數(shù)學(xué)常考壓軸題九年級人教版壓軸題07二次函數(shù)中三種面積最值問題含答案及解析

壓軸題07二次函數(shù)中三種面積最值問題目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2題型一、三角形面積最值 2題型二、四邊形面積最值 9題型三、面積和差最值 18壓軸能力測評（17題） 27二次函數(shù)中的面積最值問題通常有以下3種解題方法：1）當(dāng)所求圖形的面積沒有辦法直接求出時，通常采用分割或補(bǔ)全圖形的方法表示所求圖形的面積，如下：一般步驟為：①設(shè)出要求的點的坐標(biāo)；②通過割補(bǔ)將要求的圖形轉(zhuǎn)化成通過條件可以表示的圖形面積和或差；③列出關(guān)系式求解；④檢驗是否每個坐標(biāo)都符合題意．2）用鉛垂定理巧求斜三角形面積的計算公式：三角形面積等于水平寬和鉛錘高乘積的一半.3）利用平行線間的距離處處相等，根據(jù)同底等高，將所求圖形的面積轉(zhuǎn)移到另一個圖形中，如圖所示：一般步驟為：①設(shè)出直線解析式，兩條平行直線k值相等；②通過已知點的坐標(biāo)，求出直線解析式；③求出題意中要求點的坐標(biāo)；④檢驗是否每個坐標(biāo)都符合題意．題型一：三角形面積最值問題【例1】．（23-24九年級上·福建莆田·期末）已知拋物線與x軸交于不同的兩點．(1)求的取值范圍；(2)證明該拋物線經(jīng)過象限內(nèi)的某個定點P，并求點P的坐標(biāo)；(3)設(shè)拋物線與軸的兩個交點分別是A，B，當(dāng)時，的面積是否有最大值或最小值？若有，求出該最大值或最小值及對應(yīng)的的值；若沒有，請說明理由．【變式1】．（23-24九年級上·山東菏澤·期末）如圖，拋物線與軸相交于點，交軸于點，點是線段上一動點，軸，交直線于點，交拋物線于點．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)連接，求四邊形面積的最大值．【變式2】．（23-24九年級上·新疆伊犁·期末）如圖，拋物線的對稱軸為直線，拋物線交x軸于A，C兩點，與直線交于A，B兩點，直線與拋物線的對稱軸交于點E．

(1)求拋物線的解析式；(2)求一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍；(3)點P在直線上方的拋物線上運(yùn)動，若的面積最大，求此時點的坐標(biāo)．【變式3】．（23-24九年級上·山東濱州·期末）如圖，拋物線的圖像與軸交于點，點，與軸交于點，且．(1)求這個二次函數(shù)的解析式，并求出頂點的坐標(biāo)；(2)若點為第一象限內(nèi)拋物線上一點，求點坐標(biāo)為多少時，的面積最大，并求出這個最大面積．題型二：四邊形面積最值問題【例2】．（23-24九年級上·海南?？凇て谀┤鐖D，直線交y軸于點A，交x軸于點C，拋物線經(jīng)過點A，點C，且交x軸于另一點B．(1)直接寫出：點A坐標(biāo)，點C坐標(biāo)；(2)求該拋物線的解析式；(3)在直線上方的拋物線上是否存在點M，使四邊形面積最大？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由；(4)將線段繞x軸上的動點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，若線段與拋物線只有一個公共點，請結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍．【變式1】．（23-24九年級上·云南保山·期末）如圖，已知拋物線與x軸交于A、兩點，與y軸交于C點，直線交拋物線于點．(1)求拋物線的解析式；(2)已知點M為拋物線上一動點，且在第三象限，求四邊形面積的最大值；并直接寫出M點的坐標(biāo)．【變式2】．（22-23九年級上·廣東惠州·期中）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點，，與軸交于點．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點是二次函數(shù)第四象限圖象上一點，過點作軸的垂線，交直線于點，求四邊形面積的最大值及此時點的坐標(biāo)；(3)若點P為拋物線上的一點，點F為對稱軸上的一點，且以點A，B，P，F(xiàn)為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出點P的坐標(biāo)．【變式3】．（23-24九年級上·山東棗莊·期中）已知，如圖拋物線與軸交于點，與軸交于，兩點，點在點左側(cè)．點的坐標(biāo)為，．(1)求拋物線的解析式．(2)點是拋物線對稱軸上的一個動點，當(dāng)?shù)闹底钚r，求點的坐標(biāo)．(3)若點是線段下方拋物線上的動點，求四邊形面積的最大值．題型三：面積和差最值問題【例3】．（23-24九年級上·廣東東莞·期末）如圖，拋物線與x軸交于A?2,0，，交y軸于點C，點P是線段下方拋物線上一動點，過點P作交于點Q，連接，，，．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)求周長的最小值；(3)假設(shè)與的面積分別為，，且，求S的最大值．【變式1】（2024·安徽合肥·一模）已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，直線經(jīng)過點A．(1)求A、B兩點的坐標(biāo);(2)若直線與拋物線的對稱軸交于點E．①若點E為拋物線的頂點，求a的值；②若點E在第四象限并且在拋物線的上方，記的面積為，記的面積為，，求S與x的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值．【變式2】（2024·安徽淮北·模擬預(yù)測）已知拋物線（為常數(shù)，且）與軸交于兩點（點在點的右側(cè)），與軸交于點，經(jīng)過點的直線與拋物線的另一交點為點，與軸的交點為點．(1)如圖1，若點的橫坐標(biāo)為3，試求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2，若，試確定的值；(3)如圖3，在（1）的情形下，連接，點為拋物線在第一象限內(nèi)的點，連接交于點，當(dāng)取最大值時，試求點的坐標(biāo)．【變式3】（2024·廣東廣州·一模）綜合應(yīng)用如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)直線與拋物線在第二象限交于點，若動點在上運(yùn)動，線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點首次落在軸上時記為點，在點運(yùn)動過程中，判斷的大小是否發(fā)生變化？并說明理由．(3)在（）的條件下，連接，記的外接圓的最小面積為，記的外接圓的最大面積為，試求的值（結(jié)果保留）．1．（23-24九年級上·廣東梅州·期末）已知二次函數(shù)的圖象和x軸交于點A、B，與y軸交于點C，點P是直線上方的拋物線上的動點．(1)求直線的解析式．(2)當(dāng)P是拋物線頂點時，求面積．(3)在P點運(yùn)動過程中，求面積的最大值．2．（23-24九年級上·海南省直轄縣級單位·期末）如圖，拋物線經(jīng)過、C0,?3兩點，與x軸的另一個交點為A，頂點為D．(1)求該拋物線的解析式；(2)點E為該拋物線上一動點（與點B、C不重合），①當(dāng)點E在直線的下方運(yùn)動時，求的面積的最大值；②在①的條件下，點M是拋物線的對稱軸上的動點，點P是拋物線上的動點，若以C、E、P、M為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)．3．（23-24九年級上·江西贛州·期末）拋物線與x軸交于點A，B（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，點P是拋物線上一點，其橫坐標(biāo)為a．(1)已知點，求拋物線的解析式．(2)若，①如圖，當(dāng)點P位于第二象限時，過點P分別作于點E，軸于點N，當(dāng)取得最大值時，求a的值；②在①的條件下，連接，，判斷此時的面積是否為最大，并說明理由．4．（23-24九年級上·廣東深圳·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點，與軸交于點．拋物線的對稱軸是，且經(jīng)過兩點，與軸的另一交點為點．(1)求拋物線解析式．(2)若點為直線上方的拋物線上的一點，連接．求的面積的最大值，并求出此時點的坐標(biāo)．5．（23-24九年級下·山東臨沂·期中）如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，直線經(jīng)過、兩點，點是第二象限內(nèi)拋物線上一點.(1)求拋物線的解析式；(2)連接、，求面積的最大值；(3)若點關(guān)于直線的對稱點恰好落在直線上，求點的坐標(biāo).6．（22-23九年級上·廣東湛江·期中）已知拋物線的圖像與x軸交于點和點C，與y軸交于點B0,3．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點P為拋物線的對稱軸上一動點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求點P的坐標(biāo)；(3)在第二象限的拋物線上，是否存在一點Q，使得的面積最大？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．7．（23-24九年級上·廣西柳州·期中）如圖，已知拋物線的頂點為，且通過點．(1)求頂點的坐標(biāo)；(2)點為直線上方拋物線上一動點，求面積的最大值；(3)在拋物線上存在一點，使得，求點坐標(biāo)．8．（23-24九年級上·四川自貢·期末）將拋物線平移到圖中的位置，且與直線交于A0,?1，B2,1兩點．

