2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-10.8-高考大題規(guī)范解答-概率統(tǒng)計-專項訓(xùn)練模擬練習(xí)【含解析】_第1頁
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2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-10.8-高考大題規(guī)范解答——概率統(tǒng)計-專項訓(xùn)練模擬練習(xí)1.2022年12月份以來,全國多個地區(qū)紛紛采取不同的形式發(fā)放多輪消費券,助力消費復(fù)蘇,記發(fā)放的消費券額度為x(百萬元),帶動的消費為y(百萬元).某省隨機抽查的一些城市的數(shù)據(jù)如下表所示.x33455668y1012131819212427(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),請用相關(guān)系數(shù)說明y與x有很強的線性相關(guān)關(guān)系,并求出y關(guān)于x的線性回歸方程.(2)①若該省A城市在2023年2月份準(zhǔn)備發(fā)放一輪額度為10百萬元的消費券,利用(1)中求得的線性回歸方程,預(yù)計可以帶動多少消費?②當(dāng)實際值與估計值的差的絕對值與估計值的比值不超過10%時,認(rèn)為發(fā)放的該輪消費券助力消費復(fù)蘇是理想的.若該省A城市2月份發(fā)放額度為10百萬元的消費券后,經(jīng)過一個月的統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)實際帶動的消費為30百萬元,請問發(fā)放的該輪消費券助力消費復(fù)蘇是否理想?若不理想,請分析可能存在的原因.參考公式:r=eq\f(\i\su(i=1,n,)xi-\o(x,\s\up6(-))yi-\o(y,\s\up6(-)),\r(\i\su(i=1,n,)xi-\o(x,\s\up6(-))2\i\su(i=1,n,)yi-\o(y,\s\up6(-))2)),b=eq\f(\i\su(i=1,n,)xi-\o(x,\s\up6(-))yi-\o(y,\s\up6(-)),\i\su(i=1,n,)xi-\o(x,\s\up6(-))2),eq\o(a,\s\up6(^))=eq\o(y,\s\up6(-))-beq\o(x,\s\up6(-)).當(dāng)|r|>0.75時,兩個變量之間具有很強的線性相關(guān)關(guān)系.參考數(shù)據(jù):eq\r(35)≈5.9.2.第19屆亞運會的開幕式于2023年9月23日在我國杭州舉行.2023年8月,某商場為了吸引顧客,舉行了“答題領(lǐng)優(yōu)惠,杭州看亞運”促銷活動.具體規(guī)則是:兩人一組進(jìn)行答題比拼,比拼分兩關(guān)進(jìn)行.第一關(guān):一道題,兩人抽簽決定誰答題eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(都有\(zhòng)f(1,2)的機會被抽到)),答對得10分并獲得100元優(yōu)惠券,否則另一人得10分并獲得100元優(yōu)惠券;第二關(guān):由第一關(guān)獲得積分和優(yōu)惠券的人從6道題目中抽取2道題目回答,每回答正確一道題目就獲得10分和100元優(yōu)惠券,每答錯一道題目另一人獲得10分和100元優(yōu)惠券,兩輪比賽結(jié)束后,積分更高者獲勝,勝者將獲得一張亞運會開幕式門票和200元優(yōu)惠券.現(xiàn)有甲、乙兩人組成一組參加該游戲,已知第一關(guān)的問題甲能答對的概率為eq\f(2,3),乙能答對的概率為eq\f(3,5);第二關(guān)的6道題目中甲能答對4題,乙能答對3題.(1)求甲獲勝的概率;(2)設(shè)X表示甲獲得的優(yōu)惠券總金額,求X的分布列和期望.3.2022年國慶節(jié)某商場進(jìn)行砸金蛋活動,現(xiàn)有8個外形完全相同的金蛋,8個金蛋中有1個一等獎,1個二等獎,3個三等獎,3個參與獎,現(xiàn)甲、乙兩人進(jìn)行砸金蛋比賽,砸中1個一等獎記4分,砸中1個二等獎記3分,砸中1個三等獎記2分,砸中1個參與獎記1分,規(guī)定砸蛋人得分不低于8分為獲勝,否則為負(fù),并制定規(guī)則如下:①一個人砸蛋,另一人不砸蛋;②砸蛋的人先砸1個金蛋,若砸出的是一等獎,則再砸2個金蛋;若砸出的不是一等獎,則再砸3個金蛋,砸蛋人的得分為兩次砸出金蛋的記分之和.(1)若由甲砸蛋,如果甲先砸出的是一等獎,求該局甲獲勝的概率;(2)若由乙砸蛋,如果乙先砸出的是二等獎,求該局乙得分ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ).4.某企業(yè)擁有甲、乙兩條零件生產(chǎn)線,為了解零件質(zhì)量情況,采用隨機抽樣方法從兩條生產(chǎn)線共抽取180個零件,測量其尺寸(單位:mm)得到如下統(tǒng)計表,其中尺寸位于[55,58)的零件為一等品,位于[54,55)和[58,59)的零件為二等品,否則零件為三等品.生產(chǎn)線[53,54)[54,55)[55,56)[56,57)[57,58)[58,59)[59,60]甲49232824102乙214151716151(1)完成2×2列聯(lián)表,依據(jù)α=0.05的獨立性檢驗?zāi)芊裾J(rèn)為零件為一等品與生產(chǎn)線有關(guān)聯(lián)?