復變函數(shù)與積分變換完整版課件全套ppt整本書電子講義全書電子課件最全教學教程

1、第1章 復數(shù)與復變函數(shù)1.1 復數(shù)1.1.1 復數(shù)的概念設 ， 為兩個任意實數(shù)，稱形如 的數(shù)為復數(shù)，記為 ，其中 滿足 ，稱為虛數(shù)單位.實數(shù) 和 分別稱為復數(shù) 的實部和虛部，記為 ， . 各數(shù)集之間的關系可表示為 1.1.2 復數(shù)的代數(shù)運算設復數(shù) ， ，定義 與 的四則運算如下：加法：減法：乘法：除法：復數(shù)四則運算規(guī)律： （1）加法交換律 （2）乘法交換律 （3）加法結合律 （4）乘法結合律 （5）乘法對于加法的分配律 復數(shù)運算的其它結果：（1）（2）（3）若 ，則 與 至少有一個為零，反之亦然. 共軛復數(shù)的運算性質： （1） （2）（3）（4）（5） （6）（7） 為實數(shù).例1 化簡 . 解

2、 例2 設 ，求 及 .解 所以 1.1.3 復數(shù)的各種表示、模與輻角1.復數(shù)的幾何表示由復數(shù) 的定義可知，復數(shù)是由一對有序實數(shù) 惟一確定的，于是可建立全體復數(shù)和 平面上的全部點之間的一一對應關系，即可以用橫坐標為 ，縱坐標為 的點 表示復數(shù) （如圖1.1），這是一種幾何表示法，通常稱為點表示，并將點 與數(shù) 看作同義詞.圖1.1 圖1.2 2.復數(shù)的向量表示復數(shù) 還可以用起點為原點，終點為 的向量 來表示（如圖1.1）， 與 分別是 在 軸與 軸上的投影.這樣，復數(shù)與平面上的向量之間也建立了一一對應關系.3.復數(shù)的模與輻角復數(shù)的模 如圖1.1中的向量 的長度稱為復數(shù) 的模，記作 或 ，即復數(shù)的

3、輻角 設復數(shù) 對應的向量為 （如圖1.1）, 與實軸正方向所夾的角 ，稱為復數(shù) 的輻角,記作 ，即 并規(guī)定 按逆時針方向取值為正，順時針方向取值為負.4.復數(shù)的三角表示式 稱為復數(shù) 的三角表示式.5.復數(shù)的指數(shù)表示式 稱 為復數(shù) 的指數(shù)表示式. 例3 求 和 .解 例4 求 的三角表示式與指數(shù)表示式.解 因為 , 所以 設則又因為 位于第II象限，所以 ,于是 1.1.4. 復數(shù)的冪與根1. 復數(shù)的乘冪設 為正整數(shù)， 個非零相同復數(shù) 的乘積，稱為 的 次冪，記為 ，即若 ，則有當 時，得到著名的棣莫弗 （De Moivre）公式例7 求 .解 因為 所以 例8 已知 ， 求 .解 因為 所以2

4、.復數(shù)的方根 稱滿足方程 的復數(shù) 為 的 次方根，記作 或記作 .例1 解方程 .解 因為所以 可求出6個根，它們是 例2 計算解 因為 所以 即 第1章 復數(shù)與復變函數(shù)1.2 區(qū)域 1.2.1. 復平面上的點集與區(qū)域擴充復平面 包括無窮遠點在內的復平面稱為擴充復平面.有限復平面 不包括無窮遠點的復平面稱為有限復平面，或復平面.鄰域 平面上以 為心， 為半徑的圓： 內部所有點 的集合稱為點的 鄰域，記為 ，即稱集合 為 的去心 鄰域，記作 .開集 如果點集 的每一個點都是 的內點，則稱 為開集.閉集如果點集 的余集為開集，則稱 為閉集.連通集 設是 開集，如果對于 內任意兩點，都可用折線連接起

5、來，且該折線上的點都屬于 ，則稱開集 是連通集.區(qū)域（或開區(qū)域） 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.閉區(qū)域 開區(qū)域 連同它的邊界一起，稱為閉區(qū)域，記為 .1.2.2 單連通域與多（復）連通域1. 簡單曲線、簡單閉曲線 若存在滿足 ， 且 的 ，使 ,則稱此曲線C有重點，無重點的連續(xù)曲線稱為簡單曲線或約當（Jordan）曲線；除 外無其它重點的連續(xù)曲線稱為簡單閉曲線，例如， 是一條簡單閉曲線（如圖1.9）.圖1.9在幾何直觀上，簡單曲線是平面上沒有“打結”情形的連續(xù)曲線，即簡單曲線自身是不會相交的；簡單閉曲線除了沒有“打結”情形之外，還必須是封閉的，例如，圖1.10中的 是簡單曲線， 是簡單閉區(qū)域，圖

