2024-2025學(xué)年蘇教版高一數(shù)學(xué)上學(xué)期專項(xiàng)復(fù)習(xí)：不等式（考點(diǎn)清單知識(shí)導(dǎo)圖+3個(gè)考點(diǎn)清單+12題型解讀）（解析版）

清單03不等式

考點(diǎn)儕單

比較實(shí)數(shù)a、b的大小I考點(diǎn)題型一利用不等式的性質(zhì)判斷真假

不等式的基本性質(zhì)考點(diǎn)題型二利用不等式的性質(zhì)證明不等式

不等式的性質(zhì)考點(diǎn)題型三利用不等式的性質(zhì)求取值范圍

基本不等式考點(diǎn)題型四利用基本不等式求最值

基本不等式/重要不等式考點(diǎn)題型五基本不等式恒成立問(wèn)題

考點(diǎn)題型六利用基本不等式的證明不等式

\基本不等式的推論

考點(diǎn)題型七基本不等式的實(shí)際應(yīng)用

考點(diǎn)題型八解不含參數(shù)一元二次不等式

t二次不等式的相關(guān)概念考點(diǎn)題型九解含參數(shù)的一元二次不等式

從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程考點(diǎn)題型十解分式或高次不等式

三個(gè).二欠.之間的關(guān)系考點(diǎn)題型十一三個(gè)"二;欠"間對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)用

考點(diǎn)題型十二一元二次不等式恒成立問(wèn)題

【清單01】不等式的基本性質(zhì)

1、比較實(shí)數(shù)。、。的大小

(1)文字描述：如果a—》是正數(shù)，那么。＞人；

如果等于0,那么〃=/?；

如果a-Z?是負(fù)數(shù)，那么反過(guò)來(lái)也對(duì)。

(2)符號(hào)表示：a—b>O<^a>b；—a—b；a—b<O<^a<b

2、不等式的性質(zhì)

性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意

1對(duì)稱性a>b=b〈a=

2傳遞性a>b,b>c=>a>c不可逆

3可加性a>b=a+c>b+c可逆

a>b,c>0=>ac>bc

4可乘性C的符號(hào)

a>b,c<0=>ac<bc

5同向可加性a>b,c>d^a-\~c>b-\~d同向

6正數(shù)同向可乘性a>b>0fc>d>U=ac>bd同向

7正數(shù)乘方性a>b>0=^an>bn(neN,n>2)同正

【清單02】基本不等式

1、基本不等式

(1)給定兩個(gè)正數(shù)。，b,數(shù)巴也稱為。，b的算數(shù)平均數(shù)；數(shù)而稱為。，b的幾何平均數(shù)

2

(2)如果a,b是正數(shù)，那么竺而，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

2

(3)幾何意義：所有周長(zhǎng)一定的矩形中，正方形的面積最大

2、重要不等式：cr+lr>2ab(a,b&R),(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"="號(hào)).

3、基本不等式的推論

①？+422力同號(hào))；

ab

②2+旦《一2(a力異號(hào));

ab

入2/FT/a+b,a?+b?/八7八、t7//〃+匕、2/a?+62/八7八、

(§)-——j-<yjab<24J——--(a>0,b>0)或"W(■^―)<——--(a>0,b>0)

—I—

ab

【清單03】從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程

1、一元二次不等式的相關(guān)概念

(1)定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式

(2)一般形式：a^-\~bx-\-c>0(>0),加+析+?！?(<0),(其中存0,a,b,c均為常數(shù))

2、三個(gè)“二次”之間的關(guān)系

判別式/=/一4acJ>0J=0/<0

1L

二次函數(shù)尸加+法+以〃>0)的圖衛(wèi)

象犬|\|^/*2X

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

b沒(méi)有實(shí)數(shù)根

癥+云+。=0(〃>0)的根根Xl，X2(X1<X2)修=電=一五

ax2+Z?x+C>0(Q>0)的角軍集{x\x<Xl，或X>X2})R

a?+bx+c<0(a>0)的解集{X\X1<X<X2)00

型儕單

【考點(diǎn)題型一】利用不等式的性質(zhì)判斷真假

方法總結(jié)：不等式的性質(zhì)常與比較大小結(jié)合考查，常用方法有作差法、作商法、介值比較法

1、作差法、作商法是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)(或代數(shù)式)大小的基本方法.

