2024年高考數(shù)學(xué)最后沖刺訓(xùn)練《五大類(lèi)圓錐曲線題型》含答案解析

專(zhuān)題05五類(lèi)圓錐曲線題型-2024年高考數(shù)學(xué)大題秒

殺技巧及專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練(原卷版)

c高考大題題型歸納;I)

【題型1圓錐曲線中的軌跡方程問(wèn)題】

【題型2圓錐曲線中齊次化處理斜率乘積問(wèn)題】

【題型3圓錐曲線中的三角形(四邊形)面積問(wèn)題】

【題型4圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題】

【題型5圓錐曲線中的極點(diǎn)與極線】

題型1圓錐曲線中的軌跡方程問(wèn)題

模型一曲線方程的定義

一般地，如果曲線C與方程尸(x,y)=0之間有以下兩個(gè)關(guān)系:

①曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(X,y)=0的解；

②以方程尸(x，V)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線。上的點(diǎn).

此時(shí)，把方程/0/)=0叫做曲線C的方程，曲線C叫做方程/(x/)=0的曲線.

模型二求曲線方程的一般步驟:

(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系(如果已給出，本步驟省略)；

(2)設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)；

(3)根據(jù)曲線上點(diǎn)所適合的條件寫(xiě)出等式；

(4)用坐標(biāo)％、V表示這個(gè)等式，并化簡(jiǎn)；

(5)確定化簡(jiǎn)后的式子中點(diǎn)的范圍.

上述五個(gè)步驟可簡(jiǎn)記為：求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍.

模型三求軌跡方程的方法:

方法一■定義法:

如果動(dòng)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義,

則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。

方法二直接法:

如果動(dòng)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)尸滿(mǎn)足的等量

關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)尸所滿(mǎn)足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)尸的坐標(biāo)（XJ）

表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。

方法三代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：

如果動(dòng)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)

滿(mǎn)足某已知曲線方程），則可以設(shè)出尸（X/）,用（X,y）表示出相關(guān)點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后把P

的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程。

方法四點(diǎn)差法:

圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問(wèn)題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)

2（士,%）,8（々,%）的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得再+超，

必+為，x1-x2,必一%等關(guān)系式，由于弦48的中點(diǎn)尸（X/）的坐標(biāo)滿(mǎn)足2X=M+/，

2y=X+%且直線AB的斜率為三￡，由此可求得弦AB中點(diǎn)的軌跡方程.

模型演煉

已知雙曲線二-『1（。>0,6>0）與直線4：k依+加心±9］有唯一的公共點(diǎn)過(guò)點(diǎn)”

abvaJ

且與4垂直的直線4分別交X軸，了軸于/（x,0）,3（0））兩點(diǎn)，點(diǎn)尸坐標(biāo)為（XJ）,當(dāng)“點(diǎn)

坐標(biāo)為（2,3）時(shí)，尸點(diǎn)坐標(biāo)為（8,4）.

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵當(dāng)點(diǎn)”運(yùn)動(dòng)時(shí)，求P點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線.

1模型演煉

已知8（1,0）,直線NN,8M相交于且直線的斜率之積為2.

⑴求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；

⑵設(shè)尸,。是點(diǎn)M軌跡上不同的兩點(diǎn)且都在了軸的右側(cè)，直線/P/。在了軸上的截距之比

為1:2,求證：直線PO經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

模型演煉

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)片卜6,0卜耳（石,0）,|龍陰|+|〃工|=4,點(diǎn)W的軌跡為

C.

⑴求C的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)P在直線X=s（同＞2）上，48為C的左右頂點(diǎn)，直線上4交C于點(diǎn)E（異于42）,

直線尸B交C于點(diǎn)尸（異于42）,EF交4B于G,過(guò)G作x軸的垂線分別交尸9、肥于

氏7,問(wèn)是否存在常數(shù)2,使得忸G|=X|TG|.

OZONEFINEDAY

專(zhuān)項(xiàng)滿(mǎn)分必刷

1.又是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，匐⑶與直線垂直，垂足位于第一象限，與直線

），=-Ylx垂直，垂足位于第四象限，且必心?而心=獸.

281

⑴求動(dòng)點(diǎn)”的軌跡方程E;

⑵設(shè)4（-2,0）,4（2,0）,過(guò)點(diǎn)（3,0）的直線/與曲線￡交于a2兩點(diǎn)（點(diǎn)/在X軸上方），P

為直線//，48的交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為生叵時(shí)，求直線/的方程.

2

2.在平面直角坐標(biāo)系xQv中，已知雙曲線M:二--=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)”（2,1）,點(diǎn)8與點(diǎn)A關(guān)于原

m

點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，C為“上一動(dòng)點(diǎn)，且C異于42兩點(diǎn).

⑴求M的離心率；

（2）若4867的重心為人，點(diǎn)。（8,4）,求口力的最小值；

（3）若△8CT的垂心為A,求動(dòng)點(diǎn)T的軌跡方程.

