平面向量復(fù)習(xí)

#平面向量總復(fù)習(xí).給出下列命題：口兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量.□兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.①筋=0(丸為實(shí)數(shù))，則見必為零.①A,^為實(shí)數(shù)，若相=〃b，則a與b共線.其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2C3 D.41.向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模.(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的.(3)單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線.(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量..向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算力b￡1三角形法則4^平行四邊形法則(1)交換律：a+b=b+a；(2)結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)減法求a與b的相反向量一b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則a-b=a+(—b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)A與向量a的積的運(yùn)算(1)|Aa|=|A||a|；(2)當(dāng)A>0時(shí)，Aa的方向與a的方向相同；當(dāng)A<0時(shí)，Aa的方向與a的方向相反；當(dāng)A=0時(shí)，Aa=0A(wa)=(A/i)a；(A+〃)a=Aa+^a；A(a+b)=Aa+Ab3.共線向量定理：向量a8判)與b共線等價(jià)于存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)人使得b=la.1.向量的中線公式：若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)一點(diǎn)，則。尸=1(OA+OB)..三點(diǎn)共線等價(jià)關(guān)系P,B三點(diǎn)共線口AP=2AB6網(wǎng))口OP=(1-1)?OA+1OB(O為平面內(nèi)異于A,P,B的任一點(diǎn)，tDR)DOP=xOA+yOB(O為平面內(nèi)異于A,p,B的任一點(diǎn)，xDR,yDR,x+y=1).第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)丸1,丸2，使a=丸1e1+丸2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底..平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模：設(shè)a=(x1,歹1),b=(x2,72)，貝°a+b=(x1+x2,y1+y2),a—b=(x1—x2,y1—y2),Aa=(Ax1,Ay1),|a|=\；x2+y2.(2)向量坐標(biāo)的求法：口若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).□設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則AB=(x2—x1,y2—y1),|AB|=\'x2—x12+y2-y12..平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b*0.a①b①x1y2—x2y1=0.平面向量基本定理及其應(yīng)用：如果，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)A1,A2，使a=A1e1+A2e2，其中e1,e2是一組基底.TOC\o"1-5"\h\z特別注意：若e，e,是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，a=Ae+A,e,，b=日e+日e貝U1 2 11 22 11 22.. ［入=Na=bo《，1 1［入=NL2 2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：已知非零向量a=(4,a2)，b=(b1，b2)性質(zhì)幾何表示坐標(biāo)表示定義a?b=|a||b|cos〈a，b〉a?b=a1b1+a2b2a?a=|a|2或口|=ofa-aa1=*la2+a211 2模若A(x1，y1),B(x2，y2)，則AB=(x2—x1，y2—y1)AB=(x2—x1)2+(y2—y1)2a①b的等價(jià)條件a?b=0a1b1+a2b2=0夾角aax _a±cos〈a，b〉=|a11b|(1a11b|M)cos〈a，b〉=ab+ab11 222 Ja2+a2%；b2+b2|a?b|與|a?b兇a||b|1 /ab+abl<Ja2+a2x;b2+b2—LJ 2^ -_1 二_1 2-

回〃的關(guān)系例題精講考點(diǎn)一、向量的基本定理的應(yīng)用例1、在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O,E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD交于點(diǎn)F.若AC=a,BD=b，則AF=（）17 2-17 1- 17 1- 27A.—a+—b B.a+-b C.—a+-b D.-a+b4 2 3 3 2 4 3 3變式：1變式：1、如圖，已知Oa,OB表示Oc.|Oa|=2,OB卜1,OC卜4,WOB的夾角為1200,OA與OC的夾角為300,用提高：1、已知AABC為等邊三角形，八8=2,設(shè)點(diǎn)P,Q滿足AP=九AB,AQ=（1一九）AC,九￡R,若BQ?CP=-2,則九=（）121121土2 1土102 （C） 2（D）2、給定兩個(gè)長度為1的平面向量OA2、給定兩個(gè)長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120。.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng).若OC=xOA+yOB,其中x,yeR，則x+y的最大值是 3、如圖1：。乂〃八8,點(diǎn)P由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）.且0P=xOA+yOB,則實(shí)數(shù)對(duì)（x,y）可以是（1，3）44（1，3）4422（--，t）33d.（-5,5）2.3<3 （2.3<3 （C）1 （D）34、如圖2,OM〃AB,點(diǎn)P在由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且一一一 x——1OP=X0A+yOB，則x的取值范圍是 ；當(dāng) 2時(shí),y的取值范圍是—.5、已知在AABC中AB=3,ZA=60。，ZA的平分線AD交邊BC于點(diǎn)D且AD=3AC+九AB（XgR），貝UAD的長為（）考點(diǎn)二、向量的數(shù)量積運(yùn)算及其應(yīng)用1、已知平面向量a,p（aw0,awp）滿足伊卜1,且a與P-a的夾角為120°，則岡的取值范圍是.2、設(shè)O（0，0）,A（1，0）,BQD,點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AP二九AB，若OP?AB>行PB，則實(shí)數(shù)九的取值范圍是（）（A）1<X<1 （B）1-立<X<1 （C）1<X<1+豆（D）1-匹<X<1+立TOC\o"1-5"\h\z2 2 2 2 2 23、若VkgR,|BA-kBC以CA1恒成立，則△ABC的形狀一定是 （）A.銳角三角形 B.直角三角形C鈍角三角形 D.不能確定4、已知a,b是兩個(gè)相互垂直的單位向量，而1。i=13,c?a=3,c?b=4。則對(duì)于任意實(shí)數(shù)t,t,Ic-ta-tbI的最小值是（）2 1 2（A）5 （B）7 （C）12 （D）135、在半徑為1的圓周上按順序均勻分布著AyA2,A3,A4,A5,A6六個(gè)點(diǎn).則AA?AA+ATA?AA+AA?AA+AA?AA+AA?aa+AA?AA=?12 23 23 34 34 45 45 56 56 61 61 12

