2024-2025學年蘇科版八年級數(shù)學上學期期中解答壓軸題 （四大模塊十一大題型）

特訓06期中解答壓軸題（四大模塊，十一大題型）

目錄：

模塊1：全等三角形（題型1：截長補短法）

模塊1：全等三角形（題型2：倍長中線法）

模塊1：全等三角形（題型3：情景探究題）

模塊2：全等三角形、等腰三角形綜合（題型4：傳統(tǒng)幾何解答證明）

模塊2：全等三角形、等腰三角形綜合（題型5：截長補短法）

模塊2：全等三角形、等腰三角形綜合（題型6：定值問題）

模塊3：全等三角形、等腰三角形、線段的垂直平分線、角平分線綜合（題型7：角平分線中

作垂線）

模塊3：全等三角形、等腰三角形、線段的垂直平分線、角平分線綜合（題型8：截長補短法）

模塊4：勾股定理在前兩章的應用（題型9：折疊問題）

模塊4：勾股定理在前兩章的應用（題型10：情景探究題）

模塊4：勾股定理在前兩章的應用（題型11：三點共線的最值問題）

模塊1：全等三角形（題型1：截長補短法）

1.（24-25八年級上?江蘇無錫?階段練習）已知：VABC中，NAC3=9O。，AC=3C,點O為直線2C上一

動點，連接AD,在直線AC右側作且=

備用圖

（1）如圖1,當點。在線段上時，過點E作于"，直接寫出3D,AH,HE的關系：；

（2）如圖2,連接DE,當點。在線段2c的延長線上時，連接BE交C4的延長線于點“，求證：BM=EM；

（3）當點。在射線CB上時，連接BE交直線AC于若3AC=7。1,則&.：$△曲的值為

【答案】（l）HE=B￡）+4/

（2）見解析

%3或;3

第1頁共64頁

【分析】(1)由結合已知得NW=ZADC結合題意證，應IFqAZ)C(AAS),利用全等的性質(zhì)和線段的和差

關系進行求解即可；

(2)如圖2,過點E作印，A",由垂直得結合已知證.⑷VE當QO(AAS),得到EN=AC,BC=NE,再

證，BCM^ENM(AAS)即可得到結果；

7

(3)分兩點情況，一是點。在CB的延長線上，設AC=7a,則。0=3a,由3AC=7CM得AC=§CM,

S3

推出AM=10a,CD=13o,BD=6a,可求得《磔=不二是點D在線段BC上，^CM=GM=n,貝U

3AEM3

74?S3

BD=CG=2n,推出AM=；7cM-CM，得到S.=〃」AC,SA￡M=f?.AC,所以金紇=3，即可.

3332

【解析】(1)解：AE±AD,EF±AC,

ZAFE=NEAD=ZACB=90。，

.?.ZDAC+ZADC=90°,ZDAC+ZEAH=90°,

:.ZEAH=ZADC,

又AE=AD,ZAFE=ZACD=90°f

EAHWAZ)C(AAS),

:.EH=AC,AH=CD,

AC=BC,

：.AC—AH=BC—CD,

：.BD=CH,

,:AC=AH+CH

:.EH=BD+AH；

(2)證明：如圖2,過點E作石

AE±AD,ENLAM,

:.ZANE=ZEAD=ZACB=9(T,

.\ZDAC-^ZADC=90°,ZDAC+ZEAN=90°,

..ZEAN=ZADCf

第2頁共64頁

又AE=AD,ZANE=ZACD=90°,

:,,ANE^DCA(AAS),

:.EN=ACf

BC=AC,

BC=NE,

又ZBMC=AEMN,"CM=ZENM=90。，

3cMgENM(AAS),

:.BM=EM；

(3)如圖，當點。在線段CB的延長線上時，連接8E交直線AC于過點E作ENLAC,交AC的延長

線于N,

設AC=7a,則CM=3a,BC=AC=la,

AELAD,ENVAC,

..ZANE=ZEAD=ZACB=90°,

.\ZDAC+ZADC=90°,ZDAC-^-ZEAN=90°,

:.AEAN=ZADC,

又AE=AD,ZANE=ZACD=90°,

JANE"Z)CA(AAS),

.\EN=AC=BC=7afAN=CD,

又NBMC=NEMN,ZBCM=ZENM=90°,

/.BCM^ENM(AAS),

:.CM=NM=3a,

AM=AC+CM=7a+3a=10a,

:.CD=AN=AC+CM+MN=\3a,

BD=CD—BC=13a—7a=6a,

第3頁共64頁

Q-BD-ACA、q

.SMO_26a,la_3

SAEMLAM.EN10".7。5

2

如圖4,點。在線段5C上，過點石作EG,AC,

同理可得：EG=AC=BC,CM=MG,

設CM=GM=n,則8D=CG=2〃，

3AC=1CM,

7

AC=-CM,

3

744

AM=-CM-CM=-CM=-n,

333

11i14?