3.已知長(zhǎng)為2后的線段尸。的中點(diǎn)為原點(diǎn)。，圓T經(jīng)過(guò)R。兩點(diǎn)且與直線F+2=0相切，圓

心T的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)。（1㈤且互相垂直的直線分別與曲線C交于點(diǎn)ER和點(diǎn)MN,且|￡0=。印,

四邊形MEN”的面積為15遍，求實(shí)數(shù)6的值.

22.

4.已知橢圓C:鼻+方=1(。>6>0)的離心率為了，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,48是其左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)

是其右焦點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)尸(%,%)(%>0)是橢圓C上一點(diǎn)，4W吆的角平分線與直線/尸交于點(diǎn)

①求點(diǎn)T的軌跡方程；

9

②若△中尸面積為a，求為.

5.已知點(diǎn)尸(-1,0)和直線mx=2,點(diǎn)尸到加的距離d=4-&|PF|.

(1)求點(diǎn)尸的軌跡方程；

⑵不經(jīng)過(guò)圓點(diǎn)O的直線/與點(diǎn)尸的軌跡交于A,8兩點(diǎn).設(shè)直線的斜率分別為勺,

記W=t,是否存在f值使得的面積為定值，若存在，求出，的值；若不存在,

說(shuō)明理由.

6.已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)力(2,0),且截了軸所得的弦長(zhǎng)為4.

(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程；

(2)若點(diǎn)尸(1,0),過(guò)點(diǎn)P(5,-4)的直線交C的軌跡于兩點(diǎn)，求|四卜|網(wǎng)|的最小值.

7.在中，已知8（T0）,C（l,0）,設(shè)G,H,少分別是的重心、垂心、外心，且

存在XeR使麗二力數(shù).

⑴求點(diǎn)A的軌跡「的方程；

（2）求“8C的外心少的縱坐標(biāo)加的取值范圍；

（3）設(shè)直線/少與「的另一個(gè)交點(diǎn)為記△/少G與AMGH的面積分別為E.S”是否存在

實(shí)數(shù)/使”==？若存在，求出入的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

,2

8.已知/（2,0）,8（—2,0）,P為平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).設(shè)直線NP,8P的斜率分別為勺，修，且

3

滿(mǎn)足勺石=-j記尸的軌跡為曲線r.

（1）求r的軌跡方程；

（2）直線尸/,P8分別交動(dòng)直線X=t于點(diǎn)C,。，過(guò)點(diǎn)C作尸B的垂線交X軸于點(diǎn)”.麻.而是

否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說(shuō)明理由.

題型2圓錐曲線中齊次化處理斜率乘積問(wèn)題

模型一

已知點(diǎn)尸（飛,為）是橢圓與+5=1（。>6>0）上的一個(gè)定點(diǎn)，48是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。

ab

、

2,則直線N5過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)為與—斗,一與要—%；當(dāng)4=0時(shí),

若直線kpi+kpB

AAa,

%0

kAB為定值^2；

證明：重新建系將橢圓。上的尸（X。,％）成為新的坐標(biāo)原點(diǎn)按

（X/）一（，，/）x-xr=x-0X=x'+xx'+x)2

Q,°n得橢圓c,：0

Go/o）一（0,0）n.—2

y-y=7-°a

0y=y+y0

又點(diǎn)尸（飛,%）在橢圓5+4=1上，22

所以與+*=1,代入上式可得

abab2

工。罕

I’?V2xf2yo…,……①

橢圓。上的定點(diǎn)p（xo,%）和動(dòng)點(diǎn)48分別對(duì)應(yīng)橢圓G上的定點(diǎn)。和動(dòng)點(diǎn)4,瓦，設(shè)直線

4名的方程為mx'+ny'=l,代入①得＜+與+(與x'+當(dāng)了)(加x'+ny')=

0。當(dāng)x'w0

abab

f

時(shí)，兩邊除以x’2得.1+2產(chǎn)y2+（-2xQn2yomy1+2x0m

-------1------F因?yàn)辄c(diǎn)用的

2z-)----2=0,4,

b2x'2aXa

坐標(biāo)滿(mǎn)足這個(gè)方程，所以ko「koB是這個(gè)關(guān)于工的方程的兩個(gè)根.

UA\UD\Y，

A

若kpa+kpB=入，由平移斜率不變可知kOAi+kOBi=A,故

2

-2b\n-2ay0m當(dāng)彳=。時(shí),

八k丁4八k所以—26,0〃-2。2為機(jī)=o,由此得

a-(l+2y0n)

m=笆。所以Z5的斜率為定值笆,女”為定值笆;

卜仲1

nyoayoa%。

22222y

即-2bxn-2aym=Aa+2a2yo"------0-m-一2%n=l,由此知點(diǎn)

Qo1

4、^a7

一2%在直線：加工'+町?'=1上，從而直線48過(guò)定點(diǎn)

/、

2-o2b/

。丁一丁-y（）?