6、1.11中的 ， 不是簡單曲線，但 是閉曲線.圖1.10 圖1.11 2. 光滑曲線、分段光滑曲線設曲線 的方程為 若 ， 在 上可導且 ， 連續(xù)不全為零，則稱曲線 為光滑曲線，由若干段光滑曲線銜接而成的曲線稱為分段光滑曲線.3. 單連通域、多連通域設 是復平面上一區(qū)域，如果在 內任作一條簡單閉曲線 ，其內部的所有點都在 中，則稱區(qū)域 為單連通區(qū)域；否則稱 為多連通區(qū)域或復連通區(qū)域.在幾何直觀上，單連通區(qū)域是一個沒有“空洞（點洞）和縫隙”的區(qū)域，而多連通區(qū)域是有“洞或縫隙”的區(qū)域，它可以是由曲線 所圍成的區(qū)域中挖掉幾個洞，除去幾個點或一條線段而形成的區(qū)域（如圖1.12 ）.圖1.12第1章 復

7、數(shù)與復變函數(shù)1.3 復變函數(shù)1.3.1 復變函數(shù)的概念定義1 設 為給定的平面點集，若對于 中每一個復數(shù) ，按著某一確定的法則 ，總有確定的一個或幾個復數(shù) 與之對應，則稱 是定義在 上的復變函數(shù)（復變數(shù) 是復變數(shù) 的函數(shù)），簡稱復變函數(shù)，記作 .其中 稱為自變量， 稱為因變量，點集 稱為函數(shù)的定義域.例1 將定義在全平面上的復變函數(shù) 化為一對二元實變函數(shù).解 設 ， ，代入 得 比較實部與虛部得 ，例2 將定義在全平面除原點區(qū)域上的一對二元實變函數(shù) ， （ ）化為一個復變函數(shù).解 設 ， ， 則將 ， 以及代入上式，經(jīng)整理后，得 1.3.2 映射的概念 如果復數(shù) 和 分別用 平面和 平面上的點

8、表示，則函數(shù) 在幾何上，可以看成是將 平面上的定義域 變到 平面上的函數(shù)值域 的一個變換或映射，它將 內的一點 變?yōu)?內的一點 （如圖1.13）.圖1.131.3.3 反函數(shù)與復合函數(shù)1.反函數(shù)定義2 設 定義在 平面的點集 上，函數(shù)值集合 在 平面上.若對任意 ，在 內有確定的 與之對應.反過來，若對任意一點 ，通過法則 ，總有確定的 與之對應，按照函數(shù)的定義，在 中確定了 為 的函數(shù)，記作 ，稱為函數(shù) 的反函數(shù)，也稱為映射 的逆映射.2.復合函數(shù)定義3 設函數(shù) 的定義域為 ，函數(shù) 的定義域為 ，值域 .若對任一 ，通過 有確定的與之對應，從而通過 有確定的 值與 對應，按照函數(shù)的定義，在

9、中確定了 是 的函數(shù)，記作 ，稱其為 與 的復合函數(shù).第1章 復數(shù)與復變函數(shù)1.4 復變函數(shù)的極限與連續(xù)性1.4.1復變函數(shù)的極限定義4 設函數(shù) 在 的某去心鄰域內有定義，若對任意給定的正數(shù) （無論它多么小）總存在正數(shù) ，使得適合不等式 的所有 ，對應的函數(shù)值 都滿足不等式則稱復常數(shù) 為函數(shù) 當時 的極限，記作 或 定理1 設 ， 則 的充分必要條件為: 且 復變函數(shù)的極限四則運算法則：設 ， ，則 (1) (2) (3) 例1 試求下列函數(shù)的極限.（1） （2）解（1）法1 設 ，則 ，且 得 法2 （2） 設 ，則 ，得 例2 證明函數(shù) 在 時極限不存在.證 設 ，而 ， .考慮二元實函數(shù)

10、 當 沿著 （ 為任意實數(shù)）趨向于 ，即 顯然，極限值隨 值的不同而不同，所以根據(jù)二元實變函數(shù)極限的定義知， 在 趨向于 時的極限不存在，即得結論.1.4.2 復變函數(shù)的連續(xù)定義5 設 在點 的某鄰域內有定義，若 ，則稱函數(shù) 在點 處連續(xù). 若 在區(qū)域 內每一個點都連續(xù)，則稱函數(shù) 在區(qū)域 內連續(xù).定理2 函數(shù) ，在 處連續(xù)的充要條件是 和 都在點 處連續(xù).定理3 在 處連續(xù)的兩個函數(shù)的和、差、積、商（分母在 處不等于零）在 處仍連續(xù).例3 求解 因為 在點 處連續(xù)，故 例4 討論函數(shù) 的連續(xù)性.解 設 為復平面上任意一點，則當 時， 在 無定義，故 在 處不連續(xù).當 落在負實軸上時，由于 ，在