(1)拋物線是由拋物線向左平移______個單位，再向下平移______個單位得到的；(2)求拋物線的頂點坐標(biāo)；(3)動點在直線下方的拋物線上，求以點為頂點的四邊形的最大面積．9．（23-24九年級上·甘肅蘭州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)圖象的頂點是A，與x軸交于B，C兩點，與y軸交于點D，點B的坐標(biāo)是．(1)求A，C兩點的坐標(biāo)．(2)平移該二次函數(shù)的圖象，使點D恰好落在點A的位置上，求平移后圖象所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式．(3)在直線上方的拋物線上是否存在點P，使的面積最大？若存在，求P點的坐標(biāo)及面積的最大值．10．（23-24九年級上·遼寧撫順·期末）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，連接，點在拋物線上．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點D在第一象限內(nèi)的拋物線上，連接，，請求出面積的最大值；(3)點在拋物線上移動，連接，存在，請直接寫出點的坐標(biāo)．11．（22-23九年級上·天津河西·期末）如圖所示，在中，，，，點從點開始沿邊向點以的速度運(yùn)動，點從點開始沿邊向點以的速度運(yùn)動．、分別從、同時出發(fā)，當(dāng)、兩點中有一點停止運(yùn)動時，則另一點也停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為．(1)當(dāng)為何值時，的長度等于；(2)求出關(guān)于的函數(shù)解析式，計算、出發(fā)幾秒時，有最大值，并求出這個最大面積？12．（22-23九年級上·海南?？凇て谀┤鐖D1，拋物線與x軸交于點A、B4,0（A點在B點左側(cè)），與y軸交于點C0,6，點P是拋物線上一個動點，連接，，(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點P的橫坐標(biāo)為3，求的面積；(3)如圖2所示，當(dāng)點P在直線上方運(yùn)動時，連接，求四邊形面積的最大值，并寫出此時P點坐標(biāo)．(4)若點M是軸上的一個動點，點N是拋物線上一動點，P的橫坐標(biāo)為3．試判斷是否存在這樣的點M，使得以點B，M，N，P為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．13．（22-23九年級上·遼寧沈陽·期末）已知，拋物線與軸交于，兩點（點在點左側(cè)），與軸交于點，拋物線過，，點為第一象限內(nèi)拋物線上一動點：(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在軸上取F0,1，連接，，當(dāng)面積最大時，求點橫坐標(biāo)；(3)當(dāng)時，點在拋物線對稱軸右側(cè)時，直線上存在兩點（在上方），，動點從出發(fā)，沿運(yùn)動到終點，當(dāng)運(yùn)動路程最短時，直接寫出點坐標(biāo)．14．（23-24九年級上·天津·期中）已知如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于兩點，點在點的左側(cè)，點的坐標(biāo)為1,0，點的坐標(biāo)

(1)求拋物線的解析式；(2)若點是線段下方拋物線上的動點，求四邊形面積的最大值；(3)若點在軸上，點在拋物線上，是否存在以為頂點，且以為一邊的平行四邊形呢？若存在，直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．15．（22-23九年級上·海南?？凇て谥校┤鐖D①，已知二次函數(shù)與軸相交于、兩點，與軸相交于點．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖②，連結(jié)、．①求直線的表達(dá)式；②在對稱軸上是否存在一個點，使的周長最??？若存在，請求出點的坐標(biāo)和此時的周長；若不存在，請說明理由；③點為拋物線在第四象限內(nèi)圖象上一個動點，是否存在點，使得的面積最大？若存在，請求出點的坐標(biāo)和此時面積的最大值；若不存在，請說明理由．16．（22-23九年級上·貴州黔南·期中）已知，如圖拋物線與軸交于點，與軸交于A?4,0、兩點．(1)求拋物線的解析式；(2)若點是線段下方拋物線上的動點，求四邊形面積的最大值．(3)點是拋物線對稱軸上一動點，點是直線上一動點，且以點為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點的坐標(biāo)．17．（23-24九年級上·湖北襄陽·期中）如圖，拋物線經(jīng)過點B?2,0和點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)點是第四象限內(nèi)拋物線上的動點，求四邊形的面積的最大值和此時點的坐標(biāo)；(3)點是軸上的一個動點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，若線段與拋物線有一個公共點，結(jié)合函數(shù)圖像，請直接寫出的取值范圍．

壓軸題07二次函數(shù)中三種面積最值問題目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2題型一、三角形面積最值 2題型二、四邊形面積最值 9題型三、面積和差最值 18壓軸能力測評（17題） 27二次函數(shù)中的面積最值問題通常有以下3種解題方法：1）當(dāng)所求圖形的面積沒有辦法直接求出時，通常采用分割或補(bǔ)全圖形的方法表示所求圖形的面積，如下：一般步驟為：①設(shè)出要求的點的坐標(biāo)；②通過割補(bǔ)將要求的圖形轉(zhuǎn)化成通過條件可以表示的圖形面積和或差；③列出關(guān)系式求解；④檢驗是否每個坐標(biāo)都符合題意．2）用鉛垂定理巧求斜三角形面積的計算公式：三角形面積等于水平寬和鉛錘高乘積的一半.3）利用平行線間的距離處處相等，根據(jù)同底等高，將所求圖形的面積轉(zhuǎn)移到另一個圖形中，如圖所示：一般步驟為：①設(shè)出直線解析式，兩條平行直線k值相等；②通過已知點的坐標(biāo)，求出直線解析式；③求出題意中要求點的坐標(biāo)；④檢驗是否每個坐標(biāo)都符合題意．題型一：三角形面積最值問題【例1】．（23-24九年級上·福建莆田·期末）已知拋物線與x軸交于不同的兩點．(1)求的取值范圍；(2)證明該拋物線經(jīng)過象限內(nèi)的某個定點P，并求點P的坐標(biāo)；(3)設(shè)拋物線與軸的兩個交點分別是A，B，當(dāng)時，的面積是否有最大值或最小值？若有，求出該最大值或最小值及對應(yīng)的的值；若沒有，請說明理由．【答案】(1)且(2)證明見解析；(3)的面積有最大值，最大值為，此時，的面積無最小值【知識點】其他問題(二次函數(shù)綜合)、面積問題(二次函數(shù)綜合)、求拋物線與x軸的交點坐標(biāo)【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)根的判別式求出m的取值范圍：（2）根據(jù)題意可得y的值與m無關(guān)，把原函數(shù)關(guān)系式變形為，令，求出x的值，即可求解；（3）先求出拋物線與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)分別為，可得，再由，可得，從而確定AB的取值范圍，求得的面積為，從而得解．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于不同的兩點，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，且，∴且，解得：且，∴的取值范圍是：且；（2）解：∵∴，即，令，解得：，當(dāng)時，，此時拋物線過點；當(dāng)時，，此時拋物線過點1,0(舍去)；∴該拋物線經(jīng)過象限內(nèi)的某個定點P，點P的坐標(biāo)為；（3）解：的面積有最大值，無最小值．