平面向量教案

集體備課教案第( )稿集體備課教案第( )稿頁腳內(nèi)容頁腳內(nèi)容教師閻偉清學生上課時間學科高中數(shù)學年級教材版本課題平面向量教學重點1、向量的綜合應用。2、用向量知識，實現(xiàn)幾何與代數(shù)之間的等價轉(zhuǎn)化教學難點1、向量的綜合應用。2、用向量知識，實現(xiàn)幾何與代數(shù)之間的等價轉(zhuǎn)化教學過程基本知識回顧：.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有一個要素：大小、方向..向量的表示方法：①用有向線段表示----AB(幾何表示法)；②用字母a、b等表示(字母表示法)；③平面向量的坐標表示(坐標表示法)：分別取與元軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底。任作一個向量之，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)元、y，使得a=xi+yj，(x,y)叫做向量a的(直角)坐標，記作a=(x,y)，其中X叫做a在X軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，特別地，i=(1,0)，j=(0,1)，0=(0,0)。lai=xx2+y2；若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB=(x-x,y-y)，\AB\=《x-x”+(y-y”1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1.零向量、單位向量：①長度為0的向量叫零向量，記為0；②長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.(注：=就是單位向量)|a|.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定0與任一向量平行.向量a、b、c平行，記作a//b//c.共線向量與平行向量關系：平行向量就是共線向量.集體備課教案第（ ）稿集體備課教案第（ ）稿頁腳內(nèi)容頁腳內(nèi)容九九〉,與a同向-九<,與a反向Ia1=Xb一一一一一一 方向性質(zhì)：a//b（b豐0）oa=九b（九是唯一）<長度a//b（b豐0）oxy-xy=012 21

（其中a=/yj,b=（ly2））5.相等向量和垂直向量：①相等向量：長度相等且方向相同的向量叫相等向量.兀②垂直向量—兩向量的夾角為°=——??—?—?性質(zhì)：a，boa，b=0—>—> —> —>a±boxx+yy=0（其中a=（x,y）,b=（x,y））12 12 11 2 26.向量的加法、減法：①求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法則和平行四邊形法貝I」。平行四邊形法則：ac=a+b（起點相同的兩向量相加，常要構(gòu)造平行四邊形）DB=a-b三角形法則加法DB=a-b三角形法則加法---首尾相連減法---終點相連,方向指向被減數(shù)加法法則的推廣：AB=AB+BB+?…??+BTBn 112 n-1n即n個向量a1，a2，……J首尾相連成一個封閉圖形，則有a1"+……+公=0②向量的減法向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差。即：ab=a+（b）；差向量的意義：OA=a,OB=b,則BA=ab③平面向量的坐標運算：若a=(x,y),b=(x,y),則a+b=(x+x,y+y),1 1 2 2 12 1 2a-b=(x-x,y-y),九a=(九x,九y)。1 2 1 2④向量加法的交換律：a+b=b+a；向量加法的結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)⑤常用結(jié)論：1二(1)若AD=-(AB+AC)，則D是AB的中點(2)或G是^ABC的重心，則GA+GB+GC=0.向量的模:1、定義：向量的大小，記為|a|或|AB|2、模的求法:若a=(x,y)，則|a|=若A/y1),B(x2,y2)，則1AB1八心之-")"(y2-y1”3、性質(zhì):IaI2=a2； Ia1=b(b>0)nIa12=b2(實數(shù)與向量的轉(zhuǎn)化關系)a=bnIaI2=IbI2,反之不然三角不等式：IaI-IbI<Ia土bI<IaI+IbIIabI<IaIIbI （當且僅當a,b共線時取“=”）即當a,b同向時，a^b=IaIIbI； 即當a,b同反向時，a^b=-1aIIbI平行四邊形四條邊的平方和等于其對角線的平方和，即21aI2+21bI2=Ia+bI2+1a-bI2.實數(shù)與向量的積：實數(shù)人與向量a的積是一個向量，記作：入a（1）?入a|二|人||a|；（2）入>0時入a與a方向相同；入<0時入a與a方向相反；入=0時入a=；（3）運算定律入（日a）二（入⑴a，（入+日）a=入a+日a，入（a+b）=入a+入b