一等品非一等品合計甲乙合計(2)將樣本頻率視為概率,從甲、乙兩條生產(chǎn)線中分別隨機抽取1個零件,每次抽取零件互不影響,以ξ表示這2個零件中一等品的數(shù)量,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ);(3)已知該企業(yè)生產(chǎn)的零件隨機裝箱出售,每箱60個.產(chǎn)品出廠前,該企業(yè)可自愿選擇是否對每箱零件進(jìn)行檢驗.若執(zhí)行檢驗,則每個零件的檢驗費用為5元,并將檢驗出的三等品更換為一等品或二等品;若不執(zhí)行檢驗,則對賣出的每個三等品零件支付120元賠償費用.現(xiàn)對一箱零件隨機檢驗了20個,檢出1個三等品.將從兩條生產(chǎn)線抽取的所有樣本數(shù)據(jù)的頻率視為概率,以整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望作為決策依據(jù),是否需要對該箱余下的所有零件進(jìn)行檢驗?請說明理由.附:χ2=eq\f(nad-bc2,a+bc+da+cb+d),其中n=a+b+c+d;x0.05=3.841.提能訓(xùn)練1.?dāng)?shù)學(xué)奧林匹克競賽是一項傳統(tǒng)的智力競賽項目,旨在通過競賽選拔優(yōu)秀人才,促進(jìn)青少年智力發(fā)展,很多優(yōu)秀的大學(xué)在強基計劃中都設(shè)置了對中學(xué)生奧林匹克競賽成績的要求,因此各中學(xué)學(xué)校對此十分重視.某中學(xué)通過考試一共選拔出15名學(xué)生組成數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊,其中高一學(xué)生有7名、高二學(xué)生有6名、高三學(xué)生有2名.(1)若學(xué)校隨機從數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊抽取3人參加一項數(shù)學(xué)奧賽,求抽取的3名同學(xué)中恰有2名同學(xué)來自高一的概率;(2)現(xiàn)學(xué)校欲通過考試對數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊成員進(jìn)行考核,考試一共3道題,在測試中3道題中至少答對2道題記作合格.現(xiàn)已知張同學(xué)每道試題答對的概率均為eq\f(1,2),王同學(xué)每道試題答對的概率均為eq\f(2,3),并且每位同學(xué)回答每道試題之間互不影響,記X為兩名同學(xué)在考試過程中合格的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.2.民族要復(fù)興,鄉(xiāng)村要振鄉(xiāng),合作社助力鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興,農(nóng)民專業(yè)合作社已成為新型農(nóng)業(yè)經(jīng)營主體和現(xiàn)代農(nóng)業(yè)建設(shè)的中堅力量,為實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略作出了巨大的貢獻(xiàn).已知某主要從事手工編織品的農(nóng)民專業(yè)合作社共有100名編織工人,該農(nóng)民專業(yè)合作社為了鼓勵工人,決定對“編織巧手”進(jìn)行獎勵,為研究“編織巧手”是否與年齡有關(guān),現(xiàn)從所有編織工人中抽取40周歲以上(含40周歲)的工人24名,40周歲以下的工人16名,得到的數(shù)據(jù)如表所示.“編織巧手”非“編織巧手”總計年齡≥40歲19年齡<40歲10總計40(1)請完成答題卡上的2×2列聯(lián)表,并根據(jù)小概率值α=0.010的獨立性檢驗,分析“編織巧手”與“年齡”是否有關(guān);(2)為進(jìn)一步提高編織效率,培養(yǎng)更多的“編織巧手”,該農(nóng)民專業(yè)合作社決定從上表中的非“編織巧手”的工人中采用分層抽樣的方法抽取6人參加技能培訓(xùn),再從這6人中隨機抽取2人分享心得,求這2人中恰有1人的年齡在40周歲以下的概率.參考公式:χ2=eq\f(nad-bc2,a+bc+da+cb+d),其中n=a+b+c+d.參考數(shù)據(jù):α0.1000.0500.0100.005xα2.7063.8416.6357.8793.甲、乙兩人準(zhǔn)備進(jìn)行羽毛球比賽,比賽規(guī)定:一回合中贏球的一方作為下一回合的發(fā)球.若甲發(fā)球,則本回合甲贏的概率為eq\f(2,3),若乙發(fā)球,則本回合甲贏的概率為eq\f(1,3),每回合比賽的結(jié)果相互獨立,經(jīng)抽簽決定,第1回合由甲發(fā)球.(1)求前4個回合甲發(fā)球兩次的概率;(2)求第4個回合甲發(fā)球的概率;(3)設(shè)前4個回合中,甲發(fā)球的次數(shù)為X,求X的分布列及期望.4.后疫情時代,為了可持續(xù)發(fā)展,提高人民幸福指數(shù),國家先后出臺了多項減稅增效政策.某地區(qū)對在職員工進(jìn)行了個人所得稅的調(diào)查,經(jīng)過分層隨機抽樣,獲得500位在職員工的個人所得稅(單位:百元)數(shù)據(jù),按[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]分成九組,制成如圖所示的頻率分布直方圖:假設(shè)每個組內(nèi)的數(shù)據(jù)是均勻分布的.