2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章統(tǒng)計(jì)與概率5.1.2數(shù)據(jù)的數(shù)字特征學(xué)案含解析新人教B版必修第二冊(cè)

PAGE8-5.1.2數(shù)據(jù)的數(shù)字特征素養(yǎng)目標(biāo)·定方向課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀1.理解數(shù)據(jù)的最值、平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用．2．會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的這些數(shù)字特征，并能解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題．1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．通過(guò)極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的求解及應(yīng)用，提高學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．必備學(xué)問(wèn)·探新知學(xué)問(wèn)點(diǎn)最值一組數(shù)據(jù)的最值指的是其中的最大值與最小值，最值反映的是這組數(shù)最極端的狀況．一般地，最大值用max表示，最小值用min表示．學(xué)問(wèn)點(diǎn)平均數(shù)1．定義：假如給定的一組數(shù)是x1，x2，…，xn，則這組數(shù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．這一公式在數(shù)學(xué)中常簡(jiǎn)記為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i．2．求和符號(hào)∑具有的性質(zhì)(1)eq\i\su(i＝1,n,)(xi＋yi)＝eq\i\su(i＝1,n,x)i＋eq\i\su(i＝1,n,y)i．(2)eq\i\su(i＝1,n,)(kxi)＝keq\i\su(i＝1,n,x)i．(3)eq\i\su(i＝1,n,t)＝nt．3．假如x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，且a，b為常數(shù)，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均數(shù)是aeq\o(x,\s\up6(－))＋B．思索1：(1)x5＋x6＋…＋x15如何用符號(hào)∑表示？(2)如何證明eq\i\su(i＝1,n,)(kxi)＝keq\i\su(i＝1,n,x)i?提示：(1)x5＋x6＋…＋x15＝eq\i\su(i＝5,15,x)i．(2)eq\i\su(i＝1,n,)(kxi)＝kx1＋kx2＋…＋kxn＝k(x1＋x2＋…＋xn)＝keq\i\su(i＝1,n,x)i．學(xué)問(wèn)點(diǎn)中位數(shù)1．假如一組數(shù)有奇數(shù)個(gè)數(shù)，并依據(jù)從小到大排列后為x1，x2，…，x2n＋1，則稱(chēng)xn＋1為這組數(shù)的中位數(shù)．2．假如一組數(shù)有偶數(shù)個(gè)數(shù)，且依據(jù)從小到大排列后為x1，x2，…，x2n，則稱(chēng)eq\f(xn＋xn＋1,2)為這組數(shù)的中位數(shù)．學(xué)問(wèn)點(diǎn)百分位數(shù)1．定義：一組數(shù)的p%(p∈(0,100))分位數(shù)指的是滿(mǎn)意下列條件的一個(gè)數(shù)值：至少有p%的數(shù)據(jù)不大于該值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)不小于該值．2．計(jì)算方法：設(shè)一組數(shù)依據(jù)從小到大排列后為x1，x2，…，xn，計(jì)算i＝np%的值，假如i不是整數(shù)，設(shè)i0為大于i的最小整數(shù)，取xi0為p%分位數(shù)；假如i是整數(shù)，取eq\f(xi＋xi＋1,2)為p%分位數(shù)．規(guī)定：0分位數(shù)是x1(即最小值)，100%分位數(shù)是xn(即最大值)．思索2：中位數(shù)和百分位數(shù)的關(guān)系是什么？提示：中位數(shù)是50%分位數(shù)．學(xué)問(wèn)點(diǎn)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中，某個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)稱(chēng)為這個(gè)數(shù)據(jù)的頻數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱(chēng)為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．學(xué)問(wèn)點(diǎn)極差一組數(shù)的極差指的是這組數(shù)的最大值減去最小值所得的差．學(xué)問(wèn)點(diǎn)方差與標(biāo)準(zhǔn)差(1)假如x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，則方差s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2，方差的算術(shù)平方根稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)差．(2)假如x1，x2，…，xn的方差為s2，且a，b為常數(shù)，則ax1＋b，ax2＋b，……，axn＋b的方差是a2s2．思索2：(1)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么？方差、標(biāo)準(zhǔn)差為0的含義是什么？(2)方差和標(biāo)準(zhǔn)差是如何反映一組數(shù)據(jù)的離散程度的？提示：(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍：[0，＋∞)．