①作差法的步驟：作差、變形、判斷差的符號(hào)、得出結(jié)論.

②作商法的步驟：作商、變形、判斷商與1的大小、得出結(jié)論.

2、介值比較法也是比較大小的常用方法，其實(shí)質(zhì)是不等式的傳遞性：

若a>6,b>c,則a>c；若a<b,b<c,那么aVc.其中乃是介于a與c之間的值，

此種方法的關(guān)鍵是通過(guò)恰當(dāng)?shù)姆趴s，找出一個(gè)比較合適的中介值.

【例1】（23-24高一上?江蘇淮安?月考）（多選）已知實(shí)數(shù)。，6滿足a>〃+l,則下列不等關(guān)系一定正確

的是（）

A.a>2bB.Q>2/?+1C.a>b-\D.2a>b1-b+\

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,（&2+1）-2^=（^-1）2>0,所以。>加+1226,則。>勸，故A正確；

對(duì)于B,W+l）-（2b+l）=b2-2b正負(fù)無(wú)法確定，

取〃=2.5,b=l,貝！J滿足。>〃+1=2,但av2b+l=3,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,=+（>0，則4>62+1>6-1,故c正確；

對(duì)于D,由。>/+1，得2。>262+2,

又因?yàn)椋?匕2+2）-（匕2一人+i）=62+6+]=（6+g[+:>o,

所以2a>2匕2+2>k-b+1,故D正確.故選：ACD

【變式1-1]（23-24高一上?江蘇鎮(zhèn)江?月考）（多選）若正實(shí)數(shù)灰丫滿足%>兀則下列結(jié)論中正確的有

（）

x11

A.xy<y2B.x2>y2C.一>1D.—>-------

yxx-y

【答案】BC

【解析】對(duì)于A,xy-y2=y（x-y）,因?yàn)閤>y>0,所以y（x-y）>0,所以孫>;/,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由尤>y>0,則x?>y2,故B正確；

對(duì)于C,結(jié)合x(chóng)>y>0,作差可得土一1=土一上=二二1>0,所以±>1,即C正確；

yyyyy

對(duì)于D,由已知得x>x-y>0,由不等式性質(zhì)可得!<，,可得D錯(cuò)誤.故選：BC

xx-y

【變式1-2]（23-24高一上?江蘇南京?月考）（多選）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書(shū)

中首先把“=”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“〈”和“>”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，

不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若。>人>0,貝!Jac?〉。。？B.若。<匕<0,貝!

cC]]

C.若a>Z?>0且cvO,則一D.若且一>—j則就<0

abab

【答案】BCD

【解析】對(duì)A：若c=0,貝1」比2=92=0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)B：由貝1Ja2>a6，ab>b2,即"，。匕〉〃，故B正確；

11CC

對(duì)C：由a>b>0,貝U=<7T，又cvO,則T>7T，故C正確；

abab

對(duì)D：由一>7,則=--—>0,因?yàn)椤?gt;>，貝?。??—々V。，故QZ?VO,故D正確.故選：BCD.

ababab

【變式1-3］（23-24高一上.江蘇?月考）（多選）下列說(shuō)法正確的是（）

,cm.ibb+m

A.a>b>0,m>0,貝!J—<-------

aa+m

B.1<〃<3,2vbv7則l<b-a<4

C.a>b>Q,貝！>〃2萬(wàn)一。02

D.若a,R,貝巾/+廿2|2ab|

【答案】ACD

b+mb_a(b+m)~b(a+m)_m(a-b)

【解析】選項(xiàng)A,又a>b>0,m>。,

a+maa(a+ni)a(a+m)

m(a-b)八.b+mb,十小

A———r>0,???------->-,A正確；

a(a+m)a+ma

選項(xiàng)B,l<a<3^-3<-a<-l,又2vhv7,：.-l<b-a<6,B錯(cuò)；

時(shí)，a—b>0,a3-b3-(a2b-ab2)=(a-b)(a2+ab+b2)-ab(a-b)=(a-b)(a2+b2)>0

所以。3一人3>〃2人一。82,C正確；

a2+b2-\2ab\=\a^+時(shí)一2同同=(|a|-|/?|)2>0,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)二|可時(shí)等號(hào)成立，D正確.故選：ACD.