當(dāng)時，，解得：，∴拋物線與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)分別為，∴，∵，∴，∴，，∴當(dāng)時，有最大值，最大值為，根據(jù)題意得：的面積為，∴當(dāng)最大時，的面積有最大，最大值為，此時．AB無最小值，的面積無最小值．【變式1】．（23-24九年級上·山東菏澤·期末）如圖，拋物線與軸相交于點，交軸于點，點是線段上一動點，軸，交直線于點，交拋物線于點．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)連接，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)；(2)．【知識點】面積問題(二次函數(shù)綜合)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【分析】（）運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線解析式即可；（）先求出點的坐標(biāo)為，用待定系數(shù)法求到直線的函數(shù)表達(dá)式為，設(shè)點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為，根據(jù)，求出四邊形面積，然后用二次函數(shù)的最值即可；本題考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，求不規(guī)則圖形的面積，坐標(biāo)與圖形，熟練掌握求不規(guī)則圖形的面積的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）根據(jù)題意，得，解這個方程組，得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）當(dāng)時，，∴點的坐標(biāo)為，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，則，，解得，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為，設(shè)點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為，∴，∴，，，，，因為，∴當(dāng)時，最大，最大值為．【變式2】．（23-24九年級上·新疆伊犁·期末）如圖，拋物線的對稱軸為直線，拋物線交x軸于A，C兩點，與直線交于A，B兩點，直線與拋物線的對稱軸交于點E．

(1)求拋物線的解析式；(2)求一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍；(3)點P在直線上方的拋物線上運(yùn)動，若的面積最大，求此時點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)【知識點】面積問題(二次函數(shù)綜合)、根據(jù)交點確定不等式的解集、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【分析】本題考查待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)與不等式．（1）由直線與x軸交于點A可得點A的坐標(biāo)，代入拋物線中可得，由拋物線的對稱軸為直線可得，解方程組即可得到a，b的值，從而得到拋物線的解析式；（2）求出點A，點B的坐標(biāo)，結(jié)合圖象根據(jù)二次函數(shù)與不等式的關(guān)系即可求解；（3）設(shè)點P的坐標(biāo)為（），過點P作軸，交于點Q，可得，從而，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）∵直線與x軸交于點A∴令，，解得：，∴點A的坐標(biāo)為1,0，∵拋物線經(jīng)過點，∴，∵拋物線的對稱軸為直線，∴，即，解方程組得，∴拋物線的解析式為；（2）解方程組得或，∴點B的坐標(biāo)為，由圖象可得，一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍為：或；（3）設(shè)點P的坐標(biāo)為（），過點P作軸，交于點Q，

∴點Q的坐標(biāo)為，∴，∴，∴當(dāng)時，有最大值．∴，∴點P的坐標(biāo)為．【變式3】．（23-24九年級上·山東濱州·期末）如圖，拋物線的圖像與軸交于點，點，與軸交于點，且．(1)求這個二次函數(shù)的解析式，并求出頂點的坐標(biāo)；(2)若點為第一象限內(nèi)拋物線上一點，求點坐標(biāo)為多少時，的面積最大，并求出這個最大面積．【答案】(1)，頂點D的坐標(biāo)為(2)點M的坐標(biāo)為，面積的最大值為4【知識點】面積問題(二次函數(shù)綜合)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、求一次函數(shù)解析式【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)、二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合，靈活運(yùn)用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可知、、的坐標(biāo)，再將其代入中，利用待定系數(shù)法即可求解得，即可求解；（2）利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，過點M作軸交直線于點M，交x軸于點N，設(shè)M點的坐標(biāo)為，則P點的坐標(biāo)為，可得，可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為0,4，點C的坐標(biāo)為，把代入得：，∴拋物線變?yōu)椋?，把點A?2,0、點代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為：，∵，∴這個二次函數(shù)圖象的頂點D的坐標(biāo)為；（2）設(shè)直線的解析式為，代入，，得，解得：，∴直線的解析式為，如圖所示：過點M作軸交直線于點M，交x軸于點N，設(shè)M點的坐標(biāo)為，則P點的坐標(biāo)為，∴∴，∴當(dāng)時，面積的最大值為4．當(dāng)時，，此時點M的坐標(biāo)為．題型二：四邊形面積最值問題【例2】．（23-24九年級上·海南?？凇て谀┤鐖D，直線交y軸于點A，交x軸于點C，拋物線經(jīng)過點A，點C，且交x軸于另一點B．(1)直接寫出：點A坐標(biāo)，點C坐標(biāo)；(2)求該拋物線的解析式；(3)在直線上方的拋物線上是否存在點M，使四邊形面積最大？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由；(4)將線段繞x軸上的動點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，若線段與拋物線只有一個公共點，請結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍．【答案】(1)；；(2)(3)存在，最大值為8(4)或【知識點】面積問題(二次函數(shù)綜合)、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題【分析】（1）令，由，得點坐標(biāo)，令，由，得點坐標(biāo)；（2）將、的坐標(biāo)代入拋物線的解析式便可求得拋物線的解析式，（3）由二次函數(shù)解析式令，求得點坐標(biāo)；過點作軸，與交于點，設(shè)，則，由三角形的面積公式表示出四邊形的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值，并求得的值，便可得點的坐標(biāo)；（4）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，求得點和點的坐標(biāo)，令點和點在拋物線上時，求出的最大和最小值便可．【詳解】（1）解：令，得，∴，令，得，解得，，∴，故答案為：0,2；；（2）解：把、兩點坐標(biāo)代入得，，解得，∴拋物線的解析式為，（3）解：令，得，解得，，或，∴B?2,0過點作軸于X，與交于點，如圖，

設(shè)，則，∴，∵，∴，∴當(dāng)時，四邊形面積最大，其最大值為8；（4）解：∵將線段繞x軸上的動點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，如圖，