11、 從實軸上方趨于 時， 趨于 ，在 從實軸下方趨于 時， 趨于 ，所以 不連續(xù).當 為其它情況時，由于 所以 連續(xù).定理4 若函數(shù) 在點 處連續(xù)，函數(shù) 在 連續(xù)，則復合函數(shù) 在 處連續(xù)（證略）.最值性質當 在有界閉區(qū)域 上連續(xù)時，則 也在 上連續(xù)，且可以取得最大值和最小值；有界性 在 上有界，即存在一正數(shù) ，使對于 上所有點，都有 .例5 討論 在閉圓域 ： 上的連續(xù)性，并求 在 上的最大值與最小值.解 因為 和 在 上連續(xù)，故 及 在 上都連續(xù).又因為 ，故它在 上的最大值與最小值分別就是 的最大值與最小值.在 內，當 時， 取到最大值 ； 當 時， 取到最小值 ，即對任意 都有特別指出，

12、在曲線 上點 處連續(xù)的意義是 第2章 解析函數(shù)2.1 復變函數(shù)的導數(shù)與微分2.1.1 復變函數(shù)的導數(shù)定義1 設函數(shù) 在包含 的某區(qū)域 內有定義，當變量 在點 處取得增量 時，相應地，函數(shù) 取得增量若極限 （或 ） （2.1）存在，則稱 在點 處可導，此極限值稱為 在點 處的導數(shù)，記作 或 ，即 如果函數(shù) 在區(qū)域 內每一點都可導，則稱 在 內可導. 例1 求函數(shù) 的導數(shù)（ 為正整數(shù)）.解 因為 所以，由導數(shù)定義有 例2 求 的導數(shù).解 由例1 2.1.2 可導與連續(xù)的關系 若函數(shù) 在點 處可導，則 在點 處必連續(xù).證因為 知 ，故 在點 處連續(xù). 2.1.3 復變函數(shù)的微分定義2 稱函數(shù) 的改變

13、量 的線性部分 為函數(shù) 在點 處的微分，記作 或 ，即當 時， ，所以 在點 處的微分又可記為 亦即由此可知，函數(shù) 在點 處可導與可微是等價的. 2.1.4 導數(shù)運算法則復變函數(shù)的求導法則（以下出現(xiàn)的函數(shù)均假設可導）： （1） 其中 為復常數(shù)；（2） 其中 為正整數(shù)；（3） ；（4） （5） ；（6） ； （7） 是兩個互為反函數(shù)的單值函數(shù)，且 .例3 求下列函數(shù)的導數(shù).（1） （2） 解 （1） （2） 例4 設 .解 因為 所以 第2章 解析函數(shù)2.2 解析函數(shù)的概念2.2.1解析函數(shù)的定義及其性質1. 解析函數(shù)的定義定義3 如果函數(shù) 不僅在點 處可導，而且在點 的某鄰域內的每一點都可導，

14、則稱 在點 處解析，并稱點 是函數(shù)的解析點；如果函數(shù) 在區(qū)域 內每一點都解析，則稱 在區(qū)域 內解析或稱 為區(qū)域 內的解析函數(shù)，區(qū)域 稱為的 解析區(qū)域. 如果 在點 處不解析，但在 的任一鄰域內總有 的解析點,則稱 為 的奇點.例1 討論函數(shù) 的解析性.解 由例2知， 在整個復平面內處處可導且 ，則由函數(shù)在某區(qū)域內解析的定義可知，函數(shù) 在整個復平面上解析.2. 解析函數(shù)的運算性質：（1）若函數(shù) 和 在區(qū)域 內解析，則 、 、 在 內也解析；（2）若函數(shù) 在區(qū)域 內解析，而 在區(qū)域 內解析，且 ，則復合函數(shù) 在 內也解析，且.2.2.2函數(shù)解析的充要條件定理 設函數(shù) 在區(qū)域 內有定義，則 在 內解

