2024年北京某中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試題與答案

2024北京北師大二附中高一(上)期中

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.

考試結(jié)束后，只收答題紙，不收試卷.

一、單選題

1.下列說法不正確的是()

A.OeN*B,OeNC.0.1gZD.2eQ

2.設(shè)集合A={0,1,2},則集合5={x—y|xeA,yeA}中元素的個(gè)數(shù)是

A.1B.3C.5D.9

3.玉溪某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元，若每批生產(chǎn)X件，則平均倉儲(chǔ)時(shí)間為言

天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲(chǔ)費(fèi)用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批

應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品

A.60件B.80件C.100件D.120件

4.“運(yùn)動(dòng)改造大腦”，為了增強(qiáng)身體素質(zhì)，某班學(xué)生積極參加學(xué)校組織的體育特色課堂，課堂分為球類項(xiàng)目

4徑賽項(xiàng)目及其他健身項(xiàng)目C該班有25名同學(xué)選擇球類項(xiàng)目20名同學(xué)選擇徑賽項(xiàng)目2,18名同學(xué)選

擇其他健身項(xiàng)目C;其中有6名同學(xué)同時(shí)選擇/和3,4名同學(xué)同時(shí)選擇/和C,3名同學(xué)同時(shí)選擇2和C.

若全班同學(xué)每人至少選擇一類項(xiàng)目且沒有同學(xué)同時(shí)選擇三類項(xiàng)目，則這個(gè)班同學(xué)人數(shù)是()

A.51B.50C.49D.48

5.用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)，經(jīng)過若干次運(yùn)算后函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間力)內(nèi)，當(dāng)k-(￡為精確度)

時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)的近似值％=三與真實(shí)零點(diǎn)的誤差的取值范圍為()

A.0,—B.0,—C.[0,￡)D.[0,2e)

6.已知關(guān)于x的不等式加爐+加九一1>0的解集為。，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是()

A.(—",—4)u(0,+")B.[-4,0)C.(―*―4][0,+s)D.[-4,0]

7.設(shè)/(x)是定義在尺上的函數(shù)，若存在兩個(gè)不等實(shí)數(shù)為，X2ER,使得

XX

=/(1)+/(2)；則稱函數(shù)“X)具有性質(zhì)P,那么下列函數(shù)：①/(耳=<?”"°；②

I2J2[o,x=O

/(x)=x2；③/⑺卡―[；具有性質(zhì)尸的函數(shù)的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

8.已知“非空集合新的元素都是集合尸的元素”是假命題，給出下列四個(gè)命題:

①M(fèi)的元素不都是尸的元素；②M的元素都不是尸的元素；

③存在xeP且xeM；④存在xeM且xgP；

這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為().

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

+’的定義域?yàn)?/p>

9.已知函數(shù)/(%)二，2%-1，貝(Jg(x)=f(2x-l)

x—2

3、3

A.[r萬,+oo)B.[-,2)u(2,+a))

3

C.匕,2)。(2,+8)D.(-2)U(2,+°°)

4

10.已知函數(shù)〃x)=?ZT+根，若存在區(qū)間可使得函數(shù)“X)在[應(yīng)可上的值域?yàn)?/p>

[2a,20,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

17

A.m>----B.0<m<—

82

17?

C.m<-2D,----<m<-2

8

二、填空題

11.下列集合：①網(wǎng)；@M={x|X=H2+1,X<0,HGR}；③{0}；@0；⑤{(0,0)}；⑥方程

爐+1=0的實(shí)數(shù)解組成的集合.其中，是空集的所有序號(hào)為.

12.如果集合A={x|ax2+2x+l=0}中只有一個(gè)元素，貝打的值是.

13.若二次函數(shù)y=/(x)圖象關(guān)于x=2對(duì)稱，且/(。)</(0)</(1),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

14.若關(guān)于X的不等式1W近2+》+k42的解集中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)k的取值集合為.

