2024年北京某校初三（上）期中數(shù)學試題及答案

2024北京回民學校初三（上）期中

數(shù)學

一、選擇題（每小題2分，共16分）

1.一張薄紙，一雙巧手，在一剪一刻間幻化出千姿百態(tài)的美麗圖案，令人嘆為觀止，這就是剪紙藝術(shù).剪

紙作品形式多樣，以下剪紙作品中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

2.若拋物線y=—/+公+1經(jīng)過點（―2,3）,則6的值是（）

A.-1B.—2C.-3D.3

3.下列關(guān)于拋物線>=-d+2的說法正確的是（）

A.拋物線開口向上B.在對稱軸的右側(cè)，y隨工的增大而增大

C.頂點坐標為（-1,2）D.當x=0,y有最大值是2

4..車輪要做成圓形，實際上就是根據(jù)圓的特征（）

A.圓上各點到圓心的距離相等B.直徑是圓中最長的弦

C.同弧所對的圓周角相等D.圓是中心對稱圖形

5.某快遞公司今年一月份完成投遞的快遞總件數(shù)為10萬件，二月份、三月份每月投遞的件數(shù)逐月增加,

第一季度總投遞件數(shù)為33.1萬件，問：二、三月份平均每月的增長率是多少？設(shè)平均每月增長的百分率為

%,根據(jù)題意得方程（）.

A.10（1+x）2=33.1B.10（l+x）+10（l+x）2=33.1

2

C.10+10（l+x）=33.1D.10+10（l+x）+10（l+尤）2=331

6.如圖，EF,CD是。的兩條直徑，點A是劣弧的中點.若NCOF=32°,則NAOC的度數(shù)是

A

A.47°B.74°C,53°D.63°

7.小明將圖案、，繞某點連續(xù)旋轉(zhuǎn)若干次，每次旋轉(zhuǎn)相同角度設(shè)計出一個外輪廓為正六邊形

的圖案（如圖），則々可以為（）

B.60°

C.90°D.120°

8.如圖，拋物線y=af+6x+c與x軸交于點A（-1,0）,3（3,0）,交F軸的正半軸于點C,對稱軸交拋物

線于點O,交了軸與點E,則下列結(jié)論：①2a+b=0；②b+2c>0；③a+Qc^+bm（機為任意

實數(shù)）；④一元二次方程a?+6x+c+2=o有兩個不相等的實數(shù)根；⑤若點尸為對稱軸上的動點，則

PC|有最大值，最大值為JC2+9?其中正確的有（）

B.3個C.4個D.5個

二、填空題（每小題2分，共16分）

9.在平面直角坐標系中，點/（-4,3）關(guān)于原點對稱的點的坐標是.

10.一元二次方程一4=0的根是

11.。的半徑為4cm,點尸到圓心O的距離為5cm,點尸與。的位置關(guān)系是

12.若一元二次方程2必—3x+c=0無解，則c的取值范圍為

13.二次函數(shù)y=G：2_4x-7（aN0）的對稱軸為x=l,則。的值是.

14.如圖，四邊形A3CD內(nèi)接于。，E為。。延長線上的一點.若N3CE=62.則NBA。的度數(shù)是

15.馬面裙（圖1）叉名馬面褶裙，是我國古代女子穿著的主要裙式之一.如圖2,一條馬面裙裙面可以近似

地看作扇環(huán)ABCD（AD和的圓心為點。），A,D分別為。3,0c的中點，OB=BC=12dm,則

該馬面裙裙面的周長為dm.

()

圖I圖2

16.如圖，在矩形A3CD中，AB=4,BC=2,尸是矩形上方一個動點.且滿足NAPB=90°,連接

DP,則。P的最大值是.

三、解答題(共68分)

17.解一元二次方程：X2-4X+2=0.

18.已知二次函數(shù)y=-2/-4%+6.

