數(shù)學(xué)常考壓軸題九年級人教版第二十三章旋轉(zhuǎn)（7大壓軸考法50題專練）原卷版含答案及解析

第二十三章旋轉(zhuǎn)（7大壓軸考法50題專練）目錄題型一：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 1題型二：旋轉(zhuǎn)對稱圖形 64題型三：中心對稱 65題型四：中心對稱圖形 67題型五：關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo) 68題型六：坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn) 69題型七：作圖-旋轉(zhuǎn)變換 71一．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)1．（2023秋?睢陽區(qū)期中）在長方形中，，，，，連接，將線段繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則線段的最小值為A． B． C．4 D．2．（2023秋?陽新縣期中）如圖，為等邊三角形內(nèi)的一點，且到三個頂點，，的距離分別為3，4，5，則的面積為A． B． C． D．3．（2023秋?東莞市校級期中）如圖，在△中，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則線段的長度的最小值是．4．（2023秋?紫金縣期中）如圖，已知正方形、正方形的邊長分別為4，1，將正方形繞點旋轉(zhuǎn)，連接，點是的中點，連接，則線段的最大值為．5．（2023秋?思明區(qū)校級期中）如圖，在中，直徑，延長至，使，點在上運動，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則線段的最大值為．6．（2023秋?天門校級期中）如圖，在中，，，點是在直角邊上一動點，且為等邊三角形，則的最小值是．7．（2023秋?江油市期中）如圖，已知，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，與交于點．下列結(jié)論：①；②與互相平分；③；④平分，其中正確結(jié)論的是．8．（2023秋?內(nèi)黃縣校級期中）如圖，是等邊三角形，，點在邊上，且，是邊的中點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點為，連接，，當(dāng)為直角三角形時，．9．（2024春?寶安區(qū)期中）閱讀下面材料，并解決問題：（1）如圖①等邊內(nèi)有一點，若點到頂點、、的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將繞頂點旋轉(zhuǎn)到處，此時，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段、、轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出；（2）基本運用請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題已知如圖②，中，，，、為上的點且，求證：；（3）能力提升如圖③，在中，，，，點為內(nèi)一點，連接，，，且，求的值．10．（2023秋?文昌期中）如圖，點、分別在正方形的邊，上，且，把順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到．（1）填空：繞旋轉(zhuǎn)中心點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)度得到；（2）求證：；（3）若，，求正方形的邊長．11．（2023秋?集美區(qū)校級期中）在△中，，于點，是線段上的動點（不與點，重合），將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．（1）如圖1，當(dāng)點在線段上時，求證：是的中點；（2）如圖2，若在線段上存在點（不與點，重合）滿足，連接，，直接寫出的大小，并證明．12．（2023秋?香坊區(qū)校級期中）已知：直線平行直線，點、點在直線上，點、點在直線上，，直線交直線于點．（1）如圖，求證：．（2）如圖，以點為圓心順時針旋轉(zhuǎn)直線交直線于點，以點為圓心順時針旋轉(zhuǎn)直線交直線于點，，當(dāng)時，求的度數(shù)．（3）在（2）的條件下，如圖，直線交直線于點，直線交直線于點，的平分線所在直線與的平分線所在直線交于點，若，當(dāng)點在線段上移動時，求的度數(shù)．13．（2023秋?東莞市校級期中）將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角度得到線段，連接得，又將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得線段（如圖①．（1）求的大?。ńY(jié)果用含的式子表示）；（2）又將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得線段，連接（如圖②求；（3）連接、，試探究當(dāng)為何值時，．14．（2023秋?天河區(qū)校級期中）已知正方形，為平面內(nèi)任意一點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．（1）如圖，當(dāng)點在正方形內(nèi)部時，補全圖形，判斷與的關(guān)系，并寫出證明過程；（2）當(dāng)點，，在一條直線上時，若，，求的長．15．（2023秋?番禺區(qū)校級期中）如圖，在△中，，，點為△內(nèi)一點，，連接．（1）將△繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)之后的△．（2）連接交于點．①若點、、三點共線，求的度數(shù)．②若，求的長．16．（2023秋?集美區(qū)校級期中）如圖1，正方形與正方形的邊、在一條直線上，正方形以點為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個正方形只有點重合，其它頂點均不重合，連接、．（1）當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時，求證：；（2）如圖3，．如果，，，求點到的距離17．（2023秋?蕪湖期中）點、分別是等邊三角形的邊和上的點，且，連接．（1）如圖1，若，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接和．求證：①為等邊三角形；②．（2）如圖2，若，設(shè)為的中點，連接，，求．18．（2023春?寧明縣期中）（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，的三個頂點均在格點上．現(xiàn)將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點為，點的對應(yīng)點為，連接，如圖所示則；（2）解決問題：如圖2，在等邊內(nèi)有一點，且，如果將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得出，求的度數(shù)和的長．19．（2023秋?連城縣期中）在正方形中，點在射線上（不與點、重合），連接，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．（1）如圖1，點在邊上．若，，求的長；（2）如圖2，點在邊的延長線上，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．20．（2023秋?長葛市期中）將一副直角三角板如圖1，擺放在直線上（直角三角板和直角三角板，，，，，保持三角板不動，將三角板繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為秒，當(dāng)與射線重合時停止旋轉(zhuǎn)．（1）如圖2，當(dāng)為的角平分線時，求此時的值；（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至的內(nèi)部時，求與的數(shù)量關(guān)系；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三角板的其中一邊平行于三角板的某一邊時，求此時等于或或或（直接寫出答案即可）．21．（2023秋?臨河區(qū)校級期中）如圖①，在正方形內(nèi)作，交于點，交于點，連接，過點作，垂足為．如圖②，將△繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△．（1）求證：△△；（2）若，，求的長．22．（2023秋?武安市校級期中）如圖，有一副直角三角板如圖1放置（其中，，，與直線重合，且三角板，三角板均可以繞點逆時針旋轉(zhuǎn)．（1）在圖1中，；（2）如圖2，若三角板保持不動，三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為秒，轉(zhuǎn)動一周三角板就停止轉(zhuǎn)動，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間為多少時，有成立；（3）如圖3，在圖1基礎(chǔ)上，若三角板的邊從處開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為秒，同時三角板的邊從處開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為秒，當(dāng)轉(zhuǎn)到與重合時，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動．在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時，求旋轉(zhuǎn)的時間是多少？23．（2023秋?高要區(qū)期中）如圖，四邊形是邊長為1的正方形，點，分別在邊和上，是由逆時針旋轉(zhuǎn)得到的圖形．（Ⅰ）旋轉(zhuǎn)中心是點．