??SAnn=—DB-AC=—x2〃-AC=n-AC,S=—AM?EG=—x—zz-AC=—n-AC,

AL)D22'AF2M233，

.□ABD_X

°VAEM42，

綜上所述，產(chǎn)=5或9，

dAEM25

33

故答案為：S或

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積公式，線段的和差關系，難度較大，屬于壓軸

題，解題的關鍵是證明三角形全等并運用性質(zhì)進行等量換算.

2.(23-24八年級上.江蘇南京.階段練習)如圖1,在四邊形ABCD中，

AB=AD,NBA。=120。,N3=NADC=90。，E、尸分別是BC、CD上的點，且Z￡XF=60。，試探究圖中線段

BE、EF、ED之間的數(shù)量關系.

(1)小亮同學認為：如圖1,延長FD到點G,使DG=BE,連接AG,先證明,再證明

^AEF^AGF,可得出結論是什么？并給出理由.

第4頁共64頁

(2)如圖2,在四邊形MCD中，AB=AD,+180°,E,尸分別是BC、8上的點，ZEAF=^ZBAD,

上述結論是否仍然成立？說明理由.

(3)如圖3,在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心(。處)北偏西30。的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70。

的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前

進，艦艇乙沿北偏東50。的方向以80海里/小時的速度前進1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別

到達處，且兩艦艇之間的夾角(/MON)為70。，試求此時兩艦艇之間的距離.

(4)如圖4,已知在四邊形A8CD中，ZABC+ZADC=1SO°,AB=AD,若點E在CB的延長線上，點尸在CO

的延長線上，仍然滿足1中的結論，請直接寫出與的數(shù)量關系并加以說明.

【答案】Q)EF=BE+FD,理由見解析

(2)仍成立，理由見解析

(3)210海里

(4)ZEAF=180°-1ZDAB,理由見解析

【分析】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應用，解決

問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應角相等進行推導變形.解題時注意：同角

的補角相等.

(1)延長ED到G,使DG=BE,連接AG,先證明絲△ADG,再證明烏AGF,則可得到結

論；

(2)延長ED到G,使DG=BE,連接AG,證明△ADG,再證明..AEFgAGF,則結論可求；

(3)連接所，延長AE、8尸交于點C,利用已知條件得到：四邊形Q4BC中：OA=OB,ZOAC+ZOBC=180°

且NEO尸=符合(2)具備的條件，則=

(4)在DC延長線上取一點G,使得DG=BE,連接AG,先判定一ADG之一/WE,再判定“AEF竺AGF,

得出NE4E=/E4G,M^ZE4E+ZFAG+ZGAE=360°,推導得到2NE4E+N￡MB=360。，即可得出結論.

【解析】(1)解：如圖1,延長ED到點G,使DG=BE,連接AG,

BE

圖I

第5頁共64頁

在/ABE和ZkADG中,

AB=AD

</8=/A0G=9O。，

BE=DG

:.ABE^.ADG(SAS),

.\ZBAE=ZDAG,AE=AG,

ZBAE+ZEAF-^-ZFAD=ZBAD=120°,

：.ZDAG+ZEAF+ZFAD=120°f即ZE4F+ZE4G=120。，

ZE4F=60°,

ZE4G=ZE4F=60。，

在△AEF和eAG尸中，

AE=AG

<NEAF=ZFAG,

AF=AF

.,._AEF烏AG廠(SAS),

...EF=FG,

GF=GD+DF=DF+BE,

:.EF=BE+DF^

(2)解：仍成立，理由如下:

如圖2,延長ED到點G,使0G=BE,連接AG,

ZB+ZAT>C=180°,ZADC+ZAT>G=180°,

:./B=ZADG,

在，AB石和ZXADG中,

AB=AD

<ZB=ZADG=90°,

BE=DG

ABE^ADG(SAS),

第6頁共64頁

:.AE=AG,/BAE=NDAG,

ZBAD=ZBAE+ZEAD,ZEAG=ZEAD+ZDAG,

.\ZBAD=ZEAG.

ZEAF=-ZBAD,

2

:.ZEAF=-ZEAG,

2

.-.ZEAF=ZGAF.

在△AEF和AAG/中，

AE=AG

<NEAF=ZGAF,

AF=AF

.?.^AEF^AGF(SAS),

EF=FG,

GF=GD+DF=DF+BE,

:.EF=BE+DF-,

(3)解：連接MN,延長AM、BN交于點C,如圖3,

ZAOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,ZMON=JO0,

圖3

ZMON=-ZAOB,

2

OA=OB,ZOAC+Z.OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°,

在四邊形。4BC中：OA=OB,/。4。+/05。=180。且//0雙=34402,

四邊形Q4BC符合(2)中的條件，

.1結論MN=+3N成立，

BPMN=AM+BN=1.5x60+1.5x80=2W(海里)，

答：此時兩艦艇之間的距離是210海里.