【考點(diǎn)題型二】利用不等式的性質(zhì)證明不等式

方法總結(jié)：

1、不等式證明的實(shí)質(zhì)是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)（代數(shù)式）的大??；

2、證明不等式可以利用不等式性質(zhì)證明，也可以用作差比較法證明，利用不等式性質(zhì)證明時(shí)，不可省略

條件或跳步推導(dǎo).

【例2】（23-24高一上.江蘇鎮(zhèn)江?月考）（多選）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《砥智石》一書(shū)中首

先把作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“v”和“〉”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的

引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若。,6,ccR,則下列命題正確的是（）

A.若貝！Jac?〉/?/

B.若a>b>c,貝U」一>---

b—ca—c

C.若a>b,—>—,貝1Jcib>0

ab

D.若a>/?>c,a+b+c=O,貝

【答案】BD

【解析】心。時(shí)，若。=0,則有〃/=A2,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

11a-b_

若a，有所>>0涉一。>0，。-。>0,則屋；一二；=正而0>°,

得丁L>—L,B選項(xiàng)正確；

b—ca—c

若Wb—a<0,若一>不，得-=--->0,所以a/?<0,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

ababab

若a>b>c,a+6+c=。，則有a>0,c<。，由Z?>c,ab>ac,D選項(xiàng)正確.故選：BD

【變式2-1](23-24高一上.吉林長(zhǎng)白.月考)證明不等式：

(1)設(shè)〃>0力>0,求證:a3+b3>ab2+a2b;

(2)設(shè)求證：x2+y2+5>2(2x+y).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.

3323223232

【解析】證明：(1)H^ja+b-(ab+^)=^+b-ab-ab=a-ab+b-ab

=〃(片—Z?2)+Z?^Z;2—a2^=(/_/)(〃_"=(Q+Z?)(Q-"J,

因?yàn)镼>0,b>0,所以(a+b)(a—Z?)2NO,

所以〃+戶—(用2+片勾之o,所以〃3+03z必2+/)；

(2)因?yàn)椋?+/+5-2(2%+丁)=x2+y2+5-4x-2y=x2-4x+y2-2j+5=(x-2)2+(y-l)2>0,

所以％2+/+5N2(2元+y).

【變式2-2］（23-24高一上?河北保定?月考）設(shè)a/ccR,，+b+c=O,abc=l.

（1）證明：ab+bc+ca<0；

（2）若〃>），證明〃3>。3.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】（1）證明::（〃+b+c）2=a2+/+c2+2Qb+2ac+2bc=。，

ab+be+cct=-+/+c2）.

a,b,c不同時(shí)為0,則4+/?2+<:2〉o,ab+bc+ca=——(^a2+Z?2+c2j<0；

(2)—人3=(〃_人)(〃2+〃力+〃2).

2

「Q?+"》+人2=(Q+g。)+-^-/?>0,取等號(hào)的條件為a=b=0,

而〃>八???等號(hào)無(wú)法取得，即4+次7+/=[〃+；6]+/2>0,

又〃>￡>,a3—Z?3=(CL—b^(a"+ab+b~^>0,a3>b3-

【變式2-3］（23-24高一上.廣東惠州?月考）已知兔糖水中有傷糖（6>a>0）,往糖水中加入，"g糖

（切>0）,（假設(shè)全部溶解）糖水更甜了.

（1）請(qǐng)將這個(gè)事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式.

⑵利用（1）的結(jié)論證明命題：“若在VABC中。、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)，貝U

cab?

-----<------H-------”

1+C1+Q1+Z?

【答案】（1）:a<產(chǎn)am；證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析;

bb+m

【解析】（1）由題可得，￡<一

bb+m

aa+mab+am—ab—bm(a—b)m

證明:因?yàn)閺Vb>a>0,m>0,

b+mb(b+m)b(b+m)

m27c7cUK。a+m八aa+m

所以，a-b<0,Z?+m>0,從而丁一^----<0,BnRn—<-----

bb+mbb+m

x1

(2)由三角形三邊關(guān)系，可得a+b>c,而函數(shù)y=4=l-—,為單調(diào)遞增函數(shù),

1+x1+x

c<c+(a+b-c)_a+b_a+b

1+c1+c+(a+b—c)1+a+b1+Q+Z71+a+Z?

aabb

------<----，一----<—

1+a+b1+a1+a+b1+b

,,aaab

故------+-------<---+---

1+Q+Z?1+Q+Z?1+Q1+b

b

所以，—<—+

1+c1+a1+b

【考點(diǎn)題型三】利用不等式的性質(zhì)求取值范圍

方法總結(jié)：利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的一般思路

（1）借助性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進(jìn)行解答；

（2）借助所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件；

（3）結(jié)合不等式的傳遞性進(jìn)行求解.