(1)求這500名在職員工的個人所得稅的中位數(shù)(保留到小數(shù)點后一位);(2)從個人所得稅在(6,8],(14,16],(16,18]三組內(nèi)的在職員工中,采用分層抽樣的方法抽取了10人,現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人,記年個稅在(14,16]內(nèi)的員工人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)以樣本的頻率估計概率,從該地區(qū)所有在職員工中隨機抽取100名員工,記年個稅在(14,18]內(nèi)的員工人數(shù)為Y,求Y的數(shù)學(xué)期望與方差. 參考答案 1.[解析](1)eq\o(x,\s\up6(-))=eq\f(3+3+4+5+5+6+6+8,8)=5,eq\o(y,\s\up6(-))=eq\f(10+12+13+18+19+21+24+27,8)=18.(1分)eq\i\su(i=1,8,)(xi-eq\o(x,\s\up6(-)))(yi-eq\o(y,\s\up6(-)))=16+12+5+0+0+3+6+27=69,(2分)eq\i\su(i=1,8,)(xi-eq\o(x,\s\up6(-)))2=4+4+1+0+0+1+1+9=20,eq\i\su(i=1,8,)(yi-eq\o(y,\s\up6(-)))2=64+36+25+0+1+9+36+81=252,(3分)代入公式可得相關(guān)系數(shù)r=eq\f(\i\su(i=1,8,)xi-\o(x,\s\up6(-))yi-\o(y,\s\up6(-)),\r(\i\su(i=1,8,)xi-\o(x,\s\up6(-))2\i\su(i=1,8,)yi-\o(y,\s\up6(-))2))=eq\f(69,\r(20)×\r(252))=eq\f(23,4\r(35))≈0.97.(4分)由于|r|>0.75且r非常接近1,所以y與x具有很強的線性相關(guān)關(guān)系.(5分)經(jīng)計算可得eq\o(b,\s\up6(^))=eq\f(\i\su(i=1,8,)xi-\o(x,\s\up6(-))yi-\o(y,\s\up6(-)),\i\su(i=1,8,)xi-\o(x,\s\up6(-))2)=eq\f(69,20)=3.45,(6分)eq\o(a,\s\up6(^))=eq\o(y,\s\up6(-))-eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(-))=18-3.45×5=0.75.所以所求線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))=3.45x+0.75.(7分)(2)①當(dāng)x=10時,eq\o(y,\s\up6(^))=35.25,所以預(yù)計能帶動的消費達(dá)35.25百萬元.(9分)②因為eq\f(|30-35.25|,35.25)>10%,所以發(fā)放的該輪消費券助力消費復(fù)蘇不是理想的.(11分)發(fā)放消費券只是影響消費的其中一個因素,還有其他重要因素,比如:A城市經(jīng)濟發(fā)展水平不同,居民的收入水平直接影響了居民的消費水平,A城市人口數(shù)量有限、商品價格水平、消費者偏好、消費者年齡構(gòu)成等因素一定程度上影響了消費總量(只要寫出一個原因即可).(12分)評分細(xì)則:(1)第(1)問中,x,y的平均數(shù)只求對了一個,不給分.(2)第(2)問的第②問涉及的其他因素很多,比較主觀,學(xué)生只要答出一個比較合理的原因即可.2.[解析](1)令事件A為“甲第一關(guān)勝出進(jìn)入第二關(guān)”,事件B為“乙第一關(guān)勝出進(jìn)入第二關(guān)”,則P(A)=eq\f(1,2)×eq\f(2,3)+eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(3,5)))=eq\f(1,3)+eq\f(1,5)=eq\f(8,15),(2分)P(B)=eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(2,3)))+eq\f(1,2)×eq\f(3,5)=eq\f(1,2)×eq\f(1,3)+eq\f(3,10)=eq\f(14,30)=eq\f(7,15)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或PB=1-PA=\f(7,15))),(3分)令:C1:第二關(guān)甲兩題都答對D1:第二關(guān)乙兩題都答對C2:第二關(guān)甲答題一對一錯D2:第二關(guān)乙答題一對一錯C3:第二關(guān)甲兩題都答錯D3:第二關(guān)乙兩題都答錯E:經(jīng)過兩關(guān)比賽,甲獲勝,(4分)所以P(E)=P(A)(1-P(C3))+P(B)P(D3)=eq\f(8,15)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))))+eq\f(7,15)×eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))=eq\f(8,15)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,15)))+eq\f(7,15)×eq\f(3,15)=eq\f(112,225)+eq\f(21,225)=eq\f(133,225).