(4)解：結論：Z￡AF=180°--ZPAB.

2

理由：如圖4,在0c延長線上取一點G,使得DG=3E,連接AG,

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ZABC+ZA￡)C=180°,ZABC+ZABE=180°,

:.ZADC=ZABE,即/ABE=/ADG

在,鉆石和^相^中,

AB=AD

</ABE=ZADG,

BE=DG

ABE會ADG(SAS),

:.AG=AE,ZDAG=ZBAE,

:點E在CB的延長線上，點尸在CO的延長線上，仍然滿足(1)中的結論,

即跖=3E+D尸，

EF=DG+DF=GF

在△AEF和AAGF中，

AE=AG

<AF=AF,

EF=GF

:.AEF￡AGF(SSS),

:.ZFAE=ZFAG,

ZFAE+ZFAG+ZGAE=360°,

2ZFAE+(ZG4B+ZBAE)=360°,

2ZFAE+(ZGAB+ZDAG)=360°,

即2ZFAE+ZDAB=360°,

ZEAF=180°--ZDAB.

2

模塊1：全等三角形(題型2：倍長中線法)

3.(23-24八年級上?江蘇南通?期中)課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1,VABC中，若

AB=6,AC=4,求BC邊上的中線AD的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如

第8頁共64頁

圖1所示，延長A。到點E,使。E=AD，連接班.請根據(jù)小明的思路繼續(xù)思考:

(1)由已知和作圖能證得VADCZVEDB,得至U3E=AC,在,ABE中求得2AD的取值范圍，從而求得的

取值范圍是.

方法總結：上述方法我們稱為“倍長中線法”.“倍長中線法”多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系；

⑵如圖2,AD是VASC的中線，AB=AE,AC=AF,ZBAE+ZCAF=180°,試判斷線段AD與防的數(shù)量

關系，并加以證明；

(3)如圖3,在VA3C中，是BC的三等分點.求證：AB+AC>AD+AE.

【答案】⑴1<AD<5

(2)EF=2AD,證明見解析

(3)見解析

【分析】本題考查了三角形三邊關系，三角形全等的性質(zhì)與判定，利用倍長中線輔助線方法是解題的關鍵.

(1)延長AD到點E,使連接BE,根據(jù)題意證明MDBmADC,可知3M=AC,在二ABM中,

^^AB-BM<AM<AB+BM,即可；

(2)延長AD到使得=連接BM，由(1)的結論以及已知條件證明尸，進而可

得AM=24),由4欣=所，即可求得AD與的數(shù)量關系；

(3),取DE中點連接AH并延長至。點，使得AH=QH,連接QE和QC,通過“倍長中線”思想全

等證明，進而得到AB=CQ,A。=E。,然后結合三角形的三邊關系建立不等式證明即可得出結論.

【解析】(1)解：如圖1所示，延長AD到點E,^DE=AD,連接BE.

是“ABC的中線，

BD=CD,

在,"08和ADC中，

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BD=CD

<ZBDM=ZCDA,

DM=AD

：.MDB^tAPC(SAS),

JBM=AC=4,

在.ABN中，AB-BM<AM<AB+BM,

A6-4<AM<6+4,即2VAM<10,

：.1<AD<5,

故答案為：Iv4)v5.

(2)EF=2AD,理由：

如圖2,延長4D到M，使得DM=">,連接BM，

由(1)知，BDM=^.CDA(SAS^,

BM=AC,ZM=ZMAC

AC=AF,

:.BM=AF,

VZMBA+ZM+ABAM=,即ZMBA+NBAC=180。,

又:ZBAE+ZCAF=1SO°,

AZE4F+ZBAC=180°,

???ZEAF=ZMBA,

XVAB=￡A,

.?.ABM^E4F(SAS),

：.AM=EF,

,/AD=DM,

第10頁共64頁

：.AM=2AD,

?；AM=EF,

???EF=2AD.

(3)證明：如圖所示，取DE中點H,連接AH并延長至。點，使得=連接?！旰?。。,

?IH為DE中點、,D、￡為3c三等分點，

DH=EH,BD=DE=CE,

：.DH=CH,

在一ABH和QC”中，

BH=CH

<ZBHA=ZCHQ,

AH=OH

：.-ABH^QCH（SAS）,

同理可得：ADHmQEH,

；.AB=CQ,AD=EQ,

此時，延長A石交C。于K點，

?.?AC+CQ=AC+CK+QK,AC+CK>AK,

：.AC+CQ>AK+QK,

?.?AK+QK=AE+EK+QK>QE,EK+QK>QE,

AK+QK>AE+QE,

：.AC+CQ>AK+QK>AE+QE,

,.?AB=CQ,AD=EQ,

：.AB+AC>AD+AE.