（Ⅱ）旋轉(zhuǎn)角是度，度．（Ⅲ）若，求證，并求此時的周長．24．（2023春?濟陽區(qū)期中）如圖，和均為等邊三角形，將繞點旋轉(zhuǎn)在直線的右側(cè)）．（1）求證：；（2）若點，，在同一條直線上，①求的度數(shù)；②點是的中點，求證：．25．（2023秋?紅旗區(qū)校級期中）如圖1，一大一小兩個等腰直角三角形疊放在一起，，分別是斜邊，的中點，，．（1）將繞頂點旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出點，距離的最大值和最小值；（2）將繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)（如圖，求的長．26．（2023秋?召陵區(qū)期中）（1）如圖1，是等邊內(nèi)一點，連接、、，且，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到，連接．求：①旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；②線段的長；③求的度數(shù)．（2）如圖2所示，是等腰直角內(nèi)一點，連接、、，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到，連接．當(dāng)、、滿足什么條件時，？請給出證明．27．（2023秋?西湖區(qū)校級期中）在△中，，，將△繞點順時針旋轉(zhuǎn)角得△，交于點，分別交、于、兩點．（1）如圖1，觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，當(dāng)時，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．28．（2023秋?臨河區(qū)校級期中）已知：如圖，在中，，若將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接、．（1）與的關(guān)系是；（2）若的面積為，；（3）當(dāng)為多少度時，四邊形為矩形？說明理由．29．（2023秋?東麗區(qū)校級期中）如圖，正方形的邊長為6，，分別是，邊上的點，且，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到．（1）求證：．（2）當(dāng)時，求的長．30．（2023秋?濱海新區(qū)校級期中）如圖，在正方形中，、是對角線上兩點，且，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)后，得到，連接，求證：（1）是的平分線；（2）．31．（2023秋?東莞市校級期中）如圖，將矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，點的對應(yīng)點恰好落在的延長線上，邊交邊于點．（1）求證：；（2）若，，求的長．32．（2023秋?余干縣期中）如圖，菱形，，為菱形內(nèi)一點，連接、．再將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接、，且交于點．（1）求證：；（2）若，求的大?。?3．（2023秋?廣陽區(qū)校級期中）如圖，點是等邊內(nèi)一點，，，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得，連接．（1）求證：是等邊三角形；（2）當(dāng)時，試判斷的形狀，并說明理由．34．（2023秋?蘭陵縣期中）如圖，將等腰繞頂點逆時針方向旋轉(zhuǎn)度到△的位置，與相交于點，與、分別交于點、．（1）求證：△．（2）當(dāng)度時，判定四邊形的形狀并說明理由．35．（2023秋?惠州校級期中）如圖，是由在平面內(nèi)繞點旋轉(zhuǎn)而得，且，，連接．（1）求證：；（2）試判斷四邊形的形狀，并說明理由．36．（2023秋?新羅區(qū)校級期中）如圖，是等邊內(nèi)的一點，若將繞點旋轉(zhuǎn)到，判斷的形狀？37．（2023秋?椒江區(qū)期中）如圖，點是等邊內(nèi)一點，，，將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，．（1）當(dāng)時，求證：為直角三角形；（2）求的度數(shù)；（3）請你探究：當(dāng)為多少度時，是等腰三角形？38．（2023秋?右玉縣期中）教材中有這樣一道題：如圖1，四邊形是正方形，是上的任意一點，于點，，且交于點．求證：．小明通過證明解決了問題，在此基礎(chǔ)上他進一步提出了以下問題，請你解答．（1）若圖1中的點為延長線上一點，其余條件不變，如圖2所示，猜想此時，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）將圖1中的繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，使得與重合，記此時點的對應(yīng)點為點，如圖3所示，若正方形的邊長為3，求的長度．39．（2023秋?集美區(qū)校級期中）在正方形中，將邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，與延長線相交于點，過作交于點，連接．（1）如圖1，求證：；（2）當(dāng)時，依題意補全圖2，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．40．（2023秋?荔灣區(qū)校級期中）四邊形是正方形，、分別是和的延長線上的點，且，連接、、．（1）求證：；（2）填空：可以由繞旋轉(zhuǎn)中心點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)度得到；（3）若，，求的面積．41．（2023秋?西峰區(qū)校級期中）如圖1，在中，點為邊中點，直線繞頂點旋轉(zhuǎn)，若點，在直線的異側(cè)，直線于點．直線于點，連接，．（1）延長交于點（如圖．①求證：；②求證：；（2）若直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，點，在直線的同側(cè)，其它條件不變，此時還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）若直線繞點旋轉(zhuǎn)到與邊平行的位置時，其它條件不變，請直接判斷四邊形的形狀及此時還成立嗎？不必說明理由．42．（2023秋?濱海新區(qū)校級期中）如圖，等腰直角中，，點在上，將繞頂點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到．（1）求的度數(shù)；（2）當(dāng)，時，求的大??；（3）當(dāng)點在線段上運動時不與重合），請寫出一個反映，，之間關(guān)系的等式，并加以證明．二．旋轉(zhuǎn)對稱圖形43．（2023秋?臨潁縣期中）如圖，已知和中，，，，，；（1）請說明的理由；（2）可以經(jīng)過圖形的變換得到，請你描述這個變換；（3）求的度數(shù)．三．中心對稱44．（2023秋?西安校級期中）如圖，在菱形中，，，點為邊上一點，且，在邊上存在一點，邊上存在一點，線段平分菱形的面積，則周長的最小值為．四．中心對稱圖形45．（2021秋?建安區(qū)期中）數(shù)學(xué)興趣小組活動時，提出了如下問題：如圖1，在中若，，求邊上的中線的取值范圍．解決方法：延長到．使得．再連接（或?qū)⒗@點逆時針旋轉(zhuǎn)得到．把，，集中在中，利用三角形的三邊關(guān)系可得，則．感悟：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中．遷移應(yīng)用：請參考上述解題方法，證明下列命題：如圖2，在中，是邊上的中點，，交于點，交于點，連接．（1）求證：；（2）若，探索線段，，之間的等量關(guān)系，并加以證明．五．關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)46．（2022秋?鹽池縣校級期中）對于平面直角坐標(biāo)系中任一點，規(guī)定三種變換如下：①，，．如：，，；②，，．如：，，；③，，．如：，，；例如：，，，規(guī)定坐標(biāo)的部分規(guī)則與運算如下：①若，且，則，，；反之若，，，則，且．②，，，；，，，．例如：，，，，，，，．請回答下列問題：（1）化簡：（填寫坐標(biāo)）；（2）化簡：，，（填寫坐標(biāo)）；（3）若，，，，，且為整數(shù)，點在第四象限，求滿足條件的的所有可能取值．六．坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)47．（2023秋?中山市校級期中）如圖，在中，頂點，，，將與正方形組成的圖形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)是．七．作圖-旋轉(zhuǎn)變換48．（2023秋?門頭溝區(qū)校級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，我們給出如下定義：將點繞直線上某一點順時針旋轉(zhuǎn)，再關(guān)于直線對稱，得到點，我們稱點為點關(guān)于點的二次關(guān)聯(lián)點．已知點．（1）若點的坐標(biāo)是，直接寫出點關(guān)于點的二次關(guān)聯(lián)點的坐標(biāo)；（2）若點關(guān)于點的二次關(guān)聯(lián)點與點重合，求點的坐標(biāo)（畫出圖形、寫出結(jié)果即可）；（3）若點關(guān)于點的二次關(guān)聯(lián)點在直線上，求此時點的二次關(guān)聯(lián)點的坐標(biāo)及點坐標(biāo)．49．（2023秋?鲅魚圈區(qū)校級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)是，點的坐標(biāo)是，將△繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到△，點、的對應(yīng)點分別是點、．（1）請在圖中畫出△．（2）請在軸上找一個點，使的值最小，并直接寫出點的坐標(biāo)為．50．（2023秋?海州區(qū)校級期中）如圖，的斜邊在直線上，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)一個角，使得點的對應(yīng)點落在直線上．（1）畫出點的對應(yīng)點（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）已知，，點運動到點的位置時，點經(jīng)過的路線長為．（結(jié)果保留