7

模型二

已知點(diǎn)尸（%,九）是平面內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，橢圓C：A+==l（a〉b〉O）上有兩動(dòng)點(diǎn)48

ab

若直線七4+如B=X，則直線45過(guò)定點(diǎn).

證明：重新建系將橢圓。上的尸（玉,為）成為新的坐標(biāo)原點(diǎn)按

\x,y）^（x',y'）[x-x'=xo-O[x=x'+x0（才+工丫（/y

,?=>5,橢圓a：----：—H----；—=1

仇，為—（0,0）卜一>=%-0卜=7+為a-b-

2

TT/曰

巨x"y'2x0,2y0，x；,八

展開(kāi)得：一7+白+―》'+-_/+號(hào)+等—1=0.

a2b2a2b2"a2b2

平面內(nèi)的定點(diǎn)尸（%,%）和橢圓c上的動(dòng)點(diǎn)/、5分別對(duì)應(yīng)橢圓G上的定點(diǎn)。和動(dòng)點(diǎn)4、

B1,設(shè)直線幺圈的方程為mx'+ny'=\,代入展開(kāi)式得

/+￡+〔作x'+%v]（"x'+"，'）+—1]（相x'+〃/）2=。，構(gòu)造齊次式）,

當(dāng)x'wO時(shí)，兩邊同時(shí)除以X”整理得，

（封|（〃％+1）2_〃2忖+（2mn*+2%“?2加〃1+2%加_^V++

2-m2=0

2/J21口2J/

[axb2

因?yàn)辄c(diǎn)4、耳的坐標(biāo)滿(mǎn)足這個(gè)方程，所以七4和左明是關(guān)于予的方程的兩根.若

kPA+kPB=2,由平移斜率不變可知左04+左％=X所以

2m碣+2/〃+2mn/+2%1m_2mH

4b?___________

左。4+koB1=一=2整理可得到機(jī)和〃的關(guān)系，從而

〃F（犯o+U2

b2—

可知直線4名過(guò)定點(diǎn)，由平移規(guī)律可得直線48過(guò)定點(diǎn).

模型演練

22

已知橢圓C：二+與=1（?！?〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,點(diǎn)河（0,2）是橢圓的一

ab

個(gè)頂點(diǎn)，△片〃區(qū)是等腰直角三角形.

（1）求橢圓C的方程;

（2）設(shè)點(diǎn)尸是橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，求線段EW的中點(diǎn)。的軌跡方程；

（3）過(guò)點(diǎn)M分別作直線M4,M3交橢圓于3兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為勺，k2,

且占+e=8,探究：直線48是否過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由.

）模型演煉

22

已知橢圓0+學(xué)=1（。〉6〉0）的左、右焦點(diǎn)分別是耳，F(xiàn)2,點(diǎn)尸（0,1）在橢圓上，且

所庵=-2.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)0（2,-1）且不過(guò)點(diǎn)尸的直線/交橢圓于4,B兩點(diǎn),求證：直線尸/與P8的斜

率之和為定值.

模型演煉

如圖，橢圓￡：衛(wèi)+（=1伍〉6〉0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)2（0,—1）,且離心率為Y2.

ab2

（1）求橢圓E的方程;

(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1),且斜率為A的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)尸，Q(均異于點(diǎn)N),

證明：直線NP與4。的斜率之和為定值.

02ONEFINEDAY

專(zhuān)項(xiàng)滿(mǎn)分必刷)

22(5

1.已知橢圓C:J+4=l(a>6>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，下頂點(diǎn)A為拋物線/=-4y的焦

abI2,

點(diǎn).

(1)求橢圓。的方程；

⑵若點(diǎn)P(西,必),。(尤2，%)(%>%)均在橢圓C上，且滿(mǎn)足直線NP與4。的斜率之積為:，

(i)求證：直線P。過(guò)定點(diǎn)；

(ii)當(dāng)赤〃而時(shí)，求直線尸。的方程.

22

2.已知橢圓￡：—+^-=1(a>/>>0)中，點(diǎn)A,C分別是￡的左、上頂點(diǎn)，

a"b~

\AC\=45,且E的焦距為2vL

(1)求￡的方程和離心率；

(2)過(guò)點(diǎn)(1,0)且斜率不為零的直線交橢圓于&,S兩點(diǎn)，設(shè)直線火S,CR,CS的斜率分別為

k,左，左2，若左+左2=—3,求％的值.

22

3.已知橢圓氏=+2=1(°>6>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,a),右焦點(diǎn)為尸(2,0),4,8分別為橢圓E

ab

的上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn).

⑴求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵己知過(guò)(0,1)且斜率存在的直線/與橢圓￡交于C、。兩點(diǎn)，直線8D與直線NC的斜率分

別為島和無(wú)，求3的值.