(1)將y=-2x2-4x+6化成y=a(x-li)2+k的形式；

(2)將該二次函數(shù)圖象向右平移幾個單位，可使平移后所得圖象經(jīng)過坐標原點？并直接寫出平移后所得

圖象與x軸的另一個交點的坐標.

19.如圖，在平面直角坐標系中，A(2,5),5(4,5),C(6,3).M經(jīng)過AS。三點.

A

OX

(1)在網(wǎng)格圖中畫出圓〃(包括圓心)，并且點M的坐標:

(2)判斷M與y軸的位置關(guān)系：—.

20.已知拋物線y=—f+〃a+3經(jīng)過點M(-2,3)

(1)求機的值，并求出此拋物線的頂點坐標；

(2)畫出函數(shù)丁=一%2+〃a+3的圖象

(3)當-3<x<0時，結(jié)合函數(shù)圖象直接寫y的取值范圍.

21.如圖，48是。的直徑，BC是。的弦，直徑。E過3c的中點廠.求證：AD=-BC.

2

D

B

22.已知關(guān)于x的一元二次方程%2-6mx+9m2-1=0.

（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根;

（2）設(shè)此方程的兩個根分別為為，々，且王＜%.若％=2%—3,求加的值.

ABC的三個頂點的坐標分別為A（l,4）C（3,l）.

（1）畫出ABC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。后的△444；

（2）在（1）的條件下，求線段掃過的面積（結(jié)果保留n）.

24.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,BD是。O的直徑，過點A作AELCD,交CD的延長線于點E,DA

平分NBDE.

（1）求證：AE是。O的切線;

(2)已知AE=4cm,CD=6cm,求。O的半徑.

25.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2-3Q%+1與〉軸交于點4.

（1）求拋物線的對稱軸;

（2）點5是點4關(guān)于對稱軸的對稱點，求點5的坐標;

（3）己知點尸（0,2）,Q（a+l,l）,若線段P0與拋物線與恰有一個公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值

范圍.

26.利用以下素材解決問題.

十一假期時，我校初三年級進行了“我是橋梁專家一一探秘橋洞形狀”的數(shù)學活

動，某小組探究的一座拱橋如圖1,圖2是其橋拱的示意圖，測得橋拱間水面寬

問AB端點到拱頂點C距離AC=BC=10m,拱頂離水面的距離CD=5m

題

驅(qū)

動

■?B

圖1圖2

設(shè)

方案一：圓弧型方案二：拋物線型

方

案

任

務(wù)

設(shè)計成拋物線型，以4B所在直線為x軸，4B的

設(shè)計成圓弧型，求該圓弧所在圓

垂直平分線為》軸建立坐標系，求橋拱的函數(shù)

的半徑.

表達式.

如圖，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形MG”,測得E/=3.5m,

任EH=10m.請你通過計算說明貨船能否分別順利通過這兩種情況的橋梁.

務(wù)EH

水面

FG/

27.在放A5C中,ZBCA=90°,CA^CB,點。是.ABC外一動點（點8,點。位于AC兩側(cè)）,

連接CO,AD.

D

圖1圖2圖3

(1)如圖1,點。是A3的中點，連接。C,0D,當△4。。為等邊三角形時，,AOC的度數(shù)是

(2)如圖2,連接5。，當NADC=135。時，探究線段5。，CD,D4之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理

由；

(3)如圖3,。是ABC的外接圓，點。在AC上，點E為A3上一點，連接CE,DE,當

AE=1,BE=7時，直接寫出COE面積的最大值及此時線段8。的長.

28.在平面直角坐標系xOy中，。的半徑為2.對于直線/和線段3C,給出如下定義：若將線段3C關(guān)

于直線/對稱，可以得到。的弦C'分別是'C的對應(yīng)點)，則稱線段是以直線/為軸的

。的“關(guān)聯(lián)線段例如，圖1中線段是以直線/為軸的。的“關(guān)聯(lián)線段

(1)如圖2,點耳，G，B”C2,B3,C3的橫、縱坐標都是整數(shù).

