專(zhuān)題10 幾何壓軸中的證明與猜想題型（解析版）

專(zhuān)題10幾何壓軸中的證明與猜想題型幾何壓軸中證明與猜想題指有些數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件、結(jié)論或解決方法不確定或不唯一，需要根據(jù)題目的特點(diǎn)進(jìn)行分析、探索，從而確定出符合要求的答案(一個(gè)、多個(gè)或所有答案)或探索出解決問(wèn)題的多種方法．該題型對(duì)考查學(xué)生思維能力和創(chuàng)造能力有積極的作用，是近幾年各地中考命題的一個(gè)熱點(diǎn)．通常這類(lèi)題目有以下幾種類(lèi)型：條件開(kāi)放與探索，結(jié)論開(kāi)放和探索，條件與結(jié)論都開(kāi)放與探索及方案設(shè)計(jì)、命題組合型、問(wèn)題開(kāi)放型等．考生在復(fù)習(xí)時(shí)，首先對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)一定要復(fù)習(xí)全面，并力求扎實(shí)牢靠；其次是要加強(qiáng)對(duì)解答這類(lèi)試題的練習(xí)，注意各知識(shí)點(diǎn)之間的因果聯(lián)系，選擇合適的解題途徑完成最后的解答．由于題型新穎、綜合性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)獨(dú)特等，此類(lèi)問(wèn)題的一般解題思路并無(wú)固定模式或套路，但是可以從以下幾個(gè)角度考慮：1．利用特殊值（特殊點(diǎn)、特殊數(shù)量、特殊線(xiàn)段、特殊位置等）進(jìn)行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律．2．反演推理法（反證法），即假設(shè)結(jié)論成立,根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，看是推導(dǎo)出矛盾還是能與已知條件一致．3．分類(lèi)討論法．當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不唯一確定，難以統(tǒng)一解答時(shí)，則需要按可能出現(xiàn)的情況做到既不重復(fù)也不遺漏，分門(mén)別類(lèi)加以討論求解，將不同結(jié)論綜合歸納得出正確結(jié)果．4．類(lèi)比猜想法．即由一個(gè)問(wèn)題的結(jié)論或解決方法類(lèi)比猜想出另一個(gè)類(lèi)似問(wèn)題的結(jié)論或解決方法，并加以嚴(yán)密的論證． （2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合），且．(1)當(dāng)時(shí)，求證：；(2)猜想BE，EF，DF三條線(xiàn)段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖2，連接AC，G是CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，，垂足為K，交AC于點(diǎn)H且．若，，請(qǐng)用含a，b的代數(shù)式表示EF的長(zhǎng)．（1）先利用正方表的性質(zhì)求得，，再利用判定三角形全等的“SAS”求得三角形全等，然后由全等三角形的性質(zhì)求解；（2）延長(zhǎng)CB至M，使，連接AM，先易得，推出，，進(jìn)而得到，最后利用全等三角形的性質(zhì)求解；（3）過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)N，易得，進(jìn)而求出，再根據(jù)（2）的結(jié)論求解．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，見(jiàn)解析(3)【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴，．在和中，∴，∴；（2）解：BE，EF，DF存在的數(shù)量關(guān)系為．理由如下：延長(zhǎng)CB至M，使，連接AM，則．在和中，∴，∴，．∵，∴．∴∠MAE=∠FAE，在和中，∴，∴EM=EF，∵EM=BE+BM，∴；（3）解：過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)N，則．∵，∴，∴．在和中，∴，∴．∵，，∴，∴，由（2）知，．本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，作出輔助線(xiàn)，構(gòu)建三角形全等是解答關(guān)鍵．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，連接AD，將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到線(xiàn)段AE，連接BD，DE，CE．(1)判斷線(xiàn)段BD與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明；(2)延長(zhǎng)ED交直線(xiàn)BC于點(diǎn)F．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，直接用等式表示線(xiàn)段AE，BE和CE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)______；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)F為線(xiàn)段BC中點(diǎn)，且ED＝EC時(shí)，猜想∠BAD的度數(shù)，并說(shuō)明理由．（1）利用等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得到，再由全等三角形的性質(zhì)求解；（2）①根據(jù)線(xiàn)段繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到得到是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)和（1）的結(jié)論來(lái)求解；②過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，連接AF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求值得到，，進(jìn)而得到，進(jìn)而求出，結(jié)合，ED＝EC得到，再用等腰直角三角形的性質(zhì)求解．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)①；②，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）解：．證明：∵是等邊三角形，∴，．∵線(xiàn)段繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，∴，，∴，∴，即．在和中，∴，∴；（2）解：①理由：∵線(xiàn)段繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，∴是等邊三角形，∴，由（1）得，∴；②過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，連接AF，如下圖．∵是等邊三角形，，∴，∴．∵是等邊三角形，點(diǎn)F為線(xiàn)段BC中點(diǎn)，∴，，，∴，∴，，∴，即，∴，∴．∵，，∴，即是等腰直角三角形，∴．本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，理解相關(guān)知識(shí)是解答關(guān)鍵．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形中，為邊上一點(diǎn)，將沿翻折到處，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)．