拓展：已知兩個(gè)關(guān)于a/線性關(guān)系的取值范圍，求另一個(gè)關(guān)于線性關(guān)系的取值范圍.

根據(jù)條件p<mAa+njy<q,r<m,a+n2bWs確定"4a+n3b(p,q,r,s,zn；,H；,m2,H2,,H3)的取值范圍,

一般采用待定系數(shù)法求解，即令〃73a+%6=，（"44+〃也）+〃（牲14+〃2》），然后通過(guò)比較系數(shù)建立方程組

求得尢〃的值.

【例3】(23-24高一上?江蘇常州?月考)已知實(shí)數(shù)x,y滿足-44x-y4-l,-l<4^-y<5,則9元一y的

取值范圍是()

A.[-7,26]B.[-1,20]C.[4,15]D.[1,15]

【答案】B

【解析】設(shè)9x-y=，w(x-y)+〃(4x-y)=(m+4n)x—(m+ri)y,

5

m+4n=93

1

貝J1nQ，

\m+n=18

in=—

[3

58

所以9尤一y=一§(x—y)+§(4x—y),

x—y<-1,-1<4x—3^<5,

則*卜_y)q,_|w|(4x_y)q,

ss

所以一149x-y=-§(龍一y)+§(4x-y)420,故選：B.

【變式3-1]（23-24高一上?江蘇鎮(zhèn)江?月考）若實(shí)數(shù)滿足：-2<x<l,0<x+y<2,貝口+2y的取值范

圍為（）

A.（0,5）B.（-1,6）C.（T9）D.（-2,2）

【答案】B

【解析】由0<x+y<2,得0<2元+2y<4,

由一2<x<l,得一1<一尤<2,而尤+2y=（2x+2y）+（-x）,

因此-1<尤+2丁<6,所以無(wú)+2y的取值范圍為（一1,6）.故選：B

【變式3-2]（23-24高一上?江蘇無(wú)錫?月考）設(shè)實(shí)數(shù)a,6滿足：-3<a+b<5,l<a-b<l,則4a+%的最大

值是________

【答案】22

【解析】由題意不妨設(shè)4a+2〃=帆(。+/?)+〃(4一匕)=(帆+幾)々+(加一九)〃,

Im+n=4fm=3

貝I0,解得i，

\m-n=2[n=1

所以4a+2Z?=3(a+b)+(a—b),

注意至卜?！?,

所以一9<3(a+Z?)<15,—8=—9+l<4〃+2Z?=3(Q+Z?)+(a—b)<15+7=22,

[a+b=5{a=6

所以當(dāng)且僅當(dāng)7―即〈押，4a+2b取得最大值22,

\a—b=J=—1

綜上所述：4Q+2)的最大值是22.

【變式3-3](23-24高一上.江蘇常州?月考)(1)已知2<a<6,1<Z?<3,求?！?人取值范圍;

b

(2)已知1<〃+/?K5,-\<a-b<3,求3a-2b的取值范圍.

【答案】(1)a-2b￡(-4,4),—,6j；(2)3tz—2Z?e[—2,10]

【解析】(1)因?yàn)閘vb<3,由不等式的性質(zhì)可得-3v—bv-1,則-6v-2)v-2,

又2<a<6,故—4VQ—2Z?v4.

又一(一<1,2<a<6,故一<一〈6.

3b3b

綜上2bw(-4,4),—e

(2)令3a—2Z?=m(a+Z?)+〃(a—Z?),(/n,〃￡R),BP3a—2b={m+n)a+{m—n)b,

1

rcm=—

貝叫m+n=3c，解得7

\m-n=-2J

in=—

I2

則L/(a+b)/,

22、'222''2

所以一3+』<3(a-6)+工(a+6)<”+：,即一243a—26410.

綜上3a-2。e[-2,10]

【考點(diǎn)題型四】利用基本不等式求最值

方法總結(jié)：在用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，要滿足三個(gè)條件：一正二定三取等.