(6分)(2)X的所有可能取值為0,100,400,500,(7分)P(X=0)=P(B)P(D1)=eq\f(7,15)×eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))=eq\f(7,15)×eq\f(3,15)=eq\f(7,75),P(X=100)=P(A)P(C3)+P(B)P(D2)=eq\f(8,15)×eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))+eq\f(7,15)×eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3),C\o\al(2,6))=eq\f(8,225)+eq\f(63,225)=eq\f(71,225),P(X=400)=P(A)P(C2)+P(B)P(D3)=eq\f(8,15)×eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,6))+eq\f(7,15)×eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))=eq\f(64,225)+eq\f(21,225)=eq\f(85,225)=eq\f(17,45),P(X=500)=P(A)P(C1)=eq\f(8,15)×eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))=eq\f(48,225)=eq\f(16,75),(9分)所以X的分布列是:X0100400500Peq\f(7,75)eq\f(71,225)eq\f(17,45)eq\f(16,75)E(X)=0×eq\f(7,75)+100×eq\f(71,225)+400×eq\f(17,45)+500×eq\f(16,75)=289eq\f(1,3).(12分)3.[解析](1)記“甲先砸出的是一等獎,甲獲勝”為事件A,則P(A)=eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,6)+C\o\al(2,3),C\o\al(2,7))=eq\f(9,21)=eq\f(3,7).(2分)(2)如果乙先砸出的是二等獎,則可以再砸3個金蛋,則得分情況有6分,7分,8分,9分,10分,11分.(4分)P(ξ=6)=eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,7))=eq\f(1,35),P(ξ=7)=eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,3),C\o\al(3,7))=eq\f(9,35),P(ξ=8)=eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,3),C\o\al(3,7))=eq\f(9,35),P(ξ=9)=eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,1)+C\o\al(3,3),C\o\al(3,7))=eq\f(4,35),P(ξ=10)=eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(3,7))=eq\f(9,35),P(ξ=11)=eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),C\o\al(3,7))=eq\f(3,35),(10分)∴ξ的分布列為:P67891011ξeq\f(1,35)eq\f(9,35)eq\f(9,35)eq\f(4,35)eq\f(9,35)eq\f(3,35)∴ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)=6×eq\f(1,35)+7×eq\f(9,35)+8×eq\f(9,35)+9×eq\f(4,35)+10×eq\f(9,35)+11×eq\f(3,35)=eq\f(60,7).(12分)4.[解析](1)由題意得列聯(lián)表如下:一等品非一等品合計甲7525100乙483280合計12357180(2分)χ2=eq\f(nad-bc2,a+bc+da+cb+d)=eq\f(180×75×32-48×252,123×57×100×80)≈4.621,∵4.621>3.841=x0.05,(4分)依據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗,可以認(rèn)為零件是否為一等品與生產(chǎn)線有關(guān)聯(lián).(5分)(2)由已知任取一個甲生產(chǎn)線零件為一等品的概率為eq\f(23+28+24,100)=eq\f(3,4),任取一個乙生產(chǎn)線零件為一等品的概率為eq\f(15+17+16,80)=eq\f(3,5),ξ的所有可能取值為0,1,2,P(ξ=0)=eq\f(1,4)×eq\f(2,5)=eq\f(2,20)=eq\f(1,10),P(ξ=1)=eq\f(1,4)×eq\f(3,5)+eq\f(2,5)×eq\f(3,4)=eq\f(9,20),P(ξ=2)=eq\f(3,4)×eq\f(3,5)=eq\f(9,20),∴ξ的分布列為:ξ012Peq\f(1,10)eq\f(9,20)eq\f(9,20)(8分)E(ξ)=0×eq\f(1,10)+1×eq\f(9,20)+2×eq\f(9,20)=eq\f(27,20).