考點(diǎn)三：平面向量中的新定義1、在平面斜坐標(biāo)中，Zxoy=450，斜坐標(biāo)定義為OP=x/+y屋（其中e：e,分別為0102 1 2斜坐標(biāo)系的x軸,y軸的單位向量），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x°,y0）。若F1（-1,0）,1（1,0），且動(dòng)點(diǎn)M（x,y）滿足|MFJ=|MF2卜則點(diǎn)M在斜坐標(biāo)系中的軌跡方程為上考點(diǎn)四：與三角形“四心”相關(guān)的向量問題例題1、已知O是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA十九（AB+^ +^ IABIsinBIACIsinC）,九￡[0,OP=OA十九（AB+^ +^ IABIsinBIACIsinC）,九￡[0,+8）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（）A.重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心2、已知O是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+X(AbAC■—, + : IABIcosBIACIcosC）,九￡[0,+8）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（）A.重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心3、已知O是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足ABAC + IABIcosBIACIcosC）,九￡[0,+8）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（）A.重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心4、已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O為^ABC的外心，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=1[（1-九）OA+（1-九）OB+（1+2%）OC"九￡R,九w0），則P的軌跡一定通過△ABC的（）A.內(nèi)心B.垂心C.重心D.AB邊的中點(diǎn)5、已知O是^ABC所在平面上的一點(diǎn)，若aOA+bOB+cOC=0，則O點(diǎn)是^ABC的（）A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心6、已知O6、已知O是^ABC所在平面上的一點(diǎn)，若PO二aPA+bPB+cPC

a+b+c（其中P是^ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)），則。點(diǎn)是^ABC的（）A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心7、△ABC中，AB=1,BC=<6,CA=2,△ABC的外接圓的圓心為0,若AO=九AB+口AC，求實(shí)數(shù)九,目的值.練習(xí)：1、△OAB中，0)A=a，0B=E，0P=p，若p=t(-a-+—)，1￡氐則點(diǎn)P在()IElIElA、NAOB平分線所在直線上 B、線段AB中垂線上C、AB邊所在直線上 D、AB邊的中線上2、已知O是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，若OA+OB+OC=0，則O是AABC的心.3、P是^ABC所在平面上一點(diǎn)，若PA-PB=PB?PC=PC?PA，則P是^ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 已重心 D.垂心ABKC AbKC14、已知非零向量AB與AC滿足(二二+--)-BC=0且―-=2,則4ABC為()iaBiiaCi iabiiaCi2A.m邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形5、AABC的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H,OH=m(OA+OB+OC)，則實(shí)數(shù)m= 考點(diǎn)五、與三角形面積相關(guān)的向量問題一—一例題：1、已知點(diǎn)O是4ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA+2OB+3OC=0,貝|：△AOB與^AOC的面積之比為；△ABC與^AOC的面積之比為；△ABC與四邊形ABOC的面積之比為.2、已知AABC是邊長為1的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，線段MN經(jīng)過AABC的中—<a<——心6,心6,設(shè)ZMGA=a(1)試將AAGM、AAGN的面積(分別記為S1與S2)表示為a的函數(shù)-1+X(2)求y=S12 S22的最大值與最小值考點(diǎn)六、判斷三角形的形狀1、已知a,b,c分別為△ABC中NA,ZB,ZC的對(duì)邊，G為^ABC的重心，且a?GA+b?GB+LGC=0,則4ABC為()A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形2、已知O為^ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足IOB-OC1=1OB+OC-2OAI，則△ABC一定是()A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形3、如果AA1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于AA2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則AA1B