15、析的充分必要條件為 在 內任一點 處（1）可微； （2）滿足上式稱為柯西黎曼（Cauchy-Riemann）條件（或方程），簡稱CR條件（或方程）. 定理 函數(shù) 在區(qū)域 內解析的充要條件為（1） 在 內連續(xù)；（2） 在 內滿足CR條件 ，例2 討論函數(shù) 的可導性，并求其導數(shù).解 由 得 則 顯然，在復平面內 和 的偏導數(shù)處處連續(xù)，且即和處處滿足CR條件且處處可微，所以，在復平面內處處可導且 .例3 討論函數(shù) 的可導性.解 因為 得 顯然， 、 處處具有一階連續(xù)偏導數(shù)，但僅當 時， 、 滿足CR條件.因此， 僅在點 處可導.例4 證明 在復平面上不可微.證 由于 ，于是，從而 顯然，對復平面上任

16、意一點 ， 都不滿足CR條件，所以 在整個復平面上不可微.例5 討論下列函數(shù)的解析性. （1） ； （2） ；（3） .解 （1）設因為 且這四個偏導數(shù)處處連續(xù)，故在復平面上處處解析.（2）因為 ，設 ，而 所以 在復平面上處處不解析（3） 因為 設 ，由于 這四個偏導數(shù)雖然處處連續(xù)，但CR條件僅在原點處成立，因而函數(shù) 在復平面內的原點處可導，其它點不可導，可知該函數(shù)在復平面上處處不解析.第2章 解析函數(shù)2.3 初等函數(shù)及其解析性2.3.1 指數(shù)函數(shù)定義4 復變量的指數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的一些重要性質：（1）指數(shù)函數(shù) 在整個 的有限平面內都有定義，且處處不為零. （2） （3）指數(shù)函數(shù)是以 為

17、周期的周期函數(shù)（4）指數(shù)函數(shù)在整個復平面上解析，且有 （2） 2.3.2 對數(shù)函數(shù)定義5 對數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù).若 ，則稱 是 的對數(shù)函數(shù)，記作 對數(shù)函數(shù)是一個多值函數(shù)，每一個 對應著多個 的值.若令 ，則上式中的多值函數(shù)便成為了單值函數(shù)，則稱這個單值函數(shù)為多值函數(shù) 的主值，記作 ，即 例1 求 .解 因為 的模為 ，其輻角的主值為 ，所以而 又因為 的模為 ，而其輻角的主值為 ，所以 復變量對數(shù)函數(shù)具有與實變量對數(shù)函數(shù)同樣的基本性質：（1）（2） （3） （4） ； （5）對數(shù)函數(shù)的解析性 可以證明 在除去原點與負實軸的 平面內解析，所以 的各個分支也在除去原點與負實軸的 平面內解

18、析（因 的每一個單值連續(xù)分支與 只相差一個復常數(shù)），且 2.3.3 冪函數(shù)定義6 設 為任意復常數(shù)，定義一般冪函數(shù)為它是指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的復合函數(shù)，是多值函數(shù)(因 是多值的). 冪函數(shù)的幾種特殊情形：（1）當 為整數(shù)時， ， 是與 無關的單值函數(shù)（ （ 為正整數(shù)）時， 為 的 次乘方，當 （ 為正整數(shù)）時， ）；）；（2）當 為有理數(shù) 時（為既約分數(shù)， ）， 只有 個不同的值，即當 取時的對應值，因此，.（3）當 為無理數(shù)或復數(shù)時， 有無窮多個值.此時的 與根式函數(shù) 的區(qū)別是： 是無窮多值函數(shù)，而 是 值函數(shù).冪函數(shù) 的解析性：（1）當 （ 為正整數(shù)）時， 在整個復平面內單值解析，且 ；（2）當

19、 （ 為正整數(shù)）時， 在除原點的復平面內解析，且（3）當 （ 為整數(shù)）時，由于對數(shù)函數(shù) 的各個分支在除去原點和負實軸的復平面內解析，因而 的各個分支在除去原點和負實軸的復平面內也是解析的，且.例2 求 .解 例3 求 .解 例4 求 .解 所以 的三個值分別為.2.3.4 三角函數(shù)定義7 設 為任一復變量，稱與 分別為復變量 的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)，分別記為 與 ，即正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質： （1） 與 都是以 為周期的周期函數(shù)，即 =， （2） 為奇函數(shù)， 為偶函數(shù)，即對任意的 有（3）實變函數(shù)中的三角恒等式，在復變函數(shù) 中依然成立，如 （4） 和 都是無界的. 因為 可見，當 無限增大時，

20、 趨于無窮大，同理可知， 也是無界的.（5） ， 在復平面內均為解析函數(shù)，且其它四個三角函數(shù)，利用 和 來定義： 例5 求 .解 根據(jù)定義，有 .2.3.5 反三角函數(shù)定義8 如果 ， 則稱 分別為 的反正弦、反余弦、反正切函數(shù)，分別記為反三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間的關系：（1）（2）（3） 本章學習目標1了解復變函數(shù)積分的概念;2了解復變函數(shù)積分的性質;3掌握積分與路經(jīng)無關的相關知識;4熟練掌握柯西古薩基本定理;5會用復合閉路定理解決一些問題;6會用柯西積分公式;7會求解析函數(shù)的高階導數(shù).復變函數(shù)的積分3.1 復變函數(shù)積分的概念3.1.1積分的定義本章中,我們將給出復變函數(shù)積分的概念,然后討論解