∴，，∴，，當(dāng)在拋物線上時，有，解得，，當(dāng)點在拋物線上時，有，解得，或2，∴當(dāng)或時，線段與拋物線只有一個公共點．【點睛】本題是一個二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，求函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點，求函數(shù)的最大值，三角形的面積公式，第（2）題關(guān)鍵在求函數(shù)的解析式，第（3）關(guān)鍵是確定，點的坐標(biāo)與位置．【變式1】．（23-24九年級上·云南保山·期末）如圖，已知拋物線與x軸交于A、兩點，與y軸交于C點，直線交拋物線于點．(1)求拋物線的解析式；(2)已知點M為拋物線上一動點，且在第三象限，求四邊形面積的最大值；并直接寫出M點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)四邊形面積的最大值為9，此時點M的坐標(biāo)為．【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、面積問題(二次函數(shù)綜合)【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、圖形面積計算等重要知識點：（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；（2）連接，分別過點M作軸于點P，軸于點Q，設(shè)點M的坐標(biāo)為，則，再根據(jù)四邊形面積，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：把，代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：如圖，連接，分別過點M作軸于點P，軸于點Q，設(shè)點M的坐標(biāo)為，則，當(dāng)時，，解得：，∴點，∴，當(dāng)時，，即，∵，∴，∴四邊形面積，∵，∴當(dāng)時，四邊形面積最大，最大為9，此時點M的坐標(biāo)為．【變式2】．（22-23九年級上·廣東惠州·期中）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點，，與軸交于點．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點是二次函數(shù)第四象限圖象上一點，過點作軸的垂線，交直線于點，求四邊形面積的最大值及此時點的坐標(biāo)；(3)若點P為拋物線上的一點，點F為對稱軸上的一點，且以點A，B，P，F(xiàn)為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出點P的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)，；(3)點P的坐標(biāo)為或或．【知識點】特殊四邊形(二次函數(shù)綜合)、面積問題(二次函數(shù)綜合)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【分析】（1）用待定系數(shù)法可得二次函數(shù)的解析式為；（2）求出，直線的函數(shù)表達(dá)式為，設(shè)，則，可得，故，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案；（3）求出拋物線的對稱軸為直線；設(shè)，，分三種情況：①若，為對角線，②若，為對角線，③若，為對角線，分別解方程組可得答案．【詳解】（1）解：把，代入得：，解得，二次函數(shù)的解析式為；（2）解：如圖：在中，令得，，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，由，得：解得：∴直線的函數(shù)表達(dá)式為，設(shè)，則，，，，當(dāng)時，取最大值，此時，四邊形面積的最大值為，此時點的坐標(biāo)為；（3）解：拋物線的對稱軸為直線；設(shè)，，又，，①若，為對角線，則，的中點重合，，解得，；②若，為對角線，則，的中點重合，，解得，；③若，為對角線，則，的中點重合，，解得，；綜上所述，的坐標(biāo)為或或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，平行四邊形性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度．【變式3】．（23-24九年級上·山東棗莊·期中）已知，如圖拋物線與軸交于點，與軸交于，兩點，點在點左側(cè)．點的坐標(biāo)為，．(1)求拋物線的解析式．(2)點是拋物線對稱軸上的一個動點，當(dāng)?shù)闹底钚r，求點的坐標(biāo)．(3)若點是線段下方拋物線上的動點，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)(2)(3)【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、線段周長問題(二次函數(shù)綜合)、面積問題(二次函數(shù)綜合)【分析】（1）由題意得點C的坐標(biāo)，將點B、C的坐標(biāo)代入拋物線即可求得答案；（2）因為拋物線的對稱軸為，點B和點A關(guān)于對稱軸對稱，的值最小轉(zhuǎn)化為求，結(jié)合（1）求得點A的坐標(biāo)，利用點A、C的坐標(biāo)求得直線解析式，即可求得答案；（3）過點D作直線軸，交于點E，交x軸于點F，過點C作于點G，利用拋物線和直線解析式表示點D和點E，求得的距離，將四邊形面積分割求和，表示為一元二次函數(shù)，求該函數(shù)的最值即可解得答案；【詳解】（1）解：∵點B的坐標(biāo)為1,0，，∴，，即點C0,?3，代入得，解得，則拋物線的解析式；（2）解：由拋物線的解析式得對稱軸為，，∵點是拋物線對稱軸上的一個動點，∴，∵點B關(guān)于對稱軸的對稱點為點A，∴的值最小為，如圖，設(shè)直線的解析式為將點，C0,?3代入得，解得，則，當(dāng)時，，故當(dāng)?shù)闹底钚r，點；（3）解：過點D作直線軸，交于點E，交x軸于點F，過點C作于點G，如圖，設(shè)點，則點，得，，∵，∴當(dāng)時，，【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、三角形的面積、二次函數(shù)的最值以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是函數(shù)圖象上點的特征、用點的坐標(biāo)表示距離和面積分割求解．題型三：面積和差最值問題【例3】．（23-24九年級上·廣東東莞·期末）如圖，拋物線與x軸交于A?2,0，，交y軸于點C，點P是線段下方拋物線上一動點，過點P作交于點Q，連接，，，．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)求周長的最小值；(3)假設(shè)與的面積分別為，，且，求S的最大值．【答案】(1)(2)(3)【知識點】面積問題(二次函數(shù)綜合)、線段周長問題(二次函數(shù)綜合)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【分析】（1）將A?2,0，兩點代入即可求解；（2）作點O關(guān)于直線的對稱點，連接，根據(jù)可得，即可求解；（3）連接，過點P作于點H，根據(jù)，設(shè)點，即可建立函數(shù)關(guān)系式求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于A?2,0，兩點∴解得∴拋物線的函數(shù)解析式為（2）解：如圖，作點O關(guān)于直線的對稱點，連接∵拋物線交y軸于點C∴∴∴∠BCO=45°∵關(guān)于直線對稱∴BC與OO′互相垂直平分∴四邊形是正方形，∴在中，∵∴即點Q位于直線與直線交點時，的最小值為10∴周長的最小值為（3）解：如圖，連接，過點P作于點H∵∴與的面積相等∴設(shè)點∴∴當(dāng)，有最大值，且最大值為；【點睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式求解、二次函數(shù)與周長、面積的綜合問題，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式1】（2024·安徽合肥·一模）已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，直線經(jīng)過點A．(1)求A、B兩點的坐標(biāo);(2)若直線與拋物線的對稱軸交于點E．①若點E為拋物線的頂點，求a的值；②若點E在第四象限并且在拋物線的上方，記的面積為，記的面積為，，求S與x的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值．【答案】(1)，(2)①；②；S的最大值為．【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，數(shù)形結(jié)合，靈活運(yùn)用分類討論的思想是正確解答此類題的關(guān)鍵．（1）令，解方程，即可求解；（2）①先求得直線解析式為：，頂點坐標(biāo)為，根據(jù)直線過點，列式計算即可求解；②根據(jù)題意畫出示意圖，利用三角形面積公式列式得到，，再求得，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：令，則有：，即，，，，；（2）解：直線經(jīng)過，，，直線解析式為：，拋物線配方得，其頂點坐標(biāo)為；①當(dāng)E為頂點時：即過，，，（舍去），；②根據(jù)題意可畫出示意圖，設(shè)直線交y軸于F，交拋物線對稱軸于E點，且點E在第四象限并且在拋物線的上方，則，，，又，，，．