4.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，重新定義兩點(diǎn)/(國(guó),弘),8(%,%)之間的“距離”為

陽(yáng)=艮-再W我們把到兩定點(diǎn)耳(-c,。),居(c,0)(c>0)的“距離”之和為常數(shù)

2a(a>c)的點(diǎn)的軌跡叫“橢圓”.

⑴求“橢圓”的方程；

⑵根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對(duì)稱(chēng)性，并說(shuō)明理由；

(3)設(shè)c=l,a=2,作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為C,C的左頂點(diǎn)為A,過(guò)用作

直線交C于”,N兩點(diǎn)，的外心為0,求證：直線。。與的斜率之積為定值.

5.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓3+%=1的左頂點(diǎn)為M,/(%,必)，B(x2,y2),C1,名)為橢圓

上不同三點(diǎn)，且當(dāng)?shù)Z=彳歷時(shí)，直線"3和直線的斜率之積為

4

⑴求6的值；

⑵若&OAB的面積為1,求x；+x；和療+貨的值；

⑶在(2)的條件下，設(shè)N3的中點(diǎn)為。，求|。必但卻的最大值.

22

6.已知耳，耳分別是橢圓C:[+勺=1(“>6>0)的左、右焦點(diǎn)，左頂點(diǎn)為4則上頂點(diǎn)

ab

為B、,且/用的方程為gx-2y+2百=0.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若尸是直線x=3上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的兩條不同直線分別交C于點(diǎn)。，E和點(diǎn)"，N,且

PD\PM\

—=求證：直線OE的斜率與直線MN的斜率之和為定值?

PN\PE\

22

7.已知橢圓C:J+二=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，耳，上頂點(diǎn)為A,右頂點(diǎn)為

ab

IT

B,△/期的面積為20+2，/月/鳥(niǎo)=萬(wàn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過(guò)點(diǎn)片且斜率大于0的直線/交橢圓C于M,N兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為。，若

0°,當(dāng)’求直線尸。與直線/的斜率之積的最小值.

8.已知P為圓f+j?=4上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線，垂足為0,M為P0的中點(diǎn).M

的軌跡曲線E

(1)求曲線E的軌跡方程；

⑵曲線E交x軸正半軸于點(diǎn)/,交y軸正半軸于點(diǎn)R直線/與曲線E交于C,。兩點(diǎn)，若直

線///直線48,設(shè)直線NC,8。的斜率分別為七做證明：左心為定值.

題型3圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問(wèn)題

弦長(zhǎng)公式

\AB|=/再―》2>+（%—8）2

M8|=/l+k2）（X1—乙了

=J1+左2kl_X2|

=J1+片）[（再+工2）2—4XJ%2]（最常用公式，使用頻率最高）

=jl+*+為>-4乂%

三角形面積問(wèn)題

氏o-％+同

直線48方程：y=kx+md=\PH\=

J1+42

_VA|fcr0-y0+m\

2⑷

模型三焦點(diǎn)三角形的面積

直線AB過(guò)焦點(diǎn)月,18￡的面積為

S

MBFl=；陽(yáng)月卜回一刃=。|必一%|=有

2

22^ab^a^+b-B--C}\C\

^OB=^\AB\d=^A+B2222

aA+bB=2+§2

ab&a2A2—B?七2

a2A2+b2B2

注意：4為聯(lián)立消去x后關(guān)于了的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)

模型四平行四邊形的面積

直線AB為y=kx+5,直線CDy=kx+m2

同=J1+左2|西-X2|=Jl+/+/)2_4匹馬=J1+F?_￡)2_4,￡=Jl+F4

V=i明.小衍￡」工|=石加「初

u口ABCD11⑷TiTF

注意：A'為直線與橢圓聯(lián)立后消去>后的一元二次方程的系數(shù).

模型五范圍問(wèn)題

應(yīng)用均值不等式求解最值時(shí)，應(yīng)注意“一正二定三相等”

圓錐曲線經(jīng)常用到的均值不等式形式列舉：

\。=---2-t-=---2--

（1）r+64^64（注意分y0,/>0,/<0三種情況討論）

t

I,D|2212kz212/212

/、\1AB\1=3-1—--------=3H-------；---<3H--------

⑵9/+6/+121：2x3+6

yKH—T-+o

當(dāng)且僅當(dāng)配=，時(shí)，等號(hào)成立

325.警+9.崇―4霽25K、9g:64

(3)閡

25"

當(dāng)且僅當(dāng)25?薯=9?蕓時(shí)等號(hào)成立.

9/25%

22

112/2c、1ITm-m+8

(4)2^2m(一加+8^-22X2=V2

當(dāng)且僅當(dāng)加2=—相+8時(shí)，等號(hào)成立

⑸

________________________2左2—加；+1+加;

I向〒三工品=4?叵

當(dāng)且僅當(dāng)2F+1=2叫2時(shí)等號(hào)成立.