①在線段BG，32c2，B3c3中,以直線小y=x+4為軸的。的“關(guān)聯(lián)線段”是；

②在線段及G，52c2，53c3中，存在以直線4：y=T+b為軸的。的“關(guān)聯(lián)線段”，求6的值；

(2)已知直線4：y=—氐+m(加＞0)交x軸于點/.在，ABC中，AB=6,BC=2,若線段是

以直線4為軸的。的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出〃?的最大值與最小值，以及相應(yīng)的AC的長.

參考答案

一、選擇題（每小題2分，共16分）

1.【答案】B

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義逐一判斷即可.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

B、既是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

D、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部

分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.

2.【答案】C

【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，把（-2,3）代入y=-必+bx+l后解方程求出6的值.

【詳解】解：把（一2,3）代入y=-—+6X+1得，

3=-（-2）2-2Z?+l

解得8=-3

故選：C

3.【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐項判斷即可求解.

【詳解】解：1<0,

.,?拋物線的開口向下，故A選項錯誤，不符合題意；

拋物線y=-必+2的對稱軸為>軸，且拋物線的開口向下，

在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，故B選項錯誤，不符合

題意；

拋物線y=—f+2的頂點坐標為（0,2）,故C選項錯誤，不符合題意；

拋物線y=-必+2的頂點坐標為（0,2）,拋物線的開口向下，

.?.當x=0,,有最大值是2,故D選項正確，符合題意.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.【答案】A

【分析】根據(jù)車輪的特點和功能進行解答.

【詳解】車輪做成圓形是為了在行進過程中保持和地面的高度不變，

是利用了圓上各點到圓心的距離相等.

故選：A.

【點睛】本題考查了對圓的基本認識，即墨經(jīng)所說：圓，一中同長也，屬于基礎(chǔ)知識，難度較小.

5.【答案】D

【分析】根據(jù)該快遞公司今年一月份及第一季度完成投遞的快遞總件數(shù)，即可得出關(guān)于x的一元二次方

程，此題得解.

【詳解】解:依題意，得：10+10(1+x)+10(1+x)2=33.1.

故選：D.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)

鍵.

6.【答案】C

【分析】連接04,如圖所示，由對頂角性質(zhì)、鄰補角定義得到N。。廠,再由同弧所對的圓心角相等及

等腰三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出角度即可得到答案.

【詳解】解：連接OA,如圖所示：

A

ZEOD=ZCOF=32°,

■.ZDOF=180°-32°=148°,

點A是劣弧DF的中點，

二AD=AF>則NA。。=ZAOF=|NDOF=74°,

OD=OA,

故選：C.

【點睛】本題考查圓中求角度，涉及對頂角性質(zhì)、鄰補角定義、同弧所對圓心角相等、圓的性質(zhì)、等腰三

角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等知識，熟記相關(guān)幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合找準各個角度之間的關(guān)系是解決

問題的關(guān)鍵.

7.【答案】B

【分析】由題意依據(jù)每次旋轉(zhuǎn)相同角度旋轉(zhuǎn)了六次，且旋轉(zhuǎn)了六次剛好旋轉(zhuǎn)了一周為360。進行分析

即可得出答案.

【詳解】解：因為每次旋轉(zhuǎn)相同角度々，旋轉(zhuǎn)了六次，

且旋轉(zhuǎn)了六次剛好旋轉(zhuǎn)了一周為360。，

所以每次旋轉(zhuǎn)相同角度1=360+6=60°.

故選：B.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠找到旋轉(zhuǎn)中心，從而確定旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).

8.【答案】C

【分析】本題考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，根據(jù)已知點的特點可求對稱軸為直線x=l,則8=-2a；由函數(shù)

的圖象可知，a<Q,c>0,再由Z?=-2a可知。>0；當x=l時，函數(shù)有最大值a+b+c得

a+b>am2+bm；由圖象得一元二次方程tzx?+歷；+。+2=0有兩個不相等的實數(shù)根；根據(jù)三角形三連

關(guān)系可得IPA—PC區(qū)AC.