，∵，∴當(dāng)，S的最大值為．【變式2】（2024·安徽淮北·模擬預(yù)測）已知拋物線（為常數(shù)，且）與軸交于兩點（點在點的右側(cè)），與軸交于點，經(jīng)過點的直線與拋物線的另一交點為點，與軸的交點為點．(1)如圖1，若點的橫坐標(biāo)為3，試求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2，若，試確定的值；(3)如圖3，在（1）的情形下，連接，點為拋物線在第一象限內(nèi)的點，連接交于點，當(dāng)取最大值時，試求點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)點的坐標(biāo)為【分析】（1）令，則，求出，，將代入一次函數(shù)求出，從而得出點的坐標(biāo)，再將的坐標(biāo)代入二次函數(shù)即可得解；（2）由（1）得：，，設(shè)點的坐標(biāo)為，由得出點的橫坐標(biāo)為，代入一次函數(shù)解析式得出點的坐標(biāo)，再將的坐標(biāo)代入二次函數(shù)即可得解；（3）由（1）知：，，，得出，求出點的坐標(biāo)得出，根據(jù)，得出關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】（1）解：在中，令，則，解得：，，，，將代入得：，解得：，，點的橫坐標(biāo)為3，當(dāng)時，，，將代入拋物線解析式得：，解得：，；（2）解：由（1）得：，，設(shè)點的坐標(biāo)為，，為的中點，在軸上，，，在中，當(dāng)時，，，將代入拋物線解析式得：，解得：；（3）解：由（1）知：，，，，在中，當(dāng)時，，，，設(shè)，，，當(dāng)時，的值最大，此時．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點問題、二次函數(shù)綜合—面積問題，熟練掌握以上知識點并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【變式3】（2024·廣東廣州·一模）綜合應(yīng)用如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)直線與拋物線在第二象限交于點，若動點在上運(yùn)動，線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點首次落在軸上時記為點，在點運(yùn)動過程中，判斷的大小是否發(fā)生變化？并說明理由．(3)在（）的條件下，連接，記的外接圓的最小面積為，記的外接圓的最大面積為，試求的值（結(jié)果保留）．【答案】(1)；(2)大小不變，理由見解析；(3)．【分析】（）利用待定系數(shù)法即可求解；（）大小不變．過點作軸于，過點作交的延長線于點，設(shè)，可得，即可證明，得到，得到，進(jìn)而得到，即可求證；（）連接，結(jié)合由（）可得為等腰直角三角形，故得的外接圓是以為直徑的圓，設(shè)圓的半徑為，則，得，根據(jù)圓的面積公式可知，最小時，圓的面積為，最大時，圓的面積為，由時，最小，此時，與重合，及當(dāng)點與點重合時，最大，分別求出半徑，得出的值即可求解．【詳解】（1）解：把、代入得，，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：大小不變，理由如下：過點作軸于，過點作交的延長線于點，∵點在直線上，∴設(shè)，∴，，∴，又由旋轉(zhuǎn)可得，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴大小不變，為；（3）解：連接，由（）得，，∵，∴為等腰直角三角形，∴的外接圓是以為直徑的圓，設(shè)圓的半徑為，則，∵，∴，∵圓的面積，∴最小時，圓的面積為，最大時，圓的面積為，當(dāng)時，最小，此時，與重合，∴，當(dāng)點與點重合時，最大，最大，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形的外接圓，最值問題，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．1．（23-24九年級上·廣東梅州·期末）已知二次函數(shù)的圖象和x軸交于點A、B，與y軸交于點C，點P是直線上方的拋物線上的動點．(1)求直線的解析式．(2)當(dāng)P是拋物線頂點時，求面積．(3)在P點運(yùn)動過程中，求面積的最大值．【答案】(1)(2)3(3)【知識點】面積問題(二次函數(shù)綜合)、y=ax2+bx+c的最值、y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、求一次函數(shù)解析式【分析】（1）由題意分別將、代入二次函數(shù)解析式中求出點C、A的坐標(biāo)，再根據(jù)點A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式；（2）由題意先根據(jù)二次函數(shù)解析式求出頂點，進(jìn)而利用割補(bǔ)法求面積；（3）根據(jù)題意過點作軸交于點并設(shè)點的坐標(biāo)為()，則點的坐標(biāo)為，進(jìn)而得到，利用面積公式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：分別將、代入二次函數(shù)解析式中，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，，根據(jù)二次函數(shù)的圖像可知，點，設(shè)直線的解析式為：將，代入，得：，解得：∴直線的解析式為．（2）由，將其化為頂點式為，可知頂點P為，如圖P為頂點時連接并延長交x軸于點G，設(shè)直線的解析式為，將P點和C點代入得，解得，則的解析式為，即G為，那么=3；（3）過點作軸交于點．設(shè)點的坐標(biāo)為()，則點的坐標(biāo)為∴，當(dāng)時，取最大值，最大值為．∵，∴面積的最大值為．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)以及解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求出直線解析式以及利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行綜合分析．2．（23-24九年級上·海南省直轄縣級單位·期末）如圖，拋物線經(jīng)過、C0,?3兩點，與x軸的另一個交點為A，頂點為D．(1)求該拋物線的解析式；(2)點E為該拋物線上一動點（與點B、C不重合），①當(dāng)點E在直線的下方運(yùn)動時，求的面積的最大值；②在①的條件下，點M是拋物線的對稱軸上的動點，點P是拋物線上的動點，若以C、E、P、M為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①最大值為；②存在，點P有或或．【知識點】特殊四邊形(二次函數(shù)綜合)、面積問題(二次函數(shù)綜合)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【分析】（1）將B、C兩點分別代入解析式求解即可得；（2）①過點E作軸的平行線交于點，將點B、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)確定函數(shù)解析式，然后設(shè)點，則點，得出，結(jié)合圖象確定面積的函數(shù)表達(dá)式即可得出結(jié)果；②分三種情況進(jìn)行討論分析：當(dāng)、和為對角線時，利用中點坐標(biāo)公式列式計算求解即可．【詳解】（1）解：將B、C兩點分別代入解析式可得：，解得：∴函數(shù)的表達(dá)式為：；（2）解：①過點E作軸的平行線交于點，設(shè)直線的解析式為，將點B、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，∴直線的解析式為：，設(shè)點，則點，則，∴∵，且，∴當(dāng)時，面積有最大值，最大值為，此時點E的坐標(biāo)為；②如圖：、，，對稱軸為直線，設(shè)，，a．當(dāng)為對角線時，則，即，，所以；b．當(dāng)為對角線時，則，即，，所以；c．當(dāng)為對角線時，則，即，所以所以，符合題意的點P有或或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角形的面積，待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，注意分類討論思想．3．（23-24九年級上·江西贛州·期末）拋物線與x軸交于點A，B（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，點P是拋物線上一點，其橫坐標(biāo)為a．