2025版一輪高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)第七章　立體幾何與空間向量第四節(jié)　直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)1.了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的關(guān)系，歸納出有關(guān)垂直的性質(zhì)定理和判定定理，并加以證明.2.能用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.1.直線與平面垂直（1）定義：如果直線l與平面α內(nèi)的直線都垂直，則直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面；（2）直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線垂直，那么該直線與此平面垂直?性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線?a∥（3）直線和平面所成的角①定義：平面的一條斜線和它在平面上的所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.一條直線垂直于平面，它們所成的角是，一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是；②范圍：0，2.平面與平面垂直（1）二面角的有關(guān)概念①二面角：從一條直線出發(fā)的所組成的圖形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角；③范圍：[0，π].（2）平面和平面垂直的定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直；（3）平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的，那么這兩個(gè)平面垂直l⊥αl?性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直α⊥βl?β3.空間距離（1）點(diǎn)到平面的距離：過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離；（2）直線到平面的距離：一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離；（3）兩個(gè)平面間的距離：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離.1.判斷正誤.（正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”）（1）直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.（）（2）垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行.（）（3）若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.（）（4）若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則α⊥β.（）2.如圖，?ADEF的邊AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，則CE＝（）A.2 B.3C.5 D.133.已知AB是圓柱上底面的一條直徑，C是上底面圓周上異于A，B的一點(diǎn)，D為下底面圓周上一點(diǎn)，且AD⊥圓柱的底面，則必有（）A.平面ABC⊥平面BCD B.平面BCD⊥平面ACDC.平面ABD⊥平面ACD D.平面BCD⊥平面ABD4.正六棱柱相鄰兩個(gè)側(cè)面所成的二面角的大小為.5.如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為1，AB1與底面ABCD成60°角，則A1C1到底面ABCD的距離為.1.若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.2.垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.3.一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直.4.兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.5.三垂線定理：若PO⊥α，PC在平面α內(nèi)的射影為CO，l?α，l⊥CO，則l⊥PC.6.三垂線定理的逆定理：若PO⊥α，PC在平面α內(nèi)的射影為CO，l?α，l⊥PC，則l⊥CO.1.已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是（）A.α⊥β且m?α B.m⊥n且n∥βC.m∥n且n⊥β D.m⊥n且α∥β2.（多選）下列命題為真命題的是（）A.若兩個(gè)平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合B.一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直C.垂直于同一條直線的兩個(gè)平面相互平行D.兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面3.（多選）（2021·新高考Ⅱ卷10題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn).則滿足MN⊥OP的是（）線面垂直的判定與性質(zhì)【例1】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn).證明：（1）CD⊥AE；（2）PD⊥平面ABE.解題技法1.證明直線和平面垂直的常用方法（1）判定定理；（2）直線垂直于平面的傳遞性（a∥b，a⊥α?b⊥α）；（3）面面平行的性質(zhì)（a⊥α，α∥β?a⊥β）；（4）面面垂直的性質(zhì)（α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l?β?l⊥α）.2.判定定理證明線面垂直的步驟如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.平面與平面垂直的判定與性質(zhì)【例2】三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC.（1）若AB⊥BC，求證：平面A1BC⊥平面AA1B1B；（2）若平面A1BC⊥平面AA1B1B，求證：AB⊥BC.解題技法證明面面垂直的2種方法（1）定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問(wèn)題；（2）定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，把面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證明線面垂直的問(wèn)題.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn).求證：（1）PA⊥底面ABCD；（2）平面BEF⊥平面PCD.平行與垂直的綜合問(wèn)題【例3】如圖，在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD為正三角形，E，F(xiàn)分別為AD，SB的中點(diǎn).（1）求證：AF∥平面SEC；（2）求證：平面ASB⊥平面SBC.解題技法立體幾何中平行、垂直關(guān)系的兩種轉(zhuǎn)化如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，點(diǎn)E在棱PC上（異于點(diǎn)P，C），平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F.（1）求證：AB∥EF；（2）若AF⊥EF，求證：平面PAD⊥平面ABCD.幾何法求空間角與距離幾何法求空間角與距離主要是轉(zhuǎn)化構(gòu)造三角形，即把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，空間距離轉(zhuǎn)化為平面距離，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求解三角形的邊、角問(wèn)題.一、幾何法求空間角類型1幾何法求線面角【例1】如圖，已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為4，M為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，則直線BM與底面ABCD所成角的正弦值為（）A.143 B.7C.156 D.聽(tīng)課記錄點(diǎn)評(píng)幾何法求線面角的三個(gè)步驟：①一作（找）角；②二證明；③三計(jì)算.其中作（找）角是關(guān)鍵，先找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足，然后把線面角轉(zhuǎn)化到三角形中求解.在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱長(zhǎng)都相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)D是BC1與B1C的交點(diǎn)，則AD與平面BB1C1C所成角的正弦值是（）A.35 B.2C.32 D.類型2幾何法求二面角【例2】如圖所示，在三棱錐S-ABC中，△SBC，△ABC都是等邊三角形，且BC＝2，SA＝3，則二面角S-BC-A的大小為（）A.30° B.45°C.60° D.75°聽(tīng)課記錄點(diǎn)評(píng)作二面角的平面角可以用定義法，也可以用垂面法，即在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過(guò)垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.在如圖所示的“塹堵”中，AC＝CB＝CC1，則二面角C1-AB-C的正切值為（）A.1 B.2C.22 D.二、幾何法求距離【例3】（1）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，則點(diǎn)C到直線PA的距離為（）A.23 B.25C.2 D.4（2）如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面ACD1的距離為（）A.1 B.23C.43 D.聽(tīng)課記錄