【詳解】解：???拋物線丁=以2+法+°與》軸交于點4（-1,0）,3（3,0）,

對稱軸為直線工=二9=1,

2

b

：.-----=1,即b=-2a,

2a

2a+/?=0,故①正確；

??,拋物線開口向下，

??av0,

?9b=—2a>0,

??,拋物線交》軸的正半軸，

c>0,

AZ?+2c>0,故②正確；

??,對稱軸為直線x=1,開口向下，

??.x=l時，歹有最大值，最大值為a+b+c,

**?a+b+c>am+bm+c（加為任意實數(shù)），

即a+b2am2+bm,故③正確；

V拋物線開口向下，拋物線y=奴2+法+c與x軸交于點A（—1,0）,8（3,0）,

所以拋物線y=ax2+6x+c與直線y=-2有兩個交點，如圖,

所以，一元二次方程°/+/^+°+2=0有兩個不相等的實數(shù)根，故④正確；

,-1對稱軸交y軸的正半軸于點C,

AC(O,c),

由對稱性可知PA=PB,

?-\PB-PC|=|PA-PC\<AC=7<9A2+(9C2=yjl+c2，故⑤不正確；

綜上，正確的結(jié)論是①②③④，共4個，

故選：C.

二、填空題(每小題2分，共16分)

9【答案】(4,-3).

【分析】根據(jù)關(guān)于原點的對稱點橫坐標和縱坐標都變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，即可求解.

【詳解】點/(-4,3)關(guān)于原點對稱的點H的坐標是：(4,-3).

故答案為(4,-3).

【點睛】本題考查了關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)，正確記憶橫縱坐標的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

10.【答案】王=2,X2=-2

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程成為解題的關(guān)鍵.

直接運用因式分解法解一元二次方程即可.

【詳解】解：X2-4=0,

(x-2)(x+2)=0,

x-2-0,x+2-0,

所以該方程的解為：玉=2,x2=-2.

故答案為：玉=2,x2=-2.

11.【答案】點P在。外

【分析】本題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，若點與圓心的距離d,圓的半徑為％則當dr時，點在圓

外；當d=r時，點在圓上；當d<r時，點在圓內(nèi)，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：：。的半徑為4cm，點P到圓心O的距離為5cm,45,

點尸與。的位置關(guān)系是點尸在。外.

故答案為：點尸在。外.

9

12.【答案】c〉一

8

【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義得到A=（-3『-4x2c<0,然后求出c的取值范圍.

【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程2x2—3x+c=0無解，

*.*a=2,b=—3,c—c,

—=/一4ac=（-3『-4x2c<0,

9

解得c〉—，

8

?9

c的取值范圍是c〉一.

8

9

故答案為：c〉一.

8

【點睛】本題考查了一元二次方程*2+bx+c=0（存0）的根的判別式△=〃-4ac：當△>（）,方程有兩個不相

等的實數(shù)根；當△=（）,方程有兩個相等的實數(shù)根；當△<（）,方程沒有實數(shù)根.

13.【答案】2

【分析】由拋物線的對稱軸列出方程-r=1,求出。的值即可.

2a

【詳解】解：y=加-4x-7（a片0）的對稱軸為x=,

2a

對稱軸為1=1,

?-?---一i工，

2a

..a=2,

故答案為：2.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，準確解一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

14.【答案】62°

【分析】本題考查圓的內(nèi)接四邊形對角互補，掌握性質(zhì)即可解題.

【詳解】解：四邊形A8CD內(nèi)接于。，

ZBAD+ZBCD^180°,

NBCE=62，

:.ZBCD=US0,

ZBAD=62°,

故答案為：62°.

15.【答案】（6萬+12）

【分析】本題主要考查了弧長計算公式，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定定理是解

題的關(guān)鍵.根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)以及弧長公式進行計算即可.