第二十三章旋轉(zhuǎn)（7大壓軸考法50題專練）目錄題型一：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 1題型二：旋轉(zhuǎn)對稱圖形 64題型三：中心對稱 65題型四：中心對稱圖形 67題型五：關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo) 68題型六：坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn) 69題型七：作圖-旋轉(zhuǎn)變換 71一．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)1．（2023秋?睢陽區(qū)期中）在長方形中，，，，，連接，將線段繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則線段的最小值為A． B． C．4 D．【分析】連接，過點作，截取，連接，，通過證明，得，再利用勾股定理求出的長，在中，利用三邊關(guān)系即可得出答案．【解答】解：連接，過點作，截取，連接，，將線段繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，在和中，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，，，在中，，的最小值為，故選：．【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?陽新縣期中）如圖，為等邊三角形內(nèi)的一點，且到三個頂點，，的距離分別為3，4，5，則的面積為A． B． C． D．【分析】將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，則為等邊三角形，得到，，在中，，延長，作于點，，根據(jù)勾股定理的逆定理可得到為直角三角形，且，即可得到的度數(shù)，在直角中利用三角函數(shù)求得和的長，則在直角中利用勾股定理求得的長，進而求得三角形的面積．【解答】解：為等邊三角形，，可將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得，連，且延長，作于點．如圖，，，，為等邊三角形，，，在中，，，，，為直角三角形，且，．，在直角中，，．在直角中，．則的面積是．故選：．【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．3．（2023秋?東莞市校級期中）如圖，在△中，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則線段的長度的最小值是．【分析】通過旋轉(zhuǎn)△構(gòu)造△，然后由已知條件推導(dǎo)出，再由勾股定理得出關(guān)于的表達式，最后根據(jù)配方法得出的最小值．【解答】解：如圖，把以點為中心順時針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，過點作的垂線，為垂足．故相當(dāng)于△是由△以點為中心順時針旋轉(zhuǎn)后得到的圖形．則，，．，，，，，．設(shè)，則，，．在△中，．，此時，符合題意．．故答案為：．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，特殊角直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，通過輔助線構(gòu)造△再應(yīng)用勾股定理求出的表達式是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023秋?紫金縣期中）如圖，已知正方形、正方形的邊長分別為4，1，將正方形繞點旋轉(zhuǎn)，連接，點是的中點，連接，則線段的最大值為．【分析】延長至點，使，連接，，根據(jù)三角形中位線定理得，再利用三角形三邊關(guān)系可得答案．【解答】解：延長至點，使，連接，，點是的中點，，是的中位線，，正方形、正方形的邊長分別為4，1，，，，的最大值為，的最大值為，故答案為：．【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形中位線定理，三角形三邊關(guān)系等知識，構(gòu)造中位線是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋?思明區(qū)校級期中）如圖，在中，直徑，延長至，使，點在上運動，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則線段的最大值為．【分析】過點作的垂線，在垂線上截取，連接，從而可證，進而得到，將求線段的最大值轉(zhuǎn)化為求線段的最大值，然后結(jié)合點與圓的位置關(guān)系求出最大值即可．【解答】解：如圖，過點作的垂線，在垂線上截取，連接，，，又，，，連接，并延長交圓于點，即為最大值，，，，，，，故答案為：．【點評】本題考查了三角形全等的性質(zhì)和判定，點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造的全等三角形，將轉(zhuǎn)化為其他線段進而求最大值．6．（2023秋?天門校級期中）如圖，在中，，，點是在直角邊上一動點，且為等邊三角形，則的最小值是．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)圓周角定理得到點在以為直徑的圓上，設(shè)的中點為，連接，當(dāng)點在線段上時，的值最小，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，求得，于是得到的最小值是．【解答】解：在中，，，，，點在以為直徑的圓上，設(shè)的中點為，連接，當(dāng)點在線段上時，的值最小，連接，，，，點為的中點，，是等邊三角形，，，，為等邊三角形，，，，，，，，，，，，的最小值是，故答案為：．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋?江油市期中）如圖，已知，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，與交于點．下列結(jié)論：①；②與互相平分；③；④平分，其中正確結(jié)論的是①③④．【分析】依據(jù)題意，設(shè)交于點，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，，，由三角形內(nèi)角和定理得到推出，由對頂角的性質(zhì)待定，判定是等邊三角形，因此與不能互相平分，在上截取，由推出，推出，得到是等邊三角形，因此，，于是得到，求出，即可證明平分．【解答】解：設(shè)交于點，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，，，故①正確；設(shè)交于點，連接，，，是等邊三角形，若與互相平分，則，，，的大小無法確定，不一定等于，故②錯誤；在上截取，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，，，，，，，即，是等邊三角形，，，，故③正確；，，，平分，故④正確．故答案為：①③④．【點評】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等來解答．8．（2023秋?內(nèi)黃縣校級期中）如圖，是等邊三角形，，點在邊上，且，是邊的中點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點為，連接，，當(dāng)為直角三角形時，或．【分析】根據(jù)題意，判斷出只能是，分兩種情形，點、、三點共線，且在、之間，或點、、三點共線，且在、之間，分別通過勾股定理求的長即可．【解答】解：由題意知，點在以為半徑的圓上運動，是等邊三角形，是邊的中點，只能是，當(dāng)點在內(nèi)時，，此時，點、、三點共線，且在、之間，，，；當(dāng)點在外時，，此時，點、、三點共線，且在、之間，此時，，，故答案為：或．【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及勾股定理等知識，判斷出是解題的關(guān)鍵．9．（2024春?寶安區(qū)期中）閱讀下面材料，并解決問題：（1）如圖①等邊內(nèi)有一點，若點到頂點、、的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將繞頂點旋轉(zhuǎn)到處，此時，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段、、轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出；（2）基本運用請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題已知如圖②，中，，，、為上的點且，求證：；（3）能力提升如圖③，在中，，，，點為內(nèi)一點，連接，，，且，求的值．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個三角形全等，全等三角形對應(yīng)邊相等，全等三角形對應(yīng)角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答；（2）把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，，再求出，從而得到，然后利用“邊角邊”證明和△全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，再利用勾股定理列式即可得證．