模型演演

雙曲線，最早由門(mén)奈赫莫斯發(fā)現(xiàn)，后來(lái)阿波羅尼茲進(jìn)行了總結(jié)和完善.在他的著作中，雙曲

22

線也被稱(chēng)作“超曲線”.已知雙曲線C：A-A=l(a,6>0)的實(shí)半軸長(zhǎng)為2,左、右頂點(diǎn)分別

ab

為44,經(jīng)過(guò)點(diǎn)8(4,0)的直線/與C的右支分別交于N兩點(diǎn)，其中點(diǎn)"在x軸上方.

k

⑴若軸時(shí)，|MN|=2迷，設(shè)直線朋4幅2的斜率分別為即k2,求或的值；

⑵若ZBA2N=2NBA、M,求的面積.

Ei模型演演

設(shè)拋物線方程為/=2x,過(guò)點(diǎn)尸的直線尸4P8分別與拋物線相切于48兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在x

軸下方，點(diǎn)B在x軸上方.

⑴當(dāng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-1,-2)時(shí)，求|4耳；

(2)點(diǎn)C在拋物線上，且在x軸下方，直線交x軸于點(diǎn)N,直線N5交x軸于點(diǎn)且

s

3MM<2忸M.若"BC的重心在X軸上，求—的最大值.(注：S表示三角形的面積)

3△BMN

模型演煉

22/y

已知橢圓C：=+彳=1(。>6>0)過(guò)點(diǎn)N(2,夜)，且C的離心率為注.

ab2

(1)求C的方程；

⑵設(shè)直線/交C于不同于點(diǎn)N的M,N兩點(diǎn)，直線⑷V的傾斜角分別為a,P,若

COSCL

----=-1,求面積的最大值.

cosp

03ONEFINEDA^'\

專(zhuān)項(xiàng)滿(mǎn)分必刷）

2

1.設(shè)點(diǎn)片(-c,0)、芭(c,。)分別是橢圓C:j+F=l的左、右焦點(diǎn)，尸為橢圓C上任意一點(diǎn),

a

且麗?麗的最小值為-2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)求橢圓C的外切矩形/BCD的面積S的最大值.

22

2.在橢圓C:上+乙=1上任取一點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線段P￡),。為垂足，點(diǎn)M在線

42

段PO上，且滿(mǎn)足=

⑴當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡￡的方程;

（2）若曲線E與x,丁軸的正半軸分別交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)N是E上第三象限內(nèi)一點(diǎn)，線段/N

與了軸交于點(diǎn)線段2N與x軸交于點(diǎn)G,求四邊形43G〃的面積.

3.在橢圓（雙曲線）中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，該圓的圓心是橢

圓（雙曲線）的中心，半徑等于橢圓（雙曲線）長(zhǎng)半軸（實(shí)半軸）與短半軸（虛半軸）平方和（差）的算

22

術(shù)平方根，則這個(gè)圓叫蒙日?qǐng)A.已知橢圓￡：3+2=1（°>6>0）的蒙日?qǐng)A的面積為13兀，該

ab

橢圓的上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為月出，且|片司=2,設(shè)過(guò)點(diǎn)0（0,的直線4與橢圓E交于43

兩點(diǎn)（不與4,5兩點(diǎn)重合）且直線/2：x+2y-6=0.

⑴證明：/耳，臺(tái)月的交點(diǎn)P在直線歹=2上；

⑵求直線明，如，圍成的三角形面積的最小值.

4.已知橢圓C的方程￡+4=l（a>b>0）,右焦點(diǎn)為尸（1,0）,且離心率為:

ab2

（1）求橢圓C的方程；

⑵設(shè)48是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過(guò)尸的直線/交C于。，E兩點(diǎn)（其中。點(diǎn)在X軸上方）,

求ADBF與AAEF的面積之比的取值范圍.

5.已知橢圓…）的左、右焦點(diǎn)分別為不離心率為*點(diǎn)”

直線x=-3（j主0）上運(yùn)動(dòng),且直線MF、的斜率與直線MF2的斜率之商為2.

⑴求C的方程;

(2)若點(diǎn)/、2在橢圓C上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且。4,02,求力08面積的最小值.

22

6.已知橢圓C:J+==l(a>6>0)的下、上頂點(diǎn)分別為烏,與，左、右頂點(diǎn)分別為4,4,

ab

四邊形%的面積為6石，若橢圓c上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最大值和最小值之和為6.(i)

求橢圓c的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)(-1,。)且斜率不為o的直線/與c交于RO(異于4,4)兩點(diǎn)，設(shè)直線4尸與直線

4。交于點(diǎn)探究三角形片82M的面積是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

7.已知橢圓E:g+《=l(a>0,b>0)經(jīng)過(guò)PW],兩點(diǎn).

abIZ)\2J

(1)求￡的方程；

(2)若圓/+丁=1的兩條相互垂直的切線4%均不與坐標(biāo)軸垂直，且直線分別與￡相交

于點(diǎn)N,C和8,D,求四邊形/BCD面積的最小值.

