸，AB為y軸的直角坐標(biāo)系，如圖E(0，3)，設(shè)機(jī)器人的速度為v，則電子狗的速度為2v，電子狗失敗的區(qū)域內(nèi)任意點Q(可得x2+(y?3)2v即失敗點組成的區(qū)域為以M(0，所以電子狗失敗的區(qū)域面積S=12×4π=2π（3）解：當(dāng)線段FP與（2）中圓相切時，sin∠AFP=2|MF|=1因為電子狗在線段FP上都能逃脫時，所以|AP|∈又因為|AD|=18，所以|AP||AD|的取值范圍是(【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合失敗點的判斷方法，從而判斷出點A是失敗點。

（2）利用已知條件，建立以A點為坐標(biāo)原點，AD為x軸，AB為y軸的直角坐標(biāo)系，從而得出點E，F(xiàn)的坐標(biāo)，設(shè)機(jī)器人的速度為v，則電子狗的速度為2v，電子狗失敗的區(qū)域內(nèi)任意點Q(x，y)，再結(jié)合勾股定理可得x2+(y?3)2v≤x2+(y?6)221．【答案】（1）證明：因為BE∥AD，所以沿DE為折痕將四邊形ABED折起后，B1因為B1E?平面A1DF，A1D?平面（2）解：延長AB，DE交于點G，沿DE為折痕將四邊形ABED折起的過程中，A1，B1，G三點共線，連接FG，設(shè)FG與CE的交點即為點P，則這樣的點P滿足A1因為E為BC的中點，所以B為AG的中點，即BG=AB=2，設(shè)CP=x，則BP=2?x，由△BGP∽△PCF可得，CFCP=BG所以x=23，即（3）解：以C為坐標(biāo)原點，分別以射線CD，CE為x軸，y軸正方向，以垂直于平面CDE且向上的方向為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則P(0，23如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AM⊥DE，而平面A1B1而平面A1B1CD∩平面CDE=DE，所以再作MR⊥BC，MS⊥DC，垂足分別為R，sin∠EDC=ECED所以15=DM2，所以DM=25，Rt△DMS中，所以CS=2?45=65AM=AD2?DA1(65，平面A1B1PF與平面CDE的法向量分別為則?x1+23又n=(0平面A1B1PF與平面CDE所成角所以cosθ=|即平面A1B1【解析】【分析】（1）利用BE∥AD，所以沿DE為折痕將四邊形ABED折起后，所以B1E∥A1D，再利用線線平行證出線面平行，從而證出B1E∥平面A1DF。

（2）延長AB，DE交于點G，沿DE為折痕將四邊形ABED折起的過程中，A1，B1，G三點共線，連接FG，設(shè)FG與CE的