求證：（2）【類(lèi)比遷移】如圖②，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，且將沿翻折到處，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)且求的長(zhǎng)．（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，在菱形中，，為邊上的三等分點(diǎn)，將沿翻折得到，直線(xiàn)交于點(diǎn)求的長(zhǎng)．（1）根據(jù)將沿翻折到處，四邊形是正方形，得，，即得，可證；（2）延長(zhǎng)，交于，設(shè)，在中，有，得，，由，得，，，而，，可得，即，，設(shè)，則，因，有，即解得的長(zhǎng)為；（3）分兩種情況：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于，過(guò)作于，設(shè)，，則，，由是的角平分線(xiàn)，有①，在中，②，可解得，；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線(xiàn)于，過(guò)作交延長(zhǎng)線(xiàn)于，同理解得，．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）的長(zhǎng)為或【詳解】證明：（1）將沿翻折到處，四邊形是正方形，，，，，，；（2）解：延長(zhǎng)，交于，如圖：設(shè)，在中，，，解得，，，，，，即，，，，，，，，即，，設(shè)，則，，，，即，解得，的長(zhǎng)為；（3）（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于，過(guò)作于，如圖：設(shè)，，則，，，，，沿翻折得到，，，，是的角平分線(xiàn)，，即①，，，，，在中，，②，聯(lián)立①②可解得，；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線(xiàn)于，過(guò)作交延長(zhǎng)線(xiàn)于，如圖：同理，，即，由得：，可解得，，綜上所述，的長(zhǎng)為或．本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形角平分線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)用．1．（2022·安徽合肥·校聯(lián)考三模）已知分別是四邊形和四邊形的對(duì)角線(xiàn)，點(diǎn)E在的內(nèi)部，．(1)探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)四邊形和四邊形均為正方形時(shí)，則的度數(shù)為；(2)引申運(yùn)用：如圖2，當(dāng)四邊形和四邊形均為矩形時(shí)，①若，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若，，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；(3)聯(lián)系拓展：如圖3，當(dāng)四邊形和四邊形均為菱形且時(shí)，設(shè)，試探究a，b，c三者之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)①（1）中的結(jié)論還成立；證明見(jiàn)解析；②(3)．理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，由相似三角形的性質(zhì)得到，由余角的性質(zhì)得到；（2）①如圖2，連接，設(shè)，，于是得到，，根據(jù)勾股定理得到，，推出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，于是得到；②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，，推出，設(shè)，得到，，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（3）首先根據(jù)，可得，在中，根據(jù)勾股定理可求得之間的關(guān)系，之間的關(guān)系；然后根據(jù)相似三角形判定的方法，判斷出，即可用b表示出的值；最后判斷出，在中，根據(jù)勾股定理，判斷出a，b，c三者之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系即可．【詳解】（1）解：∵四邊形和四邊形均為正方形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故答案為：；（2）解：①若，（1）中的結(jié)論還成立；證明：如圖2，連接，∵，，∴，∴，設(shè)，，∴，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴；②∵，∴，，又∵，∴，∴，設(shè)，又∵，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：同理可得，如圖3，過(guò)C點(diǎn)作延長(zhǎng)線(xiàn)于H，∵四邊形為菱形，∴，設(shè)，∵，∴，，∴，∴，同理可得，∴，在和中，，∵四邊形和四邊形均為菱形，，∴，∴，∴，∴，∴，，又∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，即a，b，c三者之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系是：．2．（2022·浙江寧波·校考三模）【基礎(chǔ)鞏固】(1)如圖①，在四邊形中，，，求證∶；(2)【嘗試應(yīng)用】如圖②，在平行四邊形中，點(diǎn)在上，與互補(bǔ)，，求的長(zhǎng)；(3)【拓展提高】如圖③，在菱形中，為其內(nèi)部一點(diǎn)，與互補(bǔ)，點(diǎn)在上，，且，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）由，可得，再利用，即可得出；（2）根據(jù)兩組角相等可求得，可得，進(jìn)而可求得的值；（3）延長(zhǎng)交于G，則四邊形是平行四邊形，，由得，由（2）可得．，，可得，即，，根據(jù)菱形得，則，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，又∵，∴；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：延長(zhǎng)交于G，∵四邊形是菱形，∴，，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，由（2）可得．，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴．3．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（1）【問(wèn)題情境】如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接、，則與的數(shù)量關(guān)系是______；（2）【類(lèi)比探究】如圖，四邊形是矩形，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接、．判斷線(xiàn)段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）【拓展提升】如圖3，在（2）的條件下，連接，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】（1）；（2）．理由見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）通過(guò)證明全等，得到；（2）通過(guò)證明得到，，延長(zhǎng)相交于點(diǎn)H．