22

8.已知橢圓C的方程為5+彳=1(“>6>0),由其3個(gè)頂點(diǎn)確定的三角形的面積為4,點(diǎn)

ab

尸(2,1)在C上，48為直線x=4上關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線N尸,3尸與C的另一個(gè)交

點(diǎn)分別為

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵證明：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；

(3)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△MCW面積的最大值.

題型4圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題

模型一定點(diǎn)問(wèn)題

1.求解（或證明）直線和曲線過(guò)定點(diǎn)的基本思路是把直線或曲線方程中的變量》,＞視作常

數(shù)，把方程一邊化為零，既然是過(guò)定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就是對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的

系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于工,丁的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就

是直線或曲線所過(guò)的定點(diǎn).

2.常用方法一是引進(jìn)參數(shù)法，引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變

化的量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系，找到定點(diǎn)二是特殊到一般法，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探

索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).

模型二定值問(wèn)題

1.解析幾何中的定值問(wèn)題是指某些幾何量（線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜

率等）的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無(wú)關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始

終是一個(gè)確定的值.常見(jiàn)定值問(wèn)題的處理方法：

（1）確定一個(gè)（或兩個(gè)）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進(jìn)行表示

（2）將所求表達(dá)式用核心變量進(jìn)行表示，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)，看能否得到一個(gè)常數(shù).

2.定值問(wèn)題的處理技巧：

（1）對(duì)于較為復(fù)雜的問(wèn)題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進(jìn)

而給后面一般情況的處理提供一個(gè)方向.

（2）在運(yùn)算過(guò)程中，盡量減少所求表達(dá)式中變量的個(gè)數(shù)，以便于向定值靠攏

（3）巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點(diǎn)的坐標(biāo)符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡(jiǎn)化運(yùn)

算

模型三定直線問(wèn)題

定直線問(wèn)題是證明動(dòng)點(diǎn)在定直線上，其實(shí)質(zhì)是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，所以所用的方法即為求

軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等.

/模型演煉

已知拋物線C：V=2px(p>0),M是其準(zhǔn)線與a軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的直線/與拋物線C交

于42兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)/的坐標(biāo)為(4,y°)時(shí)，有|人必|=|氏4|.

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)P,證明：直線5尸過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

模型演族

已知斜率為百的直線/與拋物線C：/=4x相交于P,。兩點(diǎn).

(1)求線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值；

⑵已知點(diǎn)7(6,0),直線TP,TQ分別與拋物線相交于N兩點(diǎn)(異于P,0).求證直線

恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

01模型演煉

丫2

已知雙曲線。：3-丁=1，點(diǎn)A是雙曲線C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)尸坐標(biāo)為（4,0）.

⑴過(guò)點(diǎn)P作C的兩條漸近線的平行線分別交雙曲線C于&,S兩點(diǎn).求直線RS的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)尸作直線/與橢圓一+/=1交于點(diǎn)。，E,直線AD,NE與雙曲線C的另一個(gè)交

4

點(diǎn)分別是點(diǎn)“，N.試問(wèn)：直線兒W是否過(guò)定點(diǎn)，若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn),

請(qǐng)說(shuō)明理由.

04ONEFINEDAY

專(zhuān)項(xiàng)滿(mǎn)分必刷）

22

1.已知橢圓C:=+斗=1（q>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，鳥(niǎo),c過(guò)點(diǎn)5（-2,3）,且C的長(zhǎng)軸

ab

長(zhǎng)為8.

（1）求C的方程.

（2）設(shè)C的右頂點(diǎn)為點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)。（4,6）的直線/與C交于尸，。兩點(diǎn)（異于8）,直線/P,/。

與了軸分別交于點(diǎn)M,N,試問(wèn)線段九W的中點(diǎn)是否為定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若

不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

2.已知橢圓。:鼻+彳=1（0>6>0）的上下頂點(diǎn)分別為鳥(niǎo),鳥(niǎo)，左右頂點(diǎn)分別為4,4,四邊

ab

形444與的面積為6VL若橢圓c上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最大值和最小值之和為6.（1）求橢

圓c的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)（T,o）且斜率不為o的直線/與c交于P,。（異于44）兩點(diǎn)，設(shè)直線4尸與直線

40交于點(diǎn)"，證明：點(diǎn)”在定直線上.

22

3.如圖，已知橢圓「的短軸長(zhǎng)為4,焦點(diǎn)與雙曲線三-?=1的焦點(diǎn)重合.點(diǎn)尸（4,0）,斜

（1）求常數(shù)f的取值范圍，并求橢圓「的方程.

（2）（本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結(jié)論進(jìn)行解答）

極點(diǎn)與極線是法國(guó)數(shù)學(xué)家吉拉德?迪沙格于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》

中正式闡述的.對(duì)于橢圓「:]+，=1,極點(diǎn)尸（%,%）（不是原點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的極線為

）：誓+萼=1,且若極點(diǎn)尸在x軸上，則過(guò)點(diǎn)尸作橢圓的割線交「于點(diǎn)4,耳，則對(duì)于"上

ab

任意一點(diǎn)。，均有％4+%與=2⑥°（當(dāng)斜率均存在時(shí)）.已知點(diǎn)。是直線4上的一點(diǎn)，且點(diǎn)。

的橫坐標(biāo)為2.連接尸。交V軸于點(diǎn)E.連接PA,PB分別交橢圓「于M,N兩點(diǎn).