標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí)，樣本各數(shù)據(jù)全相等，表明數(shù)據(jù)沒(méi)有波動(dòng)幅度．(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小．關(guān)鍵實(shí)力·攻重難題型探究題型最值、平均數(shù)、眾數(shù)的確定┃┃典例剖析__■典例1某公司員工的月工資狀況如表所示：月工資/元80005000400020001000800700員工/人125820122(1)分別計(jì)算該公司員工月工資的最值、平均數(shù)、和眾數(shù)；(2)你認(rèn)為用哪個(gè)數(shù)來(lái)代表該公司員工的月工資更合理？[解析](1)該公司員工月工資的最大值為8000元，最小值為700元，眾數(shù)為1000元．平均數(shù)為eq\f(1,50)(8000×1＋5000×2＋4000×5＋2000×8＋1000×20＋800×12＋700×2)＝1700(元)．(2)用眾數(shù)，因?yàn)樽畲笾禐?000元且只有一個(gè)，無(wú)法代表該公司員工的月工資，平均數(shù)受到最大值的影響，也無(wú)法代表該公司員工的月工資，每月拿1000元的員工最多，眾數(shù)代表該公司員工的月工資最合理．規(guī)律方法：1.把數(shù)據(jù)從小到大排列，依據(jù)定義即可確定最值和眾數(shù)．2．平均數(shù)的求法(1)用定義式；(2)用平均數(shù)的性質(zhì)；(3)在容量為n的一組數(shù)據(jù)中，若數(shù)據(jù)x1有n1個(gè)，x2有n2個(gè)，…，xk有nk個(gè)，且n＝n1＋n2＋…＋nk，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(1,n)(n1x1＋n2x2＋…＋nkxk)＝eq\f(n1,n)x1＋eq\f(n2,n)x2＋…＋eq\f(nk,n)xk．┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■1．某校在一次考試中，甲、乙兩班學(xué)生的數(shù)學(xué)成果統(tǒng)計(jì)如下：分?jǐn)?shù)5060708090100人數(shù)甲班161211155乙班351531311選用平均數(shù)與眾數(shù)評(píng)估這兩個(gè)班的成果．[解析]甲班平均數(shù)為eq\f(1,50)(50×1＋60×6＋70×12＋80×11＋90×15＋100×5)＝79.6(分)，乙班平均數(shù)為eq\f(1,50)(50×3＋60×5＋70×15＋80×3＋90×13＋100×11)＝80.2(分)，從平均分看成果較好的是乙班；甲班眾數(shù)為90分，乙班眾數(shù)為70分，從眾數(shù)看成果較好的是甲班．題型中位數(shù)、百分位數(shù)的計(jì)算┃┃典例剖析__■典例2(1)已知一組數(shù)據(jù)8,6,4,7,11,6,8,9,10,5，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是__7.5__；(2)甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員在隨機(jī)抽取的12場(chǎng)競(jìng)賽中的得分狀況如下：甲運(yùn)動(dòng)員得分：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49．乙運(yùn)動(dòng)員得分：8,13,14,16,23,26,28,29,31,38,39,51．求甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員得分的25%分位數(shù)，75%分位數(shù)和90%分位數(shù)．[解析](1)已知數(shù)據(jù)從小到大排列為：4,5,6,6,7,8,8,9,10,11，共10個(gè)數(shù)，所以中位數(shù)是eq\f(7＋8,2)＝7.5．(2)兩組數(shù)據(jù)都是12個(gè)數(shù)，而且12×25%＝3,12×75%＝9,12×90%＝10.8，因此，甲運(yùn)動(dòng)員得分的25%分位數(shù)為eq\f(x3＋x4,2)＝eq\f(20＋25,2)＝22.5，甲運(yùn)動(dòng)員得分的75%分位數(shù)為eq\f(x9＋x10,2)＝eq\f(37＋39,2)＝38，甲運(yùn)動(dòng)員得分的90%分位數(shù)為x11＝44．乙運(yùn)動(dòng)員得分的25%分位數(shù)為eq\f(x3＋x4,2)＝eq\f(14＋16,2)＝15，乙運(yùn)動(dòng)員得分的75%分位數(shù)為eq\f(x9＋x10,2)＝eq\f(31＋38,2)＝34.5，乙運(yùn)動(dòng)員得分的90%分位數(shù)為x11＝39．規(guī)律方法：1.求中位數(shù)的一般步驟(1)把數(shù)據(jù)按大小依次排列．(2)找出排列后位于中間位置的數(shù)據(jù)，即為中位數(shù)．若中間位置有兩個(gè)數(shù)據(jù)，則求出這兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)．2．求百分位數(shù)的一般步驟(1)排序：依據(jù)從小到大排列：x1，x2，…，xn．(2)計(jì)算：求i＝np%的值．(3)求值：分?jǐn)?shù)p%分位數(shù)i不是整數(shù)xi0，其中i0為大于i的最小整數(shù)i是整數(shù)eq\f(xi＋xi＋1,2)┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■2．確定數(shù)據(jù)0,0,0,0,1,1,2,3,4,5,6,6,7,7,10,14,14,14,14,15的28%分位數(shù)和75%分位數(shù)．[解析]因?yàn)閿?shù)據(jù)已從小到大排列，共有20個(gè)．而且i1＝20×28%＝5.6，不為整數(shù)，i2＝20×75%＝15是整數(shù)，因此，此數(shù)據(jù)的28%分位數(shù)為x6＝1,75%分位數(shù)為eq\f(x15＋x16,2)＝eq\f(10＋14,2)＝12．