(1)已知點，求拋物線的解析式．(2)若，①如圖，當(dāng)點P位于第二象限時，過點P分別作于點E，軸于點N，當(dāng)取得最大值時，求a的值；②在①的條件下，連接，，判斷此時的面積是否為最大，并說明理由．【答案】(1)(2)①；②在①的條件下，的面積不是最大，理由見解析【知識點】面積問題(二次函數(shù)綜合)、y=ax2+bx+c的最值、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、求一次函數(shù)解析式【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)求最值，二次函數(shù)面積問題等知識．（1）直接把點代入拋物線解析式即可得出m的值，則可得出拋物線解析式．（2）①若，則，求出，B，C點的坐標(biāo)，設(shè)點，然后用待定系數(shù)法求出的解析式，過點P作y軸的平行線交直線BC于點H，可得，可得出，再證明是等腰直角三角形，進(jìn)一步得出，則，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出當(dāng)，取得最大值．②在①的條件下，，可得出當(dāng)時，的面積最大，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：把點代入得，∴，∴拋物線的解析式為，（2）①若，則，∴拋物線與x軸交于點，B4,0，與y軸交于點，設(shè)點設(shè)直線BC的解析式為，∴解得：，∴直線的解析式為，如圖，過點P作y軸的平行線交直線BC于點H，可得，∴，由B4,0，可知∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴當(dāng)時，取得最大值∵，符合題意，取得最大值時，．②在①的條件下，的面積不是最大，理由如下：由①可知．∵，∴當(dāng)時，的面積最大．4．（23-24九年級上·廣東深圳·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點，與軸交于點．拋物線的對稱軸是，且經(jīng)過兩點，與軸的另一交點為點．(1)求拋物線解析式．(2)若點為直線上方的拋物線上的一點，連接．求的面積的最大值，并求出此時點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、面積問題(二次函數(shù)綜合)【分析】（1）根據(jù)題意可得，點與點關(guān)于對稱，可得，設(shè)拋物線解析式為，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)題意，設(shè)，如圖所示，過點作軸交于點，則，可得，再根據(jù)三角形面積的計算方法，二次函數(shù)最值的計算方法可得，由此即可求解．【詳解】（1）解：在直線中，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，由拋物線的對稱性可知：點與點關(guān)于對稱，∴點的坐標(biāo)為，∵拋物線過，∴可設(shè)拋物線解析式為，又∵拋物線過點C0∴，∴，∴．（2）解：的解析式為，點為直線上方的拋物線上的一點，設(shè)，如圖所示，過點作軸交于點，∴∴，∴，∴當(dāng)時，的面積有最大值是，∴，此時點坐標(biāo)．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，幾何圖形面積的計算方法，圖形結(jié)合分析的方法是解題的關(guān)鍵．5．（23-24九年級下·山東臨沂·期中）如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，直線經(jīng)過、兩點，點是第二象限內(nèi)拋物線上一點.(1)求拋物線的解析式；(2)連接、，求面積的最大值；(3)若點關(guān)于直線的對稱點恰好落在直線上，求點的坐標(biāo).【答案】(1)(2)；(3)【知識點】面積問題(二次函數(shù)綜合)、根據(jù)一次函數(shù)增減性求參數(shù)【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，對稱的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識．（1）先根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出點、的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）作軸交于點，設(shè)，則，可得，根據(jù)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）連接、，交直線于點，先求出點的坐標(biāo)，結(jié)合A?4,0，可得，進(jìn)而得到，再結(jié)合對稱性可得，推出，可得點的縱坐標(biāo)，即可求解．【詳解】（1）解：在中，令，得；令，得，A?4,0，，把、兩點的坐標(biāo)分別代入線，可得，解得：，拋物線的解析式為；（2）作軸交于點，如圖，設(shè)，則，點是第二象限內(nèi)拋物線上一點；，，當(dāng)時，的最大值為，面積的最大值為；（3）連接、，交直線于點，如圖，令，解得：，，，A?4,0，，，∴，點、關(guān)于直線對稱，，，點是縱坐標(biāo)為，．6．（22-23九年級上·廣東湛江·期中）已知拋物線的圖像與x軸交于點和點C，與y軸交于點B0,3．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點P為拋物線的對稱軸上一動點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求點P的坐標(biāo)；(3)在第二象限的拋物線上，是否存在一點Q，使得的面積最大？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，Q點的坐標(biāo)為【知識點】線段問題(軸對稱綜合題)、面積問題(二次函數(shù)綜合)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【分析】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，（1）根據(jù)拋物線的圖象經(jīng)過點和點B0,3，得到方程組，解方程組即可得到結(jié)論；（2）解方程求得，由于A、C兩點關(guān)于對稱軸對稱，則此時最?。蟮弥本€解析式為；于是得到P點坐標(biāo)為；（3）設(shè)是第二象限的拋物線上一點，過點Q作軸交直線于點E，于是得到E的坐標(biāo)為，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵拋物線的圖象經(jīng)過點和點B0,3，∴，解得，∴拋物線的解析式為：．（2）解：對稱軸為，令，解得，，∴，如圖所示，∵點C與點A關(guān)于直線對稱，∴連接與對稱軸的交點即為所求之P點，∵的長是個定值，則此時的點P，使的周長最小，由于A、C兩點關(guān)于對稱軸對稱，則此時最小．設(shè)直線的解析式為，由、B0,3可得：，解得，∴直線解析式為；當(dāng)時，，∴P點坐標(biāo)為；（3）解：結(jié)論：存在．設(shè)是第二象限的拋物線上一點，過點Q作軸交直線于點E，則E的坐標(biāo)為，∴，∴，∴當(dāng)時，取得最大值．∴當(dāng)時，，∴．所以，在第二象限的拋物線上，存在一點Q，使得的面積最大；Q點的坐標(biāo)為．7．（23-24九年級上·廣西柳州·期中）如圖，已知拋物線的頂點為，且通過點．(1)求頂點的坐標(biāo)；(2)點為直線上方拋物線上一動點，求面積的最大值；(3)在拋物線上存在一點，使得，求點坐標(biāo)．【答案】(1)(2)面積的最大值為(3)或【知識點】求一次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、y=a（x-h）2+k的圖象和性質(zhì)、面積問題(二次函數(shù)綜合)【分析】本題考查二次函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求解解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，頂點式的運(yùn)用，學(xué)會數(shù)形結(jié)合的解題方法，即可．（1）把點代入拋物線，即可；（2）設(shè)直線的解析式為：，求出解析式；當(dāng)直線向上平移，與拋物線僅一個交點時，面積有最大值，且平移的解析式為，求出點的坐標(biāo)，再根據(jù)，即可．（3）過點作交于點，過點作軸，分別過點，作于點，于點；得到，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，則，求出，，得到點的坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式為：，求出解析式，聯(lián)立拋物線，延長交于點，過點作交于點，且軸，同理得到，求出，，得到點的坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式為：，求出解析式，聯(lián)立拋物線，即可．