2025版一輪高考總復(fù)習數(shù)學第七章　立體幾何與空間向量第一節(jié)第2課時　球的切、接問題

第2課時球的切、接問題幾何體的外接球考向1柱體的外接球【例1】已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點都在同一球面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝120°，則此球的表面積為.聽課記錄解題技法1.求圓柱的外接球，可以先作該圓柱的軸截面，軸截面對角線即為外接球的直徑.2.求直棱柱的外接球，可以先求其外接圓柱體，再利用該圓柱體的軸截面求半徑即可.考向2錐體的外接球【例2】（1）已知三棱錐P-ABC，其中PA⊥平面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，則該三棱錐外接球的表面積為（）A.12π B.16πC.20π D.24π（2）已知球O是圓錐PO1的外接球，圓錐PO1的母線長是底面半徑的3倍，且球O的表面積為81π8，則圓錐PO1的側(cè)面積為聽課記錄解題技法1.求圓錐的外接球，可以先作其軸截面，其為三角形，該三角形中垂線的交點即為球心.2.求直棱錐的外接球，可以先求其外接直棱柱，再將直外接圓柱作出，再利用該圓柱體的軸截面求半徑即可.3.求正棱錐的外接球，可以先求其外接圓錐，再利用該圓錐的軸截面求半徑即可.考向3可補成規(guī)則幾何體的外接球【例3】（1）已知四面體ABCD的每個頂點都在球O的球面上，AB，AC，AD兩兩垂直，且AB＝3，AC＝2，AD＝3，則球O的表面積為；（2）在三棱錐P-BCD中，BC⊥CD，PB⊥底面BCD，設(shè)BC＝1，PB＝CD＝2，則該三棱錐的外接球的體積為.聽課記錄解題技法1.若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖①所示.2.若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構(gòu)造長方體，如圖②所示.3.正四面體P-ABC可以補形為正方體且正方體的棱長a＝PA2，如圖③所示4.若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖④所示.1.如圖，某幾何體由共底面的圓錐和圓柱組合而成，且圓柱的兩個底面圓周和圓錐的頂點均在體積為36π的球面上，若圓柱的高為2，則圓錐的側(cè)面積為（）A.26π B.46πC.16π D.162.（2022·新高考Ⅱ卷7題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為33和43，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）A.100π B.128πC.144π D.192π3.（2023·全國乙卷16題）已知點S，A，B，C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長為3的等邊三角形，SA⊥平面ABC，則SA＝.幾何體的內(nèi)切球【例4】（1）《九章算術(shù)》中將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑.若三棱錐P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝4，AB＝3，AB⊥BC，若三棱錐P-ABC有一個內(nèi)切球O，則球O的體積為（）A.9π2C.9π16（2）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.聽課記錄解題技法空間幾何體的內(nèi)切球問題，一是找球心，球心到切點的距離相等且為球的半徑，作出截面，在截面中求半徑；二是利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑.1.一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切，已知這個球的體積為4π3，那么這個正三棱柱的體積是（A.123 B.23C.63 D.4832.六氟化硫，化學式為SF6，在常溫常壓下是一種無色、無臭、無毒、