二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布四、小結(jié)一、問(wèn)題的引入第2.7.2節(jié)二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布為了解決類似的問(wèn)題,下面我們討論兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布.一、問(wèn)題的引入例1

設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y的分布律為求隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律.得因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以解二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布可得所以結(jié)論三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

1.Z=X+Y的分布由此可得概率密度函數(shù)為由于X與Y對(duì)稱,當(dāng)X,Y獨(dú)立時(shí),例4

設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,求Z=X+Y的概率密度.得說(shuō)明

有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.

例如，設(shè)X、Y獨(dú)立，都具有正態(tài)分布，則3X+4Y+1也具有正態(tài)分布.為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域例6若X和Y獨(dú)立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解:由卷積公式也即如圖示:于是則x=yu同理可得故有當(dāng)X,Y獨(dú)立時(shí),由此可得分布密度為解由公式例7得當(dāng)且公當(dāng)即時(shí)上式的被積函數(shù)才不為零故第二個(gè)積分一定為零,當(dāng)z>0時(shí)例1

設(shè)X,Y獨(dú)立同分布,P{X=i}=1/3,i=1,2,3,求M=Max(X,Y),N=min(X,Y)的分布律.

解:3、其它函數(shù)的分布M

1

23P

1/9

1/3

5/9

從而M的分布律為可得N的分布率為

N

1

2

3P

5/9

1/3

1/9例2隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立，分別服從參數(shù)為和的指數(shù)分布，Z=min{X,Y}.求Z的密度函數(shù)。解：所以Z=min{X,Y}服從參數(shù)為+的指數(shù)分布四、小結(jié)1.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布若隨機(jī)變量（X,Y)的概率密度為p(x,y)，則

(4)Z=X－Y的概率密度為

（5）Z=kx+Y,(k>0)的概率密度為（6）Z=XY的概率密度為例1

設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且其分布密度分別為其它.其它.求隨機(jī)變量Z=2X+Y的分布密度.由于X與Y相互獨(dú)立,所以(X,Y)的分布密度函數(shù)為解備份題隨機(jī)變量Z的分布函數(shù)為所以隨機(jī)變量Z的分布密度為解例2解例3此時(shí)例9解例1

設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)