①設(shè)直線48、血W分別交V軸于點(diǎn)。、點(diǎn)T,證明：點(diǎn)￡為。、T的中點(diǎn)；

②證明直線：兒加恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

22

4.已知橢圓C:1r+%=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳匕C過(guò)點(diǎn)8(-2,3),且

降+而|=|陽(yáng).

(1)求C的方程.

(2)設(shè)C的右頂點(diǎn)為點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)。(4,6)的直線/與C交于尸，。兩點(diǎn)(異于3),直線/尸,/。

與了軸分別交于點(diǎn)”,N,試問(wèn)線段MN的中點(diǎn)是否為定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若

不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

5.已知橢圓U1+2=1(。>6>0)的離心率為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,|；

ab

(1)求橢圓C的方程；

⑵設(shè)過(guò)點(diǎn)P(O,I)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線/與橢圓c交于42兩點(diǎn)，過(guò)42分別作y軸的垂

線，垂足為點(diǎn)求證：直線NN與即/的交點(diǎn)在某條定直線上，并求該定直線的方程.

22

6.已知橢圓工:、+4=1(“>%>0)的左頂點(diǎn)4-3,0)和下頂點(diǎn)焦距為4vL直線/交橢

ab

圓/于C,D(不同于橢圓的頂點(diǎn))兩點(diǎn)，直線AD交y軸于直線8c交x軸于N,且

直線MN交I于P.

(1)求橢圓心的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線AD,8C的斜率相等，證明：點(diǎn)P在一條定直線上運(yùn)動(dòng).

7.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)尸(1,0)的距離與到直線x=4的距離之比為

⑴求動(dòng)點(diǎn)M軌跡少的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)尸的兩條直線分別交少于4,2兩點(diǎn)和C,。兩點(diǎn)，線段AB,CD的中點(diǎn)分別為尸,

Q.設(shè)直線N3,8的斜率分別為左，k2,且《+；=1,試判斷直線尸。是否過(guò)定點(diǎn).若

是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

8.已知?jiǎng)訄AV經(jīng)過(guò)定點(diǎn)片卜6,0),且與圓巴：+_/=16內(nèi)切.

(1)求動(dòng)圓圓心”的軌跡C的方程；

⑵設(shè)軌跡C與X軸從左到右的交點(diǎn)為A,3,點(diǎn)尸為軌跡C上異于A,8的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P3交

直線x=4于點(diǎn)7,連接NT交軌跡C于點(diǎn)。，直線/尸，/。的斜率分別為3.，k4s.

①求證：七"3。為定值；

②證明：直線尸0經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

題型5圓錐曲線中的極點(diǎn)與極線

圓錐曲線的極點(diǎn)與極線

22

已知橢圓C：W+彳=1(a>b>0),則稱(chēng)點(diǎn)P(x。,％)和直線算+繆=1為橢圓的一對(duì)極點(diǎn)

a2b2a2b1

和極線.極點(diǎn)和極線是成對(duì)出現(xiàn)的.

我們先從幾何的角度來(lái)研究圓錐曲線的極點(diǎn)與極線.

從幾何角度看極點(diǎn)與極線

如圖，設(shè)尸是不在圓錐曲線上的一點(diǎn)，過(guò)尸點(diǎn)引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)E,F,

G,H,連接E〃，F(xiàn)G交于N,連接EG,FH交于M,則直線為點(diǎn)尸對(duì)應(yīng)的極線.

若P為圓錐曲線上的點(diǎn)，則過(guò)P點(diǎn)的切線即為極線.

由圖同理可知，尸用■為點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的極線，PN為點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的極線.因而將△MvP稱(chēng)為自

極三點(diǎn)形.

設(shè)直線交圓錐曲線于點(diǎn)A,B兩點(diǎn),則PN,尸8恰為圓錐曲線的兩條切線.

定理：（1）當(dāng)P在圓錐曲線「上時(shí)，則點(diǎn)尸的極線是曲線「在P點(diǎn)處的切線；

（2）當(dāng)尸在「外時(shí)，過(guò)點(diǎn)尸作「的兩條切線，設(shè)其切點(diǎn)分別為A,B,則點(diǎn)尸的極線是直

線AB（即切點(diǎn)弦所在的直線）；

（3）當(dāng)尸在「內(nèi)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P任作一割線交「于A,B,設(shè)「在A,3處的切線交于點(diǎn)。，

則點(diǎn)尸的極線是動(dòng)點(diǎn)。的軌跡.

4^/模型演演

己知拋物線C：V=2px（0>O）的焦點(diǎn)為尸，且尸與圓川:/+（了+4）2=1上的點(diǎn)的距離的最

小值4.