15.若關(guān)于機(jī)的方程加2-2a/〃+a+6=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x,y,貝!I：(x-1)?+(y-1)?的最小值是

三、解答題

16.設(shè)集合A中的三個(gè)元素分別為a,0,-1,集合8中的三個(gè)元素分別為c+.己知A=B,求

a+b

a,4c的值.

17.已知集合/={x|N+4ax-4a+3=0},B—{x\x2+(a-1)x+a2=0},C={x\x2+2ax-2a=0},其中至少有

一個(gè)集合不為空集，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

18.已知關(guān)于x的不等式x2-2x-l〉a(aeR).

(1)若a=l,求不等式的解集；

(2)若不等式的解集為R,求實(shí)數(shù)。的范圍.

19.已知函數(shù)〃x)=2x—上,且/⑵=—.

x2

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

(2)判斷函數(shù)/(x)在(1,+8)上的單調(diào)性，并證明；

(3)求函數(shù)在［2,3］上的最值.

20.定義在區(qū)間［0』上的函數(shù)/(x)滿足〃0)=/⑴=0,且對(duì)任意的石,％e［0』都有

號(hào)*(玉)+/(口

(1)證明：對(duì)任意的都有

(2)求的值；

21.已知函數(shù)/(x)=x|x-4+2x(aeR).

(1)若函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若存在實(shí)數(shù)ae［0,4］使得關(guān)于％的方程/(x)-"(a)=0恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值

范圍.

參考答案

本試卷共4頁，150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.

考試結(jié)束后，只收答題紙，不收試卷.

一、單選題

1.【答案】A

【分析】

根據(jù)元素與集合的關(guān)系以及常見數(shù)集的符號(hào)表示即可得出選項(xiàng).

【詳解】N*為正整數(shù)集，貝heN*,故A不正確；

N為自然數(shù)集，則OeN,故B正確；

Z為整數(shù)集，則O.leZ,故C正確；

Q為有理數(shù)集，則2eQ,故D正確；

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了常見數(shù)集的符號(hào)表示，需熟記符號(hào)所表示的數(shù)集，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【詳解】VA={0,1,2},B={x-y|xeA,yGA},

...當(dāng)x=0,y分別取0,1,2時(shí)，x-y的值分別為0,-1,-2；

當(dāng)x=l,y分別取0,1,2時(shí)，x-y的值分別為1,0,-1；

當(dāng)x=2,y分別取0,1,2時(shí)，x-y的值分別為2,1,0；

；.B={-2,-1,0,1,2},

.?.集合B={x-y|xGA,yGA}中元素的個(gè)數(shù)是5個(gè).

故選C.

3.【答案】B

【分析】

確定生產(chǎn)X件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和，可得平均每件的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和，利用

基本不等式，即可求得最值.

【詳解】解：根據(jù)題意，該生產(chǎn)X件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和是800+X[=800+3X2

OO

12

這樣平均每件的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和為800+

._8^800x（X為正整數(shù)）

J一=-----------1-----

x8

由基本不等式，得出+±2

x8x8

當(dāng)且僅當(dāng)”=—,即x=80時(shí)，/（X）取得最小值,

x8

.?”=80時(shí)，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和最小

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的構(gòu)建，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題，運(yùn)用基本不等式時(shí)應(yīng)該注意取等號(hào)

的條件，才能準(zhǔn)確給出答案，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合venn圖，列式運(yùn)算得解.

由題意，card(A)=25,card(B)=20,card(C)=18,card(AcB)=6,

card(AnC)=4,card(BnC)=3,

因?yàn)槿嗤瑢W(xué)每人至少選擇一類項(xiàng)目且沒有同學(xué)同時(shí)選擇三類項(xiàng)目，

所以這個(gè)班同學(xué)人數(shù)是

card(AoBuC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AnB)-card(AnC)-card(BnC)

=25+20+18-6-4-3=50.

故選：B.