模塊L全等三角形（題型3：情景探究題）

4.（23-24八年級上?江蘇鹽城?階段練習）問題提出：.

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(1)我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形，如圖VABC中，AC=8,BC=9,AB=10,

產(chǎn)為AC上一點，當AP=_時，一ABP與CBP是偏等積三角形；

問題探究：

(2)如圖，△ABD與，ACD是偏等積三角形，AB=2,AC=6,且線段AD的長度為正整數(shù)，過點C作

CE〃互交AD的延長線于點E,則AD的長度為二

問題解決：

(3)如圖，四邊形ABED是一片綠色花園，CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=90°

(0°<ZBC￡<90°).ACD與是偏等積三角形嗎？請說明理由.

圖1圖2圖3

【答案】(1)4；(2)3；(3)是，理由見解析

【分析】(1)連接旅，由一ABP與CBP在AP、CP邊上的高相等，可知當點尸為AC中點時，一與CBP

面積相等，但此時“尸與,CBP不全等，所以，A3P與-CBP是偏等積三角形，則AP=CP=4,于是得

到答案；

(2)先由△W￡>與ACD是偏等積三角形，且△ABD與.ACD在3。、C。邊上的高相等，得BD=CD,

再證明絲△ABD,得ED=A￡>,EC=AB=2,由三角形的三邊關系得6—2<2A￡><6+2,貝！J

2<AD<4,而是正整數(shù)，則AD=3；

(3)先證明NACDANBCE,再由C4=CB,CD=CE,說明ACD與*BCE不全等，作即，CE于點尸，

AGLDC交。C的延長線于點G,可證明ACG^..BCF,^AG=BF,即可證明.ACD與.3CE面積相等,

從而證明ACD與3CE是偏等積三角形.

【解析】解：(1)如圖1,連接3P,

圖1

第12頁共64頁

ABP與CBP在AP、CP邊上的高相等,

.?.當AP=CP=gAC=gx8=4,_ABP與CBP面積相等，

BC=9,AB=10,

s.BC^AB,

AP^CP,BP=BP,BC片AB,

..ASP與一CBP不全等，

,此時—ABP與二CBP是偏等積三角形，

故答案為：4.

(2)如圖2,ABD與ACD是偏等積三角形，且△ABD與ACD在5。、CD邊上的高相等,

BD=CD,

QCE〃AB,

:.ZE=ZBADf

在和△45。中，

ZE=ZBAD

<ZEDC=ZADB,

CD=BD

.?.△ECD^AABD(AAS),

；.ED=AD,EC=AB=2,

AC-EC<AE<AC+EC,且AC=6,AE=2AD,

6—2V224Z)<6+2,

:.2<AD<4,

V線段AD的長度為正整數(shù)，

AD=3,

故答案為：3.

第13頁共64頁

(3)ACD與BCE是偏等積三角形,

理由：如圖3,

圖3

QZACB=NDCE=90。,

.\ZACD+ZBCE=180°,

0°<ZBCE<90°,

:.ZACD>90°,

..ZACD^ZBCE,

CA=CB,CD=CE,

lACD與MCE不全等，

作5方，CE于點尸，47，。。交。。的延長線于點6,則NG=NB方。=90。，

ZECG=180°-ZDCE=90°,

/.ZACG=ZBCF=90°-Z.BCG,

在_ACG和V5CF中，

ZG=ZBFC

<ZACG=ZBCF,

CA=CB

AACG^ABCF(AAS),

:.AG=BF,

：.-CDAG=-CEBF,

22

ACD與，BCE面積相等，

ACD與，BCE是偏等積三角形.

【點睛】此題重點考查新定義問題的求解、三角形的三邊關系、同角的余角相等、全等三角形的判定與性

質(zhì)等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵.

模塊2：全等三角形、等腰三角形綜合(題型4：傳統(tǒng)幾何解答證明)

第14頁共64頁

5.(24-25八年級上?江蘇蘇州?階段練習)如圖，在RtZXMC中，ZACB=90°,AC=BC,。為A3邊的

中點，點、E、F分別在射線C4、BC±,且NED尸=90。，連接EF.

(1)如圖1,當點E、尸分別在邊C4和BC上時，連接CD,

①判斷跖的形狀，并說明理由；

②寫出&EFC、S^EFD和SABC的關系，并說明理由；

(2)探究：如圖2,當點區(qū)廠分別在邊C4、3C的延長線上時，寫出SVEFC、5讖陽和SABC的關系，并說明理

由；

(3)應用：若AC=6,AE=2,利用上面的結論，直接寫出一的面積：.