可以證明；（3）作于N，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于M．首先證明點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是線(xiàn)段，將的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值．【詳解】解：，理由：∵正方形，∴，∵正方形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：．理由如下：延長(zhǎng)相交于點(diǎn)H．∵矩形、矩形，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴，∵矩形，∴，∴，，∴，∴；（3）解：作于N，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于M．∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線(xiàn)，作點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交于G，此時(shí)的值最小，最小值為，由（2）知，，∴，∴，∴的最小值就是的最小值．∵，∴的最小值為，故答案為：．4．（2022·江蘇蘇州·?？家荒＃纠斫飧拍睢慷x：如果三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為，那么這樣的三角形叫做“準(zhǔn)直角三角形”．(1)已知△ABC是“準(zhǔn)直角三角形”，且．①若，則______；②若，則______；【鞏固新知】(2)如圖①，在中，，點(diǎn)D在邊上，若是“準(zhǔn)直角三角形”，求的長(zhǎng)；【解決問(wèn)題】(3)如圖②，在四邊形中，，且是“準(zhǔn)直角三角形”，求的面積．【答案】(1)①15；②10或25(2)或(3)的面積為48或24【分析】（1）①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；②根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；（2）根據(jù)題意可分為①當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作于H，結(jié)合勾股定理求解；②，結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；（3）過(guò)點(diǎn)C作于F，，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，設(shè)，根據(jù)和可得，即可證明，可得，進(jìn)而分情況討論求解：當(dāng)時(shí)和當(dāng)．【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，則，∴（不合題意舍去），當(dāng)，則，∵，∴，∴，綜上所述：，故答案為：15；②當(dāng)時(shí)，則，∴，當(dāng)，則，∵，∴，∴，綜上所述：或，故答案為：10或25；（2）當(dāng)時(shí)，如圖①，過(guò)點(diǎn)D作于H，在中，，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，綜上所述：或；（3）如圖②，過(guò)點(diǎn)C作于F，，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，設(shè)，∵，∴，又∵，∴，又∵，在和中，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，又∵，∴，由（2）可知：，設(shè)，則，∴，∴，∴，當(dāng)，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，綜上所述：的面積為48或24．5．（2022·福建福州·福建省福州教育學(xué)院附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)．(1)如圖，中，，，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．(2)如圖，矩形中，，，點(diǎn)、點(diǎn)分別在、上，求的最小值．(3)如圖，矩形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn)，把沿翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接、，四邊形的面積是否存在最小值，若存在，求這個(gè)最小值及此時(shí)的長(zhǎng)度．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，最小值為，【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最小，再用三角形的面積即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)確定出點(diǎn)M和N的位置，再利用面積求出CF，進(jìn)而求出CE，最后用三角函數(shù)即可求出的最小值；（3）先確定出時(shí)，四邊形的面積最小，再用銳角三角函數(shù)求出點(diǎn)G到AC的距離，最后用面積之和即可得出結(jié)論，再用相似三角形得出的比例式求出CF即可求出BF．【詳解】（1）如圖①，過(guò)點(diǎn)C作于P，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離垂線(xiàn)段最小，此時(shí)CP最小，在Rt中，，根據(jù)勾股定理得，，∵∴，故答案為；（2）如圖，作出點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，交于，連接，此時(shí)最??；四邊形是矩形，，，根據(jù)勾股定理得，，，，，由對(duì)稱(chēng)得，，在中，，，在中，；即：的最小值為；（3）存在．如圖，四邊形是矩形，，，，根據(jù)勾股定理得，，，，點(diǎn)在上的任何位置時(shí)，點(diǎn)始終在的下方，設(shè)點(diǎn)到的距離為，，要四邊形的面積最小，即：最小，點(diǎn)是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上在矩形內(nèi)部的一部分點(diǎn)，時(shí)，最小，由折疊知，延長(zhǎng)交于，則，在中，，在中，，，，，，過(guò)點(diǎn)作于，，，四邊形是矩形，，，，，，，．6．（2022·廣東東莞·東莞市光明中學(xué)?？既＃┲?，，，點(diǎn)為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)不與，重合，以為邊在右側(cè)作菱形，使，連接．(1)觀察猜想：如圖，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，與的位置關(guān)系為：______．，，之間的數(shù)量關(guān)系為：______；(2)數(shù)學(xué)思考：如圖，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，結(jié)論，是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫(xiě)出正確結(jié)論再給予證明．(3)拓展延伸：如圖，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，設(shè)與相交于點(diǎn)，若已知，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)①；②(2)①成立，證明