①一正：各項(xiàng)均為正數(shù)；

②二定：含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值;

③三相等：含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值.

【例4】（23-24高一上.江蘇常州?月考）（多選）設(shè)正實(shí)數(shù)a,b滿足a+6=l,貝U（）

B.而有最小值g

A.—+7有最小值4

ab

19

C.6+樂(lè)有最大值&D.ab-\■—b<——

216

【答案】ACD

【解析】A選項(xiàng)，由基本不等式得

當(dāng)且僅當(dāng)2即。=6=（時(shí)，等號(hào)成立，故A正確;

ab2

B選項(xiàng)，由基本不等式得a+b=l22，區(qū)，當(dāng)且僅當(dāng)。=6=］時(shí)，等號(hào)成立,

故而wg,即必最大值為:，B錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)，（&+斯）=a+b+2\[ab=1+2\[ab,

由B選項(xiàng)得，瘋W：,故（而+揚(yáng)『=1+2.<2

故G+仁0,當(dāng)且僅當(dāng)。=6=g時(shí)，等號(hào)成立，

夜+石有最大值及，C正確；

D選項(xiàng)，因?yàn)椤?6=1,所以。=1一6,其中。<6<1,

2

113999

^ab-\--b=（l-b^b+—b=-b2+—Z7=+——=b——I+—<—，

-卜-"1641616

319

當(dāng)匕=:時(shí)，等號(hào)成立，cib+—b<,D正確.故選：ACD

4216

【變式4-1］（23-24高一上?江蘇南通?月考）（多選）若a,人均為正數(shù)，且滿足2a+b=4,則（）

A.川的最大值為2B.++的最小值為4

C.3+1的最小值是4D.1+及的最小值為當(dāng)

ab5

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A：a,b均為正數(shù)，且滿足2.+人=4,

2a+

2ab<=4,解得必42,當(dāng)且僅當(dāng)2a=h=2時(shí)取等號(hào),

所以ab的最大值為2,故A正確；

對(duì)于B,a>0,b>0,則+=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?=1時(shí)取等號(hào),

2々+。=4,當(dāng)a=b=l時(shí)等式不成立，則等號(hào)取不到，

則的最小值不是4,故B不正確；

對(duì)于C：a,b均為正數(shù)，且滿足2a+b=4,

4ci2〃+Z?aalba.、［/口e、［，ba口口4,口

二.一+—=-----+-=2+-+->2+2J——=4,當(dāng)且僅當(dāng)一=不，即〃=87=一時(shí)n取等號(hào),

ababab\abab3

4a

所以？+f的最小值是4,故C正確；

ab

對(duì)于D：a,b均為正數(shù)，且滿足2a+Z?=4,貝ijZ?=4—2a>。，

又a>0,解得0<a<2,

8|216、16

貝1]<?+/=/+(4-24=5a2-16fl+16=5a

當(dāng)且僅當(dāng)。=|時(shí)取等號(hào)，所以/+〃的最小值為1,故D正確.故選：ACD.

【變式4-2］（23-24高一上?江蘇?月考）（多選）下列四個(gè)命題中，所有假命題為（）

A.a+b>2\［ab

19

B.設(shè)x,丫都是正數(shù)，若—+—=1,則的最小值是12

xy

、74

C.x-\——N4

x

hn

D.若ab>0,則f之2

ab

【答案】AB

【解析】對(duì)A：當(dāng)”,人為負(fù)數(shù)時(shí)時(shí)，a+bN2寂不成立,故A是假命題；

對(duì)B：因?yàn)橛穑┒际钦龜?shù)，所以x+y=（x+y）］—?—I=10H----F—>10+2/——=16,

y）y%'y%

9xy

當(dāng)且僅當(dāng)一=上即y=3x=12時(shí)取等號(hào)，所以尤+y的最小值是16,故B為假命題;

yx

對(duì)C：由題意可知無(wú)2>0,所以彳2+之馮%2:=4,

xVx

當(dāng)且僅當(dāng)爐=：即x=±拒時(shí)取等號(hào)，故C是真命題；

X

對(duì)D：若ab>0,則2>0,f>0,所以2+^22、祖2=2,

abab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)2=f即a=6時(shí)取等號(hào)，故D是真命題.故選：AB.