【詳解】（1）∵拋物線的頂點為，且通過點，∴，解得：，∴拋物線為：，∴頂點．（2）∵，，∴設(shè)直線的解析式為：y=kx+bk≠0，∴，解得：，∴直線的解析式為：，當(dāng)直線向上平移，與拋物線僅一個公共點時，面積有最大值，且平移的解析式為，∴，整理得：，∴，解得：，∴平移直線的解析式為：，∴，解得：，∴點，設(shè)直線與軸的交點為點，∴，∴，∴∴．（3）過點作交于點，過點作軸，分別過點，作于點，于點，∴，∵，，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴，，∴點，設(shè)直線的解析式為：，∴，解得：，∴直線的解析式為：，∵點在直線上，∴直線的解析式為：，聯(lián)立拋物線，∴，解得：（舍去），，∴點；延長交于點，過點作交于點，且軸∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∴，∴點設(shè)直線的解析式為：，∴，解得：，∴直線的解析式為：，∵點在直線上∴直線的解析式為：，∴聯(lián)立拋物線，∴，解得：（舍去），，∴點；綜上所述，點或．8．（23-24九年級上·四川自貢·期末）將拋物線平移到圖中的位置，且與直線交于A0,?1，B2,1兩點．

(1)拋物線是由拋物線向左平移______個單位，再向下平移______個單位得到的；(2)求拋物線的頂點坐標(biāo)；(3)動點在直線下方的拋物線上，求以點為頂點的四邊形的最大面積．【答案】(1)，(2)頂點坐標(biāo)為(3)四邊形的最大面積是2【知識點】面積問題(二次函數(shù)綜合)、y=a（x-h）2+k的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)圖象的平移、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的解析式為，利用待定系數(shù)法解得該函數(shù)解析式，然后根據(jù)拋物線平移的性質(zhì)“左加右減，上加下減”，即可確定答案；（2）結(jié)合（1）中拋物線的解析式，即可獲得答案；（3）首先求得直線解析式，設(shè)點，過點作軸垂線，交于點，則，然后由求得關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，即可獲得答案．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為，將點A0,?1，B可得，解得，∴拋物線的解析式為，∴拋物線是由拋物線向左平移個單位，再向下平移個單位得到的；（2）由（1）可知，拋物線的解析式為，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為；（3）設(shè)直線解析式為，將點O0,0，B可得，解得，∴直線解析式為，∵拋物線的解析式，∴可設(shè)點，過點作軸垂線，交于點，如下圖，則，

∴，∴當(dāng)時，取最大值，最大值為2．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖像的平移、二次函數(shù)綜合應(yīng)用（面積問題）的知識，解題關(guān)鍵是正確解得所需函數(shù)解析式，并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題．9．（23-24九年級上·甘肅蘭州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)圖象的頂點是A，與x軸交于B，C兩點，與y軸交于點D，點B的坐標(biāo)是．(1)求A，C兩點的坐標(biāo)．(2)平移該二次函數(shù)的圖象，使點D恰好落在點A的位置上，求平移后圖象所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式．(3)在直線上方的拋物線上是否存在點P，使的面積最大？若存在，求P點的坐標(biāo)及面積的最大值．【答案】(1)(2)；(3)存在，面積有最大值，P點坐標(biāo)為．【知識點】面積問題(二次函數(shù)綜合)、二次函數(shù)圖象的平移、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，圖象平移的性質(zhì)，分割法求三角形面積是解題的關(guān)鍵．（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，再根據(jù)圖象上點的坐標(biāo)特點求A、C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)D點的平移情況確定函數(shù)圖象向右平移2個單位長度，向上平移4個單位長度，即可求平移后的函數(shù)解析；（3）過點P作軸交于點Q，設(shè)，則，可得，當(dāng)時，的面積有最大值，此時P點坐標(biāo)為．【詳解】（1）解：將點代入，∴，解得，∴拋物線的解析式為，∵，∴，當(dāng)時，，解得或，∴；（2）當(dāng)時，，∴，∵平移后D點到A點位置，∴函數(shù)圖象向右平移2個單位長度，向上平移4個單位長度，∴；（3）存在點P，使的面積最大，理由如下：設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，過點P作軸交于點Q，設(shè)，則，∴，∴當(dāng)t時，的面積有最大值，此時P點坐標(biāo)為．10．（23-24九年級上·遼寧撫順·期末）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，連接，點在拋物線上．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點D在第一象限內(nèi)的拋物線上，連接，，請求出面積的最大值；(3)點在拋物線上移動，連接，存在，請直接寫出點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)4(3)點的坐標(biāo)為：或．【知識點】角度問題(二次函數(shù)綜合)、面積問題(二次函數(shù)綜合)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）由面積，即可求解；（3）當(dāng)點在軸上方時，則點和點關(guān)于拋物線對稱軸對稱，即可求解；當(dāng)點在軸下方時，由，求出點，即可求解．【詳解】（1）解：拋物線的表達(dá)式為：，則，解得：，則拋物線的表達(dá)式為：①；（2）解：過點作軸交于點，由點、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，設(shè)點，則點，則面積，，故面積有最大值，當(dāng)時，面積的最大值為4；（3）解：當(dāng)點在軸上方時，所以CD平行于x軸則點和點關(guān)于拋物線對稱軸對稱，則點；當(dāng)點在軸下方時，設(shè)交軸于點，設(shè)點，，則，則，解得：，即點，由點、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：②，聯(lián)立①②得：，解得：（舍去）或，即點的坐標(biāo)為：；綜上，點的坐標(biāo)為：或．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到等腰三角形的性質(zhì)、面積的計算等，分類求解是解題的關(guān)鍵．11．（22-23九年級上·天津河西·期末）如圖所示，在中，，，，點從點開始沿邊向點以的速度運(yùn)動，點從點開始沿邊向點以的速度運(yùn)動．、分別從、同時出發(fā)，當(dāng)、兩點中有一點停止運(yùn)動時，則另一點也停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為．(1)當(dāng)為何值時，的長度等于；(2)求出關(guān)于的函數(shù)解析式，計算、出發(fā)幾秒時，有最大值，并求出這個最大面積？【答案】(1)當(dāng)t為0秒或2秒時，的長度等于(2)P、Q出發(fā)秒時，有最大值，這個最大面積為【知識點】面積問題(二次函數(shù)綜合)、用勾股定理解三角形、圖形問題(實際問題與二次函數(shù))【分析】（1）利用的代數(shù)式分別表示出線段，，，利用勾股定理在中列出關(guān)于的方程，解方程即可得出結(jié)論；（2）利用（1）中的結(jié)論和三角形的面積公式即可得到關(guān)于的函數(shù)解析式，再利用配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：由題意得：，，，．在中，，，解得：或，答：當(dāng)為0秒或2秒時，的長度等于．（2）由（1）知：，，當(dāng)、兩點中有一點停止運(yùn)動時，則另一點也停止運(yùn)動，，．，關(guān)于的函數(shù)解析式為；，，當(dāng)秒時，有最大值，最大值為．