21、析函數(shù)積分的性質,其中最重要的就是解析函數(shù)積分的基本定理與基本公式。這些性質是解析函數(shù)積分的基礎,借助于這些性質,我們將得出解析函數(shù)的導數(shù)仍然是解析函數(shù)這個重要的結論。 3.1.2積分存在的條件及其計算方法 1) 當是連續(xù)函數(shù)且是光滑(或按段光滑)曲線時，積分是一定存在的。2)可以通過兩個二元實變函數(shù)的積分來計算。3.1.3 積分的性質 從積分的定義我們可以推得積分有下列一些簡單性質，它們是與實變函數(shù)中曲線積分的性質相類似的.我們把簡單閉曲線的兩個方向規(guī)定為正向和負向.所謂簡單閉曲線的正向是指當順此方向沿該曲線前進時，曲線的內部始終位于曲線的左方，相反的方向規(guī)定為簡單閉曲線的負向.以后遇到積分

22、路線為簡單閉曲線的情形，如無特別聲明，總是指曲線的正向. 3.1.3 積分的性質1234例1計算 其中 為從原點到點 的直線段。解 直線的方程可寫成又因為容易驗證，右邊兩個線積分都與路線 無關，所以 的值無論 是怎樣的曲線都等于例2計算 其中 為以 中心， 為半徑的正向圓周, 為整數(shù).解: 的方程可寫成所以因此例3計算 的值，其中 為沿從（0，0）到（1，1）的線段：解 :例4計算 的值，其中 為沿從（0，0）到（1，1）的線段與從（1，0）到（1，1）的線段所連結成的折線。 解 :3.2 柯西古薩（CauchyGoursat）基本定理3.2.1 積分與路經(jīng)無關問題積分的值與路經(jīng)無關，或沿封閉

23、的曲線的積分值為零的條件，可能與被積分函數(shù)的解析性及區(qū)域的單連通性有關.柯西古薩（CauchyGoursat）基本定理 如果函數(shù)在單連域內處處解析，那末函數(shù)沿內的任何一條簡單閉曲線的積分值為零。即 3.2.3 幾個等價定理定理一 如果函數(shù) 在單連域內處處解析，那末積分 與連結從起點到終點的路線 無關.定理二 如果函數(shù) 在單連域 內處處解析，那末函數(shù) 必為內的解析函數(shù),并且原函數(shù)的概念下面，我們再來討論解析函數(shù)積分的計算。首先引入原函數(shù)的概念：結論： 的任何兩個原函數(shù)相差一個常數(shù)。利用原函數(shù)的這個關系，我們可以推得與牛頓萊布尼茲公式類似的解析函數(shù)積分的計算公式。定理三 如果函數(shù) 在單連域內處處解

24、析， 為 的一個原函數(shù)，那末這里 為區(qū)域 內的兩點。例 5 計算 解： 例 6 計算 解： 例7 計算 解： 例8 計算 解： 3.3 基本定理的推廣復合閉路定理我們可以把柯西古薩基本定理推廣到多連域的情況 .在區(qū)域內的一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內作連續(xù)變形而改變它的值，這一重要事實，稱為閉路變形原理. 例9計算 的值， 為包含圓周 在內的任何一條正向簡單閉曲線。解 :3.4 柯西積分公式定理(柯西積分公式) 如果函數(shù) 在區(qū)域 內處處解析， 為內 的任何一條正向簡單閉曲線,它的內部完全含于 , 為 內的任一點,那末 (3.4.1)公式(3.4.1)稱為柯西積分公式.通過這個公

25、式就可以把一個函數(shù)在 內部任何一點的值,用它在邊界上的值來表示.例10計算 (沿圓周正向)解 由公式(3.4.1)得例11計算 (沿圓周正向)解 由公式(3.4.1)得柯西積分公式不但提供了計算某些復變函數(shù)沿閉路積分的一種方法,而且給出了解析函數(shù)的一個積分表達式,是研究解析函數(shù)的有力工具(見3.5解析函數(shù)的高階導數(shù)).一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值 .3.5 解析函數(shù)的高階導數(shù)一個解析函數(shù)不僅有一階導數(shù),而且有各高階導數(shù).這一點與實變函數(shù)完全不同,因為一個實變函數(shù)的可導性不保證導數(shù)的連續(xù)性,因而不能保證高階導數(shù)的存在,關于解析函數(shù)的高階導數(shù)我們有下面的定理定理 解析函數(shù)的導數(shù)仍