ab

【變式4-3]（23-24高一上.江蘇無(wú)錫?月考）（多選）下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有（）

A.函數(shù)y=x+，的最小值是2

X

B.如果尤>0,y>0,x+3y+xy=9,那么孫的最大值為3

2

c.函數(shù)〃無(wú)）r+5的最小值為5:

&+42

D.如果a>0,b>0,且----1------=1,那么的最小值為2

。+11+b

【答案】BCD

【解析】對(duì)A：當(dāng)尸-1時(shí)，y=-l-l=-2,所以最小值不是2,故A錯(cuò)誤；

對(duì)B：由已知可得9-召=x+3y22^/5^,解得0<^/^4粗，所以。（孫<3,

當(dāng)且僅當(dāng)尤=3>時(shí)成立，此時(shí)孫的最大值為3,故B正確；

對(duì)C：函數(shù)f（x）設(shè)《X2+4=t，t>2,

丁=/+1在[2,+8）上單調(diào)遞增，所以t=2時(shí)，取最大值g,故C正確;

〃

又寸D：〃+/?=〃+1+Z?+1—2=[(<2+1)+(Z2+1)](-------1-------)—2=1+1—2d---------1-------22,b+1+1_2

。+1Z?+1〃+1b+1a+\b+1'

當(dāng)且僅當(dāng)〃=〃時(shí)取得最小值為2,故D正確.故選：BCD.

314

【變式4-41（23-24高一上.江蘇南通?月考）已知x〉-三，J>0,且2x+y=2,則^—^+一的最小值

22x+3y

為.

【答案】|9

【解析】因?yàn)?x+y=2,所以（2尤+3）+y=5,

11+「^)+41

52x+3y5

N5+23丁19

5-5

當(dāng)且僅當(dāng)—"2x+3）,即％=一;,y=5時(shí)等號(hào)成立,

2%+3y33

149

所以e+7的最小值為手

49

【變式4-5】（233高一上?江蘇鹽城?月考）已知正實(shí)數(shù)Q滿足x+『5，則不十工行的最小值

為_(kāi)_________

【答案】5

【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿足x+y=g,所以3x+3y=5,

而3x+3y=（x+2y）+（2x+y）=5,

七+/?>=?［七+/?）?+2?。?》+刈

」義14+43+，）+9（》+2，）+9

5x+2y2犬+y

r../]、

=-13+—-----—H...—1>1fl3+2/（2元+?9（尤+21」（13+12）=5,

4（2x+y）9（x+2y}541

當(dāng)且僅當(dāng)‘丁=—一"且即％=：y=：時(shí)取等,

x+2y2x+y333

故答案為：5.

hn

【變式4-6】⑵3高一上?江蘇南京?月考）已知正數(shù)。”滿足〃+則丁目的最小值為

3

【答案匕

b—a?______b>—?-a-----b=—?-\-----

【解析】因?yàn)椤?2/?之。>0,故〃2b+ca4b+aa+\'

a

b]=1U/+1+11八U1/+1?11_3

又—-----------N2

J5+14.b.44百丁4.

a4-+1，a

aaa

［、_1,

當(dāng)且僅當(dāng)Z（）=3］，即時(shí)1等號(hào)成立.

4-+1a4

a

故夕盛的最小值為%

【考點(diǎn)題型五】基本不等式恒成立問(wèn)題

方法總結(jié)：不等式恒成立問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是已知不等式的解集求不等式中參數(shù)的取值范圍，在滿足條件的情況下

可以把參數(shù)分離出來(lái).常見(jiàn)求解策略是將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，即丁2加恒成立0ymin2根；

yVm恒成立oy111ax.但要注意函數(shù)中自變量的取值范圍，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法.

41

【例5】(23-24高一上?江蘇徐州?月考)已知正實(shí)數(shù)滿足--+—=1,不等式加4，+2b恒成立，則

a+bb+1

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.m<6B.m<5C.m<9D.m<8

【答案】D

4+1

【解析】易知a+26+l=(a+b+6+l)[^^+L[=5+^^+^^>5+2/(^)=9,

(a+bb+lja+bb+1ya+bb+1

所以可得a+2Z?N8；

當(dāng)且僅當(dāng)巴絲D="即。=4/=2時(shí)，等號(hào)成立；

a+bb-\-l

依題意需滿足機(jī)+所以mW8.故選：D

112

【變式5-1](23-24高一上?江蘇揚(yáng)州?月考)設(shè)。<根<大，若一+二丁之左恒成立，貝必的最大值為

2m1—2m

()

A.16B.2C.8D.1

【答案】C

【解析】因?yàn)椤！醇觱',0<2m<1,/.2m+(1-2m)=1,

2

i12222(1-2m)4m..12(1-2m)4m-.