【詳解】解：OB=BC=12dm,OB=OC,

：.5OC為等邊三角形，

ZBOC=60°,

???點/為的中點，點。為。。的中點，

/.OA=AB=6dm,OD=CD=6dm,

,c60乃x6_,

AD=----------=27r(zdm),

180

60^x12

BC==4乃(dm),

180

該馬面裙裙面的周長為A3+3C+DC+AD=6+4乃+6+2乃=（6萬+12）dm,

故答案為：（6萬+12）.

16.【答案】20+2

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、圓周角定理、三角形的三邊關(guān)系、勾股定理，確定DP的最大值時點P

的位置是本題的關(guān)鍵.由NAPB=90°可知點P在以A8為直徑的圓上，作輔助圓。，確定當P、0、D

共線時，PD最大,最大值即為。P'的長，先根據(jù)勾股定理計算。。的長，OP就是半徑。8的長，可得

DP的長.

【詳解】解：：NAPB=90°,

.?.點尸在以AB為直徑的圓上,

取的中點為。，畫半圓，如圖，連接。尸，連接。。并延長交圓于P,

?.?在△。尸。中，OP+OD>PD,

.?.當尸、O、。共線時，DP的長最大，最大值即為。P'的長,

.四邊形A3CD是矩形，AB=4,BC=2,

：.ZDAO=90°,AD=BC=2,AO=OB=-AB=2

2

?>-OD=yJoA2+AD2=2V2，

?*-DP=OD+OP=OD+OB=26+2,

故答案為：20+2.

三、解答題（共68分）

17.【答案】七=2+血，Z=2—0

【分析】先找出a,b及c的值，再代入求根公式/=一0土進行計算即可.

2a

【詳解】解：a=l,b=-4,c=2

△=/-4ac=（-4）2-4xlx2=8〉0

所以，方程有兩個不相等的實數(shù)根

—b+\!b2—4ac4+2>/22+

"―2a—2—―—

/=2+-^2,%=2--\[^2

【點睛】此題考查了解一元二次方程-公式法，利用此方法解方程時，首先將方程整理為一般形式，找出

a,b及c的值，當根的判別式的值大于等于0時，代入求根公式即可求出解.

18.【答案】（1）y=—2（x+l）+8

（2）將拋物線丁=-2必-4%+6向右平移3個單位，可使平移后所得圖象經(jīng)過坐標原點，平移后所得圖

象與x軸的另一個交點的坐標為（4,0）

【分析】本題考查二次函數(shù)一般式化為頂點式及二次函數(shù)圖象的平移，掌握配方法的方法是解答的關(guān)鍵.

（1）利用配方法將二次函數(shù)一般式化為頂點式即可；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標確定如何平移后經(jīng)過原點，進而可得另一個交點坐標.

【小問1詳解】

解：由y=-2x2-4x+6得y=-2（^x2+2x+l-l）+6=-2（x+l）~+8；

【小問2詳解】

解：當y=0時，由—2（x+l）2+8=0解得石=1,x2=-3,

則拋物線y=-2x2—4x+6與x軸的交點坐標為（1,0）,（-3,0）,

.,?將拋物線y=-2/一4x+6向右平移3個單位，可使平移后所得圖象經(jīng)過坐標原點，平移后所得圖象與

x軸的另一個交點的坐標為（4,0）.

19.【答案】（1）見解析，（3,2）

（2）相交

【分析】本題考查了過三點的圓，圓與直線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握三點定圓的方法；

(1)作A3、的垂直平分線交于點M,則M為圓心，的長為半徑的圓即為所求；

(2)確定圓的半徑及圓心M到y(tǒng)軸的距離即可判斷；

【小問1詳解】

解:連接A3、BC,分別作A3、的垂直平分線交于點M,以M為圓心，肱1的長為半徑的圓即

為所求，如圖所示：

【小問2詳解】

MA=7(3-2)2+(2-5)2=V10,

即：M的半徑r=J市，

點”到丁軸的距離d=3,

?：3〈回,

M與>軸相交，

故答案為：相交.