（3）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至△處，連接，根據(jù)直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半求出，即的長，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得，等邊三角形三個角都是求出，然后求出、、、四點共線，再利用勾股定理列式求出，從而得到．【解答】解：（1），、、，由題意知旋轉(zhuǎn)角，為等邊三角形，，，易證△為直角三角形，且，；故答案為：；（2）如圖2，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，，，，，，在和△中，△，，，，，，由勾股定理得，，即．（3）如圖3，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至△處，連接，在中，，，，，，繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)，△如圖所示；，，，，，繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△，，，，是等邊三角形，，，，，、、、四點共線，在△中，，．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，讀懂題目信息，理解利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出全等三角形和等邊三角形以及直角三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋?文昌期中）如圖，點、分別在正方形的邊，上，且，把順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到．（1）填空：繞旋轉(zhuǎn)中心點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)度得到；（2）求證：；（3）若，，求正方形的邊長．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)定義結(jié)合正方形性質(zhì)得出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度即可；（2）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，再根據(jù)正方形的性質(zhì)、角的和差可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理即可得證；（2）設(shè)正方形的邊長為，從而可得，，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，最后在中，利用勾股定理即可得．【解答】（1）解：在正方形中，，，又順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到，繞旋轉(zhuǎn)中心點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90度得到，故答案為：，90；（2）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，四邊形是正方形，，即，，即，，，在和中，，；（3）解：設(shè)正方形的邊長為，則，，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，由（2）已證：，，又四邊形是正方形，，則在中，，即，解得或（不符題意，舍去），故正方形的邊長為6．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．11．（2023秋?集美區(qū)校級期中）在△中，，于點，是線段上的動點（不與點，重合），將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．（1）如圖1，當(dāng)點在線段上時，求證：是的中點；（2）如圖2，若在線段上存在點（不與點，重合）滿足，連接，，直接寫出的大小，并證明．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，利用三角形外角的性質(zhì)求出，可得，等量代換得到即可；（2）延長到使，連接，，可得是△的中位線，然后求出，設(shè)，，求出，證明△，得到，再根據(jù)等腰三角形三線合一證明即可．【解答】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，，，，，即是的中點；（2），證明：如圖，延長到使，連接，，，是△的中位線，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，，，△是等腰三角形，，設(shè)，，則，，，，，，，，在△和△中，，△△，，，，即，【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋?香坊區(qū)校級期中）已知：直線平行直線，點、點在直線上，點、點在直線上，，直線交直線于點．（1）如圖，求證：．（2）如圖，以點為圓心順時針旋轉(zhuǎn)直線交直線于點，以點為圓心順時針旋轉(zhuǎn)直線交直線于點，，當(dāng)時，求的度數(shù)．（3）在（2）的條件下，如圖，直線交直線于點，直線交直線于點，的平分線所在直線與的平分線所在直線交于點，若，當(dāng)點在線段上移動時，求的度數(shù)．【分析】（1）過點作，得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合，即可得出結(jié)論；（2），得到，，推出，，得到，推出，設(shè)，，推出，，根據(jù)，求解即可；（3）分點在直線的上方和下方，兩種情況進行討論求解．【解答】（1）證明：過點作，，，，，，，，，；（2），，，由（1）知：，又，，，，，設(shè)：，，則：，，，，，，，；（3）①當(dāng)點在下方時，如圖：，，，，，平分，平分，，，過點作，則：，，，；②當(dāng)點在上方時，如圖：同理可得：，，過點作，則：，，，，；綜上：或．【點評】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線有關(guān)的計算，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)，過拐點構(gòu)造平行線是解題的關(guān)鍵．本題的難度較大，屬于壓軸題．13．（2023秋?東莞市校級期中）將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角度得到線段，連接得，又將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得線段（如圖①．（1）求的大?。ńY(jié)果用含的式子表示）；（2）又將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得線段，連接（如圖②求；（3）連接、，試探究當(dāng)為何值時，．【分析】（1）由于線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角度得到線段，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到，再由線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得線段，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，然后利用進行計算；（2）由線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得線段，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，則，，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到，然后利用計算得到；（3）由線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得線段，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，則可判斷為等腰直角三角形，則，，所以，加上，于是為等腰直角三角形，則，所以，然后利用“”證明，得到，所以．【解答】解：（1）線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角度得到線段，，，，，線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得線段，，；（2）線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得線段，，，，，，；（3）如圖②，線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得線段，，，為等邊三角形，，，，，為等腰直角三角形，，，在和中，，，，即，當(dāng)為時，．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)．14．（2023秋?天河區(qū)校級期中）已知正方形，為平面內(nèi)任意一點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．（1）如圖，當(dāng)點在正方形內(nèi)部時，補全圖形，判斷與的關(guān)系，并寫出證明過程；（2）當(dāng)點，，在一條直線上時，若，，求的長．【分析】（1）根據(jù)題意補全圖形，先判斷出，進而得出△△，即可得出，最后判斷出即可得出結(jié)論；（2）分兩種情況，當(dāng)點在線段的延長線上時和當(dāng)點在線段上時，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：，，理由如下：依題意補全圖形，如圖①，延長分別交，于點，，在正方形中，，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，又，在△和△中，，△△，，，，，．