則mt一+-----=(——+-----)[2m+(1-2m)]=---------+----------+4>2j-------------------+4=8o,

m1—2m2m1—2m2m1—2my2m1—2m

當(dāng)且僅當(dāng)絲網(wǎng)=/L,即根=!時(shí)取得等號(hào)，

2mI-2m4

17

由于一+丁丁2左恒成立，故左W8,

m1—2m

即左的最大值為8,故選：C

112

【變式5-2](23-24高一上?江蘇連云港?月考)已知x>0,y>0,且--+-=f,若x+y>/+3利恒成

x+2y3

立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(-4,6)B.(-3,0)C.(-4,1)D.(1,3)

【答案】C

【解析】因?yàn)橛?gt;0,y>。，且17+'=|',

x+2y3

所以2+>42+$++曰』+4+丁+1臼2+2.^~y兄+2、

=6,

x+2y,

vx+2

當(dāng)且僅當(dāng)—=——，即y=3,x=l時(shí)取等號(hào),

x+2y

所以無(wú)+>24,因?yàn)閤+y+3〃7恒成立，所以“r+3桃<4,

即(根-1)(根+4)<0,解得所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(-4,1).故選：C

【變式5-】(23-24高一上?江蘇蘇州?月考)已知x>0,y>0S.4x+y=xy.若x+y>M+8利恒成立，則

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.1根|根2mB.{耳機(jī)4-3}C.{時(shí)機(jī)21}D.{wz|-9V機(jī)<1}

【答案】D

41

【解析】由x>0,y>0,4x+y=孫得：一+-=1,

yx

.-.x+y=（x+y）|-+-|=5+—+^>5+2—.^-9（當(dāng)且僅當(dāng)%=3,y=6時(shí)取等號(hào)）,

I〉刈y%\yx

尤+y+8%恒成立，m2+8/77<9,解得：-9<m<1,

即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為｛時(shí)-故選：D.

【考點(diǎn)題型六】利用基本不等式證明不等式

方法總結(jié)：利用基本不等式證明不等式

(1)解題思路：從已知不等式和條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化

為需要證明的問(wèn)題.

(2)基本方法：利用基本不等式證明不等式時(shí)，首先要觀察題中要證明的不等式的形式，若不能直接使用

基本不等式，則考慮利用拆項(xiàng)、配湊等方法對(duì)不等式進(jìn)行變形，使之達(dá)到能使用基本不等式的目的；若題

目中還有已知條件，則首先觀察已知條件和所證不等式之間的聯(lián)系，當(dāng)已知條件中含有“1”時(shí)，要注意“1”

的代換.另外，解題中要時(shí)刻注意等號(hào)能否取到.

【例6】（23-24高一上?江蘇無(wú)錫?月考）證明:

“、什7八c――bb+m

(1)右a>10,機(jī)>0,求證：—<----；

aa+m

「、升八，八八、十2aba+b

(2)右。>0,%>0,aw%7,求證：----<----.

a+b2

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析

【解析】(1)證明：由a>6>0,m>0得〃一a<0,〃+根>。，

bb+mb(a+m)~a(b+m)m(b-a)

故--------=----------------=--------<0,

aa+ma(a+m)a(a+m)

*2bb+m

所以一<----;

aa+m

(2)證明：由題意a>0,〃>0,awb,故Q+Z?>2A/^,

,,lablabr-ra+blaba+b

故----<—i——vab<-------即----<----

a+b2?2a+b2

【變式6-1］（23-24高一上?江蘇宿遷?月考）已知。，。為正數(shù)，證明下列不等式成立:

⑴

ab

（2）aH-------23（其中a>1）

a-1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】（1）因?yàn)?。?為正數(shù)，

所以2+乒=2,當(dāng)且僅當(dāng)，=人時(shí)取等號(hào)，

ab\ab

所以。+晟22