5.【答案】B

【分析】理解二分法求零點(diǎn)的原理，二分法是不斷將區(qū)間一分為二，根據(jù)函數(shù)值的正負(fù)來確定零點(diǎn)所在的

子區(qū)間.然后根據(jù)已知條件I。一切＜￡,分析近似值％=+與真實(shí)零點(diǎn)的誤差范圍.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)在區(qū)間(。,勿內(nèi)，設(shè)真實(shí)零點(diǎn)為％,那么。

.a-b,b-a

已知xo=2，那么a~xo=2，x「b=2

由于所以—號(hào)，\xQ-b\=

所以近似值工。與真實(shí)零點(diǎn)的誤差的取值范圍是0,1^.

故選：B.

6.【答案】D

【分析】分機(jī)=0與冽#0,結(jié)合根的判別式列出不等式，求出實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【詳解】當(dāng)7〃=0時(shí)，-1〉0,解集為0,滿足要求，

m<0

當(dāng)機(jī)N0時(shí)，需要滿足Sc,解得：—4W相<0,

A=w2+4m<0

綜上：實(shí)數(shù)加的取值范圍是[-4,0].

故選：D

7.【答案】C

【分析】

根據(jù)題意，找出存在的點(diǎn)，如果找不出則需證明：不存在為，使得

+々、_/(可)+/(々)

/2)-2'

【詳解】①因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，可找關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，比如/(81)=/(0)=幽耍2D=—=o,

存在；

②假設(shè)存在不相等A,々6氏，使得/(七三)=也等史2,即(與三y=書立，得%=々，

矛盾，故不存在；

③函數(shù)為偶函數(shù)，/(0)=1,令/(x)=|彳2-11=0,%=±啦，

貝IJ/(夜；1)=/(0)=1=于居+J-拒),存在.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)新定義，考查函數(shù)的解析式以及函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)學(xué)生的理解能力，以及反證法

的應(yīng)用，屬于中檔題.

8.【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由子集的定義分析M、P元素的關(guān)系分析4個(gè)命題是否正確，綜合即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命題.則其否定為真，

則非空集合M的元素不都是集合P的元素，

據(jù)此分析4個(gè)命題：

①M(fèi)的元素不都是尸的元素，正確，

②〃的部分元素可以為P的元素，不正確，

③可能M的元素都不是P的元素，故存在xeP且xeM,不正確，

④存在xeM且xgP,正確，

其中正確的命題有2個(gè)，

故選：B.

9.【答案】C

【分析】先求出F(x)的定義域，然后再求g(x)的定義域

【詳解】由2%—120可得工

2

則函數(shù)F(x)的定義域?yàn)閜+co)

要使函數(shù)g(x)=〃2x-1)+」有意義

x—2

2x—12—3

則2,解得九之一且xw2

%-2w0'

?二函數(shù)g(%)=的定義域?yàn)?,2|u(2,+a))

故選C

【點(diǎn)睛】本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的定義域及其求法，較為基礎(chǔ).

10.【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，建立方程組，等價(jià)轉(zhuǎn)化為二次方程求根，建立不等式組，可得答案.

【詳解】由函數(shù)"x)=4ZT+m,顯然該函數(shù)在［應(yīng)可上單調(diào)遞增，

/(a)=Ja+1+m=2a

由函數(shù)］(力在可上的值域?yàn)椋?a,26］,則<

f(Z?)=Yb+1+m=2b

等價(jià)于4x2一(4m+1)x+小2_i=o存在兩個(gè)不相等且大于等于-1的實(shí)數(shù)根，且2x-冽20在xe［—1,0)

A=(4m+1)~-4x4x(m2—1)〉0

4+(4m+l)+m2-l>0

上恒成立,則

-------------x>-1

2x4

m<-2

解得----<mW—2.

8

故選：D.

二、填空題

11.【答案】②④⑥

【分析】根據(jù)空集的定義逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】①集合｛0｝中含有一個(gè)元素0,故不是空集;

②因?yàn)閤=/+l〉o，"eR,故M是空集；

③集合｛0｝中含有一個(gè)元素0,故不是空集；

④。是空集；

⑤集合｛（0,0）｝中含有一個(gè)元素（0,0），故不是空集；

⑥因?yàn)榉匠蘤+1=0沒有實(shí)數(shù)解，故是空集；

故答案為：②④⑥.