【答案】(1)①」)EF是等腰直角三角形，理由見解析；^=8EFD+SEFC,理由見解析

(2)ABC+EFC=EFD，理由見解析

(3)5或17

【分析】本題主要等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積等知識點，根據(jù)圖形構造

全等三角形成為解題的關鍵.

(1)①如圖：連接CD,再證明△AED絲可得3E=O/即可判斷_DEF的形狀；

②根據(jù)八皿四△CFD,再結合圖形即可解答；

(2)如圖：連接CD,即同(1)可證明△血(絲△CFD,根據(jù)△AED注△”口的性質(zhì)結合圖形即可解答;

(3)根據(jù)(1),(2)中的結論，代入相關數(shù)據(jù)求解即可.

【解析】(1)解：①/)EF是等腰直角三角形，理由如下：

如圖，連接C。，

第15頁共64頁

c

F

'

ADB

在RtZkABC中，AC=BC,。為A3邊的中點，

CD±AB,ZA=ZB=45°f

???NA=NACD=45。，

???△ADC是等腰直角三角形，

:.AD=CD,

：.ZDCF=ZA=45°,

?.?NEDF=90。,

???ZEDC+ZCDF=90°,

ZEDC+ZADE=90°f

JZADE=ZCDE,

：._AED^_CFD(ASA).,

:.DE=DF,

VZEDF=90°,

??..QEF是等腰直角三角形.

②5sABC=SEFD+SEFC，理由如下：

?；△AED%MFD,

?,S/\AED=S&CFD，

根據(jù)圖中所示，S2C=S2E+SCDE=SCDF+S.CDE=SEFD+SEFC，

,/。為AB邊的中點，

,?SADC=52ABC，

?J_C_Cc

ABC

.,2u_Q.EFDT。.EFC.

(2)解：］SABC+SEFC=SEFD，理由如下：

如圖，連接CD,

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F

C

B

在RtZkABC中，AC=BCf。為A5邊的中點，

.*.CD±AB,ZCAD=ZB=45°,

JZCAD=ZACD=45°,

???△AOC是等腰直角三角形，

:.AD=CD,

：.ZACD=ZBCD=45°,

：.l80°-ZACD=180°-/BCD,ZEAD=ZFDC,

?：NEDF=90。,

：.ZADF+ZEDA=90°,

*：ZADF-^ZFDC=90°,

：.ZEDA=ZFDCf

：.AED"CFD（ASA）.,

,Q-Q

..一°ACFD，

根據(jù)圖中所示可得：SACD+sEFC=SEFD，

?「O為AB邊的中點，

,,SADC=5SABC，

?J_VaQ-v

ABC

,,2EFC~0EFD?

（3）解：①如（1）中結論，

VAC=6,AE=2,

11

?'-5=-AC92=-x692=18,

■4Rcr22

S￡FC=|CFCE=|AE（AC-AE）=^X2X（6-2）=4,

?,J_v-vaq

?2ABC-0EFD丁。.EFC，

第17頁共64頁

?,SEFD=3S.ABC—S.EFC=5X18—4=5；

②如（2）中結論,

：AC=6,AE=2,

1,1,

S=-AC2=-x62=18,

ABRCr22

S￡FC=|CFCE=|AE（AC+AE）=|X2X（6+2）=8,

,,JLV+V=V

,2ASC丁u,EFC_2,EFD，

?,S.EFD=]5,板+S.EFC=QX18+8=17

故答案為：5或17.

模塊2：全等三角形、等腰三角形綜合（題型5：截長補短法）

6.（23-24八年級上?江蘇南通?期末）如圖1,在VABC中，AB=AC,BC=6,ABAC=90°,點、D為YABC

外一點，且在AC右側，BC上方，ZBDC=9Q°,連接AD,作交BD于點、F,

(1)圖1中與NACD相等的角是；

(2)如圖2,延長AD與射線BC相交于點E,

①求NCDE的度數(shù)；

②過點/作A。的平行線，交3C于點G,求GE的長.

【答案】(l)NABF;

⑵①NCDE=45°；?GE=6.

【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握全等三角形的性

質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì).

(1)先證明NB4F=NC4D,在48。和CDQ中，ZBAQ=ZCDQ=90°,ZAQB=ZDQC,即可解答;

(2)①由(1)證明△門是等腰直角三角形，即可解答；

②過點B作交AF的延長線于N,連接GN,過點8作加'交引V于點M,證得

&W空C4E(ASA),進而證得一3收是等腰直角三角形，NBM會&GBF(ASA),即可解答.

