數(shù)學(xué)課堂探究：幾何概型（第課時(shí)）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究古典概型和幾何概型的異同剖析：如表所示:名稱古典概型幾何概型相同點(diǎn)基本事件發(fā)生的可能性相等不同點(diǎn)①基本事件有限個(gè)①基本事件無(wú)限個(gè)②P(A)＝0?A為不可能事件②P（A）＝0?A為不可能事件③P(B)＝1?B為必然事件③P(B)＝1?B為必然事件因此判斷一個(gè)概率模型屬于古典概型還是屬于幾何概型的步驟是：(1)確定一次試驗(yàn)中每個(gè)結(jié)果(基本事件）的可能性（概率)是否均等,如果不均等,那么既不屬于古典概型也不屬于幾何概型;（2）如果試驗(yàn)中每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是均等的，再判斷試驗(yàn)結(jié)果的有限性．當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果有有限個(gè)時(shí)，這個(gè)概率模型屬于古典概型；當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)限個(gè)時(shí)，這個(gè)概率模型屬于幾何概型．題型一長(zhǎng)度型的幾何概型【例題1】一只螞蟻在三邊邊長(zhǎng)分別為3，4,5的三角形的邊上爬行，某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過(guò)1的概率為__________．解析：如圖所示，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5,則△ABC的周長(zhǎng)為3＋4＋5＝12。設(shè)某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過(guò)1為事件A，則P(A）＝eq\f(DE＋FG＋MN,BC＋CA＋AB）＝eq\f（3＋2＋1,12）＝eq\f（1,2).答案：eq\f(1，2）反思如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量能轉(zhuǎn)化為實(shí)際意義上的線段長(zhǎng)度,這種概率稱為長(zhǎng)度型的幾何概型，可按下列公式來(lái)計(jì)算其概率：P(A）＝eq\f（事件A構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度，全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度)。題型二面積型的幾何概型【例題2】取一個(gè)邊長(zhǎng)為4a分析：由于是隨機(jī)丟一粒豆子,因此可認(rèn)為豆子落入正方形內(nèi)的任一點(diǎn)都是等可能的，故豆子落入圓內(nèi)的概率應(yīng)等于圓的面積與正方形的面積之比．解：記“豆子落入圓內(nèi)”為事件A，則P(A)＝eq\f(圓的面積,正方形的面積)＝eq\f(π(2a）2,（4a)2)＝eq\f(π,4)。故豆子落入圓內(nèi)的概率為eq\f(π，4).反思如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量能轉(zhuǎn)化為平面圖形的面積，這種概率稱為面積型的幾何概型，可按下列公式來(lái)計(jì)算其概率:P(A）＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域面積,全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域面積)。題型三體積型的幾何概型【例題3】有一杯2升的水,其中含有一個(gè)細(xì)菌，用一個(gè)小杯從這杯水中取出0.1升水，求這一小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率．分析：這個(gè)細(xì)菌所在的位置有無(wú)限個(gè)，屬于幾何概型．解：設(shè)小水杯中含有這個(gè)細(xì)菌為事件A,則事件A構(gòu)成的區(qū)域體積是0。1升，全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積是2升，所以P（A)＝eq\f(0.1，2)＝0。05.反思如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量能轉(zhuǎn)化為幾何體的體積，這種概率稱為體積型的幾何概型,可按下列公式來(lái)計(jì)算其概率:P(A）＝eq\f（構(gòu)成事件A的區(qū)域體積,全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積）。題型四易錯(cuò)辨析【例題4】向面積為S的矩形ABCD內(nèi)任投一點(diǎn)P，試求△PBC的面積小于eq\f(S,4)的概率．錯(cuò)解：如圖1所示,設(shè)△PBC的邊BC上的高為PF，線段PF所在的直線交AD于E，則當(dāng)P點(diǎn)到底邊BC的距離小于eq\f(1，2)EF時(shí)，即0＜PF＜eq\f(1，2）EF，有0＜eq\f（1，2）BC·PF＜eq\f（1,4）BC·EF，則0＜S△PBC＜eq\f(S，4).設(shè)“△PBC的面積小于eq\f(S，4）”為事件A,則A表示的范圍是eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0,\f(S,4））)，所以由幾何概型求概率的公式得P（A）＝eq\f（\f(S,4），S)＝eq\f（1,4).所以△PBC的面積小于eq\f（S，4）的概率是eq\f（1,4)。錯(cuò)因分析：如圖2所示,P為矩形ABCD內(nèi)任意點(diǎn)，△PBC的邊BC上的高PF為矩形ABCD內(nèi)任意線段，但應(yīng)滿足△PBC的面積小于eq\f(S,4)。當(dāng)△PBC的面積等于eq\f(S,4)時(shí)，即eq\f（1,2）BC·PF＝eq\f（1，4）BC·EF，所以PF＝eq\f(1，2)EF.過(guò)點(diǎn)P作GH平行于BC交AB于G，交CD于H.點(diǎn)P的軌跡是線段GH，滿足條件“△PBC的面積小于eq\f(S,4）”的點(diǎn)P應(yīng)落在矩形區(qū)域GBCH內(nèi)，而不是三角形區(qū)域PBC內(nèi)．出錯(cuò)的原因是不能正確構(gòu)造出隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形．正解：如圖所示，設(shè)△PBC的邊BC上的高為PF，線段PF所在的直線交AD于E，當(dāng)△PBC的面積等于eq\f（S，4)時(shí)，即eq\f（1,2）BC·PF＝eq\f(1，4)BC·EF，有PF＝eq\f(1,2）EF.過(guò)點(diǎn)P作GH平行于BC交AB于G，交CD于H。則滿足S△PBC＝eq\f(S，4)的點(diǎn)P的軌跡是線段GH。所以滿足條件“△PBC的面積小于eq\f(S，4)”的點(diǎn)P應(yīng)落在矩形區(qū)域GBCH內(nèi)，設(shè)“△PBC的面積小于eq\f（