山東專用2025版高考數(shù)學一輪復習第四章平面向量數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入第一講平面向量的概念及其線性運算學案含解析

PAGE4-第四章平面對量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入第一講平面對量的概念及其線性運算ZHISHISHULISHUANGJIZICE學問梳理·雙基自測eq\x(知)eq\x(識)eq\x(梳)eq\x(理)學問點一向量的有關概念(1)向量：既有__大小__又有__方向__的量叫做向量，向量的大小叫做向量的__長度__(或稱__模__)．(2)零向量：__長度為0__的向量叫做零向量，其方向是__隨意__的，零向量記作__0__.(3)單位向量：長度等于__1__個單位的向量．(4)平行向量：方向相同或__相反__的__非零__向量；平行向量又叫__共線__向量．規(guī)定：0與任一向量__平行__.(5)相等向量：長度__相等__且方向__相同__的向量．(6)相反向量：長度__相等__且方向__相反__的向量．學問點二向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算__三角形__法則__平行四邊形__法則(1)交換律：a＋b＝__b＋a__；(2)結合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__減法向量a加上向量b的__相反向量__叫做a與b的差，即a＋(－b)＝a－b__三角形__法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘實數(shù)λ與向量a的積是一個__向量__記作λa(1)模：|λa|＝|λ||a|；(2)方向：當λ>0時，λa與a的方向__相同__；當λ<0時，λa與a的方向__相反__；當λ＝0時，λa＝0設λ，μ是實數(shù)．(1)__λ(μa)__＝(λμ)a(2)(λ＋μ)a＝__λa＋μa__(3)λ(a＋b)＝__λa＋λb__.學問點三共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當且僅當存在唯一一個實數(shù)λ，使__b＝λa__.eq\x(重)eq\x(要)eq\x(結)eq\x(論)1．零向量與任何向量共線．2．與向量a(a≠0)共線的單位向量±eq\f(a,|a|).3．若存在非零實數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))或eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，則A，B，C三點共線．4．首尾相連的一組向量的和為0.5．若P為AB的中點，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．6．若a、b不共線，且λa＝μb，則λ＝μ＝0.eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測)題組一走出誤區(qū)1．(多選題)以下說法不正確的是(ABCD)A．向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量B．若a∥b，b∥c，則a∥cC．若向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反D．當兩個非零向量a，b共線時，肯定有b＝λa，反之成立題組二走進教材2．(必修4P91A組T4改編)化簡eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝(B)A．eq\o(AD,\s\up6(→)) B．0C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．eq\o(DA,\s\up6(→))[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.3．(必修4P84T4改編)(2024·太原模擬)向量e1，e2，a，b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，向量a－b等于(C)A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2C．e1－3e2 D．3e1－e2[解析]由圖可知a＝－4e2，b＝－(e1＋e2)，∴a－b＝e1－3e2，故選C．4．(必修4P92A組T11改編)(2024·湖北武漢模擬)如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝(D)A．0 B．eq\o(BE,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\o(CF,\s\up6(→))[解析]由于eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))，故eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→)).題組三考題再現(xiàn)5．(2024·全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則eq\o(EB,\s\up6(→))＝(A)A．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))[解析]解法一：如圖所示，eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，故選A．解法二：eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，故選A．6．(2024·新課標2)設向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝__eq\f(1,2)__.[解析]∵a、b不平行，∴a＋2b≠0，由題意可知存在唯一實數(shù)m，使得λa＋b＝m(a＋2b)，即(λ－m)a＝(2m－1)b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－m＝0,2m－1＝0))，解得λ＝eq\f(1,2).KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點突破·互動探究考點一向量的基本概念——自主練透例1(1)(多選題)給出下列命題不正確的是(ACD)A．單位向量都相等B．若A，B，C，D是不共線的四點，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則ABCD為平行四邊形C．a(chǎn)＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥bD．已知λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線(2)(2024·陜西寶雞金臺模擬)設a，b都是非零向量，下列四個條件中，肯定能使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的是(D)A．a(chǎn)⊥b B．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)＝－b[分析](1)正確理解向量的基本概念是解決本題的關鍵，特殊對相等向量、單位向量、零向量理解到位．舉反例進行否定是行之有效的方法．(2)利用單位向量與向量相等的概念求解．[解析](1)A不正確，單位向量模都相等，但方向不肯定相同．B是正確的，因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))；又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形．C是錯誤的，當a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是充要條件，而是必要不充分條件．D是錯誤的；當λ＝μ＝0時，a與b可以為隨意向量，滿意λa＝μb，但a與b不肯定共線，故選A、C、D．(2)由eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0，即eq\f(a,|a|)＝－eq\f(b,|b|)，從選項入手只有a＝－b具有這樣的結論，故選D．[引申]若本例(1)⑤中的實數(shù)λ，μ滿意λ2＋μ2≠0，該結論是否正確？[解析]由λ2＋μ2≠0知實數(shù)λ，μ中至少有一個不為0.①若λ、μ中有一個為0，不妨設λ≠0，μ＝0，則λa＝0·b＝0.因為λ≠0，所以a＝0，又0與任何向量共線，所以結論正確．②若λ、μ都不為0由λa＝μb得a＝eq\f(μ,λ)b，由共線向量定理知結論正確．綜上所述，該結論正確．名師點撥?(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關．