第18頁共64頁

【解析】（1）解：??,AFLAD,ABAC=90°,

：.ZBAC-ZFAC=ZFAD-ZFAC,

：.ZBAF=ZCAD,

設AC、BD交于點Q,

在.ABQ和CDQ中，ZBAQ=ZCDQ=90°fZAQB=ZDQCf

:.ZABF=ZACD,

故答案為：ZABF；

（2）①由（1）得人鉆/AACD,

:.AF=AD,

???是等腰直角三角形，

???NAZ）產(chǎn)=45。，

???NBDC=90。,

???ZCDE=180°-ZADF-ZBDC=45°；

②如圖，過點8作BN上班交川的延長線于N,連接GN,過點3作曲方交尸N于點M,

VABAC=90°,AB=AC,

：.ZABC=ZACB=45°,

：.ZACE=ZABN=135°,

ZBAN+ZNAC=ZNAC+NCAE=90°,

ZBAN=CAE9

在么應W和1C4E中，

第19頁共64頁

ZABN=ZACE

<AB=AC

ZBAN=/CAE

：.BAN-C4E(ASA),

BN=CE,

???FG//AD,

：.ZNFG=ZFAD=90°,

,/是等腰直角三角形，

???ZAFD=NBFM=45。,

???瓦加f是等腰直角三角形，

：.ZMBF=90°,/BMF=/BFM=45。,

ZNBM+ZMBG=ZMBG+ZGBF=90°,

:.ZNBM=/GBF,

在JVBM和一G?尸中，

NNBM=ZGBF

<BM=BF,

NBMN=ZBFG=135°

??.GBF(ASA),

???BN=BG=CE,

：.GE=GC+CE=GC+BG=BC=6.

7.(24-25八年級上?江蘇南京?階段練習)已知VABC為等腰三角形，NABC=90。，點尸在線段5C上(不

與B、。重合)，以AP為腰作等腰直角△PAQ,如圖1,過。作。石，AB于區(qū)

(1)求證：也A4QE；

(2)連接C。交AB于M,探究線段PC與線段瀏/之間存在什么數(shù)量關系？并說明理由;

第20頁共64頁

(3)如圖2.過點。作。A。交AB的延長線于點E過點尸作。尸，AP交AC于點D連接。尸.當點尸

在線段BC上運動時(不與2、C重合).式子吟”的值會變化嗎？若不變，求出該值：若變化，請說

明理由.

【答案】(1)見詳解

⑵PC=2BM,理由見解答過程

⑶式子QF~^P的值不會變化，QF~^P=1

DFDF

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識.

(1)根據(jù)題意得到AP=AQ,ZABP=ZQEA=90°,ZQAE+ZBAP=ZBAP+ZAPB=90°,進而得到

NQAE=ZAPB,即可證明△PAB會AAQE；

(2)根據(jù)經(jīng)ZXAQE得到.=尸3,AB=QE,進而證明-QEM-CBM,得至=即可證明

AE+EM+BM=PC+PB=PC+AE,從而證明尸C=2BM；

(3)作HA_LAC交Q尸于點H,先證明aAQ-APD,得到A//=AD,QH=PD,再證明1MHp空_AD尸，

后門口QF-QHHF,

得至1]5=。尸，即可得到上------=-_—=—=1.

DFHFHF

【解析】(1)證明：：△ACS為等腰三角形，NABC=90。，點P在線段BC上(不與B,C重合)，以U

為腰長作等腰直角△弘。，2石，43于￡.

:.AP=AQ,ZABP=ZQEA=90°,NQAE+ZBAP=ZBAP+ZAPB=90°,

NQAE=ZAPB,

在.和-AQE中，

ZABP=ZQEA

<ZAPB=NQAE,

PA=AQ

：.PAB沿AQE(AAS)；

(2)解：PC=2BM；理由如下:

,//\PAB^/\AQE,

:.AE=PB,AB=QE,

"?AB=CB,

:.QE=CB.

在△QEM和一C3”中，

第21頁共64頁

ZQME=ZCMB

</QEM=NCBM,

QE=CB

QEM^CBM,

：.ME=MB,

9：AB=AE+EM+BM,BC=PC+PB,

:.AE+EM+BM=PC+PB=PC+AE,

PC=2BM；

gfPP

（3）解：式子Q/P的值不會變化,f~=l,

DFDF

理由如下：

如圖所示：作交。產(chǎn)于點

/.ZQAH+ZHAP=ZHAP+ZPAD=90°,ZAQH=ZAPD=90°,

ZQAH=ZPAD,

???△PAQ為等腰直角三角形，

/.AQ=AP,

在4^?！昂?APD中，

ZAQH=ZAPD

<AQ=AP,

ZQAH=NPAD

/.AQH^APD,

.\AH=AD,QH=PD,

???VABC為等腰直角三角形，ZABC=90°,

:.ZBAC=ZBCA=45°f

*：HALAC,

第22頁共64頁

ZHAF=ZDAF=45°,

在△AHF和△ADf'中,

AH=AD

ZHAF=ZDAF,

AF=AF

dAHF冬ADF,

:.HF=DF,

,QF-DPQFQHHF_1

-DF-HF~HF~'