20.【答案】(1)m=-2,頂點坐標為(—1,4)

(2)圖見解析(3)0<y<4

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟知二次函數(shù)圖象上點的坐標特征,

根據(jù)自變量的取值范圍確定函數(shù)值的取值范圍是解答的關(guān)鍵.

(1)將已知點代入函數(shù)解析式中求得加值，然后將函數(shù)解析式化為頂點式即可求解；

(2)利用列表、描點、連線的步驟作函數(shù)圖象即可；

(3)根據(jù)所畫的圖象即可解答.

【小問1詳解】

解：把Af(-2,3)代入丁=-%2+/總+3得，-4-2m+3=3,

解得m=-2,

y——x~—2x+3=—(x+l)~+4,

二拋物線的頂點坐標為(-1，4)；

【小問2詳解】

解：列表：

X???-3-2-101???

??????

y03430

描點、連線，如圖:

【小問3詳解】

解：由圖象可知，該拋物線開口向下，有最大值4,

,當x=0時，y=3,當x=-3時，y=。，

...當—3<x<0時，>的取值范圍是0<y<4.

21.【答案】見解析

【分析】連接OC,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出OE_LBC,根據(jù)垂徑定理求出3石=。石=L3。，求出

2

ADBE，即可得出答案.

【詳解】證明：連接。C,

OELBC,

過。，

Z.BE=CE=-BC,

2

?：ZDOA=ZBOE,

**?ADBE，

/.AD=-BC.

2

【點睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，垂徑定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)定理

是解題關(guān)鍵.

22.【答案】（1）見解析（2）2

【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，求出出A=4〉0,即可證明結(jié)論成立;

（2）首先求出國=3m—1,x2=3m+l,然后根據(jù)9=2七一3得到3相+1=2（3相—1）—3,然后求解即

可.

本題考查了根的判別式，以及因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當A〉0時，方程

有兩個不相等的實數(shù)根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的兩個根.

【小問1詳解】

證明：依題意，得△=(-6〃z)2-4(9〃[2-1)=36"?2-36〃/+4=4〉0,

???此方程有兩個不相等的實數(shù)根;

【小問2詳解】

解：x2-6iwc+9m2-1=0>

(x-3/n)2=1,

解得x=3m+l,

'：xl<x2,

x[=3m-1,x2=3m+1,

3m+1=2(3m-1)-3,

m=2.

23.【答案】（1）圖見解析

(2)2兀

【分析】本題考查坐標與旋轉(zhuǎn)，求扇形的面積:

（1）依據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)畫出圖形即可;

（2）依據(jù)圖形面積的和差關(guān)系，可得掃過的面積=扇形OCG的面積一扇形。3片的面積，由此計算

即可.

【小問1詳解】

【小問2詳解】

由勾股定理，得:。3="了=J5,0C=J3r尋=而，

線段掃過的面積為：—x(VTo)2--X(V2)2=2K.

3601/360'/

24.【答案】(1)證明見解析；(2)5.

【分析】(1)連接0A,根據(jù)等邊對等角得出=進而得出/O4D=NEZX4,證得EC,

從而證得即可證得/E是。。的切線；

(2)過點。作。尸，CD,垂足為點尸.從而證得四邊形/。信是矩形，得出。尸=/E=4c加，根據(jù)垂徑定

理得出。尸=LCD=3C%,在Rt^OD尸中，根據(jù)勾股定理即可求得。。的半徑.

2

(1)證明：連結(jié)O/.

'：OA=OD,

：.NODA=/OAD.

?:DA平分NBDE,

：.ZODA=ZEDA.

；./OAD=/EDA,

J.EC//OA.

\'AE±CD,

：.OA±AE.

丁點/在。。上，

.??/E是。。的切線.

(2)解：過點。作CD,垂足為點尸.

,/ZOAE=ZAED=/OFD=90°,

四邊形/O也是矩形.

OF—AE—4cm.