26、為解析函數(shù),它的 階導數(shù)為:其中 為 在函數(shù)的解析區(qū)域 內圍繞 的任何一條正向簡單閉曲線,而且它的內部完全含于 .例12 計算 其中 為正向圓周: 解:由公式(3.5.1)得第4章級數(shù)本章學習目標了解冪級數(shù)的概念;會求泰勒級數(shù);會把函數(shù)在展開成冪級數(shù);知道冪級數(shù)和羅倫級數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系;會求函數(shù)在不同的收斂圓環(huán)域內的羅倫級數(shù).4.1 冪級數(shù)4.1.1冪級數(shù)的概念 同實變函數(shù)一樣,關于冪級數(shù)也有:1.收斂圓與收斂半徑2.級數(shù)在其收斂圓內有如下性質:1)可以逐項求導.2)可以逐項積分.3)在收斂圓內, 冪級數(shù)的和函數(shù)是解析函數(shù).例1求 的收斂半徑(并討論在收斂圓周上的情形)解: 因為所以, 收斂半徑

27、即原級數(shù)在圓內 收斂,在圓外發(fā)散. 在圓周 上,原級數(shù)收斂, 所以原級數(shù)在收斂圓內和收斂圓周上處處收斂.4.1.2泰勒級數(shù)我們經(jīng)常利用泰勒展開式的唯一性及冪級數(shù)的運算和性質(級數(shù)在其收斂圓內可以逐項求導,可以逐項積分)來把函數(shù)展開成冪級數(shù),即利用間接的方法, 把函數(shù)展開成冪級數(shù).4.1.2泰勒級數(shù) 定理一 若函數(shù) 在圓盤 內解析,則 在該圓盤內可展成的冪級數(shù),這種展式是唯一的,且為 (4.1.3) 或 其中 這個公式(4.1.3) 稱為 在 的泰勒展開式, 它的右端稱為 在 的泰勒級數(shù), 稱為泰勒系數(shù).利用泰勒展開式,我們可以直接通過計算系數(shù),把函數(shù)展開成冪級數(shù). (4.1.4) (4.1.5

28、) (4.1.6) (4.1.7)1. 只要函數(shù) 在圓盤 內解析, 就可在 展開成泰勒級數(shù);2. 此時泰勒級數(shù), 泰勒展開式, 的冪級數(shù)為同意語;3. 若 在 平面內處處解析,則;4. 若 只在區(qū)域 內解析, 為內 的一點, 則 在 的泰勒展開式的收斂半徑 等于 到的 邊界上各點的最短距離;5. 若 在 平面上除若干孤立奇點外內處處解析,則 等于 到最近的孤立奇點的距離.例2把函數(shù) 展開成 的冪級數(shù) 解: 函數(shù) 在 內處處解析, 由公式(4.1.7)把上式兩邊逐項求導,即得所求的展開式羅倫級數(shù) 定理二 設函數(shù) 在圓環(huán)域 ,內處處解析,那末 (4.2.1)其中 (4.2.2)4.2 羅倫級數(shù)冪級

29、數(shù)在其收斂圓內具有的許多性質在收斂圓環(huán)域: 內的羅倫級數(shù)也具有.1.在收斂圓環(huán)域內的羅倫級數(shù)可以逐項求導,2.在收斂圓環(huán)域內的羅倫級數(shù)可以逐項積分,3.在收斂圓環(huán)域內的羅倫級數(shù)的和函數(shù)是解析函數(shù) 求羅倫展開式的系數(shù)羅倫展開式的系數(shù) 用公式(4.2.2)計算是很麻煩的,由羅倫級數(shù)的唯一性,我們可用別的方法,特別是代數(shù)運算,代換,求導和積分等方法展開,這樣往往必將便利(即間接展開法).同一個函數(shù)在不同的收斂圓環(huán)域內的羅倫級數(shù)一般不同; 由羅倫級數(shù)的唯一性可知,同一個函數(shù)在相同的收斂圓環(huán)域內的羅倫級數(shù)一定相同. 例3把函數(shù) 展開成 的級數(shù) 解: 因為所以例4把函數(shù) 在收斂圓環(huán)域 內展開成羅倫級數(shù).解

