數(shù)學(xué)課堂探究：向量數(shù)量積的物理背景與定義

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一與數(shù)量積有關(guān)命題的判斷兩向量方向相同時(shí),夾角為0(或0°）;而反向時(shí)，夾角為π（或180°)；兩向量垂直時(shí)，夾角為（或90°)，因此當(dāng)兩向量共線時(shí),夾角為0或π,反過(guò)來(lái)，若兩向量的夾角為0或π，則兩向量共線．【例1】已知a，b,c是三個(gè)非零向量，則下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)為(）①｜a·b|＝｜a|·|b|?a∥b；②a,b反向?a·b＝－｜a|·｜b|；③a⊥b?|a＋b｜＝|a－b|；④|a|＝|b｜?|a·c|＝|b·c｜．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)解析：需對(duì)以上四個(gè)命題逐一判斷，依據(jù)有兩條，一是向量數(shù)量積的定義;二是向量加法與減法的平行四邊形法則．①中因?yàn)閍·b＝|a｜·｜b|·cosθ，所以由|a·b|＝|a|·｜b｜及a，b為非零向量可得｜c(diǎn)osθ|＝1，所以θ＝0或π，所以a∥b，且以上各步均可逆，故命題①是真命題;②中若a，b反向,則a,b的夾角為π，所以a·b＝|a|·|b｜c(diǎn)osπ＝－|a|·｜b|，且以上各步均可逆,故命題②是真命題；③中當(dāng)a⊥b時(shí)，將向量a，b的起點(diǎn)確定在同一點(diǎn)，以向量a，b為鄰邊作平行四邊形，則該平行四邊形必為矩形，于是它的兩對(duì)角線長(zhǎng)相等，即有｜a＋b｜＝｜a－b|．反過(guò)來(lái)，若｜a＋b｜＝|a－b｜,則以a，b為鄰邊的四邊形為矩形，所以有a⊥b，因此命題③是真命題;④中當(dāng)|a|＝|b|但a與c的夾角和b與c的夾角不等時(shí)，就有|a·c|≠|(zhì)b·c｜,反過(guò)來(lái)由｜a·c｜＝｜b·c｜也推不出｜a｜＝|b｜．故命題④是假命題．答案：C探究二求向量的正射影或數(shù)量積向量的數(shù)量積和正射影都是一個(gè)實(shí)數(shù)，它可正、可負(fù),也可為零，其符號(hào)取決于兩向量之間的夾角．因此在正確理解正射影及數(shù)量積定義的同時(shí)，找準(zhǔn)兩個(gè)向量之間的夾角是關(guān)鍵，確定兩個(gè)向量的夾角時(shí)，一定要注意“共起點(diǎn)"這一前提條件．【例2】如圖所示，在?ABCD中，|｜＝4，|｜＝3，∠DAB＝60°，求：(1)·；（2)·；(3)·；（4)在方向上的正射影．解：(1)因?yàn)椤?，且方向相?所以與的夾角是0°,所以·＝|||｜c(diǎn)os0°＝3×3×1＝9．(2）因?yàn)椤?，且方向相?所以與的夾角是180°，所以·＝|｜||cos180°＝4×4×(－1）＝－16．（3)因?yàn)榕c的夾角為60°，所以與的夾角為120°，所以·＝|｜｜｜c(diǎn)os120°＝4×3×＝－6．（4)因?yàn)榕c的夾角為60°,而與方向相反，所以與的夾角為120°，所以在方向上的正射影為||cos120°＝4×＝－2．反思兩向量夾角的范圍是［0°，180°］，當(dāng)兩向量平行時(shí),夾角可能為0°(同向時(shí))或180°（反向時(shí)）．若與的夾角為θ,則與的夾角是180°－θ．探究三向量數(shù)量積的性質(zhì)求向量的夾角應(yīng)用數(shù)量積的變形公式cosθ＝，一般要求兩個(gè)整體a·b，｜a|｜b｜,不方便求出時(shí)，可尋求兩者之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化條件解方程組,利用向量的幾何意義簡(jiǎn)捷直觀地得出．【例3】已知a，b是兩個(gè)非零向量．(1)若|a｜＝3，｜b｜＝4，｜a·b|＝6，求a與b的夾角；(2)若|a｜＝｜b｜＝｜a－b｜,求a與a＋b的夾角．分析：利用向量數(shù)量積的公式或向量的幾何意義求解．解:（1)因?yàn)閍·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os<a，b〉，所以|a·b|＝|｜a|｜b｜c(diǎn)os〈a，b〉|＝｜a|｜b||cos〈a，b〉｜＝6．又｜a｜＝3，｜b｜＝4，所以|cos〈a，b〉｜＝＝＝,所以cos<a，b〉＝±．因?yàn)椤碼，b〉∈［0，π］，所以a與b的夾角為或．(2）如圖所示，在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作＝a，＝b,以,為鄰邊作平行四邊形OACB，使||＝||，所以四邊形OACB為菱形，OC平分∠AOB，這時(shí)＝a＋b,＝a－b，由于|a｜＝|b|＝|a－b｜,即||＝｜｜＝|｜，所以∠AOC＝，即a與a＋b的夾角為．探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn):因未分清夾角而致誤【例4】已知平面上三點(diǎn)A，B，C滿足||＝6，||＝8,||＝10,則·＋·＋·的值等于()A．100B．96C．－100D．－96錯(cuò)解：由題意知AB⊥BC，·＋·＋·＝0＋8