數(shù)學(xué)課堂探究：三角函數(shù)的積化和差與和差化積

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一求值問(wèn)題1．只有同名三角函數(shù)和(或差）才能化為積的形式．2．通常情況下遇積化和差，遇和差化積．【例1】求下列各式的值：（1)；(2）sin20°cos70°＋sin10°sin50°．分析：兩題符合公式的形式,直接運(yùn)用公式即可．解：(1)＝＝tan15°＝＝2－eq\r(3）．（2)sin20°cos70°＋sin10°sin50°＝(sin90°－sin50°）－(cos60°－cos40°）＝－sin50°＋cos40°＝．探究二化簡(jiǎn)問(wèn)題【例2】化簡(jiǎn)下列各式：（1);（2）．解:(1)原式＝＝＝＝tan．(2）原式＝＝＝＝．評(píng)注問(wèn)題（1）是對(duì)復(fù)雜的含不同角、不同函數(shù)的分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，它的化簡(jiǎn)過(guò)程是第一次化積出現(xiàn)特殊角，從而分子、分母都各為兩項(xiàng)，再進(jìn)行第二次化積,然后約分，達(dá)到化簡(jiǎn)目的．問(wèn)題（2）的分子和分母均為三項(xiàng)，認(rèn)真觀察其角度特點(diǎn)，做好“配對(duì)”,然后化積,再與第三項(xiàng)“配對(duì)”有因子提出，再分子、分母約分,最后達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．探究三證明恒等式【例3】求證：sinαsin（60°＋α)sin(60°－α）＝sin3α．分析：根據(jù)積化和差公式將左邊變形整理,進(jìn)行角的統(tǒng)一．證明：左邊＝sinα·(cos120°－cos2α)＝sinα＋sinαcos2α＝sinα＋［sin3α＋sin(－α)］＝sinα＋sin3α－sinα＝sin3α．評(píng)注本題考查積化和差公式的應(yīng)用，本題證明的關(guān)鍵是向右邊目標(biāo)角的轉(zhuǎn)化與統(tǒng)一．探究四與三角函數(shù)有關(guān)的綜合問(wèn)題【例4】求函數(shù)y＝sinx的最值．解:y＝sinx＝sinx·2cossin＝－sinxcos＝－＝－sin＋，因?yàn)閟in∈［－1，1］,所以當(dāng)sin＝－1，即x＝kπ－，k∈Z時(shí)，ymax＝;當(dāng)sin＝1，即x＝kπ＋,k∈Z時(shí),ymin＝－．探究五三角形中的應(yīng)用【例5】在△ABC中，cosA＋cosB＝sinC，求證：△ABC是直角三角形．分析:看到和，想到和差化積,可以得到cos與cos的關(guān)系，再利用半角公式可以得出關(guān)于cosA和cosB的因式．證明：因?yàn)樵凇鰽BC中,A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin(A＋B）＝cosA＋cosB．因?yàn)閏osA＋cosB＝2coscos,所以2sincos＝2coscos．因?yàn)閏os＝cos＝sin≠0，所以sin＝cos．兩邊平方，得sin2＝cos2，所以＝．所以cos(A＋B)＋cos(A－B)＝0．所以2cosAcosB＝0，所以cosA＝0或cosB＝0．因?yàn)锳,B為△ABC的內(nèi)角,所以A，B中必有一個(gè)是直角．所以△ABC為直角三角形．反思本題證明三角形為直角三角形,既然沒(méi)有邊的