⑴求。；

⑵若點(diǎn)尸在圓”上，是C的兩條切線，48是切點(diǎn)，求AP/2面積的最大值.

模型演煉

已知尸為拋物線c：x?=2抄5>0)的焦點(diǎn)，直線/：y=2x+l與C交于/,2兩點(diǎn)且

|/尸|+15F|=20.

(1)求C的方程.

(2)若直線〃?：y=2x+f(/wl)與C交于M,N兩點(diǎn)，且與BN相交于點(diǎn)7,證明：點(diǎn)

T在定直線上.

模型演煉

若雙曲線x2-y2=9與橢圓c:￡+《=l(a>6>0)共頂點(diǎn)，且它們的離心率之積為工

ab3

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若橢圓c的左、右頂點(diǎn)分別為4,4,直線/與橢圓c交于P、。兩點(diǎn)，設(shè)直線4尸

與4。的斜率分別為勺，k2,且勺一g魚(yú)=o.試問(wèn)，直線/是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的

坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

05oNEFINEDAY"

專(zhuān)項(xiàng)滿(mǎn)分必刷

1.設(shè)4,4分別是橢圓「4+/=1(。>1)的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)8為橢圓的上頂點(diǎn).

a

（1）若4%.￡S=-4，求橢圓r的方程；

（2）設(shè)鳥(niǎo)是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)。是橢圓第二象限部分上一點(diǎn)，若線段招。的中點(diǎn)

〃■在y軸上，求△月8。的面積.

（3）設(shè)。=3,點(diǎn)尸是直線尤=6上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C和。是橢圓上異于左右頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，且C,

。分別在直線尸4和尸4上，求證：直線CD恒過(guò)一定點(diǎn).

2

2.已知A,B分別是雙曲線￡:彳2-乙=1的左，右頂點(diǎn)，直線/（不與坐標(biāo)軸垂直）過(guò)點(diǎn)

4

N（2,0）,且與雙曲線E交于C,。兩點(diǎn).

（1）若函=3而，求直線/的方程；

（2）若直線NC與AD相交于點(diǎn)P,求證：點(diǎn)P在定直線上.

22

3.已知橢圓C章+方=1（。>0,6>0）與了軸的交點(diǎn)48（點(diǎn)/位于點(diǎn)B的上方），尸為左

焦點(diǎn)，原點(diǎn)。到直線反4的距離為在人

2

（1）求橢圓C的離心率；

（2）設(shè)6=2,直線>=米+4與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)求證：直線8M與直線/N

的交點(diǎn)G在定直線上.

4.已知橢圓C的離心率6=號(hào),長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)分別為4(-2,0),4(2,0)

⑴求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線工=叼+1與橢圓C交于尸，。兩點(diǎn)，直線4P與4。交于點(diǎn)S,試問(wèn)：當(dāng)〃7變化

時(shí)，點(diǎn)S是否恒在一條直線上？若是，請(qǐng)寫(xiě)出這條直線的方程，并證明你的結(jié)論；若不是,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.已知橢圓C：[+，=1(。>6>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)/1,辛，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2.

(1)求橢圓C的方程：

⑵設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)3(7,0)的直線/與橢圓C相交于。，E兩點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為尸，直

線。下與x軸相交于點(diǎn)G,求△DEG的面積S的取值范圍.

6.已知橢圓C:，+1=l(a>0)的焦距為2,48分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，為橢圓

C上的兩點(diǎn)(異于48),連結(jié)AM,BN,MN,且BN斜率是斜率的3倍.

(1)求橢圓C的方程；

(2)證明:直線次W恒過(guò)定點(diǎn).

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7.橢圓c：金+與=1僅>0)的左、右頂點(diǎn)分別為4，4,上頂點(diǎn)為3,點(diǎn)。(1,0),線BD

的傾斜角為135。.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)。且斜率存在的動(dòng)直線與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線4M與4N交于尸，求證:

P在定直線上.

8.已知橢圓C:J+，=l(a>6>0)的離心率為，且點(diǎn)［1,一"在橢圓上.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)如圖，橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為/,B,點(diǎn)、M,N是橢圓上異于/,2的不同兩點(diǎn),

直線8N的斜率為左(左/0),直線的斜率為北，求證：直線過(guò)定點(diǎn).

專(zhuān)題05五類(lèi)圓錐曲線題型-2024年高考數(shù)學(xué)大題秒

殺技巧及專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練(解析版)

c高考大題題型歸納;I)

【題型1圓錐曲線中的軌跡方程問(wèn)題】

【題型2圓錐曲線中齊次化處理斜率乘積問(wèn)題】

【題型3圓錐曲線中的三角形(四邊形)面積問(wèn)題】

【題型4圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題】

【題型5圓錐曲線中的極點(diǎn)與極線】

題型1圓錐曲線中的軌跡方程問(wèn)題

模型一曲線