、出發(fā)秒時，有最大值，這個最大面積為．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，勾股定理和一元二次方程分應(yīng)用，本題是動點問題，利用的代數(shù)式分別表示出線段，，的長度是解題的關(guān)鍵．12．（22-23九年級上·海南?？凇て谀┤鐖D1，拋物線與x軸交于點A、B4,0（A點在B點左側(cè)），與y軸交于點C0,6，點P是拋物線上一個動點，連接，，(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點P的橫坐標(biāo)為3，求的面積；(3)如圖2所示，當(dāng)點P在直線上方運(yùn)動時，連接，求四邊形面積的最大值，并寫出此時P點坐標(biāo)．(4)若點M是軸上的一個動點，點N是拋物線上一動點，P的橫坐標(biāo)為3．試判斷是否存在這樣的點M，使得以點B，M，N，P為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)四邊形面積最大面積是，此時(4)存在，或或或【知識點】面積問題(二次函數(shù)綜合)、利用平行四邊形的性質(zhì)求解、y=ax2+bx+c的最值、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【分析】（1）直接使用待定系數(shù)法求解即可；（2）過點P做軸的平行線交于點，將分為和分別求解即可；（3）結(jié)合（2）將四邊形面積分為和兩部分相加，設(shè)，則，列出四邊形面積的表達(dá)式，將其化為頂點式即可解題；（4）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合坐標(biāo)與圖形，以及二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，分別討論點B，M，N，P形成平行四邊形的情況，再求解即可．【詳解】（1）解：拋物線與x軸交于點A、B4,0（A點在B點左側(cè)），與y軸交于點C0,6，將B4,0、C0,6兩點代入得：，解得：，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：設(shè)的所在直線的解析式為：，將B4,0代入得：，解得：，的所在直線的解析式為，將P的橫坐標(biāo)代入得：，的坐標(biāo)為，如圖，過點P做軸的平行線交于點，則點橫坐標(biāo)為，將點橫坐標(biāo)為代入，，的坐標(biāo)為，由圖知：；（3）解：，拋物線的對稱軸為直線，點A、B4,0（A點在B點左側(cè)）關(guān)于直線對稱，，，如（2）所示：設(shè)，則，，，，當(dāng)時，有最大值，最大值為，此時即；（4）解：由（2）可知：的坐標(biāo)為，①如圖所示，四邊形為平行四邊形，，且，∴點的縱坐標(biāo)為，，解得：，，∴點的坐標(biāo)為，，設(shè)點，，，則，即；②如圖所示，四邊形是平行四邊形，過點作軸于點，過點作軸于點，，，，，可得，，且，設(shè)，，，解得：，，當(dāng)時，，即，則，當(dāng)時，，即，則，點的坐標(biāo)為或；③如圖所示，四邊形為平行四邊形，，，B4,0，設(shè)，則，，即點的坐標(biāo)為；綜上所述，點的坐標(biāo)為或或或．【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形，二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，二次函數(shù)的最值，平行四邊形性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，動點的運(yùn)動規(guī)律，幾何圖形的面積計算方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（22-23九年級上·遼寧沈陽·期末）已知，拋物線與軸交于，兩點（點在點左側(cè)），與軸交于點，拋物線過，，點為第一象限內(nèi)拋物線上一動點：(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在軸上取F0,1，連接，，當(dāng)面積最大時，求點橫坐標(biāo)；(3)當(dāng)時，點在拋物線對稱軸右側(cè)時，直線上存在兩點（在上方），，動點從出發(fā)，沿運(yùn)動到終點，當(dāng)運(yùn)動路程最短時，直接寫出點坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)(3)【知識點】面積問題(二次函數(shù)綜合)、線段周長問題(二次函數(shù)綜合)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、幾何問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)【分析】（1）設(shè)直線的表達(dá)式為，將點D，E代入，解關(guān)于k，c的二元一次方程組求解即可；將點D，E代入，解關(guān)于a，b的二元一次方程組即可求解；（2）如圖，連接，過點作軸于點，作軸于點，分別表示出，即可表示出，通過列方程求解即可；（3）根據(jù)題意可得，則可得到；如圖所示，取，作點T關(guān)于直線的對稱點K，連接，設(shè)直線與x軸，y軸分別交于、H，連接，證明，由軸對稱的性質(zhì)可得，，則，可得；證明四邊形是平行四邊形，得到，則當(dāng)三點共線時，的值最小，即此時點Q的運(yùn)動路程最小，同理可得直線解析式為，聯(lián)立，解得，則；設(shè)，則，可得．【詳解】（1）解：設(shè)直線的表達(dá)式為．直線經(jīng)過點和點，，解得直線的表達(dá)式為；將點、的坐標(biāo)代入拋物線函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為：；（2）解：如圖，連接，過點作軸于點，作軸于點，將代入，得，，．，．，．設(shè)點的坐標(biāo)為．，，，，∴，∵，∴當(dāng)時，最大，∴此時；點的坐標(biāo)是或．（3）解：∵，∴或，∵點在拋物線對稱軸的右側(cè)，即在直線的右側(cè)，∴點；如圖所示，取，作點T關(guān)于直線的對稱點K，連接，設(shè)直線與x軸，y軸分別交于、H，連接，∴，∴，，∴，由軸對稱的性質(zhì)可得，，∴，∴；∵，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵動點從出發(fā)，沿運(yùn)動到終點，∴點Q的運(yùn)動路程，∴當(dāng)三點共線時，的值最小，即此時點Q的運(yùn)動路程最小，同理可得直線解析式為，聯(lián)立，解得，∴；設(shè)，∴，解得或（舍去），∴．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，軸對稱的性質(zhì)，平移，解二元一次方程組，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，交點坐標(biāo)等問題，根據(jù)平移和軸對稱做輔助線，利用方程求交點坐標(biāo)是解交本題的關(guān)鍵．14．（23-24九年級上·天津·期中）已知如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于兩點，點在點的左側(cè)，點的坐標(biāo)為1,0，點的坐標(biāo)

(1)求拋物線的解析式；(2)若點是線段下方拋物線上的動點，求四邊形面積的最大值；(3)若點在軸上，點在拋物線上，是否存在以為頂點，且以為一邊的平行四邊形呢？若存在，直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，點的坐標(biāo)為或或．【知識點】特殊四邊形(二次函數(shù)綜合)、面積問題(二次函數(shù)綜合)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、求一次函數(shù)解析式【分析】（）利用待定系數(shù)法即可求解；（）求出直線的函數(shù)解析式為，過點作軸，交于點，交軸于點，設(shè)，則，可得，得到當(dāng)時，有最大值，又得，可知當(dāng)時，四邊形面積的最大，代入計算即可求解；（）分點在軸上方和下方兩種情況，畫出圖性質(zhì)解答即可求解；本題考查了二次函數(shù)的幾何問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，掌握數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：把、C0,?3代入得，，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：由得，，，∴，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，把、C0,?3代入得，，∴，∴直線的函數(shù)解析式為，如圖，過點作軸，交于點，交軸于點，設(shè)，