（2）解：當(dāng)點在線段的延長線上時，如圖②所示，過點作，交的延長線于點，是正方形的對角線，，，，，，在△中，由勾股定理，得，由（1），同理可得△△，，當(dāng)點在線段上時，如圖③所示，過點作于點，是正方形的對角線，，，，，，在△中，由勾股定理，得，由（1）同理可得△△，，的長為或．【點評】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理，關(guān)鍵是判斷出△△和構(gòu)造直角三角形．15．（2023秋?番禺區(qū)校級期中）如圖，在△中，，，點為△內(nèi)一點，，連接．（1）將△繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)之后的△．（2）連接交于點．①若點、、三點共線，求的度數(shù)．②若，求的長．【分析】（1）過點作的垂線，在垂線上截取，連接，則得到所求△；（2）①由旋轉(zhuǎn)得到可得，由得到，從而根據(jù)等量代換可得，即．②過點作于點，易證△是等腰直角三角形，可得，因此，在△中，根據(jù)勾股定理可求得．在△中，由于，因此，根據(jù)勾股定理即可求得，故．【解答】解：（1）如圖，△為所求．（2）①△是由△旋轉(zhuǎn)得到，，，，，．②過點作于點，由旋轉(zhuǎn)可得，，△是等腰直角三角形，，，，，在△中，，即，，，，，，在△中，，又，，．【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定及性質(zhì)，正確進行計算是解題關(guān)鍵．16．（2023秋?集美區(qū)校級期中）如圖1，正方形與正方形的邊、在一條直線上，正方形以點為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個正方形只有點重合，其它頂點均不重合，連接、．（1）當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時，求證：；（2）如圖3，．如果，，，求點到的距離【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，由正方形的性質(zhì)得到，，然后依據(jù)可證明，然后依據(jù)全等三角形的性質(zhì)進行證明即可；（2）連接、，延長交與．當(dāng)時，可證明為等腰直角三角形，然后可求得和的長，然后依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得到，最后在中，利用面積法可求得點到的距離．【解答】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，由正方形的性質(zhì)可知：，．在和中，，．．（2）解：連接、，延長交與．當(dāng)時，則．．．又，．又，，為等腰直角三角形．．．．設(shè)點到的距離為．，即，解得．點到的距離為．【點評】本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)，面積法的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．17．（2023秋?蕪湖期中）點、分別是等邊三角形的邊和上的點，且，連接．（1）如圖1，若，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接和．求證：①為等邊三角形；②．（2）如圖2，若，設(shè)為的中點，連接，，求．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，，進而得證；②過作，證明為等邊三角形，推出，證明，得到，進而得到，即可得出結(jié)論；（2）延長至，使得，連接，和，證明，推出為等邊三角形，得到，求解即可．【解答】（1）證明：①繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，，，為等邊三角形；②為等邊三角形，，，如圖1，過作，則，為等邊三角形，，．為等邊三角形，，，，又，，，，即，；（2）解：延長至，使得，連接，和，如圖2，是的中點，，又，，，，，，為等邊三角形，，，，過點作，則：，，．【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵是掌握等三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造等邊三角形和全等三角形．18．（2023春?寧明縣期中）（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，的三個頂點均在格點上．現(xiàn)將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點為，點的對應(yīng)點為，連接，如圖所示則；（2）解決問題：如圖2，在等邊內(nèi)有一點，且，如果將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得出，求的度數(shù)和的長．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，則可判斷為等邊三角形，從而得到；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，△，則為等邊三角形，所以，，再利用勾股定理的逆定理證明為直角三角形，，然后計算出，從而得到的度數(shù)．【解答】解：（1）繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點為，點的對應(yīng)點為，，，為等邊三角形，；故答案為：；（2）為等邊三角形，，，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得出，，，，△，為等邊三角形，，，在中，，，，，為直角三角形，，，△，．答：的度數(shù)為，的長為．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理及其逆定理．19．（2023秋?連城縣期中）在正方形中，點在射線上（不與點、重合），連接，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．（1）如圖1，點在邊上．若，，求的長；（2）如圖2，點在邊的延長線上，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）過點作射線的垂線交于點，先證明，可得、，根據(jù)勾股定理即可解答．（2）過點作，交于，先證明，可知和都是等腰直角三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）過點作射線的垂線交于點，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，、，，，，又四邊形是正方形，，，、，，；（2）．理由如下：如圖2，過點作，交于，四邊形是正方形，，，，，，，在和中，，，，，，和都是等腰直角三角形，，，，．【點評】本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、正方形的性質(zhì)、勾股定理及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點，熟練掌握上述知識點是解答本題的關(guān)鍵．20．（2023秋?長葛市期中）將一副直角三角板如圖1，擺放在直線上（直角三角板和直角三角板，，，，，保持三角板不動，將三角板繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為秒，當(dāng)與射線重合時停止旋轉(zhuǎn)．（1）如圖2，當(dāng)為的角平分線時，求此時的值；（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至的內(nèi)部時，求與的數(shù)量關(guān)系；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三角板的其中一邊平行于三角板的某一邊時，求此時等于或或或（直接寫出答案即可）．【分析】（1）先計算的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義和旋轉(zhuǎn)的速度可得的值；（2）分別表示與的度數(shù)，相減可得數(shù)量關(guān)系；（3）分四種情況討論：分別和三邊平行，還有，計算旋轉(zhuǎn)角并根據(jù)速度列方程可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖2，，，，平分，，，答：此時的值是；（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至的內(nèi)部時，如圖3，與的數(shù)量關(guān)系是：；理由是：由旋轉(zhuǎn)得：，，，；（3）分四種情況：①當(dāng)時，如圖4，，；②當(dāng)時，如圖5，則，，；③當(dāng)時，如圖6，則，，；④當(dāng)時，如圖7，，，；綜上，的值是或或或．故答案為：或或或【點評】本題是典型的實際操作問題，將兩個三角板按照題意進行擺放，旋轉(zhuǎn)，清楚每一時刻各個角的度數(shù)是多少和各角之間的關(guān)系，該類問題就簡單多了．21．（2023秋?臨河區(qū)校級期中）如圖①，在正方形內(nèi)作，交于點，交于點，連接，過點作，垂足為．如圖②，將△繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△．（1）求證：△△；（2）若，，求的長．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，由正方形的性質(zhì)和已知條件推出，由此可根據(jù)證明出結(jié)論；（2）先證出，，設(shè)正方形的邊長為，再用表示出，，在△中，由勾股定理列方程，解出即可解決問題．