又：。尸_LCD,

1

.,.DF——CD=3cm.

2

在RtZ\OZ)尸中，。。=府5+DF2=5cm,

即。。的半徑為5cm.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，勾股定理

的應(yīng)用等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

3

25.【答案】（1）x=5；（2）點2的坐標為（3,1）；（3）—14。＜0或。22

【分析】（1）根據(jù)對稱軸公式即可求解；

（2）先求出點/的坐標，再求出其對稱性即可求解；

（3）根據(jù)題意作圖，根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)即可求解.

一3〃3

【詳解】解：（1）由拋物線y=3改+1,可知％=------=—.

2a2

3

???拋物線的對稱軸為直線％二—.

2

（2）:拋物線丁=以2—3奴+1與〉軸交于點

令x=0,y=l

.?.點/的坐標為（0,1）.

3

?點B是點A關(guān)于直線x=—的對稱點，

2

點3的坐標為（3,1）.

（3）?.?點Z（0」），點8（3,1）,點尸（0,2）,點0（a+l,l）,

.??點尸在點/的上方，點。在直線y=l上.

①當。＞0時，a+l＞l,點。在點N的右側(cè).

（i）如圖1,當。+1＜3,即。＜2時，點。在點8的左側(cè)，

結(jié)合函數(shù)圖象，可知線段尸。與拋物線沒有公共點；

（ii）如圖2,當。+123,即。22時，點0在點8的右側(cè)，或與點8重合,

結(jié)合函數(shù)圖象，可知線段尸0與拋物線恰有一個公共點

②當。<0時，點。在點8的左側(cè).

(i)如圖3,當0Wa+l<l,即一l<aV0時，點。在點/的右側(cè)，或與點/重合,

結(jié)合函數(shù)圖象，可知線段尸。與拋物線恰有一個公共點；

(ii)如圖4,當a+lVO,即a<T時，點0在點力的左側(cè)，

結(jié)合函數(shù)圖象，可知線段尸。與拋物線沒有公共點.

綜上所述，。的取值范圍是一1<a<0或。22.

【點睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖象綜合，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、根據(jù)題意畫圖求

解.

一、1,

26.【答案】任務(wù)一：方案一■、10m；方案二、y=—記匯+5

任務(wù)二：方案一、貨船能順利通過；方案二、貨船能順利通過

【分析】任務(wù)一：方案一，設(shè)圓心為。，連接。4、OB、OC,根據(jù)AC=3C=10,得AC=5C，結(jié)合

CDLAB,知直線CD過點。，根據(jù)CD=工AC,得/CAD=30°,得ZACD=60°,得OAC是等邊三

2

角形，得。4=10；方案二，根據(jù)頂點C坐標為(0,5),設(shè)橋拱的函數(shù)解析式為y=ad+5,將

川5石,0)代入即可求解；

任務(wù)二：方案一，連接。E,設(shè)交。C于/，根據(jù)矩形性質(zhì)得E"〃尸G,得OCLEH,得E/=5,

結(jié)合半徑為10得至4。/=5g，得"=3.66>3.5,即可判斷；方案二，當〃點的橫坐標為5時，

y?4.67>3.5,即可判斷.

【詳解】解：任務(wù)一：方案一，設(shè)圓的圓心為O,連接。4OB、OC.

?：AC=BC=10,

?*-AC=BC?

?：CDVAB,

：.ZADC=9Q°,AB=BD=-AB,直線CD過點。.

2

,/CD=5,

：.CD=-AC.

2

ZC4D=30°.

/.ZACD=90°-ACAD=60°.

'：OA=OC,

：.OAC是等邊三角形.

/.04=AC=10.

故半徑為10m.

方案二，

???頂點C坐標為（0,5）,

.?.設(shè)橋拱的函數(shù)解析式為y=ax2+5.

;AD=BD=AC2-CD2=5百，

5（573,0）.

代入得0=75。+5.

解得a=-----.

15

1

故函數(shù)解析式為丁=--一9+5.