交換律：a?b=b?a；分配律：（a+b）?c=a^c+be（九a）.b=九（a?b）=a.（九b）；①不滿足結(jié)合律：即（ab）?c豐a.（bc）②向量沒有除法運算。如：ab=cbna=c-n聲都是錯誤的a?b b（4）已知兩個非零向量a,b，它們的夾角為0，則a,b=IaIIbIcos0坐標運算：a=（%?）,b=（%,）），則a.b=%%12（5）向量ab=a在軸i上的投影為:IaIcos0, （0為a與n的夾角，n為l的方向向量）a?n其投影的長為AB/=（二為n的單位向量）InI（6）a與b的夾角0和a-b的關系:（1）當0=0時，a與b同向；當0=兀時，a與b反向a人? Ia*b>0 a-工人? …（2）0為銳角時，則有\(zhòng) ; 0為鈍角時，則有Ia,b不共線a,b<0a,b不共線9.向量共線定理:向量b與非零向量a共線（也是平行）的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)入，使b二入a。10.平面向量基本定理:如果1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)入一入.使a二入.e+xe。1 2 11 22⑴不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底;集體備課教案第( )稿集體備課教案第( )稿頁腳內(nèi)容頁腳內(nèi)容⑵基底不惟一，關鍵是不共線；⑶由定理可將任一向量a在給出基底彳、弓的條件下進行分解；⑷基底給定時，分解形式惟一.入1,入2是被a,彳，弓唯一確定的數(shù)量。向量坐標與點坐標的關系：當向量起點在原點時，定義向量坐標為終點坐標，即若A(x,y),則OA=(x,y)；當向量起點不在原點時，向量期坐標為終點坐標減去起點坐標，即若A(x1,y1),B(x2,y2),則AB=(x2-x1,y2-y1)11.向量a和b的數(shù)量積：①a?b=|a|?|b|cos。，其中?！闧0,n]為a和b的夾角。②|b|cos0稱為b在a的方向上的投影。③a-b的幾何意義是：b的長度|b|在a的方向上的投影的乘積，是一個實數(shù)(可正、可負、也可是零)，而不是向量。ab 一④若="JyJ,=(9y2)，則a?b=%i%2+yJ2⑤運算律：a, b=b ,a,(入a)? b=a ?(入b)=A(a? b), (a+b)?c=a ? c+b ?c。⑥a和b的夾角公式:a?bcos0= a?b=%1%2/y1y2%22+y2--”：十月-*-->■ —>⑦a?a=a2=|a|2=x2+y2,或|a|=\■'%2+y2=\a2⑧|a?b|W|a|-|b|。12.兩個向量平行的充要條件:符號語言：若a〃a,a手a，則a=入a坐標語言為：設a=(x1,y1),8=(x2，y2),則a〃B。僅B丫/二人(x2，y2),即x=Xx1,2，或x1y2-x2y1=0yi=Xy2在這里，實數(shù)人是唯一存在的，當a與a同向時，人＞0；當a與a異向時，入＜0。?人|=lai，入的大小由a及a的大小確定。因此，當a，a確定時，入的符號與大小就確定了。這就是實?ai數(shù)乘向量中人的幾何意義。13.兩個向量垂直的充要條件：符號語言：才±EO才,E=0坐標語言：設a=(x1,y1),E=(x2,y2)，則a±Box1x2+y1y2=0例題講解例1、已知^ABC中，A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC邊上的高為人口，求點D和向量AD坐標。例2、求與向量a=(-不,-1)和a=(1,；3)夾角相等，且模為,，2的向量a的坐標。例3、在4OAB的邊OA、OB上分別取點M、N,使|OM|：|(5t|=1：3,|GN|：|OB|=1：4,設線段AN與BM交于點P,記GA=a,OB=a，用才，a表示向量OF。TOC\o"1-5"\h\z例4、直角坐標系xOy中，i,j分別是與x,y軸正方向同向的單位向量.在直角三角形ABC中，若] —?-? ] —? ―?AB=2i+j,AC=3i+左j,則k的可能值個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4例5、如圖，平面內(nèi)有三個向量OA、OB、OC淇中與OA與OB的夾角為120°,OA與oC的夾角為30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=2V3,若OC=入OA+口OB(入，U￡R),則入+口的值為. 'O^A例6、設a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2)，則(a+2b)?c=( )A.(—15,12) B.0 C.-3 D.-11例7、已知平面向量a=(1,2),b=(—2,m),且a〃b，則2a+3b=()A. (-2, -4) B. (-3, -6)C. (-4, -8)D. (-5, -10)例8、已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),九a+b與a垂直，則九是()A.-1B.1C.-2D.2