30、: 因為所以, 例5把函數(shù) 在收斂圓環(huán)域 內展開成羅倫級數(shù).解: 因為所以, 例5把函數(shù) 在收斂圓環(huán)域 內展開成羅倫級數(shù).解: 因為所以, 通過例3、例4、例5可知同一個函數(shù)在不同的收斂圓環(huán)域內的羅倫級數(shù)一般不同; 由羅倫級數(shù)的唯一性可知,同一個函數(shù)在相同的收斂圓環(huán)域內的羅倫級數(shù)一定相同. 第5章 留數(shù)本章學習目標1.了解孤立奇點的概念;2.會求可去奇點, 本性奇點;3.熟練掌握極點的求法;4. 會求留數(shù);5. 熟練掌握留數(shù)定理;6. 會用留數(shù)定理計算積分;7. 了解留數(shù)的一些應用;5.1 孤立奇點5.1.1孤立奇點的概念5.1.2 孤立奇點的分類根據(jù)展開的羅倫級數(shù)的不同情況將孤立奇點作如下分

31、類:1.可去奇點2.極點3.本性奇點5.1 孤立奇點5.1.1孤立奇點的概念定義1 如果函數(shù) 在 處不解析,但在 的某個去心鄰域 內處處解析,那末 稱為 的孤立奇點.1可去奇點定義2 如果羅倫級數(shù)中不含 的負冪項,那么孤立奇點 稱為 的可去奇點.這時 在它的孤立奇點 的去心鄰域內的羅倫級數(shù)實際上就是一個普通的冪級數(shù) 例如 是 的可去奇點因為 在 的去心鄰域內的羅倫級數(shù)為2極點定義3 如果 的羅倫級數(shù)中只有有限多個 的負冪項,且其中關于 的最高冪為, 即那么孤立奇點 稱為 的 級極點. 3本性奇點定義4 如果羅倫級數(shù)中含有無窮多個 的負冪項,那么孤立奇點 稱為 的本性奇點.5.1.3 函數(shù)的零點

32、與極點的關系 定理 (1) 如果 是 的 級零點,則 是的 級零點; (2) 如果 是 的 級極點, 則 是 的 級零點,反過來也成立.例1試求 的孤立奇點解 因為其中 在 解析, 并且 似乎 是函數(shù) 的二級極點,其實是一級極點.由此可見,我們在求函數(shù)孤立奇點時,不能一看函數(shù)的表面形式就急于做出結論.例2試求 的孤立奇點解: 因為其中 在 解析, 并且 似乎 是函數(shù) 的三級極點,其實是二級極點.由此可見,我們在求函數(shù)孤立奇點時,不能一看函數(shù)的表面形式就急于做出結論.5.2 留數(shù)5.2.1 留數(shù)概念5.2.2 留數(shù)定理 定理一(留數(shù)定理) 設函數(shù) 在區(qū)域 內除有限個孤立奇點 處處解析. 是 內包

33、含諸奇點的任意一條正向簡單閉曲線,則 (5.2.2)一、如果 是 的可去奇點,那末 因為此時 在 的展開式是泰勒展開式,所以.二、如果 是 的本性奇點,那末 那就往往只能用 在 展開成羅倫級數(shù)的方法求 三、如果 是 的極點我們有以下三個計算留數(shù)的規(guī)則.規(guī)則1 如果 是 的一級極點，那末 （5.2.3）三、如果 是 的極點規(guī)則2 如果 是 的 級極點，那末 （5.2.4）規(guī)則3設 及 在 都解析, 如果 那么 是 的一級極點，而 (5.2.5)例3計算積分 為正向圓周:解:根據(jù)規(guī)則1,有同理因此 例3我們也可用規(guī)則3來求留數(shù):因此 例4求 在 處的留數(shù).解:應用規(guī)則3*5.3.1 在無窮遠點的留

34、數(shù)關于在無窮遠點的留數(shù)的計算,我們有以下的規(guī)則:規(guī)則4 (5.3.3)*5.4.1 留數(shù)在定積分計算上的應用 復變函數(shù)是一門工程數(shù)學，在工程技術上有許多應用,復變函數(shù)在穩(wěn)定平面流場和靜電場以及在工程技術上都有許多用,由于涉及到許多專業(yè)知識,因此我們在此只簡述一點留數(shù)在定積分計算上的應用.在數(shù)學以及實際問題中往往要求出一些定積分的值,而這些定積分中,被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表示出來;有時即便可求出原函數(shù),計算也往往比較復雜.利用留數(shù)定理,來計算這些類型的定積分,只需計算這些解析函數(shù)在孤立奇點處的留數(shù);這樣一來就把問題大大簡化了.第6章 傅立葉變換6.1 傅立葉積分6.2 傅立葉變