任務(wù)二：

方案一，

如圖，連接。E,設(shè)EH交0C于I.

由上知OE=10,

矩形EFGH中，EH//FG,

OCLEH.

EI=-EH=5.

2

???01=^OE3-EI2=5百?

?/0D=-0C=5,

2

：.DI=01—OD=5V3-5-3.66>3.5.

故貨船能順利通過.

EH

/>|<J'''IXE，

4右----------LR1/

Y\Dg*/A

7；//AFD\GBX

O

方案二，

如圖，'：EI=HI=-EH=5,

2

橫坐標為5.

.*.y=x5+5~4.67>3.5.

15

故貨船能順利通過.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)和圓的實際應(yīng)用.熟練掌握待定系數(shù)法示解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，

弧弦的關(guān)系，垂徑定理，等腰三角形性質(zhì)，等邊三角形減和性質(zhì)，含30度的直角三角形性質(zhì)，勾股定理解

直角三角形，矩形性質(zhì)，是解題關(guān)鍵.

27.【答案】(1)135°

(2)BD=42CD+DA>理由見解析

(3)CDE面積的面積最大值為4,此時，如何

5

【分析】(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)得NCOA=90°,CO=OA,再由等邊三角形的性質(zhì)得OD=Q4,

ZODA=ZDOA=60°,然后求出NODC=75。，即可求解；

(2)過點C作CHLCD交A。的延長線于點H,ACH^BCD(SAS)M.CHsABCD(SAS),

得BD=AH=HD+DA=血CD+AD；

(3)連接。C,由勾股定理得CE=5,過點。作ONLCE于N,延長CW交圓。于點D,此時點。

到CE的距離最大，ACDE面積的面積最大，然后由三角形面積求出。可二三，則DN=OD—ON=—,

55

即可求解三角形CDS的面積最大值，最后用勾股定理借助(2)的結(jié)論求出A。，即可求出50.

【小問1詳解】

解：ZBC4=90。，BC=AC,點。是A3的中點，

ZCOA=90°,CO=-AB=OA,

2

AOD是等邊三角形，

OD=OA,ZODA=NDOA=60°,

OC=OD,ZCOD=ZCOA-ZDOA=90°-60°=30°,

ZODC=1(1800-ZCOD)=gx(180?！?0。)=75。，

ZADC=ZODC+ZODA=750+60°=135。，

故答案為：135°；

【小問2詳解】

解：線段8。，CD,D4之間的數(shù)量關(guān)系為：BD=柩CD+DA，理由如下:

過點C作，8交AD的延長線于點H,如圖2所示：

貝IZCDH=1800-ZADC=180°-135°=45°,

:./\DCH是等腰直角三角形，

CH=CD,HD=6CD，

ZBCA=90°,

ZACH=ZBCD,

:.AACH^BCD(SAS),

BD=AH=HD+DA=42CD+AD；

【小問3詳解】

解：連接。C,如圖3所示：

圖3

ZBCA=90°,BC=AC,

.'AC3是等腰直角三角形，

ZABC=45°,

。是.ABC的外接圓，

二。是A3的中點，

OC1AB,OC=OA=1AB=^（AE+BE）=|-x（l+7）=4,

■.OE=OA-AE=4-1=3,

在RfZXCOE中，由勾股定理得：CE=d0C2+OE?="+32=5,

CE是定值，

.??點。到CE的距離最大時，COE面積的面積最大，

AB是。的直徑，

過點。作ONLCE于N,延長。N與。的交點恰好是點。時，點。到CE的距離最大，CDE面積

的面積最大，

S^-OCOE=-CEON,

nOCEF22

「、，OCOE4x312

ON=----------=------=—,

CE55

OD=OC=4,

122

:.DN=OD-ON=4——=—,

55

此時，在直角CN。中，CN70c2—ON。=.2—《）2=?,

在直角△CND中，CD=JcM+DN。=+（|）2=苧,

在直角△A3。