例9、在平行四邊形ABCD中,AC與BD交于點O,E是線段OD的中點,AE的延長線與CD交于點F.若AC=aTOC\o"1-5"\h\zBD二b，則AF二( )17 2-1rA.—a+-b b.-a+-bd.-ad.-a+2b

3 3例10、已知向量a=(v'3sinx,cosx),b=(cosx,cosx)，函數(shù)f(x)=2a-b-1兀兀⑴求f(x)的最小正周期;⑵當xe[6,2]時，若f(x)=1，求x的值?, - 3 3二 x.x 兀例11、已知向量a=(cos—x,sin—x),b=(-cos—，sin—),且x￡[0,—].2 2 2 2 2(1)求a+b(2)設函數(shù)f(x)=a+b+a.b,

求函數(shù)f(x)的最值及相應的x的值。提高練習一一、選擇題1下列命題中正確的是(aOa-OB=ABc0-AB=0

)BAB+BA=0DAB+BC+CD=AD2設點A(2,0),B(4,2)，若點P在直線AB上，且|AB|=2|AP1則點P的坐標為( )A (3,1) B (1,-1)C (3,1)或(1,-1) D無數(shù)多個3若平面向量b與向量a=(1,-2)的夾角是180o,且Ib1=3V5,則b=()A (-3,6) b(3,-6)c(6,-3)d (-6,3)向量a=(2,3)，b=(-1,2)，若ma+b與a-2b平行，則m等于TOC\o"1-5"\h\z1 1A -2 B2c-D-2 2一 ，3.、1一」設a=(—,sina)，b=(c0sa,—)，且a//b，則銳角a為()乙 JA3OA3Oob6Oo c75od45o二、填空題1若IaI=1,IbI=2,c=a+b，且cIa，則向量a與b的夾角為.已知向量日=(1,2)，b=(-2,3)，C=(4,1)，若用a和芯表示不，則c=3若a=1,b=2，a與b的夾角為600，若(3a+5b)1(ma-b)，則m的值為4若菱形ABCD的邊長為2，則|AB-CB+CD|=5若b=(2,3)，b=(-4,7)，則b在b上的投影為三、解答題 ? ?已知a=(cosa,sina)，b=(cosp,sinp)，其中0＜a＜。＜兀⑴求證：a+b與a-b互相垂直；⑵若k+b與b-kb的長度相等，求p-a的值(k為非零的常數(shù))1.設點P(3,-6),Q(-5,2),R的縱坐標為-9,且P、Q、R三點共線，則R點的橫坐標為()。A、-9 B、-6C、9D、62.已知丘=(2,3),b=(-4,7),則以在b上的投影為()。A、B、C、D、3.設點A(1,2),B(3,5),將向量食日按向量也=(-1,-1)平移后得向量良'日為A、(2,3)B、(1,2)C、(3,4)D、(4,7)4.若(3+5+08+^3)=35^且sinA=sinBcosC,那么AABC是()。A、直角三角形 B、等邊三角形C、等腰三角形 D、等腰直角三角形)。5.已知|起|=4,|b|=3,此與b的夾角為60°,則|Q+b|等于()。A、713B、C、D、.柘6.已知向量a=3#),求向量b，使|b|=2|①|(zhì),并且必與b的夾角為3課后作業(yè)一、選擇題1.2.3.4.在^ABC中，一定成立的是A.asinA=bsinB B.acosA=bcosB C.asinB=bsinA△ABC中，sin2A=sin2B+sin20則^ABC為A.直角三角形 B.等腰直角三角形C.等邊三角形在^ABC中A.15°在^ABC中D.acosB=bcosAD.等腰三角形較短的兩邊為a=2<2,b=2<3,且A=45°,則角C的大小是B.75C.120°D.60°已知|AB|=4,|AC|=1,S =J3，則AB?AC等于AABC集體備課教案第（ ）稿集體備課教案第（ ）稿頁腳內(nèi)容頁腳內(nèi)容TOC\o"1-5"\h\zA.—2 B.2 C.±2 D.±4a—1.設A是^ABC中的最小角，且cosA= ，則實數(shù)a的取值范圍是