【解答】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，四邊形為正方形，，又，，，，在△和△中，，△△；（2）解：△△，，，，，，，設(shè)正方形的邊長為，則，，在△中，由勾股定理，得，即，解得，（舍去），，．【點評】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2023秋?武安市校級期中）如圖，有一副直角三角板如圖1放置（其中，，，與直線重合，且三角板，三角板均可以繞點逆時針旋轉(zhuǎn)．（1）在圖1中，；（2）如圖2，若三角板保持不動，三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為秒，轉(zhuǎn)動一周三角板就停止轉(zhuǎn)動，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間為多少時，有成立；（3）如圖3，在圖1基礎(chǔ)上，若三角板的邊從處開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為秒，同時三角板的邊從處開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為秒，當(dāng)轉(zhuǎn)到與重合時，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動．在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時，求旋轉(zhuǎn)的時間是多少？【分析】（1）根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論；（2）如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，求得，于是得到結(jié)論；如圖2，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，求得，于是得到結(jié)論；（3）設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為秒，由題知，，，根據(jù)周角的定義得到，列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：（1），，，故答案為：；（2）如圖1，此時，成立，，，，，，，轉(zhuǎn)速為秒，旋轉(zhuǎn)時間為3秒；如圖2，，，，，，，，三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為，轉(zhuǎn)速為秒，旋轉(zhuǎn)時間為21秒，綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間為3或21秒時，成立；（3）設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為秒，由題知，，，，，當(dāng)，即，解得：，當(dāng)，旋轉(zhuǎn)的時間是25秒．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，識別圖形是解題的關(guān)鍵．23．（2023秋?高要區(qū)期中）如圖，四邊形是邊長為1的正方形，點，分別在邊和上，是由逆時針旋轉(zhuǎn)得到的圖形．（Ⅰ）旋轉(zhuǎn)中心是點．（Ⅱ）旋轉(zhuǎn)角是度，度．（Ⅲ）若，求證，并求此時的周長．【分析】（Ⅰ）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義可得旋轉(zhuǎn)中心是點；（Ⅱ）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義以及正方形的性質(zhì)可得旋轉(zhuǎn)角是90度，度；（Ⅲ）利用證明，得出，進而求出的周長．【解答】解：（Ⅰ）是由逆時針旋轉(zhuǎn)得到的圖形，旋轉(zhuǎn)中心是點．故答案為；（Ⅱ）是由逆時針旋轉(zhuǎn)得到的圖形，旋轉(zhuǎn)角是90度，度．故答案為90，90；（Ⅲ），，．是由逆時針旋轉(zhuǎn)得到的圖形，，，．在與中，，，，的周長．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識．24．（2023春?濟陽區(qū)期中）如圖，和均為等邊三角形，將繞點旋轉(zhuǎn)在直線的右側(cè)）．（1）求證：；（2）若點，，在同一條直線上，①求的度數(shù)；②點是的中點，求證：．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出，，，再證出，由即可證明．（2）①由等邊三角形的性質(zhì)得出，由全等三角形的性質(zhì)得出，再由平角定義即可得出結(jié)果；②由等邊三角形的性質(zhì)證出是的垂直平分線，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：和是等邊三角形，，，，，即，在和中，，；（2）①解：為等邊三角形，，，，；②證明：點是的中點，，是等邊三角形，，為等邊三角形，，是的垂直平分線，．【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．25．（2023秋?紅旗區(qū)校級期中）如圖1，一大一小兩個等腰直角三角形疊放在一起，，分別是斜邊，的中點，，．（1）將繞頂點旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出點，距離的最大值和最小值；（2）將繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)（如圖，求的長．【分析】（1）以為圓心，長為半徑畫圓，連接交于，延長交圓于，由等腰直角三角形的性質(zhì)，推出平分，，是中點，，即可求出、距離的最小值和最大值；（2）連接，，作交延長線于，由等腰直角三角形的性質(zhì)推出，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，由直角三角形的性質(zhì)得到，，由勾股定理即可求出．【解答】解：（1）以為圓心，長為半徑畫圓，連接交于，延長交圓于，是等腰直角三角形，是中點，平分，，是等腰直角三角形，是中點，，、距離的最小值是，、距離的最大值是．（2）連接，，作交延長線于，是等腰直角三角形，是中點，，同理：，繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)，，，，，，．【點評】本題考查等腰直角三角形，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是以為圓心，的長為半徑作輔助圓；通過作輔助線構(gòu)造直角三角形．26．（2023秋?召陵區(qū)期中）（1）如圖1，是等邊內(nèi)一點，連接、、，且，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到，連接．求：①旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；②線段的長；③求的度數(shù)．（2）如圖2所示，是等腰直角內(nèi)一點，連接、、，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到，連接．當(dāng)、、滿足什么條件時，？請給出證明．【分析】（1）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，于是可確定旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為；②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，加上，則可判斷為等邊三角形，所以；③由為等邊三角形得到，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可證明為直角三角形，，所以；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，則可判斷為等腰直角三角形，則，然后根據(jù)勾股定理的逆定理，當(dāng)時，為直角三角形，．【解答】解：（1）①為等邊三角形，，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到，，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為；②繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到，，而，為等邊三角形；；③為等邊三角形，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到，，在中，，，，，，為直角三角形，，；（2）時，．理由如下：繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到，，，，為等腰直角三角形，，當(dāng)時，為直角三角形，，，當(dāng)、、滿足時，．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的逆定理．27．（2023秋?西湖區(qū)校級期中）在△中，，，將△繞點順時針旋轉(zhuǎn)角得△，交于點，分別交、于、兩點．（1）如圖1，觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，當(dāng)時，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．【分析】（1）由得到，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，則可證明△△，于是得到；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，則利用平行線的判定方法得到，，于是可判斷四邊形是平行四邊形，然后加上可判斷四邊形是菱形．【解答】解：（1）．理由如下：，，△繞點順時針旋轉(zhuǎn)角得△，，，，在△和△中，△△，（2）四邊形是菱形．