模塊2：全等三角形、等腰三角形綜合(題型6：定值問題)

8.(23-24八年級上?江蘇泰州?期中)已知中，ZADB=90°,AD=BD,。為邊8。上一點，點C在

AO延長線上，連接BC、CD.

⑴如圖1,已知O8=2OD,AO^CO,當AD=12時，求上OC的面積；

(2)如圖2,過點2作AC的垂線，分別交AC、CD于點H、E,過點。作OPLCD交AC于歹，連接砂,

求NDEF的度數(shù)；

(3)如圖3,當點。在8。上運動，且/ACB始終為90。時，過點。作OGLAC,垂足為G,則史暗

的值是否發(fā)生改變？若不變，求出這個值；若發(fā)生改變，說明理由.

【答案】(1)48

(2)45°

(3)不發(fā)生改變，2

221

【分析】⑴由ZADB=90°,OB=2OD，可得5.3=§SABD，由A。=CO，可得SBOC=S=-?—?AD-BD,

計算求解即可；

(2)由COLORADLBD,可得ZADF=NBDE,由三角形內(nèi)角和定理，對頂角相等可得NZMF=NDBE,

證明ADF^BDE(ASA),則/)尸=OE,進而可得」)砂是等腰直角三角形，ZDEF=45°；

第23頁共64頁

(3)如圖，作DPLCD交AC于點P,同理(2)可證，ADP^BDC(ASA),則D尸=DC,△(?/)尸是等

腰直角三角形，G是CP的中點，SCDP=2SCDG,由

S"板=(SA8+S.)一(SBOC-SABO)=SACD-SBCD=SCDP=2SCDG,進而可求得S-42氏S-4照=2,

然后作答即可.

【解析】(1)解：VZADB=90°,OB=2OD,

,,UAOB~AOD?

,??OSAOB_~~3SOABD，

AO=COf

二

SDRC/CV=SnAtRj\nj=-3---2--AD-BD=—3x—2x12x1248,

BOC的面積為48；

(2)解：VCD±DF,ADVBD,

ZADF+NBDF=90°=Z,BDC+ZBDF,

ZADF=ZBDE,

ZDAF+ZADO+ZAOD=180°=ZDBE+ZBHO+ZBOH,ZAOD=ZBOHZADO=90°=Z.BHO,

/.ZDAF=NDBE,

'：ZDAF=ZDBE,AD=BD,ZADF^ZBDE,

.ADF會BDE(ASA),

DF=DE,

'：NCDF=90。,

J)EF是等腰直角三角形，/DEF=45°；

(3)解：如圖，作DPI.CD交AC于點P,

同理(2)可證，ADP^BZ)C(ASA),

/.DP=DC,△CDP是等腰直角三角形,

第24頁共64頁

■:DGA-CP,

???G是CP的中點,

,??0SCDP-—乙7”VCDG，

**SABD_SABC=(SAOD+SABO)—(SBOC-SABO)

_s

=°qAOD°BOC

=(SAOD+SCDO)—(SBOC—SCDO)

一

—0Q,ACD-力VBCD

~0,ACD°ADP

=SCDP

=2S,CDG,

?SABD-SABC_2

SCDG

...S"々-S"BC的值不發(fā)生改變,值為2.

'△CDG

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，中線與面積，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定

理等知識.熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，中線與面積，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定

理是解題的關鍵.

9.（23-24八年級上?江蘇南通?階段練習）已知等腰VABC和等腰VAPE中，AB^AC,AD=AE.

圖(1)圖(2)圖(3)

⑴如圖（1）,①若AB=7,AD=3,在等腰VADE可繞點A旋轉過程中，線段CD的最大值為；

②若NB4C=NZME=40。，當8、。、E三點共線時，則NAEC的度數(shù)為；

（2）如圖（2）,若AC=AD,且C與。重合，ZBAC=60°.當NZME的大小在0。?90。范圍內(nèi)之間任意改變,

/8EC的度數(shù)是否隨之改變？請說明理由；

第25頁共64頁

⑶在(2)的條件下，尸是EC延長線上一點，S.BF=EF,連接AF,如圖3,試探究取,q,FC之間的關系，

并證明.