12.【答案】0或1

【分析】當(dāng)。=0,%=滿足條件，當(dāng)awO,由A=0,求得a=l.綜合可得a的值.

2

【詳解】當(dāng)。=0,%=滿足條件；

2

當(dāng)由A=22—4〃=0,則得〃=1,

所以當(dāng)〃=0或[=1時(shí)，集合A中只有一個(gè)元素.

故答案為：0或1

13.【答案】（一8,0）。（4,+8）

【分析】根據(jù)題意可判斷二次函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合對(duì)稱性可解得。的取值范圍.

【詳解】由題意得二次函數(shù)y=/（x）的對(duì)稱軸為X=2,

因?yàn)椤?。?lt;7⑴，所以函數(shù)y=/（X）在（—8,2）上單調(diào)遞增，

因此函數(shù)y=/（x）開口向下，在（一*2）上單調(diào)遞增，在（2,+00）上單調(diào)遞減；

22

因?yàn)椤╝）</（o），所以|a—2|〉|0-2],即卜―2|>2,（?-2）>4,a-4a>0,解得a<0或

4>4,

故答案為：（-OO,0）D（4,+OO）.

【分析】分左=0、k>0、左<0三種情況討論，當(dāng)%>0時(shí)42=1—4左（左一2）=0即可求出左的值，同理

求出女<0時(shí)參數(shù)的值，即可得解.

【詳解】解：對(duì)于不等式1W近2+x+Z<2,

當(dāng)上=0時(shí)lVx<2,解集為｛x[l<x<2｝顯然不合題意，

kx"+尤+左一2<0

當(dāng)%>0時(shí)，不等式等價(jià)于，因?yàn)椴坏仁浇M的解集中只有一個(gè)元素,

fct2+x+^-l>0

則kx2+x+左一120恒成立且方程西之+x+k-2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

即仁:2一4左（"1）<0且妹仕—2）

=0,顯然42=0時(shí)4<0,

由公2=1—4k（女一2）=0,解得上=21X5,

所以T

丫_|_"_0＜0

當(dāng)左＜0時(shí)，不等式等價(jià)于《小+-?！?yàn)椴坏仁浇M的解集中只有一個(gè)元素'

則&2+x+Z-2W0恒成立且方程kx2+x+k-l=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

［二一山-2)＜。且4M1)=。，顯然-。時(shí)&＜。，

即《

由44=1—4左(左一1)=0,解得k=當(dāng)2

所以左=匕交

15.【答案】8

【分析】由方程的根與系數(shù)的關(guān)系得％+y與孫值，將欲求的(x-iy+(y-1?的式子用含尤+丁與孫的

式子來表示，即化為含。的函數(shù)，最后求此函數(shù)的最小值即可.

【詳解】解：因?yàn)殛P(guān)于冽的方程加2一2〃加+〃+6=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是工,歹,

所以x+y=2a,xy=a+6,

且△=(—2a)~—4(a+6)0,得a—2或a3.

則有(x—1了+(y—I)?

=—+J—2(x+y)+2

=(x+?-2xy-2(x+y)+2

=(2a)2—2(a+6)—4a+2=4a"—6a—10

4/3+49

=4(”?：

由此可知，當(dāng)a=3時(shí)，(x—I)?+(y—I)?取得最小值8.

故答案為：8.

三.解答題

16.【答案】a,b,c的值分別為1,-2,2

【分析】根據(jù)A=B,'wO,求出c+6、一一和。，求出a,4c的值.

a+ba+b

【詳解】因?yàn)锳=B,」一#0,所以。+。=0,」=—

a+ba+b

解得a==-2,c=2,所以。也C的值分別為1,-2,2.

3

17.【答案】壯-1或QW.

2

【分析】關(guān)于“至少“至多”“不存在”等問題可考慮反面，本題的反面是/、B、。都是空集，由此能求出。

的取值范圍.