理由如下：，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形．又，四邊形是菱形．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了菱形的判定方法．28．（2023秋?臨河區(qū)校級期中）已知：如圖，在中，，若將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接、．（1）與的關(guān)系是平行且等于；（2）若的面積為，；（3）當(dāng)為多少度時，四邊形為矩形？說明理由．【分析】（1）由繞點順時針旋轉(zhuǎn)可知：，，四邊形為平行四邊形，，；（2）由于是的邊上中線，，同理，；（3）要判斷四邊形為矩形，從對角線來看，要求，又與互相平分，只需要，而，故為等邊三角形，．【解答】解：（1）平行且等于；（2）由（1）得四邊形為平行四邊形，，，根據(jù)等底同高得到，；（3）當(dāng)時，四邊形為矩形．理由是：，，是等邊三角形，，，．又，，，，同理可證其余三個角也為直角．四邊形為矩形．【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．29．（2023秋?東麗區(qū)校級期中）如圖，正方形的邊長為6，，分別是，邊上的點，且，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到．（1）求證：．（2）當(dāng)時，求的長．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得，為直角，可得出，由，得到為，可得出，再由，利用可得出三角形與三角形全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出；（2）由第一問的全等得到，正方形的邊長為6，用求出的長，再由求出的長，設(shè)，可得出，在直角三角形中，利用勾股定理列出關(guān)于的方程，求出方程的解得到的值，即為的長．【解答】（1）證明：逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，、、三點共線，，，，，，在和中，，，；（2）解：設(shè)，，且，，，，在中，由勾股定理得，即，解得：，則．【點評】此題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，利用了轉(zhuǎn)化及方程的思想，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．30．（2023秋?濱海新區(qū)校級期中）如圖，在正方形中，、是對角線上兩點，且，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)后，得到，連接，求證：（1）是的平分線；（2）．【分析】（1）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，進而得出，即可得出答案；（2）利用（1）中所求，再結(jié)合勾股定理得出答案．【解答】證明：（1）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)后，得到，，，，，，，，在和中，，，是的平分線；（2）由（1）得，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，，則，在中，，又，．【點評】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識，正確得出是解題關(guān)鍵．31．（2023秋?東莞市校級期中）如圖，將矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，點的對應(yīng)點恰好落在的延長線上，邊交邊于點．（1）求證：；（2）若，，求的長．【分析】（1）連接、，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，即，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，證得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）連接、，四邊形為矩形，，即，將矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，，；（2）四邊形為矩形，，，，，將矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，，，在△與△中，，△△，，設(shè)，則，在△中，，由勾股定理，得，解得，．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．32．（2023秋?余干縣期中）如圖，菱形，，為菱形內(nèi)一點，連接、．再將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接、，且交于點．（1）求證：；（2）若，求的大?。痉治觥浚?）先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，再由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，根據(jù)定理得出，由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）先求出的度數(shù)，再由等腰三角形的性質(zhì)求出的度數(shù)，再由即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）四邊形是菱形，，，．又繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)到，，，，在與中，，，；（2），，．又，，，．【點評】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟知圖形旋轉(zhuǎn)后所得圖形與原圖形全等是解答此題的關(guān)鍵．33．（2023秋?廣陽區(qū)校級期中）如圖，點是等邊內(nèi)一點，，，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得，連接．（1）求證：是等邊三角形；（2）當(dāng)時，試判斷的形狀，并說明理由．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，可判斷：是等邊三角形；（2）由（1）可知，當(dāng)時，，可判斷為直角三角形．【解答】（1）證明：將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得，，，是等邊三角形；（2）解：為直角三角形．理由：是等邊三角形．，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得，，，，于是是直角三角形．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)前后，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等解題．34．（2023秋?蘭陵縣期中）如圖，將等腰繞頂點逆時針方向旋轉(zhuǎn)度到△的位置，與相交于點，與、分別交于點、．（1）求證：△．（2）當(dāng)度時，判定四邊形的形狀并說明理由．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，根據(jù)全等三角形的判定定理得到△；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，根據(jù)平角的定義得到，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到，證得四邊形是平行四邊形，由于，即可得到四邊形是菱形．【解答】（1）證明：是等腰三角形，，，將等腰繞頂點逆時針方向旋轉(zhuǎn)度到△的位置，，，，在與△中，，△；（2）解：四邊形是菱形，將等腰繞頂點逆時針方向旋轉(zhuǎn)度到△的位置，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．35．（2023秋?惠州校級期中）如圖，是由在平面內(nèi)繞點旋轉(zhuǎn)而得，且，，連接．（1）求證：；（2）試判斷四邊形的形狀，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，然后根據(jù)垂直可得出，繼而可根據(jù)證明；（2）根據(jù)（1）以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，繼而得出四條棱相等，證得四邊形為菱形．【解答】（1）證明：是由在平面內(nèi)繞點旋轉(zhuǎn)而得，，，，，，，在和中，，；（2）四邊形為菱形；由（1）得，是由旋轉(zhuǎn)而得，，，，又，，四邊形為菱形．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定，涉及知識點較多，難度較大．36．（2023秋?新羅區(qū)校級期中）如圖，是等邊內(nèi)的一點，若將繞點旋轉(zhuǎn)到，判斷的形狀？【分析】、為旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點，旋轉(zhuǎn)中心為點，故，又旋轉(zhuǎn)角為，可證為等邊三角形．【解答】解：等邊三角形，理由如下：連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)角，，為等邊三角形，【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的判斷方法解答．37．（2023秋?椒江區(qū)期中）如圖，點是等邊內(nèi)一點，，，將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，．（1）當(dāng)時，求證：為直角三角形；（2）求的度數(shù)；（3）請你探究：當(dāng)為多少度時，是等腰三角形？