【答案】(1)①10;②110°或70°

(2)/BEC的度數(shù)不變，理由見解析

O)FA=FB+FC,理由見解析

【分析】

(1)①連接CD,由CD<AC+AD,AB=AC=7,AD=3,得CDW10,則線段CD的最大值為10,于是得

到問題的答案；②分兩種情況討論，一是8、。、E三點共線，且點。在線段BE上，設的交AC于點尸，

由AB=AC,AD=AE,NS4c=NZME=40°,得NBAD=NCAE,ZAED=70°,可證明△BAD四△C4E,

得ZABD=ZACE,所以ZAPE-ZABD=ZAPE-ZACE,則NBAE=NBEC=40。,即可求得

ZAEC=ZAED+ZBEC=110°；二是3、D、E三點共線，且點E在線段3D上，設CE交A于點R,則

ZCAE=ABAD=40°+ABAE,40=44￡0=：乂(180。-40。)=70。,可證明AACE^AABD,得

ZAEC=ND=70°,于是得到問題的答案；

(2)由AB=AC=AE,得ZAEC=NACE=:(180。-/CAE),NA￡B=NABE=；(180。一ZBAE),則

NBEC=1(180°-ZC4￡)-1(180°-ZBAE)=|ABAC=30°,所以/BEC的度數(shù)不變.

(3)在線段AF上截取尸。=尸3,連接BQ,可證明VABC是等邊三角形，得AS=CB,ZABC=60°,由

BF=EF,得NEBF=NBEC=30。,則ZBFE=120°,再證明AF垂直平分8E,則

ZBFQ=ZEFA=|ZBFE=60°,所以。防是等邊三角形，則=NQBb=60。，可推導出

ZABQ=NCBF,即可證明ABQCBF,得QA=FC,所以AF=尸Q+QA=EB+PC.

【解析】(1)解：①如圖(1),連接C。，

AB=AC=7,AD=3,

AC+AD=7+3=10,

CD<AC+AD,

:.CD<\0,

線段CO的最大值為10,

故答案為：10.

②如圖(1)①，B、D、E三點共線，且點。在線段BE上，設砥交AC于點P,

第26頁共64頁

A

AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=40°,

/.ZBAD=ZCAE=40°-ACAD,ZAED=；x(180。-40°)=70°,

在_84。和..C鉆中，

AB=AC

<NBAD=NCAE,

AD=AE

BAD^C4E(SAS),

:.ZABD=ZACE,

,\ZAPE-ZABD=ZAPE-ZACEf

ABAC=ZAPE-ZABD,ZBEC=ZAPE-ZACE,

:.ZBAE=ZBEC=40°f

ZAEC=ZAED+NBEC=110°；

如圖(1)②，3、D、E三點共線，且點E在線段3。上，設CE交48于點H,

圖⑴②

AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=40°f

ZCAE=/BAD=40°+/BAE,ZD=NAED=|x(180°-40°)=70°,

在/VICE1和中，

第27頁共64頁

AC=AB

<NCAE=/BAD,

AE=AD

.aACE咨ABD(SAS),

:.ZAEC=ZD=10°,

故答案為：110。或70。.

(2)/班。的度數(shù)不變，

理由：AB=AC,AD=AE,AC=AD,且。與。重合，

/.AB=AC=AE,

/.NAEC=ZACE=1(180°-NCAE),ZAEB=/ABE=1(180°-NBAE),

QZBAC=60°,

/./BEC=ZAEC-ZAEB=；(180°-ZCAE)-1(180°-/BAE)=gABAC30°,

的度數(shù)不變.

(3)FA=FB+FC,

證明：如圖(3),在線段AF上截取世=用，連接5Q,

AB=AC,ZBAC=6^0,

、ABC是等邊三角形，

.AB=CB,ZABC=60°,

BF=EF,

./EBF=ZBEC=30。,

./BFE=180?！?EBF—/BEC=120。,

BF=EF,AB=AE,

.點尸、點A都在跖的垂直平分線上,

第28頁共64頁

垂直平分BE,

NBFQ=ZEFA=；NBFE=60°,

??-Q8尸是等邊三角形，

:.QB=FB,ZQBF=60°,

NABQ=NCBF=60°-ZCBQ,

在.A3。和VCBP中，

AB=CB

<ZABQ=ZCBF,

QB=FB

ABQZ.C幽SAS),

:.QA=FC,

.■.AF=FQ+QA=FB+FC.

【點睛】此題重點考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關系、三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與

性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，此題綜合性強，難度較大，屬于考試

壓軸題.

模塊3：全等三角形、等腰三角形、線段的垂直平分線、角平分線綜合(題型7：角平分線中作垂線)

10.(24-25八年級上?江蘇揚州?階段練習)在VABC中，AB=5,AC=3.若點。在，3AC的平分線所在

的直線上.

圖1