題型極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算┃┃典例剖析__■典例3已知一組數(shù)據(jù)：2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,6,6．(1)求極差；(2)求方差；(3)求標(biāo)準(zhǔn)差．[解析](1)最大值為6，最小值為2，極差為4．(2)可將數(shù)據(jù)整理為x23456頻數(shù)34562每一個(gè)數(shù)都減去4可得x－4－2－1012頻數(shù)34562這組數(shù)的平均數(shù)與方差分別為eq\f(1,20)×[(－2)×3＋(－1)×4＋0×5＋1×6＋2×2]＝0，eq\f(1,20)×[(－2)2×3＋(－1)2×4＋02×5＋12×6＋22×2]＝eq\f(3,2)．因此，所求平均值為4，方差為eq\f(3,2)．(3)由(2)知標(biāo)準(zhǔn)差為eq\f(\r(6),2)．規(guī)律方法：求方差的基本方法(1)先求平均值，再代入公式s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2，或s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\x\to(x)2．(2)用性質(zhì)．(3)當(dāng)一組數(shù)據(jù)重復(fù)數(shù)據(jù)較多時(shí)，可先整理出頻數(shù)表，再計(jì)算s2．┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■3．(1)有一筆統(tǒng)計(jì)資料，共有11個(gè)數(shù)據(jù)如下(不完全以大小排列)：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x，已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，則這組數(shù)據(jù)的方差為(A)A．6 B．eq\r(6)C．66 D．6.5(2)若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為(C)A．8 B．15C．16 D．32[解析](1)因?yàn)閑q\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,11)(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝eq\f(1,11)(61＋x)＝6，所以x＝5．方差為s2＝eq\f(42＋22＋22＋12＋12＋02＋12＋22＋32＋52＋12,11)＝eq\f(66,11)＝6．(2)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差s＝8，則而樣本數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差s′＝2×8＝16．題型分層抽樣的方差┃┃典例剖析__■典例4甲、乙兩班學(xué)生參與了同一考試，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成果為80.5分，方差為500；乙班的平均成果為85分，方差為360.那么甲、乙兩班全部90名學(xué)生的平均成果和方差分別是多少？[解析]設(shè)甲班50名學(xué)生的成果分別是a1，a2，…，a50，那么甲班的平均成果和方差分別為eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(a1＋a2＋…＋a50,50)＝80.5(分)，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(a1－\o(x,\s\up6(－))甲2＋a2－\o(x,\s\up6(－))甲2＋…＋a50－\o(x,\s\up6(－))甲2,50)＝500．設(shè)乙班40名學(xué)生的成果分別是b1，b2，…，b40，那么乙班的平均成果和方差分別為eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(b1＋b2＋…＋b40,40)＝85(分)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(b1－\o(x,\s\up6(－))乙2＋b2－\o(x,\s\up6(－))乙2＋…＋b40－\o(x,\s\up6(－))乙2,40)＝360．假如不知道a1，a2，…，a50和b1，b2，…，b40，只知道甲、乙兩班的平均成果、方差及甲、乙兩班的人數(shù)，那么依據(jù)前面的分析，全部90名學(xué)生的平均成果應(yīng)為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(50\o(x,\s\up6(－))甲＋40\o(x,\s\up6(－))乙,50＋40)＝eq\f(50×80.5＋40×85,90)＝82.5(分)，方差s2＝eq\f(50[s\o\al(2,甲)＋\o(x,\s\up6(－))甲－\o(x,\s\up6(－))2]＋40[s\o\al(2,乙)＋\o(x,\s\up6(－))乙－\o(x,\s\up6(－))2],50＋40)＝eq\f(50×[500＋80.5－82.52]＋40×[360＋85－82.52],90)＝eq\f(50×500＋50×4＋40×360＋40×6.25,90)≈442.78．規(guī)律方法：若樣本中有兩層，第一層有m個(gè)數(shù)，分別為x1，x2，…，xm，平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2；其次層有n個(gè)數(shù)，分別為y1，y2，…，yn，平均數(shù)為eq\o(y,\s\up6(－))，方差為t2，則樣本的均值為eq\o(a,\s\up6(－))＝eq\f(m\o(x,\s\up6(－))＋n\o(y,\s\up6(－)),m＋n)，方差為eq\f(m[s2＋\o(x,\s\up6(－))－\o(a,\s\up6(－))2]＋n[t2＋\o(y,\s\up6(－))－\o(a,\s\up6(－))2],m＋n)．┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■4．在考察某中學(xué)學(xué)生身高時(shí)，采納分層抽樣的方法得到了20名男生身高的平均值為170，方差為16；15名