(3)平行向量就是共線向量，二者是等價的；但相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量肯定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關系是：eq\f(a,|a|)是a方向上的單位向量．考點二向量的線性運算——師生共研例2(1)(2024·武漢調(diào)研)設M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)的隨意一點，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))等于(D)A．eq\o(OM,\s\up6(→)) B．2eq\o(OM,\s\up6(→))C．3eq\o(OM,\s\up6(→)) D．4eq\o(OM,\s\up6(→))(2)(2024·福建高三質(zhì)檢)莊重漂亮的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一個特別美麗的幾何圖形，且與黃金分割有著親密的聯(lián)系：在如圖所示的正五角星中，以A，B，C，D，E為頂點的多邊形為正五邊形，且eq\f(PT,AT)＝eq\f(\r(5)－1,2).下列關系中正確的是(A)A．eq\o(BP,\s\up6(→))－eq\o(TS,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(RS,\s\up6(→))B．eq\o(CQ,\s\up6(→))＋eq\o(TP,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(TS,\s\up6(→))C．eq\o(ES,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(BQ,\s\up6(→))D．eq\o(AT,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up6(→))[解析](1)如圖，在△OAC中，M為AC中點，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，在△OBD中，eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，故選D．(2)由題意得，eq\o(BP,\s\up6(→))－eq\o(TS,\s\up6(→))＝eq\o(TE,\s\up6(→))－eq\o(TS,\s\up6(→))＝eq\o(SE,\s\up6(→))＝eq\f(\o(RS,\s\up6(→)),\f(\r(5)－1,2))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(RS,\s\up6(→))，所以A正確；eq\o(CQ,\s\up6(→))＋eq\o(TP,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(TP,\s\up6(→))＝eq\o(TA,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(ST,\s\up6(→))，所以B錯誤；eq\o(ES,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(RC,\s\up6(→))－eq\o(QC,\s\up6(→))＝eq\o(RQ,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(QB,\s\up6(→))，所以C錯誤；eq\o(AT,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(SD,\s\up6(→))＋eq\o(RD,\s\up6(→))，eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up6(→))＝eq\o(RS,\s\up6(→))＝eq\o(RD,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→))，若eq\o(AT,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up6(→))，則eq\o(SD,\s\up6(→))＝0，不合題意，所以D錯誤．故選A．名師點撥?平面對量線性運算問題的常見類型及解題策略(1)考查向量加法或減法的幾何意義．(2)求已知向量的和或差．一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則；求首尾相連的向量的和用三角形法則．(3)與三角形綜合，求參數(shù)的值．求出向量的和或差，與已知條件中的式子比較，求得參數(shù)．(4)與平行四邊形綜合，探討向量的關系．畫出圖形，找出圖中的相等向量、共線向量，將所求向量轉化到同一個平行四邊形或三角形中求解．〔變式訓練1〕(1)已知三角形ABC是等邊三角形，D為AB的中點，點E滿意2eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝0，則eq\o(AE,\s\up6(→))＝(A)A．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→)) B．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))C．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→)) D．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))(2)如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點C，D是半圓弧的兩個三等分點，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝(D)A．a(chǎn)－eq\f(1,2)b B．eq\f(1,2)a－bC．a(chǎn)＋eq\f(1,2)b D．eq\f(1,2)a＋b[解析](1)由2eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝0知eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→)).(2)連接CD，由點C，D是半圓弧的三等分點，得CD∥AB，且eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a.考點三共線向量定理及其應用——師生共研例3設兩個非零向量a與b不共線．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．[分析](1)利用向量證明三點共線時，首先要證明兩個非零向量共線，然后再說明兩向量有公共點，這時才能說明三點共線；(2)利用共線向量定理求解．[解析](1)證明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線，又∵它們有公共點B，∴A，B，D三點共線．(2)∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共線的兩個非零向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))解得k＝±1.[引申]本例(2)中，若ka＋b與a＋kb反向，則k＝__－1__；若ka＋b與a＋kb同向，則k＝__1__.[解析]由本例可知ka＋b與a＋kb反向時λ<0，從而k＝－1；ka＋b與a＋kb同向時λ>0，從而k＝1.名師點撥?平面對量共線的判定方法(1)向量b與非零向量a共線的充要條件是存在唯一實數(shù)λ，使b＝λa.要留意通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要留意待定系數(shù)法和方程思想的運用．(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應留意向量共線與三點共線的區(qū)分與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線．〔變式訓練2〕(1)(2024·濟南模擬)已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d共線反向，則實數(shù)λ的值為(B)A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)(2)已知向量a，b，c中隨意兩個都不共線，并且a＋b與c共線，b＋c與a共線，那么a＋b＋c等于(D)A．a(chǎn) B．bC．c D．0[解析](1)由于c與d共線反向，則存在實數(shù)k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共線，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f(1,2).又因為k<0，所以λ<0，故λ＝－eq\f(1,2).故選B．(2)∵a＋b與c共線，∴a＋b＝λ1c.又∵b＋c與a共線，∴b＋c＝λ2a.由①得：b＝λ1c－a∴b＋c＝λ1c－a＋