【詳解】假設(shè)集合4B、。都是空集，

對(duì)于4,元素是x,A=0,表示不存在x使得式子/+4ax-4a+3=0成立，

31

A=16/—4（-4〃+3）<0,解得-5<Q<5；

91

對(duì)于5,B=0,同理A=（Q—1）-4a2<0,解得。或者。<一1；

對(duì)于集合C,C=0,同理A=（2a）2+8。<0,解得—2<a<0；

3

三者交集為一一<。<一1；

2

取反面即可得4、仄。三個(gè)集合至少有一個(gè)集合不為空集，

3

??.a的取值范圍是。2-1或。<一一；

2

3

綜上，u>—1或—.

2

18.【答案】（1）{x[x<l-百或x>l+G}

（2）[a\a<-2}

【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解；

（2）根據(jù)不等式解集為R,利用判別式法求解.

【小問1詳解】

解：〃=1時(shí)，原不等式為—

整理，得%2一2%—2>0,

對(duì)于方程2%—2=0，

因?yàn)锳=12>0,

所以它有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，

解得％=1—^3,%=1+V3，

所以不等式的解集為{引x<l-6或%>1+6}.

【小問2詳解】

原不等式可化為f—2x—l—a>0，

因?yàn)椴坏仁浇饧癁镽,

所以方程V—2x-1-a=0無實(shí)數(shù)根，

所以A=4+4（l+a）=8+4a<0,

所以。的范圍是｛Ha<-2].

19.【答案】（1）a=—1

（2）/（x）在（1,+8）上單調(diào)遞增，證明見解析

（3）最小值為'9，最大值為1二9

23

9

【分析】（1）由題意得方程/（2）=e，求解即可；

（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；

（3）根據(jù)單調(diào)性可得最值.

【小問1詳解】

Z7QZ7Q

因?yàn)?x）=2x—三，且"2）=；,所以4—5=不所以a=—1.

【小問2詳解】

函數(shù)“X）在（L+⑹上單調(diào)遞增.證明如下：

由（1）可得，f（x^=2.XH—,

X

任取藥,％2e（L+s），不妨設(shè)王<々，

I（1、

則/（%2）-/（』）=2尤2T------------2玉H

%2I

（]]'

—2（%2—%）+------

=2（4—國）+%一九2

玉工2

（%2一%）（2%%2—1）

因?yàn)橛?，?￡。,+8）且再<X2,

>

所以犬2-%〉0,2項(xiàng)入2—1>。,%入20，

所以“%2）一/（西）＞°，即“％2）〉”玉），

所以/（x）在（L+s）上單調(diào)遞增.

【小問3詳解】

由⑵知，函數(shù)“X）在[2,3]上單調(diào)遞增，

則當(dāng)x=2時(shí)，“X）有最小值〃2）=，

當(dāng)x=3時(shí)，/（x）有最大值八3）=g.

20.【答案】（1）證明見解析

（2）0（3）0

【分析】（1）取石=%=xe[0/]，即可求解,

（2）根據(jù)一）＜/（0）+/（1）=0+0=0,結(jié)合可得=

同理可得了0,

（3）根據(jù)dJrg）

,2024,即可求解.

【小問1詳解】

任取芯=xe[0,1],則有々萬產(chǎn)“無）+/（%），

gp/(x)<2/(x),于是*x"0,

所以，對(duì)任意的xe[0,1]都有〃x）20.

【小問2詳解】

由/（0）=/（1）=0,得/[―）＜/（0）+/（1）=0+0=0,于是/

但由（1）的結(jié)果知/所以=

/'J

由/[；）=0,/。）=0,貝IJ/三＜/Q^+/（i）=o+o=o,于是/

I）

由（1）的結(jié)果知所以/=

【小問3詳解】

(

0+-

2</(0)+/(1]=0+0=0,于是

由"0)=0"0,得了

2

I)

但由(1)的結(jié)果知

所以==繼續(xù)求下去，可得;?[!)=0次=1,2,3,,2024,

因此，嗎)+，[