【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以證明，得出，由等邊三角形的性質(zhì)得出，求出即可；（2）先根據(jù)周角的定義表示的度數(shù)，由三角形全等表示的度數(shù)，最后由三角形內(nèi)角和可得結(jié)論；（3）分三種情況：①時；②時；③時；由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出結(jié)果．【解答】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，是等邊三角形，，是等邊三角形，，，，，，，即是直角三角形；（2）解：是等邊三角形，，，，，由（1）知：，，，中，；（3）解：分三種情況：①當(dāng)時，．，，，；②當(dāng)時，．，，，，；③當(dāng)時，．，，綜上所述：當(dāng)?shù)亩葦?shù)為或或時，是等腰三角形．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)的運用是解題的關(guān)鍵．38．（2023秋?右玉縣期中）教材中有這樣一道題：如圖1，四邊形是正方形，是上的任意一點，于點，，且交于點．求證：．小明通過證明解決了問題，在此基礎(chǔ)上他進一步提出了以下問題，請你解答．（1）若圖1中的點為延長線上一點，其余條件不變，如圖2所示，猜想此時，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）將圖1中的繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，使得與重合，記此時點的對應(yīng)點為點，如圖3所示，若正方形的邊長為3，求的長度．【分析】由四邊形為正方形，可得出為，，進而得到與互余，又垂直于，得到與互余，根據(jù)同角的余角相等可得出，利用可得出三角形與三角形全等，得出，由，等量代換可得證；（1）利用證明，推出，即可得到；（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及矩形的判定定理得到四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可求解．【解答】證明：如圖，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，使得與重合，記此時點的對應(yīng)點為點，連接、，正方形，，，，，，，又，在和中，，；，，；解：（1）．證明如下：正方形，，．，．．．又，．在和中，，，．．．，．（2）如圖，由題設(shè)得，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：，，，．四邊形為平行四邊形．又，四邊形是矩形．．【點評】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．39．（2023秋?集美區(qū)校級期中）在正方形中，將邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，與延長線相交于點，過作交于點，連接．（1）如圖1，求證：；（2）當(dāng)時，依題意補全圖2，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）根據(jù)，得到，由繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，得到，，由正方形性質(zhì)得到，得到；（2）按照題意補全圖形即可，在上取，連接交于，交于，連接，，利用、、證明、、、共圓，從而可得，，再證明，即可得到．【解答】解：（1）證明：邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，正方形，，，，，，，正方形，，，；（2）補全圖2如下：線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：在上取，連接交于，交于，連接，，如圖：正方形，，，又，，，，，，，，由（1）知，且，，，而，，，，、、、共圓，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，．【點評】本題考查正方形性質(zhì)應(yīng)用及全等三角形的性質(zhì)和判定，難度較大，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線，將轉(zhuǎn)化為．40．（2023秋?荔灣區(qū)校級期中）四邊形是正方形，、分別是和的延長線上的點，且，連接、、．（1）求證：；（2）填空：可以由繞旋轉(zhuǎn)中心點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)度得到；（3）若，，求的面積．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得，，然后利用“”易證得；（2）由于得，則，即，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義可得到可以由繞旋轉(zhuǎn)中心點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90度得到；（3）先利用勾股定理可計算出，再根據(jù)可以由繞旋轉(zhuǎn)中心點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90度得到，，然后根據(jù)直角三角形的面積公式計算即可．【解答】（1）證明：四邊形是正方形，，，而是的延長線上的點，，在和中，；（2）解：，，而，，即，可以由繞旋轉(zhuǎn)中心點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90度得到；故答案為、90；（3）解：，，在中，，，，可以由繞旋轉(zhuǎn)中心點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90度得到，，，的面積．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．41．（2023秋?西峰區(qū)校級期中）如圖1，在中，點為邊中點，直線繞頂點旋轉(zhuǎn)，若點，在直線的異側(cè)，直線于點．直線于點，連接，．（1）延長交于點（如圖．①求證：；②求證：；（2）若直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，點，在直線的同側(cè)，其它條件不變，此時還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）若直線繞點旋轉(zhuǎn)到與邊平行的位置時，其它條件不變，請直接判斷四邊形的形狀及此時還成立嗎？不必說明理由．【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)證得再根據(jù)，即可得到；②由，得到則，而在中，，即可得到；（2）證明方法與②相同；（3）四邊形是矩形，只要證明三個角是直角即可；【解答】（1）證明：①如圖直線于點，直線于點，，，，又為邊中點，，又，，②，，在中，，．（2）解：成立，如圖3．證明：延長與的延長線相交于點，直線于點，直線于點，，，又為中點，，又，在和中，，，，，則中，．（3）解：如圖4，四邊形是矩形，理由：，，，，，，四邊形是矩形．，，，．【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．42．（2023秋?濱海新區(qū)校級期中）如圖，等腰直角中，，點在上，將繞頂點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到．（1）求的度數(shù)；（2）當(dāng)，時，求的大??；（3）當(dāng)點在線段上運動時不與重合），請寫出一個反映，，之間關(guān)系的等式，并加以證明．【分析】（1）由于，故有．（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)知，，根據(jù)已知條件，可求得，的值，再由勾股定理求得的值．（3）由于也是等腰直角三角形，故有．【解答】解：（1）由題意知，，，，，，，，是等腰直角三角形，是直角三角形．（2）當(dāng)，時，有，，，．（3）存在，由于是等腰直角三角形，，，，故有．【點評】本題利用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求解．二．旋轉(zhuǎn)對稱圖形43．（2023秋?臨潁縣期中）如圖，已知和中，，，，，；（1）請說明的理由；（2）可以經(jīng)過圖形的變換得到，請你描述這個變換；（3）求的度數(shù)．【分析】（1）先利用已知條件，，，利用可證，那么就有，，那么，即有；（2）通過觀察可知繞點順時針旋轉(zhuǎn)，可以得到；（3）由（1）知，，而是的外角，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求．【解答】解：（1），，，，，，，；（2）通過觀察可知繞點順時針旋轉(zhuǎn)，可以得到；（3）由（1）知，，．【點評】本題利用了全等三角形的判定、性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等式的性質(zhì)等．三．中心對稱44．（2023秋?西安校級期中）如圖，在菱形中，，，點為邊上一點，且，在邊上存在一點，邊上存在一點，線段平分菱形的面積，則周長的最小值為．【分析】作關(guān)于的對稱點，過作交延長線于，交延長線于，連接交于，過作于，由，，得，，而，有，可得，，，在中，，，故，根據(jù)線段平分菱形的面積和菱形的對稱性知，可證，即可得，又，知當(dāng)，，共線時，，即周長的最小，從而可得周長的最小值為．【解答】解：作關(guān)于的對稱點，過作交延長線于，交延長線于，連接交于，過作于，如圖：，，，，，，，，，，，，在中，，，，線段平分菱形的面積，過對稱中心，由菱形的對稱性知，，，，，四邊形是矩形，，，四邊形是矩形，，，，當(dāng)，，共線時，，即周長的最小，此時周長的最小值即為，周長的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查了軸