35、換 6.3 函數(shù)及其傅立葉變換6.4 傅立葉變換的性質6.1 傅立葉積分6.1.1主值意義下的廣義積分定義1 設函數(shù) 在實軸的任何有限區(qū)間上都可積.若極限 存在,則稱在主值意義下 在區(qū)間 上的廣義積分收斂,記為例1 計算 為實常數(shù)）解我們可以證明 為實數(shù)) 令 則 例2 設計算積分解 上式(1)稱為函數(shù) 的復指數(shù)形式的傅里葉積分公式,而等號右端的積分式稱為 的傅里葉積分(簡稱傅氏積分).從例2可以看出,函數(shù) 存在如下關系 若函數(shù) 在任何有限區(qū)間上滿足狄氏條件（即函數(shù)在任何有限區(qū)間上滿足：(1）連續(xù)或只有有限個第一類間斷點(2)至多有有限個極值點）,并且在 上絕對可積則有： 6.1.2 傅氏積分

36、存在定理 為連續(xù)點 為間斷點也叫做 的傅氏積分表達式 6.2.1 傅立葉變換的概念6.2 傅立葉變換 叫做的傅氏變換,象函數(shù),可記做 = 叫做的傅氏逆變換,象原函數(shù),=例3 求函數(shù) 的傅氏變換 解例4 求函數(shù) 的傅氏變換和傅氏積分表達式. 解若 上式右端為于是6.2.2 傅氏變換的物理意義頻譜 稱為的頻譜函數(shù) 其模稱為的振幅頻譜可以證明,頻譜為偶函數(shù),即6.3 函數(shù)及其傅立葉變換 在物理和工程技術中,除了用到指數(shù)衰減函數(shù)外,還常常會碰到單位脈沖函數(shù).因為在許多物理現(xiàn)象中,除了有連續(xù)分布的物理量外,還會有集中在一點的量（點源）,或者具有脈沖性質的量.例如瞬間作用的沖擊力,電脈沖等.在電學中,我們

37、要研究線性電路受具有脈沖性質的電勢作用后所產(chǎn)生的電流；在力學中,要研究機械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運動情況等.研究這類問題就會產(chǎn)生我們要介紹的脈沖函數(shù).有了這種函數(shù),對于許多集中在一點或一瞬間的量,例如點電荷、點熱源、集中于一點的質量以及脈沖技術中的非常狹窄的脈沖等,就能夠像處理連續(xù)分布的量那樣,用統(tǒng)一的方式來加以解決. 6.3.1 函數(shù)的定義 （1）看作矩形脈沖的極限（2） 函數(shù)的數(shù)學定義（3）物理學家狄拉克給出的定義滿足下列兩個條件的函數(shù)稱為 函數(shù)： 1函數(shù)用一個長度等于1的有向線段來表示,如下圖 o1如下圖o定義為滿足下列條件的函數(shù)6.3.2 函數(shù)的性質（1）對任意的連續(xù)函數(shù),都有 （2）函

38、數(shù)為偶函數(shù),即 （3）其中, 稱為單位階躍函數(shù).反之,有 . 6.3.3 函數(shù)的傅立葉變換 由于 =可見, =1, -11= . 與常數(shù)1構成了一個傅氏變換對,即與 也構成了一個傅氏變換對,即6.3.4 一些常見函數(shù)的傅氏變換和一些傅氏變換對 例5 可以證明單位階躍函數(shù) 的傅氏變換為 的積分表達式為 例6 證明的傅氏變換為證明=所以例7 求正弦函數(shù)的傅氏變換 可以證明6.4 傅立葉變換的性質 6.4.1 線性性質 =設為常數(shù)則= 6.4.2 對稱性質若=則以為自變量的函數(shù) 的象函數(shù)為 即 6.4.3 相似性質 =若則6.4.4 平移性質（1）象原函數(shù)的平移性質若=為實常數(shù),則 例8 求解 因為

39、所以（2）象函數(shù)的平移性質 若=為實常數(shù),則 例9 已知求解顯然一般地且 則6.4.5 微分性質（1）象原函數(shù)的微分性質若=一般地,若則例10 證明證明 因為所以一般地（2）象函數(shù)的微分性質若=則或例11 已知求解6.4.6 積分性質若=則在這里 必須滿足傅氏積分存在定理的條件,若不滿足,則這個廣義積分應改為 6.4.7 傅氏變換的卷積與卷積定理 1上的卷積定義 若給定兩個函數(shù),則積分 稱為函數(shù)的卷積,記為卷積滿足下列性質例12 對函數(shù)計算卷積解所以2傅氏變換的卷積定理 =(1)若則=(2)頻譜卷積定理則若第7章 拉普拉斯變換7.1 拉普拉斯變換7.2 拉普拉斯變換的基本性質 7.3 拉普拉斯逆變換7.4 拉普拉斯變換的應用在 所確定的某一域內收斂,則由此積分所確定的函數(shù)可寫為 7.1 拉普拉斯變換7.1.1