(9分)(3)由已知零件為三等品的頻率為eq\f(4+2+2+1,180)=eq\f(1,20),設(shè)余下的40個零件中三等品個數(shù)為X,則X~Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(40,\f(1,20))),∴E(X)=40×eq\f(1,20)=2,(10分)設(shè)檢驗費用與賠償費用之和為Y,若不對余下的所有零件進(jìn)行檢驗,則Y=20×5+120X,所以E(Y)=100+120×E(X)=100+240=340,(11分)若對余下的所有零件進(jìn)行檢測,則檢驗費用為60×5=300元,∵340>300,∴應(yīng)對剩下零件進(jìn)行檢驗.(12分)提能訓(xùn)練1.[解析](1)設(shè)事件A為“抽取的3名同學(xué)中恰有2名同學(xué)來自高一”,則有P(A)=eq\f(C\o\al(2,7)C\o\al(1,8),C\o\al(3,15))=eq\f(24,65).(2)設(shè)張同學(xué)、王同學(xué)答對的題數(shù)分別為Y,Z,張同學(xué)在考試中合格的概率為P(Y≥2)=P(Y=2)+P(Y=3)=Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1+Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0=eq\f(1,2),王同學(xué)在考試中合格的概率為P(Z≥2)=P(Z=2)+P(Z=3)=Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1+Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0=eq\f(20,27).由題意得X可取0,1,2,則P(X=0)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(20,27)))=eq\f(7,54),P(X=1)=eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(20,27)))+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,2)))×eq\f(20,27)=eq\f(1,2),P(X=2)=eq\f(1,2)×eq\f(20,27)=eq\f(10,27),所以X的分布列為X012Peq\f(7,54)eq\f(1,2)eq\f(10,27)因此X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×eq\f(7,54)+1×eq\f(1,2)+2×eq\f(10,27)=eq\f(67,54).2.[解析](1)年齡在40周歲以上(含40周歲)的非“編織巧手”有5人,年齡在40周歲以下的“編織巧手”有6人.列聯(lián)表如下:“編織巧手”非“編織巧手”總計年齡≥40歲19524年齡<40歲61016總計251540零假設(shè)為H0:“編織巧手”與“年齡”無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計算得到χ2=eq\f(40×19×10-6×52,24×16×25×15)≈7.111>6.635=x0.010,根據(jù)小概率值α=0.010的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認(rèn)為“編織巧手”與“年齡”有關(guān),此推斷犯錯的概率不大于0.010.(2)由題意可得這6人中年齡在40周歲以上(含40周歲)的人數(shù)是2;年齡在40周歲以下的人數(shù)是4.從這6人中隨機抽取2人的情況有Ceq\o\al(2,6)=15種,其中符合條件的情況有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)=8種,故所求概率P=eq\f(8,15).3.[解析](1)前4個回合甲發(fā)球兩次的情況分以下三種:第一種情況,甲第1,2回合發(fā)球,乙第3,4回合發(fā)球,其概率為eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)=eq\f(4,27).第二種情況,甲第1,3回合發(fā)球,乙第2,4回合發(fā)球,其概率為eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)=eq\f(1,27).第三種情況,甲第1,4回合發(fā)球,乙第2,3回合發(fā)球,其概率為eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)=eq\f(2,27).故前4個回合甲發(fā)球兩次的概率為eq\f(4,27)+eq\f(1,27)+eq\f(2,27)=eq\f(7,27).(2)第2回合甲發(fā)球的概率為eq\f(2,3),乙發(fā)球的概率為eq\f(1,3).第3回合甲發(fā)球的概率為eq\f(2,3)×eq\f(2,3)+eq\f(1,3)×eq\f(1,3)=eq\f(5,9),乙發(fā)球的概率為eq\f(2,3)×eq\f(1,3)+eq\f(1,3)×eq\f(2,3)=eq\f(4,9).第4個回合甲發(fā)球的概率為eq\f(5,9)×eq\f(2,3)+eq\f(4,9)×eq\f(1,3)=eq\f(14,27).(3)X可以取1,2,3,4.當(dāng)X=1時,P1=eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)=eq\f(

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